黃愛華 胡愛民

《論語·為政》說：“視其所以，觀其所由，察其所安。人焉庾哉？人焉庾哉？”意思是說：首先觀察一個人因何去做一件事，然后觀察他如何去做這件事，再觀察他做此事時的心情如何，安或不安。如此觀察，一個人是好是壞還能向何處去藏匿呢？！它的本意是告訴人們?nèi)绾稳ヨb別一個人的好壞，考察的是一個人的道德修養(yǎng)。

但是，我們認(rèn)真思考一下就會發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生通過動手實踐、自主探索解決問題的策略，又何嘗不是同樣的道理呢？

視其所以——怎么樣

托蘭斯指出，要在承認(rèn)兒童具有可開發(fā)的巨大創(chuàng)造潛能的基礎(chǔ)上，為其提供新的機會，讓兒童能夠獨立地進行創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)或從事其他活動，減少不必要的規(guī)定，培養(yǎng)、增強兒童的自信心。因此，教師要信任學(xué)生，充分發(fā)揮學(xué)生主體積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中去探索、爭論和發(fā)明創(chuàng)造，從而真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

案例：“循環(huán)小數(shù)”教學(xué)片段

師：（指板演題3……”中不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪一個？（3）。在“5.3272……”中依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪幾個？（2、7）。在“6.416416……中不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪幾個？（4、1、6）。

師：我們能不能想一個辦法，讓循環(huán)小數(shù)的寫法簡單一些，比如，去掉省略號，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字也只寫一次，卻依然能讓人看出這個循環(huán)小數(shù)的意思？

生1：我想了一個辦法，3……寫作3.（3）；5.327……寫作5.3（27）；6.416416……寫作6.（416）。

生2：我的辦法是這樣的，3.33……寫作3.3；5.32727……寫作5.327；6.416416……寫作6.416。

生3：我的辦法是這樣的，3……寫作3.（無限）；5.32727……寫作5.3（無限）；6.41641……寫作6.416（無限）。

生4：我的辦法是這樣的，3.33……寫作3.3（3無限）；5.32727……寫作5.327（27無限）；6.41646……寫作6.416（416無限）。

生5：我的辦法是這樣的，3.33……寫作3.3；5.32727……寫作5.3；6.41646……寫作6.416。

師：你認(rèn)為哪種符號比較好？

生1：不要有漢字比較好。

生2：第五種辦法比較好，簡潔明了。

生3：我認(rèn)為6.416，只要在循環(huán)節(jié)的第一個數(shù)字和最后一個數(shù)字上點點就可以了。

在本案例中，教師沒有采用自學(xué)課本這種形式，同時也不急于把簡便寫法告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生自己想辦法去創(chuàng)造符號，使學(xué)生在想辦法的過程中體會到數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的需要，體會到數(shù)學(xué)知識中符號是一種約定俗成，體會到符號不再那么神秘，而當(dāng)有些學(xué)生的思路接近數(shù)學(xué)上的約定俗成時，體會到的是一種學(xué)習(xí)成功的滿足。在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生對所創(chuàng)造的符號進行討論，進一步體會數(shù)學(xué)符號簡潔明了的特點。

學(xué)生只有自發(fā)地、具體地參與各種實際活動，大膽地提出自己的假設(shè)，并經(jīng)過驗證，才能獲得真正的知識，才能發(fā)展思維。在這里，學(xué)生經(jīng)歷了“遇到問題——尋找、發(fā)現(xiàn)問題特征——表征問題”的一個學(xué)習(xí)過程。學(xué)生需要思考：循環(huán)小數(shù)怎樣寫更簡單一些呢？帶著這個問題，學(xué)生去觀察、思考循環(huán)小數(shù)的特征，在發(fā)現(xiàn)這種特征之后，學(xué)生按照自己的喜好去表示循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。像這樣把理解的特征外化出來，就必須注重問題的表征，只有將問題整體外化，才能有效地把握住問題本質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，學(xué)生的思維才不是虛無縹緲的，而是具體、真實的。

觀其所由——為什么這樣

我們知道人們認(rèn)識客觀世界的過程是一個螺旋式的上升過程，它從原有經(jīng)驗出發(fā)，在低水平支撐下建立，通過認(rèn)識一實踐再認(rèn)識一再實踐逐步建構(gòu)其自身對外部世界的認(rèn)知，并在認(rèn)識過程中逐漸內(nèi)化為自己的心智。正是基于這種認(rèn)識，課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。

但是，并不是所有的認(rèn)識過程都是階梯式發(fā)展的，也可能是跳躍式的，因為有很多東西在人們的經(jīng)驗中早就有了，關(guān)鍵是如何在一定的問題情境中使新知與經(jīng)驗獲得聯(lián)系，一旦聯(lián)系成功，新知的獲得便水到渠成。

案例：“比較數(shù)的大小”教學(xué)片段

●第一次抽簽，從個位抽起。

游戲規(guī)則：

（1）每次兩隊各派一個代表抽簽；

（2）第一次抽到的數(shù)字放在個位上，第二次抽到的放在十位上，第三……

（3）哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，那一隊就贏；

（4）能確定勝負(fù)時，本輪比賽結(jié)束。

●第二次抽簽，從千位抽起。

游戲規(guī)則：

（1）每次兩隊各派一個代表抽簽；

（2）第一次抽到的數(shù)字放在千位上，第二次抽到的放在百位上，第三次……

（3）哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大、那一隊就贏；

（4）能確定勝負(fù)時，本輪比賽結(jié)束。

（黃河隊抽到8，長江隊抽到5。把8與5的卡片分別貼到千位上。）

師：讓我們接著抽。

生：不用抽了。黃河隊贏了，因為8個千比5個千大。

師：假如長江隊百位上抽個9，黃河隊百位上抽個6，能贏回來嗎？

生：不能，因為百位就是抽到9，也只代表900，都不夠1000，而剛才黃河隊比長江隊多3000。

游戲的基礎(chǔ)其實就是10以內(nèi)數(shù)的大小比較和位值制的認(rèn)識。在相同數(shù)位上，不同的數(shù)大小不同。即使是十位、百位、千位，也可以看作幾個十，幾個百，幾個……從而轉(zhuǎn)化為10以內(nèi)的數(shù)比較大小——這是基點。

“不用抽了”一為什么呢？把8與5的卡片分別貼到千位上，8個千比5個千大。第二輪游戲的巧妙之處就在于“一戰(zhàn)定乾坤”一千位上，不同的數(shù)大小不同，由于首先就將抽到的數(shù)字放在最高位，這就導(dǎo)致了初戰(zhàn)即決戰(zhàn)一最高位的數(shù)字大小直接決定了兩個數(shù)的大小。這里的“為什么”就促使學(xué)生自己在活動中意識到：兩個數(shù)大小的比較，先看最高位一這是發(fā)展。

●第三次抽簽，由抽簽者自己決定放在哪一位上。游戲規(guī)則：

（1）每次兩隊各派一個代表抽簽；

（2）每一次抽到的數(shù)字由抽簽者自己決定放在哪一位上；

（3）哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，那一隊就贏；

（4）能確定勝負(fù)時，本輪比賽結(jié)束。

（黃河隊抽到3，學(xué)生把3放到個位上，長江隊抽到7，學(xué)生把7放到百位上。）

師：請你們說說，為什么這樣放？

生1：我抽到的3太小了，放在個位比較好，讓出高位，給大數(shù)字。

生2：我抽的7比較大，本來想放到千位，但要是等一下我們組還有人手氣比我好，抽到8或9，放在千位更好，所以放在百位。

師：要是等下抽到的數(shù)都比8小，怎么辦？生2：那也沒辦法，博一博唄！

生3：也不一定輸，還得看第三組抽到什么數(shù)。第三輪游戲的關(guān)鍵在于對位值制的深刻理解及對數(shù)感的直覺把握。在相同數(shù)位上，不同的數(shù)大小不同；在不同的數(shù)位上，即使相同的數(shù)大小也不同一這是數(shù)的大小比較的基礎(chǔ)。

抽到的數(shù)字放在哪位呢？放在低位，如果后面抽到的數(shù)字更小怎么辦？放在高位，后面如果抽到更大的數(shù)字豈不是讓自己立于失敗之地？一這里需要數(shù)感的直覺把握。

案例中，學(xué)生將抽到的3放在個位，而另一個學(xué)生則將抽到的7放在百位，為什么這么做呢？抽到的3太小了，放在個位比較好，讓出高位，給大數(shù)字。抽的7比較大，本來想放到千位，但要是等一下抽到8或9，放在千位更好，所以放在百位。

每抽出一個數(shù)位，上的數(shù)，都會引起孩子們的關(guān)注和思考，抓住這種時機及時讓他們討論：為什么放在這里呢？為什么還要繼續(xù)往下抽呢？為什么不需要抽了呢？現(xiàn)在可以確定勝負(fù)了嗎？為什么？

每一個“為什么”都在促使學(xué)生在操作中加深

對數(shù)位、計數(shù)單位、十進制的認(rèn)識，自我完善數(shù)的相對大小的認(rèn)識，在不斷的比較中優(yōu)化、強化對數(shù)的理解，培養(yǎng)數(shù)感，從而把比較數(shù)的大小法則背后的道理，由學(xué)生自己分析出來，抽象的法則，變成了學(xué)生內(nèi)化的知識。

這也提醒我們，教學(xué)不能只是傳授一種知識，不應(yīng)只是注重數(shù)學(xué)形式層面的東西，而更加應(yīng)該重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)層面的教學(xué)，即讓學(xué)生去經(jīng)歷解決問題的過程，去經(jīng)歷理解、感受數(shù)學(xué)思想和觀念、過程與方法的過程。在這個過程中，一些概念和認(rèn)識是在學(xué)生操作取得豐富的表象基礎(chǔ)上，自己對表象進行抽象概括而形成的。教師的作用只是提供問題情境，適時畫龍點睛。

寮其所安——他喜歡怎么做

數(shù)學(xué)家喜歡或者希望把什么都?xì)w結(jié)為數(shù)學(xué)關(guān)系，總是思考著：在表象千絲萬縷的背后有著什么聯(lián)系，可以用一個什么數(shù)量關(guān)系式表達(dá)。笛卡兒正是出于想把任何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解的想法才發(fā)明了解析幾何。這也反映了人們認(rèn)識事物從具體到抽象、從特殊到一般的辯證的認(rèn)識過程。

這種對現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化的行為就是一種數(shù)學(xué)式的思維，這種數(shù)學(xué)思維是受到數(shù)學(xué)化觀念思想的影響的。我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)化思想、觀念、方法的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化成可以處理的但又對原來的問題有用的數(shù)學(xué)問題，尋找解決問題的數(shù)學(xué)方法，有時還須對問題做出解釋和討論。如何使學(xué)生獲得這種能力不是很簡單的，它比使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識更難。

案例：“找規(guī)律"教學(xué)片段

教師先讓學(xué)生聽一段有規(guī)律的鼓點音頻節(jié)奏，讓學(xué)生思考：

（1）找一找，它的規(guī)律是什么？

（2）想出一種自己喜歡的方法把這個規(guī)律表示出來，讓別人一眼就能看明白。

（3）在你的表示方法中，照這個規(guī)律排列下去，它的第16個是什么？

這時學(xué)生的創(chuàng)造力得到了充分的發(fā)揮和展示，他們或左右或前后，交頭接耳，嘀嘀咕……不一會兒，呈現(xiàn)出來的方法五彩繽紛：

有學(xué)生表示為：abcabc……第十六個為“a"。有學(xué)生表示為：123113……第十六個為“1”。有學(xué)生表示為：△□○△□○……第十六個為“△”。

有學(xué)生表示為：強弱弱強弱弱……第十六個為“強”。

有學(xué)生表示為：xx……第十六個為"X"。

這樣通過符號化的處理，不便于直觀把握的有規(guī)律排列，由于學(xué)生用自己喜歡的方法畫了出來，便得以形象地顯現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生可以對照圖示十分清楚地意識到自己所面臨的問題，并尋找適合自己的解決策略。

教師接著問：“除了剛才同學(xué)們用到的這些方法外，你還有什么方法可以很快得出第十六個是什么呢？”這時很多學(xué)生高舉雙手，叫道“我知道，我知道。16÷3=5……1”

在經(jīng)過了前面自主探索用自己喜歡的方法表示有規(guī)律排列的過程后，在強烈的表象刺激下，聯(lián)系已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)，學(xué)生十分順利地得出可以用有余數(shù)除法來解決這類問題：要求第多少個是什么，先看它幾個一組，再用總個數(shù)除以每組的個數(shù)；余數(shù)是幾，就是一組的第幾個；沒有余數(shù)就是一組的最后一個。

如同我們強調(diào)算法多樣化與最優(yōu)化的統(tǒng)一樣，在解決問題時，我們除了提倡策略的多樣化之外，同樣要注意策略的最優(yōu)化。

教師問道：“在文字、數(shù)字、字母、圖形、符號這些方法中，你喜歡用什么方法？"

學(xué)生眾口一詞：“計算好，因為簡單。”

教師反問：“那么其他方法一點好處都沒有嗎？”學(xué)生慢慢體會，有人就說了：“文字、圖形那些方法比較清楚方便，一眼就能看清楚；但是麻煩，數(shù)字大了怎么畫呀！"

各種意見進行碰撞，最后形成一致看法：如果數(shù)字小，我們就可以選擇圖形、文字、數(shù)字、字母等方法，比較直觀；如果數(shù)字大了，肯定就用計算的方法比較好。

通過解決“你喜歡什么方法”的問題，促使學(xué)生將不同方法進行類比，明確各種策略的優(yōu)勢和缺點，歸納出解決問題的不同策略，提煉出解決問題策略的最優(yōu)方法，對于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力起到了積極的作用。這個過程其實質(zhì)就是從數(shù)學(xué)角度描述和刻畫事物的方法，這種數(shù)學(xué)化的思想方法對學(xué)生解決問題，把握事物的數(shù)學(xué)側(cè)面有著重要的指導(dǎo)作用。

事實上，無論是“視其所以”，還是“觀其所由，察其所安”，其核心只有一個，便是：以學(xué)生為本，尊重學(xué)生的主體地位。而要使我們的教學(xué)更具有智慧，就不能只是在某一個課例、某一節(jié)課中做到“視其所以，觀其所由，察其所安"；只有在我們所有的教學(xué)活動中去貫徹、執(zhí)行這樣的理念，我們的教學(xué)水平才會日漸提高，我們的教學(xué)智慧才能日益提升。