郭勝光

新課改的四個(gè)實(shí)驗(yàn)省區(qū)的學(xué)生，已于2007年6月參加新課程下的高考，縱觀新高考數(shù)學(xué)試卷的數(shù)列試題，筆者深深體會(huì)到：試卷緊扣新課標(biāo)(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)要求，在考察學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，注重考察學(xué)生的創(chuàng)新能力.與《大綱》要求的高考數(shù)列試題對(duì)比，難度明顯降低.因此，《標(biāo)準(zhǔn)》下數(shù)列高考復(fù)習(xí)與《大綱》下數(shù)列高考復(fù)習(xí)要有所區(qū)分，要注意以下策略：

1 研究《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》的聯(lián)系與區(qū)別

1.1 《標(biāo)準(zhǔn)》要求

(1)通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列：①通過實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.②探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.③能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系和等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)問題.④體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

1.2 《大綱》要求

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

1.3 聯(lián)系與區(qū)別

從上述要求可以看出，《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》相比，對(duì)數(shù)列內(nèi)容的要求變化不大，即主干知識(shí)基本不變，最大的變化是《標(biāo)準(zhǔn)》突出了數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，《大綱》比較注重?cái)?shù)列中各參量之間的關(guān)系以及恒等變形.《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)列內(nèi)容的整體定位是：數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過對(duì)日常生活中大量實(shí)際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問題.

2 強(qiáng)化主干知識(shí)復(fù)習(xí)

通過《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》對(duì)比，我們知道數(shù)列這一章的主干知識(shí)是：等差數(shù)列→等比數(shù)列→數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的求法.因此，高考復(fù)習(xí)中應(yīng)抓住主干知識(shí)線，實(shí)施有效復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2.1 等差數(shù)列{a璶}

(1)要求學(xué)生理解等差概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，弄清等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.

利用等差概念容易得到：a2-a1=d,a3-a2=d,…,a璶-a﹏-1=d，將n-1個(gè)式子相加得：a璶=a1+(n-1)d輆璶=dn+(a1-d)，當(dāng)d≠0時(shí)，a璶是關(guān)于n的一次函數(shù)，它的圖象是在一條直線上的離散的點(diǎn).通項(xiàng)公式a璶=a1+(n-1)d可以進(jìn)一步拓展為a璶=a璵+(n-m)d(n≥m).

(2)抓住等差數(shù)列的特征，掌握前n項(xiàng)和公式，弄清前n項(xiàng)的和與二次函數(shù)的關(guān)系.

等差數(shù)列{a璶}中，任意連續(xù)三項(xiàng)中，第二項(xiàng)是第一項(xiàng)和第三項(xiàng)的算術(shù)平均值，項(xiàng)數(shù)和相等的任意兩項(xiàng)和相等，由此，可得到前n項(xiàng)和公式S璶=n(a1+a璶)2=na1+n(n-1)2d.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，本質(zhì)上是用了“倒序相加法”，這種求和方法在復(fù)習(xí)時(shí)一定要強(qiáng)化，并作適當(dāng)拓展.由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式變形可得S璶=d2n2+(a1-d2)n，當(dāng)公差d≠0時(shí)，S璶 是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，它的圖象是在一條拋物線上的離散的點(diǎn)，利用這一結(jié)論， 可以解決求等差數(shù)列前幾項(xiàng)和最大(小)值的一類問題.

(3)強(qiáng)化“知三求二”的題型訓(xùn)練.

作為高考復(fù)習(xí)，適當(dāng)強(qiáng)化題型訓(xùn)練是很有必要的，“知三求二”是等差數(shù)列的重要題型，所謂“知三求二”就是等差數(shù)列有五個(gè)參量：項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)、前n項(xiàng)和、首項(xiàng)、公差，只要已知這五個(gè)量中的任意三個(gè)，就可以利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求出其余兩個(gè).對(duì)于“知三求二”的題型訓(xùn)練要適度，不要人為編造太難、太繁題目給學(xué)生做，這樣不僅增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，而且淡化數(shù)學(xué)本質(zhì)，以下例題的難度較為合適.

例1 已知{a璶}是等差數(shù)列，a10=10，其前10項(xiàng)和S10=70，則其公差=().

A.-23 B.-13 C.13 D.23

(2007年高考寧夏、海南卷試題)

解 由公式S璶=n2(a1+a璶)得：5(a1+10)=70，所以a1=4.又由公式a璶=a1+(n-1)d得：4+(10-1)d=10，所以d=23，選D.

2.2等比數(shù)列{a璶}

(1)要求學(xué)生理解等比概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，弄清等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

利用等比概念，容易得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：a璶=a1q﹏-1，當(dāng)q≠1時(shí)，a璶是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù).在復(fù)習(xí)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，可以把該公式拓展為：a璶=a璵q﹏-m(n≥m).

(2)抓住等比數(shù)列的特征，掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)方法.

設(shè)等比數(shù)列{a璶}的公比為q，若q=1，則S璶=na1，若q≠1，則S璶=a1+a1q+a1q2+…+a1q﹏-1 ①

qS璶=a1q+a1q2+…+a1q﹏-1+a1q琻②

①-②得S璶=a1(1-q琻)1-q.

對(duì)比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用到的方法是“錯(cuò)位相減”法，這種求和方法在復(fù)習(xí)時(shí)要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，強(qiáng)化練習(xí)，力爭(zhēng)做到人人過關(guān).

(3)控制“知三求二”題型的難度.

等比數(shù)列也有五個(gè)參量：項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)、前n項(xiàng)和、首項(xiàng)、公比.這五個(gè)參量有一定的聯(lián)系，表現(xiàn)為兩個(gè)基本關(guān)系a璶=a1q﹏-1，S璶=a1(1-q琻)1-q，由關(guān)系式知，只要已知這五個(gè)參量中的任意三個(gè)，就可以求出其余的兩個(gè).因此，“知三求二”的問題，就是解方程組的問題.

值得注意的是，對(duì)于等比數(shù)列，“知三求二”的問題可能出現(xiàn)高次方程，這不在《標(biāo)準(zhǔn)》要求范圍之內(nèi).《標(biāo)準(zhǔn)》的要求只限制在直接用一元二次方程求解問題，因此，在復(fù)習(xí)等比數(shù)列“知三求二”問題時(shí)要注意控制難度，按《標(biāo)準(zhǔn)》要求復(fù)習(xí).

例2 設(shè)數(shù)列{a璶}滿足a1+3a2+32a3+…+3﹏-1猘璶=n3,a∈N*.

(Ⅰ)求數(shù)列{a璶}的通項(xiàng)；

(Ⅱ)設(shè)b璶=na璶，求數(shù)列{b璶}的前n項(xiàng)和S璶.(2007年高考山東卷試題).

解：(Ⅰ)∵a1+3a2+32a3+…+3﹏-1猘璶=n3,①

∴當(dāng)n≥2時(shí)，a1+3a2+32a3+…+3﹏-2?a﹏-1=n-13.②

①-②得3﹏-1猘璶=13,a璶=13琻.在①中，令n=1,得a1=13.∴a璶=13琻.

(Ⅱ)∵b璶=na璶,∴b璶=n3琻.∴S璶=3+2×32+3×33+…+n3琻,③

3S璶=32+2×33+3×34+…+n3﹏+1④

④-③得∴2S璶=n3﹏+1-(3+32+33+…+3琻).即2S璶=n3﹏+1-3(1-3琻)1-3,

∴S璶=(2n-1)3﹏+14+34.

例3 已知函數(shù)f(x)=x2+x-1,α，β是方程f(x)=0的兩個(gè)根(α>β),f′(x)是

ゝ(x)的導(dǎo)數(shù).設(shè)a1=1,a﹏+1=a璶-f(a璶)f′(a璶)(n=1,2,…).(1)求α，β的值；(2)已知對(duì)任意的正整數(shù)n有a璶>α，記b璶=玪n玜璶-βa璶-α(n=1,2,…).求數(shù)列{b璶}的前n項(xiàng)和S璶.(2007年高考廣東卷試題)

解 (1)由x2+x-1=0，得x=-1±52,∴α=-1+52,β=-1-52.

(2)f′(x)=2x+1,a﹏+1=a璶-a2璶+a璶-12a璶+1=a2璶+12a璶+1.

a﹏+1-βa﹏+1-α=a璶2+12a璶+1+1+52a璶2+12a璶+1+1-52

=a璶2+(1+5)a璶+3+52a璶2+(1-5)a璶+3-52

=a璶+1+52a璶+1-522=a璶-βa璶-α2,

∴b﹏+1=2b璶.又b1=玪n玜1-βa1-α=玪n3+53-5=4玪n1+52,

∴數(shù)列{b璶}是一個(gè)首項(xiàng)為4玪n1+52,公比為2的等比數(shù)列.

∴S璶=4玪n1+52(1-2琻)1-2

=4(2琻-1)玪n1+52.

3 把握復(fù)習(xí)難度

《大綱》要求的高考試卷中，數(shù)列常以壓軸題的形式出現(xiàn)，以2007年高考為例，《大綱》要求的高考試卷共16份，其中以數(shù)列題為試卷最后兩題的共有15份，因此，傳統(tǒng)的高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中，教師對(duì)數(shù)列部分的內(nèi)容拓得很廣，挖的很深，復(fù)習(xí)的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過《大綱》及課本的要求.各種數(shù)學(xué)雜志也投其所好，發(fā)表了不少關(guān)于數(shù)列內(nèi)容的文章，象炒股票一樣，把數(shù)列炒得火熱，而把數(shù)列本質(zhì)的東西都拋棄了.難怪有的教師說，數(shù)列按《大綱》要求復(fù)習(xí)，高考很難拿到分?jǐn)?shù).

《標(biāo)準(zhǔn)》突出數(shù)列本質(zhì)，在實(shí)行課改的四省市2007年高考命制的三份試題中，表現(xiàn)的非常突出.三份試題中，只有廣東卷把數(shù)列題作為壓軸題，考察的是等比數(shù)列的定義及求等比數(shù)列前n項(xiàng)和.寧夏、海南卷數(shù)列只作為選擇題考查(這在《大綱》教材高考中是不可能出現(xiàn)的)，兩道選擇題都是考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，可以說只要課本知識(shí)掌握，解這兩道題是不成問題的.山東卷把數(shù)列題放在解答題第一題的位置，該題考察數(shù)列求通項(xiàng)與數(shù)列求和的基本方法(錯(cuò)位相減法)，錯(cuò)位相減法直接來源于課本中的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，學(xué)生非常熟悉，據(jù)統(tǒng)計(jì)該題的得分率較高.由此可見，新課標(biāo)下數(shù)列高考復(fù)習(xí)要與時(shí)俱進(jìn)，降低難度，特別是遞推數(shù)列求通項(xiàng)，不要深挖，把主干知識(shí)等差數(shù)列、等比數(shù)列復(fù)習(xí)好，將最基本的解題方法訓(xùn)練好，還數(shù)列的本來面目.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>