杭秉全

南京市2008年初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)第27題，在考查“圓與直線位置關(guān)系”上又有了新的探索與嘗試．筆者有幸參與此題閱卷工作，有機(jī)會(huì)對(duì)本題做了較多的思考，對(duì)學(xué)生解答中出現(xiàn)的多種解法與典型錯(cuò)誤有較多的了解，從而引發(fā)了對(duì)平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)工作的回顧與反思，有了一些認(rèn)識(shí)，現(xiàn)撰寫成文，與同仁們交流．

圖1試題：如圖1，已知⊙O的半徑為6cm，射線PM經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，OP=10cm，射線PN與⊙O相切于點(diǎn)Q． A，B兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，點(diǎn)A以5cm／s的速度沿射線PM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以4cm／s的速度沿射線PN方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s．

ィ1）求PQ的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，直線AB與⊙O相切？

1 考點(diǎn)與背景

1．1 試題考點(diǎn)

本題是運(yùn)動(dòng)變化型問(wèn)題，綜合性很強(qiáng)．

（1）知識(shí)考查：直線與圓相切的性質(zhì)與判定方法；勾股定理；三角形相似的性質(zhì)與判定方法．

（2）技能考查：實(shí)數(shù)運(yùn)算及解方程．

（3）數(shù)學(xué)思想方法考查：方程的思想、分類的思想、數(shù)形結(jié)合的思想以及運(yùn)動(dòng)變化的觀念．

1．2 試題背景

1．2．1 試題的教學(xué)背景

直線與圓的位置關(guān)系是“圓”中的重要內(nèi)容，其中直線與圓相切又是直線與圓的三種位置關(guān)系中最重要的，平時(shí)教學(xué)在這部分內(nèi)容上投入了很多的時(shí)間與精力．

本市初中學(xué)生使用的蘇科版教材在直線與圓的位置關(guān)系這塊內(nèi)容的引入的設(shè)計(jì)是：欣賞《海上日出》圖片，品味巴金描述日出的動(dòng)態(tài)過(guò)程的文字；在紙上畫一個(gè)圓，上下移動(dòng)直尺，在移動(dòng)過(guò)程中觀察、感受直線與圓的位置關(guān)系的變化，進(jìn)而描述這種變化．可以說(shuō)，學(xué)生對(duì)“圓與直線位置關(guān)系”的學(xué)習(xí)，開始于對(duì)“圓與直線位置關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化”的欣賞、操作與思考．今年對(duì)“圓與直線位置關(guān)系”的考查，放在一個(gè)“運(yùn)動(dòng)變化”的情境中，真可謂：“學(xué)”始于“動(dòng)”，“考”置于“動(dòng)”，這樣的設(shè)計(jì)起到了“考”與“學(xué)”的和諧統(tǒng)一．

1．2．2 試題的命制背景

南京近幾年在圖形運(yùn)動(dòng)變化中考查“直線與圓位置關(guān)系”做了很多的思考與實(shí)踐，形成了自己的考查特色與考查研究系列．

（1）回顧、分析南京近幾年的相關(guān)考題的設(shè)計(jì)

題1 如圖2，形如量角器的半圓O的直徑DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D、E始終在直線BC上．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (s)，當(dāng)t=0 (s)時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC=8cm．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切？

（2）當(dāng)△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切時(shí)，如果半圓O與直線DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求重疊部分的面積．(南京市2005年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試試題)

ね2

題2 已知矩形紙片ABCD，AB＝2，AD＝1．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合．

（1）如果折痕FG分別與AD、AB交于點(diǎn)F、G（如圖3），AF=23，求DE的長(zhǎng)；

（2）如果折痕FG分別與CD、AB交于點(diǎn)F、G（如圖4），△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長(zhǎng)．(南京市2006年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試試題)

ね3圖4

ネ5

題3 如圖5，A是半徑為12cm的⊙O上的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2πcm/s的速度沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P回到A時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng)．

ィ1）如果∠POA＝90°，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（2）如果點(diǎn)B是OA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB＝OA，那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s時(shí)，判斷直線BP與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(南京市2007年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試試題)

プ酃勱幾年南京的考題，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)“直線與圓位置關(guān)系”的考查都設(shè)置在一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的情境中，但每年運(yùn)動(dòng)變化的類型不同．2005、2006年的試題背景中，圓動(dòng)線不動(dòng)；2007年的試題背景中，線動(dòng)圓不動(dòng)．再具體來(lái)看，2005年試題背景中，運(yùn)動(dòng)的半圓O位置變化，但大小不變；2006年試題背景中，由于折痕位置的變化，△AED的外接圓的位置與大小都在改變；2007年試題背景中，設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P和定點(diǎn)B的直線BP的運(yùn)動(dòng)變化方式是繞定點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)．此外，這些題設(shè)置的問(wèn)題考查內(nèi)容與形式也不盡相同，2005年試題是探究運(yùn)動(dòng)的半圓O所在的圓與△ABC的邊所在直線形成相切的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；2006年試題是用直線與圓相切定位，考查相關(guān)的推理與計(jì)算；2007年試題考查學(xué)生利用“經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來(lái)進(jìn)行直線與圓相切的說(shuō)理．

（2）縱向?qū)Ρ确治?008年的試題的設(shè)計(jì)

縱向?qū)Ρ惹皫啄暝囶}的設(shè)計(jì)，不難看出2008年試題的設(shè)計(jì)延續(xù)了前幾年的思考與實(shí)踐，同時(shí)又有了一些新的思考與變化．在運(yùn)動(dòng)變化情境的設(shè)計(jì)上延續(xù)了2007年的“線動(dòng)圓不動(dòng)”，變化在于：由“單動(dòng)點(diǎn)”變?yōu)椤半p動(dòng)點(diǎn)”；因?yàn)辄c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的線的運(yùn)動(dòng)方式由“旋轉(zhuǎn)”變?yōu)椤捌揭啤保畬⑦@種運(yùn)動(dòng)情境的設(shè)計(jì)與前幾年的綜合起來(lái)分析，不難發(fā)現(xiàn)南京在“圓與直線”運(yùn)動(dòng)情境的設(shè)計(jì)方面形成了自己獨(dú)特的認(rèn)識(shí)，走出了一條自己的路子，并逐漸形成了系列，若按這條思路進(jìn)一步探索、思考下去，還可以不斷開發(fā)出新的運(yùn)動(dòng)情境，如：線動(dòng)圓也動(dòng)，等等．在考查內(nèi)容與形式上也有一些變化，2007年考查的是“通過(guò)位置關(guān)系，確定直線與圓相切”，今年考查的是“通過(guò)數(shù)量關(guān)系，確定直線與圓相切”，且設(shè)計(jì)的兩小問(wèn)綜合考查了“直線與圓相切的性質(zhì)與判定”．

由此可見，2008年南京中考數(shù)學(xué)第27題的設(shè)計(jì)有它的命制背景，它是近幾年來(lái)南京在這類問(wèn)題上思考與實(shí)踐的延續(xù)和發(fā)展．

2 多種解法與典型錯(cuò)誤

2．1 試題多種解法

ピ木碇蟹⑾盅生在解答時(shí)用到了多種解法，現(xiàn)給出幾種，其中解法1是閱卷時(shí)提供的參考答案．

解法1 （1）連結(jié)OQ．

因?yàn)镻N與⊙O相切于點(diǎn)Q，所以O(shè)Q⊥PN，即∠OQP＝90°．因?yàn)镺P=10，OQ=6，所以PQ=102-62=8(cm)．

（2）過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C．

因?yàn)辄c(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)速度為5cm／s，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)速度為4cm／s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，所以PA=5t，PB=4t．

因?yàn)镻O=10，PQ=8，所以PAPO=PBPQ ．

因?yàn)椤螾=∠P，所以△PAB∽△POQ．

所以∠PBA=∠PQO = 90°，

因?yàn)椤螧QO=∠CBQ=∠OCB=90°，所以四邊形OCBQ為矩形．所以BQ = OC．

因?yàn)椤袿的半徑為6，所以BQ=OC=6時(shí)，直線AB與⊙O相切．

① 當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖6所示的位置．

BQ=PQ-PB=8-4 t．

由BQ=6，得8-4 t＝6．

解得t=0.5（s）．ネ6圖7

② 當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖7所示的位置．

BQ=PB-PQ=4 t-8．

由BQ=6，得4 t-8=6．

解得t=3.5（s）．

所以，當(dāng)t 為 0.5s或3.5s時(shí)直線AB與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng) 運(yùn)動(dòng)變化的直線與圓的位置關(guān)系如何，取決于圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系．設(shè)法用運(yùn)動(dòng)時(shí)間t來(lái)表示圓心到直線的距離，這樣就可以把位置關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量分析的問(wèn)題，那么問(wèn)題就可迎刃而解了．

解法2 （1）（同解法1．）

（2）（同解法1，得出∠PBA=∠PQO=90°．）

所以AB=AP2-BP2=(5t)2-(4t)2=3t．

① 當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖6所示的位置與⊙O相切時(shí)，OA＝PO－PA＝10－5t，OC＝6．

因?yàn)椤螾AB=∠OAC ，∠PBA=∠OCA，所以△PAB∽△OAC．所以PAOA=PBOC，即5t10-5t=4t6．

解得t1=0（不合題意，舍去），t2＝0.5．

② 當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖7所示的位置與⊙O相切時(shí)，OA=PA-PO=5t-10，OC=6．

因?yàn)椤螾BA=∠PQO=90°，∠PAB=∠OAC，所以△PAB∽△OAC．

所以PAOA=PBOC，即5t5t-10=4t6．

解得t3=0（不合題意，舍去），t4＝3.5．

所以，當(dāng)t 為 0.5s或3.5s時(shí)直線AB與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng) 正確分析直線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，畫出其與圓相切的圖形，利用動(dòng)靜結(jié)合的思路，分析直線與圓相切時(shí)，能出現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系，也可找到一條解決問(wèn)題的思路．

解法3 （1）（同解法1．）

（2）（同解法1，得出∠PBA=∠PQO= 90°．）

所以AB=AP2-BP2=(5t)2-(4t)2=3t．

當(dāng)AB與⊙O相切時(shí)，

因?yàn)锽Q、BC是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為Q、C．

所以BC＝BQ．

在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理，得AC2+OC2=OA2．

① 當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖6所示的位置與⊙O相切時(shí)，

OA=PO-PA=10-5t，

BC=BQ=PQ-PB=8-4t，

AC=BC-BA=8-4t-3t=8-7t．

則(8-7t)2+62=(10-5t)2．

解得t1=0（不合題意，舍去），t2＝0.5．

② 當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖7所示的位置與⊙O相切時(shí)，

OA=PA-PO=5t-10，

BC=BQ=PB-PQ=4t-8，

AC=BA-BC=3t-(4t-8)=8-t．

則(8-t)2+62=(5t-10)2．

解得t3=0（不合題意，舍去），t4＝3.5．

所以，當(dāng)t 為 0.5 s或3.5 s時(shí)直線AB與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直，就會(huì)出現(xiàn)直角三角形，若此直角三角形的邊與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t有關(guān)，即可利用“勾股定理”建立關(guān)于“t”的方程，這樣就可以得出結(jié)果了．

ビ繕鮮齦髦紙夥ㄗ鬩鑰闖齟頌飪疾櫚淖酆閑院徒夥ǖ姆岣恍裕綜觀這些解法可以看出，經(jīng)過(guò)推理得到△PAB∽△POQ，推出∠PBA=90°，接下來(lái)設(shè)法建立運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的方程，從而求出結(jié)果是解答第（2）小題的思路主線．其中建立運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的方程的相等關(guān)系有三種：① d=r；② 勾股定理；③ 相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．

2．2 學(xué)生典型錯(cuò)誤

本題是全卷重點(diǎn)把關(guān)題之一，具有很好的區(qū)分度和很強(qiáng)的綜合性，在閱卷中發(fā)現(xiàn)學(xué)生答題出現(xiàn)了很多問(wèn)題，主要有下列幾種：

2．2．1 思路出偏差

在解答第（1）小題中出現(xiàn)：點(diǎn)A從點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O需10÷5＝2秒，那么點(diǎn)B從點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q也需2秒，所以PQ＝4×2=8（cm），但沒(méi)有說(shuō)明點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O的同時(shí)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q的原因．

圖8在解答第（2）小題中出現(xiàn)：沒(méi)能由條件正確分析出移動(dòng)的直線AB與⊙O相切的2種位置情況，漏掉1種情況，或畫出了一些錯(cuò)誤或不可能出現(xiàn)的相切情形，學(xué)生畫切線的錯(cuò)誤有4種，如圖8中的l1，l2，l3，l4，其中l(wèi)1和l2不與⊙O相切，l3和l4雖與⊙O相切，但不是AB運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能出現(xiàn)的位置．

2．2．2 知識(shí)有缺陷

在解答第（1）小題中出現(xiàn)：①輔助線做法寫為作OQ⊥PQ．不清楚Q是切點(diǎn)，是個(gè)已知點(diǎn)，它不是通過(guò)畫圖得到的點(diǎn)；② 計(jì)算時(shí)出現(xiàn)PQ=102-62=±8，PQ=102-62=64=8的錯(cuò)誤，說(shuō)明將算術(shù)平方根的概念與平方根的概念混淆．

在解答第（2）小題中出現(xiàn)：① 解題過(guò)程中，缺少“說(shuō)明△PAB∽△POQ，從而得出∠PBA＝∠PQO＝90°”這一重要步驟，沒(méi)有經(jīng)過(guò)推理，直接寫出AB⊥PN；② 只寫出一組對(duì)頂角相等，就得出△PAB∽△OAC．

2．2．3 格式不規(guī)范

在解答第（1）小題中出現(xiàn)：① 由“PN與⊙O相切”直接得出“PQ=102-62=8（cm）” ，缺少中間的推理過(guò)程；② 不寫條件“PN與⊙O相切”，直接得出“∠OQP=90°”．

在解答第（2）小題中出現(xiàn)：① 在說(shuō)明△PAB∽△POQ時(shí)，雖列出了“PAPO=5t10，PAPO=4t8”或“5t10=4t8”，但沒(méi)有寫出相似的重要條件“PAPO=PBPQ”；② 在說(shuō)明△PAB∽△POQ時(shí)，漏寫條件∠P=∠P；③ 在推出△PAB∽△POQ后，直接得出“AB∥OQ”，缺少中間的推理過(guò)程；④ 說(shuō)明“PAPO=PBPQ”后，直接得出“AB⊥PN ”，缺少中間的推理過(guò)程．

2．2．4 計(jì)算不過(guò)關(guān)

在解答第（1）小題中出現(xiàn)：PQ=102-62=136，PQ=102-62=10-6=4．

ピ誚獯鸕冢2）小題中出現(xiàn)：已正確列出關(guān)于t的方程，但解方程出錯(cuò)．

3 反思與認(rèn)識(shí)

本題背景設(shè)計(jì)新穎，解法多樣，但學(xué)生的答題出現(xiàn)了很多問(wèn)題，反思學(xué)生答題中的錯(cuò)誤與我們平時(shí)的教學(xué)有以下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

3.1 夯實(shí)基礎(chǔ)教學(xué)

“基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)技能”既是學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)性目標(biāo)，又是落實(shí)“數(shù)學(xué)思考”、“問(wèn)題解決”、“情感態(tài)度”目標(biāo)的載體．學(xué)生在答題中出現(xiàn)的“知識(shí)有缺陷”、“格式不規(guī)范”、“計(jì)算不過(guò)關(guān)”都是基礎(chǔ)不扎實(shí)、訓(xùn)練不到位的表現(xiàn)．在新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，夯實(shí)基礎(chǔ)仍然十分重要．我們的教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)；基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理．初三總復(fù)習(xí)時(shí)，綜合題的題海戰(zhàn)術(shù)不僅不能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)成績(jī)，反而會(huì)使學(xué)生精疲力盡，喪失對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣甚至是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心．惟有扎實(shí)的基礎(chǔ)，才能確保綜合能力有進(jìn)一步的提升的基礎(chǔ)．所以在平時(shí)的教學(xué)中，包括初三的總復(fù)習(xí)時(shí)的教學(xué)中，都要重視基礎(chǔ)、夯實(shí)基礎(chǔ)教學(xué)．

3.2 加強(qiáng)推理教學(xué)

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式．推理的意識(shí)和能力對(duì)于一個(gè)人來(lái)說(shuō)是非常重要的，推理能力是義務(wù)教育階段學(xué)生需要獲得的重要能力之一，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心目標(biāo)之一．《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出推理能力主要表現(xiàn)在：能通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過(guò)程，做到言之有理、落筆有據(jù)；在與他人交流的過(guò)程中，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑．學(xué)生答題中，出現(xiàn)的“格式不規(guī)范”是不能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考的表現(xiàn)；“漏寫必要的解題步驟”是不能做到言之有理、落筆有據(jù)的反映．推理不僅存在于“空間與圖形”中，同樣也存在于“數(shù)與代數(shù)”、“概率與統(tǒng)計(jì)”中，推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，在平時(shí)的教學(xué)中，要把推理能力的培養(yǎng)落到實(shí)處，多渠道、多方面地加強(qiáng)推理能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)．

3.3 重視思想方法滲透

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括．學(xué)生在解答第（2）小題時(shí)，出現(xiàn)“漏解、錯(cuò)解”是因?yàn)闆](méi)能正確分析、合理想象、把握直線AB運(yùn)動(dòng)變化全過(guò)程,缺乏空間觀念和分類討論的思想；“找不到思路”是不能用數(shù)形結(jié)合的思想，挖據(jù)直線與圓相切時(shí)，應(yīng)具備的數(shù)量關(guān)系（d=R），或是不能用數(shù)形結(jié)合的思想分析出直線與圓相切時(shí)，圖形中出現(xiàn)的相等關(guān)系（如：出現(xiàn)直角三角形，其三邊滿足a2+b2=c2；出現(xiàn)相似三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊成比例）.由此可見，在我們平時(shí)的教學(xué)中，要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，和“空間觀念”的培養(yǎng)；要合理創(chuàng)設(shè)情境、引導(dǎo)學(xué)生自主探索，為他們提供感悟這些思想的機(jī)會(huì)；要鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)過(guò)程，獨(dú)立思考、合作交流、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步感悟這些思想．這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)意識(shí)才能得到根本的提高．

プ髡嘸蚪椋漢急全， 1974年11月生，江蘇南京人，中教一級(jí). 主要研究數(shù)學(xué)中考、有效教學(xué)（有效教學(xué)設(shè)計(jì)、有效教學(xué)評(píng)價(jià)）．2000年獲南京市優(yōu)秀青年教師稱號(hào)；2002年參加江蘇省初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課評(píng)比獲一等獎(jiǎng)；2004年獲南京市學(xué)科教學(xué)帶頭人稱號(hào)，有10余篇論文、案例在市級(jí)或市級(jí)以上評(píng)比中獲獎(jiǎng)或發(fā)表．