肖新漢

《人民教育》2001年第1期在“教學平臺”的“聚焦”欄目內發(fā)表了舒華的《設計適合學生的數學教育——質疑三“經典之作”》（以下簡稱《設》）一文，提出了當今數學教育改革必須面對的一個重大課題。筆者研究小學數學教育二十多年，確實感到當今的數學教育有許多不適合學生的地方（當然也包括文中提到的三個“經典之作”）。同時我們也要注意到，是不是為了適合學生，而放棄數學的最基本教育呢？怎樣設計適合學生的數學教育呢？

知識體系不宜隨意改動

近一段時間，隨著《教學大綱（修訂稿）》的出臺和《義務教育國家數學課程標準》的討論。許多專家指出：現(xiàn)行的數學教育過于繁難;有些知識的學習對今后的學習和生活用處不大;有些數學教育脫離了學生的生活實際等。廣大數學教育工作者對這些想法都是表示贊同的，也要求改進當今的數學教育。

但是，有些提法使大家感到茫然。如在整數的四則計算中，“加、減”的運算意義只要求學生從整體與部分的方面去理解，不必要從兩數之間的比較去理解（《設》文中也提到只要計算正確，不必知道為什么）。“乘、除”運算的意義也沒有必要讓學生理解乘數與被乘數的關系和理解除法的兩種分法（《設》文中提到是“人為制造的難點”）。筆者認為，這些知識不直隨意改動。

一、知識體系的編排要注意它的完整性。既然《大綱》已經確定整數的四則運算”是學生必須掌握的基礎知識，按近似代數的觀點，它應該是一個完整的知識體系。特別是對今后學習必備的基礎知識更要注意它的完整性，如對伽、減”意義的理解上，從兩數間的比較去理解更具有廣泛的意義，同時還滲透了“一一對應”的思想。乘法是加法的簡便計算，是什么樣的伽法”簡便運算？是“求相同加數和的”加法的簡便運算，我們規(guī)定：相同的加數作被乘數，相同加數的個數作乘數，充分體現(xiàn)數學的嚴密性，也是數學教育要培養(yǎng)學生的能力之一。除法的兩種分法是客觀存在的事實，它是今后的研究常見三量關系（如時間、速度、距離）的基礎，怎么能隨意改動呢。

二、知識體系的教學應注意它的完美性。筆者認為：我們今天的數學教育整數的四則計算）不是少講一點什么的問題，而是引導學生完整地了解它的知識體系，領悟它的美感不夠的問題。我們?yōu)槭裁床灰龑W生從一個一個疊加的自然數——“0”和“十進制”整數）——用數字和“+、-”符號表示事物整體與部分的關系、表示部分與部分之間的多少關系——用“×、÷”表示事物整體與有規(guī)律（相同數量）的部分之間關系、部分與部分的倍數關系來認識整數的四則計算，通過了解整數四則計算的形成過程，領悟數學是怎樣把復雜的事物用最簡潔語言和符號來表示的“美”（北京馬芯蘭老師就是這樣進行數學教育的）。

而按教材是從數的大小“十以內”、“二十以內”、“萬以內”……來認識整數的四則運算。到四年級才確定“四則”的意義。實際上，學生接觸“+”“-”“×”“÷”的符號時就了解了它的意義，不然怎樣解答整數四則應用題。現(xiàn)今有人說教師把乘法中的被乘數和乘數區(qū)分得太過分了（確實沒有必要），是誰造成的呢？學生從一年級第二學期就接觸乘法，到了四年級才學乘法交換律。這之間讓學生多次學習乘法的計算和應用，教師引導學生學什么？特別是九年義務教育五年制第七冊（P25）“乘法的意義和運算定律”這節(jié)教材的安排，先用五排六行雞蛋講乘法的意義，中間又講因數是1和0的乘法，再講乘法的交換律。為什么不在講了乘法的意義后就講乘法交換律呢？這是順理成章的事情。如果我們從一年級第二學期講乘法的初步認識時，就介紹乘法交換律，教師就不會過分強調乘數和被乘數的區(qū)別。

當《大綱》確定了小學數學知識內容（當然是今后學習生活必須的），就應該按知識體系來進行數學教育，這樣在學生理解和掌握新知的同時，給了學生參與知識形成過程的空間;能提高學生學習數學的興趣;能增強學生的數學意識;培養(yǎng)學生的推理能力，培育學生的創(chuàng)新精神。除此以外，還有一個如何從學生生活實際出發(fā)，引導學生認識知識體系的問題。

舉例也不能隨心所欲

舉例是進行適應學生的數學教育的好方法，僅僅從學生生活實際出發(fā)是不夠的，還應考慮其與知識體系的內在聯(lián)系，是否能反映知識的本質特征?！对O》文中提到的三個“經典之作”，筆者認為應該是“經典問題”。它是學生在學習整數四則計算”中理解的難點，但又是必須理解的問題。其“之作”并沒有解決“經典問題”。為什么？是舉例的問題。在平時的數學教育中，因舉例不當而使教學效率不高的間題還不少。

一、舉例無特征給學生理解造成了障礙。如《設》文中的第一個例子，“求比一個數多幾的應用題”的問題。把兩個區(qū)別不大的物體進行比較，紅花與黃花（教材中還有黃狗與花狗），除顏色有區(qū)別外，其功能和本質是一樣的。再加上前面教材也舉過黃花與紅花一共有多少朵的例子，增加了理解難度。另外，把黃花與紅花進行比較在學生的生活中沒有多大的實際意義，學生學習也不感興趣。如果用杯子與蓋子、鋼筆與筆套做例子，學生就容易理解多了。首先這兩個物體的功能區(qū)別非常明顯，其次這兩個物體有密切的聯(lián)系，學生生活實際中經常遇到。教師一邊放幻燈（或擺實物）一邊講故事：小明家來了5位客人，媽媽給每位客人倒了一杯茶，要小華去拿茶杯蓋。小華慌忙中拿了一堆杯蓋，將客人的茶杯一一蓋上，還剩3個杯蓋。大家想一想，小華拿了幾個杯蓋？學生能很快說出：拿了8個杯蓋。接著，要求學生把上面的故事編成一道應用題：“媽媽拿了5個茶杯，小華拿的杯蓋比茶杯多3個。小華拿了幾個杯蓋？”

幻燈片：

列式計算：5+3=8（個）

說思路：把與5個茶杯同樣多的5個杯蓋加上多的3個杯蓋，就是8個杯蓋。

二、舉例不注意前后聯(lián)系給學生理解增加難度?！对O》文中提到的第二、三個例子實際上是同一問題：如何理解除法的意義。在教學實踐中，這是學生學習的難點，而“之作”中的舉例不僅沒有幫助學生理解難點，還增加了理解的難度。對“平均分”的理解，不是緊緊抓住分得的“同樣多”去理解，而是硬性地把學生引導到“一個一個”地分去理解。學生為什么在以后的除法運算中感到試商困難或者從“1”開始一個一個地試商，問題就是受了這種教法的影響。對除法的兩種分法的理解，顯然是重要的（前面已述）。而“之作”在學生初步了解除法時，用應用題分析比較兩種分法異同，確實不妥，學生的感性認識還沒有確立（原有認知結構沒有發(fā)生變化或正在發(fā)生變化）就抽象地分析異同，增加了理解的難度。如果我們用“盒子裝小棒”的辦法來引導學生理解，學生的感性認識就會比較清晰地確立起來。學生準備若干個小盒子和幾十根小木棒，老師讓學生先拿出6根小棒和3個小盒子，問：把6根小棒放在3個小盒子里，要使每個盒子裝得同樣多，每個盒子應該裝幾個？同樣，用3個小盒子裝9根、12根……師：像這樣每個盒子裝得同樣多就叫“平均分”，用“÷”表示平均分。教師再讓學生拿6根小棒（不要拿小盒子），問：如果每個盒子平均裝2根小棒，需要幾個盒子？學生先2根2根地擺，擺成3堆并回答需要幾個盒子，再拿盒子裝……。前面的演示和后面的演示表示平均分小棒，前面是解決每個盒子平均裝幾根的問題，后面是解決需要幾個盒子的問題，這樣，除法的兩種分法的感性認識學生就建立起來了。

三、舉例過于繁雜把簡單問題復雜化。在教學實踐中，有些舉例是用復雜的事例去理解簡單的問題。如認識平行四邊形，許多教師要求學生做一個活動的長方形框架，對角一拉成平行四邊形，再讓學生量四條邊，說說平行四邊形的特征。學生做一個長方形框架難度很大，四條邊的取材不一樣，木條有寬有窄。量的時候，有的量木條的內線，有的量木條的外線，量不出對邊相等。其實，只要學生準備一張長方形的紙（圖一），沿虛線一裁，再拼成一個四邊形（圖二），說說你拼的四邊形有什么特點，很快就認識了平行四邊形的特征。

此后，再用長方形框架或其他實物介紹平行四邊形的作用。

如何設計適合學生的數學教育，首先要了解數學教育的知識體系，包括它的內涵和外延，知其所以然。其次要了解學生的生活實際和心理發(fā)展規(guī)律以及原有的認知水平。再通過舉例幫助學生理解知識體系。應該注意，舉例一是不要增加障礙，二是不要增加難度，三是不要復雜，四是不要就事論事。決不能因為舉例不恰當造成學生理解知識困難，而放棄要求學生對必須知識的理解，以求得適合學生的數學教育。美國教育家布魯納有一句名言：“任何學科的基礎知識，都可以用某種形式教給任何年齡的任何兒童?！边@個“某種形式”至少應有——你能舉出學生日常生活中的而且與“學科的基礎知識”密切相關的實例。