劉　超

海倫公式即三角形面積公式：S△=s(s-a)(s-b)(s-c)，其中s=12(a+b+c)，a,b,c是三角形三個邊的長，這個公式遠在古希臘阿基米德就知道，后由希臘人海倫（Heron）（生于公元前125年）在他的著作《測量術》（metrica）一書的“度量表”章中首先證明了這一公式，還舉了求邊為13，14，15之三角形面積一例. 在與世隔絕的中國南宋時期（約公元1247年），數(shù)學家秦九韶在他的《數(shù)書九章》中獨創(chuàng)地討論到它，名為“三斜求積術”，大斜，中斜，小斜分別表示三角形三邊，求面積. 把他的結(jié)論用現(xiàn)代算式表示是S△=14［b2c2-(b2+c2-a2)2)］2，せ簡后與海倫公式是等價的，故它又被命名為海倫——秦九韶公式.

現(xiàn)行教材對公式?jīng)]加論證就使用了，本文按照歷史的順序給出關于海倫公式的證明方法，以消除在教學中對公式的疑惑.

1 海倫的證明

海倫（Heron），古希臘數(shù)學家，力學家，機械學家，生活于歐幾里得（Euclid）之后約350年左右，主要活躍于亞歷山大里亞. 海倫注重數(shù)學的實際應用，這從他留傳下來的著作中可以發(fā)現(xiàn)，如《測量術》（metrica），《屈光學》（dioptra）等. 海倫公式出自《測量術》一書，這本書被認為是一本實用的測量手冊方面的代表作. 在《測量術》第一卷中，海倫討論了給定三邊長的三角形面積求法，即海倫公式，下面是海倫的證明方法.

如圖1，△ABC的三邊長分別為a,b,c，I為△ABC的內(nèi)心，OD=OE=OF=r為△ABC內(nèi)切圓半徑長，令s=a+b+c2，延長BC至H，使CH=AF，則有s=BH，因S△=s?r,即S△=BH?OD，作CK⊥BC,OK⊥BO，有∠BOK=∠BCK,故B,O,C,K四點共圓，∠CBK=∠3，因圓O內(nèi)切于△ABC，有∠1+∠2+∠4=90°，在△BOC中，OK⊥BO，得∠1+∠2+∠3=90°，所以∠CBK=∠4，得△OAF∽△CBK，BCCK=AFOF=CHOD，又OD⊥BC,CK⊥BC，即OD∥CK，CKOD=CLLD，得BCCH=CKOD=CLLD，由合比性質(zhì)BHCH=CDLD，BH2CH?BH=CD?BDLD?BD，而OD2=LD?BD，即BH2CH?BH=CD?BDOD2，BH=CH?BH?CD?BDOD2，S△=BH?OD=CH?BH?CD?BD，ビ肅H=AF=s-a,BH=s,CD=s-c,BD=s-b代入即得S△=s(s-a)(s-b)(s-c).

2 梅文鼎的證明

ッ肺畝 (1633-1721) 生于明末，長于清初，27歲時拜師學習天文歷法，五年后完成了他的第一部創(chuàng)作，從此開啟了對算學的興趣. 他終其一生致力于中西知識的匯通工作，在融會貫通之際，以自己的見解及理念編寫了數(shù)十本天文及數(shù)學著作，催生了這一時期數(shù)學上的興盛. 康熙14年（1675），梅文鼎完成《平三角舉要》一書，是歷史上第一本三角學專著. 梅文鼎對海倫公式的證法，并非他所獨創(chuàng). 在明末由耶穌會士羅雅谷撰寫，湯若望校訂，徐光啟督修的《測量全義》第四卷中即已出現(xiàn)，但其證法中出現(xiàn)不足之處. 梅文鼎則是將此證法加以補正修改，略作改良后，編入《平三角舉要》，卷４“或問”第12頁，證明過程如下.

如圖2所示，I為△ABC的內(nèi)心，ID=IE=IF=r為△ABC內(nèi)切圓半徑長，則易推出BD=BF,CD=CE,AE=AF. 分別延長AB，AC,取BH=CE,CK=BF，則AK=AH=s為△ABC周長之一半，延長AI至G，使GK⊥AK，連結(jié)HG，則可推得△AHG≌△AKG,HG=KG.

取CM=CK，則BM=BH，延長AK至N，使KN=BH，延長AH至P，使HP=CK，則CN=BP=BC，連結(jié)CG,BG,NG,PG，則△CKG≌△PHG,CG=PG，同理△NKG≌△BHG，NG=BG,因此，△NCG≌△BPG≌△BCG，∠BPG=∠BCG連接MG，又HP=CD=CM,CG=PG故△PHG≌△CMG，又△CKG≌△PHG，則△CMG≌△CKG.

在四邊形MCKG,DIEC中，由于四角對應相等，故四邊形MCKG,DIEC相似，推得△IEC∽△CKG軮E∶CE=CK∶GK，推得CE?CK=IE?GK(1)，又△AKG∽△AEI軮E∶GK=AE∶AK，推得IE2∶(IE?GK）=AE∶AK(2)，結(jié)合(1) (2)可知，IE2∶（CE?CK）=AE∶AK，即r2∶(s-b)(s-c)=(s-a)∶s，推得sr2=(s-a)(s-b)(s-c)輘2r2=s(s-a)(s-b)(s-c)，故△ABC的面積S△ABC=sr=s(s-a)(s-b)(s-c)，公式得證.

3 李善蘭的證明

ダ釕評跡1811－1882），號秋紉，別號壬叔，浙江海寧人，清代著名數(shù)學家，中國數(shù)學現(xiàn)代化的先驅(qū). 李善蘭自小就展露數(shù)學才華，十歲時接觸到《九章算術》，此后就對數(shù)學發(fā)生了極大興趣.李善蘭和偉烈亞力（A . Wylie，1855－1887）合譯《幾何原本》后九卷，又合譯棣莫甘 (De Morgan, 1806－1871) 的《代數(shù)學》、羅密士 (E. Loomis, 1811－1899) 的《代微積拾級》. 他還與艾約瑟 (Joseph Edkins) 合譯了《圓錐曲線》和《重學》. 李善蘭本身也有相當杰出的成就，例如：“尖錐術”、“垛積術”等，其中又以“李善蘭恒等式”最為有名.有關海倫公式證明的詳細過程，見之于李善蘭的《天算或問》.

如圖3，I為△ABC的內(nèi)心，ID=IE=IF=r為△ABC內(nèi)切圓半徑長，令AE=AF=x，BF=BD=y,CD=CE=z,高AH=h，過I點作AB,BC的平行線，分別交BC于B′,C′. 不難證明△ABH∽△IB′D,△ACH∽△IC′D，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和比例的有關性質(zhì)，可得(AB+BH)∶(IB′+B′D)=h∶r，(AC+CH)∶(IC′+C′D)=h∶r,進而推得（AB+BH）∶(AC+CH)=(IB′+B′D)∶(IC′+C′D)(*)，過I作BC的平行線分別交AB于M，交AC于N. 由∠MBB′=∠IB′D,∠IFM=∠IDB′,IF=ID=r,故△IFM∽△IDB′，推得IM=IB′，可知四邊形BMIB′為菱形，故IB′+BD=BB′+B′D=BD,IC′+C′D=CC′+C′D=CD，再由上述（*）式，(AB+BH)∶(AC+CH)=(IB′+B′D)∶(IC′+C′D)=BD∶CD=y∶z，此式改寫為AB+BHy=AC+CHz輈+BHy=b+CHz=hr，故可得yz(c+BH)(b+CH)=r2h2（**），又h2=c2-BH2=b2-CH2，推得(c-BH)(c+BH)=(b-CH)(b+CH)，即b+CHc-BH=c+BHb-CH. ソ酉呂蠢釕評賈っ鱞+CHc-BH=c+BHb-CH為一定值. 在他看來，比例式b+CHc-BH=c+BHb-CH的成立具有一般性，不局限在上圖所呈現(xiàn)的三角形中. 這樣的想法也呈現(xiàn)在他的論證之中，他先舉相等情況（b+CH=c+BH）為例，再說明不等情形（b+CH≠c+BH）也會成立，但這樣的情形不可能出現(xiàn)在同一個三角形的邊長上. 這也說明李善蘭雖然采用幾何形式論證，但由于他掌握更多三角形邊長比例關系的一般性，使得他對于幾何圖形的使用，不同于海倫和梅文鼎. 有關b+CHc-BH=c+BHb-CH為一定值的證明在這里從略，結(jié)論為b+CHc-BH=c+BHb-CH=sx（s=12(a+b+c)），詳細的證明請參閱臺北《HPM通訊》第九卷第四期.

接下來由sx=b+CHc-BH=(c+BH)(b+CH)(c+BH)(c-BH)=(c+BH)(b+CH)h2，再結(jié)合上述（**）式，可得yzr2=(c+BH)(b+CH)h2=sx，推得yzr2=sx，即xyz=sr2，進而推得，(s-a)(s-b)(s-c)=sr2，兩邊同乘s，得s(s-a)(s-b)(s-c)=s2r2，故S△=sr=s(s-a)(s-b)(s-c)，公式得證.

4 《八線備旨》中海倫公式的證明

ァ棟訟弒鋼肌肥侵泄清末被教會學校廣泛采用的數(shù)學教科書之一.《八線備旨》是一部三角學教材，為美國人羅密士 (E. Loomis) 原著，美國傳教士潘慎文 (A. P. Parker) 選譯，1893年出版. 《八線備旨》共分四卷，內(nèi)容分別為“平三角形”、“量法”、“測地”與“弧三角形”. 卷一“平三角形”的內(nèi)容與現(xiàn)今高中教材中的三角函數(shù)的理論部分頗為類似；卷二“量法”主要涉及面積與體積的計算；卷三“測地”顧名思義即為三角函數(shù)在測量上的應用；卷四“弧三角形”為球面三角及其在航海上的應用. 海倫公式被編排在卷二的第二題，它是有關各種三角形的面積公式之證明.

5 用余弦定理證明

6 結(jié)語

ゴ親PM的角度來看，海倫公式可帶給我們很多教學上的啟發(fā)和反思. 首先，給出海倫公式的各種證法，并非是為了給出一個高低差異的評價，而是為了豐富自身的教學內(nèi)容知識，這也是數(shù)學史融入數(shù)學教學 (HPM) 重要的功能之一. 試想若非在數(shù)學歷史文本中找到這些不同版本的證法，或許至今我們?nèi)灾恢篮惣儙缀涡问降淖C法，或是多數(shù)課本采用的代數(shù)化的余弦定理證法. 通過分析各個版本證法的特色，可以讓教師在教學方法上有所比較，也才能取長補短. 例如，通過分析幾何形式與代數(shù)形式的證法之不同，可以發(fā)現(xiàn)他們各自對于圖形的依賴程度也不相同. 當然，在分析海倫公式各個證法的特色時，也不能忽視它們本身存在的局限性. 當我們試圖理解某個版本的證法時，就好比與這位數(shù)學家進行對話，從而產(chǎn)生自我的“歷史詮釋”. 此時，我們必須注意數(shù)學知識“斷代”的面向，必須認識到數(shù)學家所身處的環(huán)境，以及他本身所擁有的認知特性.

其次，學生最為熟悉的海倫公式證法非余弦定理莫屬，它是純粹的代數(shù)運算，而歷史上的證明方法大多都是幾何證法，這對習慣代數(shù)運算與解析幾何的學生來說，學習起來有一定的難度. 但海倫公式所處理的是幾何圖形面積的計算，余弦定理的證法則是充份展現(xiàn)了符號代數(shù)的威力，其間所隱含之幾何與代數(shù)表征的連結(jié)，恰好是可以在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生數(shù)學表征連結(jié)能力的極好范例. 學生由此也可以知道，引入三角學的余弦定律，究竟替代了多少綜合幾何里的命題、方法與技巧.

再次，歷史上的海倫公式證法還使我們認識到該如何呈現(xiàn)定理及其證明，以便可以兼顧到各個面向. 在教學中若以歷史文本為師，適時引入古人原始的想法，擷取前人的智慧，乃至于前人所犯的錯誤，相信對于數(shù)學思想的發(fā)展與學生的學習過程能有更貼近的牟合，也能讓學生對數(shù)學有更全面的觀照. HPM所追求的目標之一正是讓學生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學習的樂趣. 因此，數(shù)學文本中的任何地方，可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發(fā)掘才可能使我們滿載而歸.

最后，我們知道海倫公式又被稱為海倫——秦九韶公式，這是因為秦九韶獨立給出了與海倫公式等價的“三斜求積術”. 通過海倫公式的中西比較可知，希臘人運用平面幾何知識證明海倫公式，而秦九韶只給出公式并代入求解具體問題. 可見數(shù)學問題的展現(xiàn)離不開社會文化的歷史脈絡，也與民族特性相關. 中國的數(shù)學與古希臘數(shù)學演繹的邏輯推理不同，因為中算家不拘一格地采用各種形式的推理方法，使中國數(shù)學成為一種從實際問題出發(fā)，經(jīng)過分析提高而概括出一般原則和方法，以求最終解決一大類問題的體系. 針對一個已知三角形三邊長求其面積的問題，由于解題形式的不同，讓我們看到了在數(shù)學知識呈現(xiàn)的背后蘊藏了深刻的文化意涵，這又豈是純粹背誦海倫公式所能體會出的呢？

げ慰嘉南

ぃ1］ John Fauvel. Maanen J.Van. History in the Mathematics Education［M］. Dordrecht: Kluwer Acadejic Publishers, 2000.

ぃ2］ 沈康身.歷史數(shù)學名題賞析［M］.上海：上海教育出版社，2002.

ぃ3］ 海倫公式專輯.臺北HPM通訊［J］.2006,9(4).プ髡嘸蚪椋毫醭，山東膠州人，1982年9月生，講師，研究方向為數(shù)學教育，數(shù)學史.И