楊恩孝,許佰雁

（長春光華學(xué)院基礎(chǔ)部,吉林長春130033）

給定一個方陣，可求其特征值和特征向量，且特征值和特征向量具有一些很好的性質(zhì)。但反過來，若已知某方陣的特征值和對應(yīng)的特征向量，如何求出原矩陣呢？這類問題，我們稱之為矩陣反問題[1-3]。主要根據(jù)特征值的某些特點，給出一種反求矩陣的具體方法，并舉例驗證。

1 n階方陣有n個不同的特征值

定理1若n階方陣A有n個互不相同的特征值λ1,λ2,…,λn，與其對應(yīng)的特征向量分別為α1,α2,…,αn，則存在可逆矩陣P，使得方陣

A=PΛP-1，

證明由矩陣特征值的性質(zhì)知，屬于不同特征值的特征向量必?zé)o關(guān)，故 α1,α2,…,αn無關(guān)。令P=(α1,α2,…,αn)，則 P 可逆。又因為 Aαi=λiαi(i=1,2,…,n)，故

即AP=PΛ，其中

例1已知某三階方陣A的特征值分別為λ1=1,λ2=-1,λ3=2 ，對應(yīng)的特征向量為 α1=(1,0,-1)T,α2=(0,0,1)T,α3=(2,1,-2)T，求矩陣A。

解由于特征值互不相同，故矩陣P可逆，則

由上述定理知：

2 n階方陣有多個重特征值

定理2若n階方陣A有m個互不相同的特征值 λ1,λ2,…,λm，其中 λ1為 k1重、λ2為 k2重、…、λm為km重，k1+k2+…+km=n。不同的特征值具有與重數(shù)相同的個數(shù)的特征向量，分別為α1,α2,…,αk1,β1,β2,…,βk2，…，γ1,γ2,…,γkm則

A=PΛP-1，

其中P=(α1,α2,…,αk1,β1,β2,…,βk2,…,γ1,γ2,…,γkm)，

證明同定理1。

例2已知某三階方陣A的特征值分別為λ1=λ2=1,λ3=-2 ，對應(yīng)的特征向量分別為α1=(-2,0,1)T,α2=(0,0,1)T,α3=(-1,1,1)T，求矩陣 A。

解令

由于特征值互不相同，故矩陣P可逆，則

由上述定理知,

3 n階實對稱方陣有多個重特征值

說明：n階實對稱方陣有n個互不相同特征值時的結(jié)論同定理1。

引理1設(shè)n階實對稱矩陣 A的特征值為λ1,λ2，其重數(shù)分別為1，n-1，與 λ1特征值對應(yīng)的特征向量為α1，則

引理2設(shè)n階實對稱矩陣 A的特征值為λ1,λ2，其重數(shù)分別為k，n-k，與λ1特征值對應(yīng)的k個兩兩正交的單位特征向量為α1,α2,…,αk，則

上述引理(見文獻3)只給出了n階實對稱方陣有2個互不相同特征值時的結(jié)論，下面我們給出3個不同特征值的結(jié)論。

定理3設(shè)n階實對稱矩陣 A的特征值為λ1,λ2,λ3，其重數(shù)分別為 k1,k2,k3，與 λ1特征值對應(yīng)的k1個兩兩正交的單位特征向量為α1,α2,…,αk1，與λ2特征值對應(yīng)的k2個兩兩正交的單位特征向量為β1,β2,…,βk2，則

證明不妨設(shè)與λ3特征值對應(yīng)的k3個兩兩正交的單位特征向量為 γ1,γ2,…,γk3，有實對稱矩陣特征向量的性質(zhì)，現(xiàn)在所有的特征向量都是單位正交向量。令

P=(α1,α2,…,αk1,β1,β2,…,βk2,γ1,γ2,…,γk3)，則

所以

例3已知5階實對稱矩陣A的特征值為1,1,2,2,10，對應(yīng)于特征值λ1=1的特征向量為X1=(- 2,1,0,0,0)T,X2=(2 ,0,1,0,0)T，對應(yīng)于特征值λ2=2的特征向量為X3=(0 ,0,0,1,0)T,X4=(0 ,0,0,0,1)T，求實對稱矩陣A。

解由于屬于特征值λ1=1的兩個特征向量無關(guān)，但不正交。故由施密特正交化方法，令X1′=X1=(- 2,1,0,0,0)T，則

令

由定理3，可知

定理3還可以推廣到特征值為3個以上，利用此方法可以解決矩陣的反問題。