摘 要：文章通過分析代數(shù)和幾何例題的解題過程，在大概念視角下，從多元角度分析題意，構(gòu)建概念體系、搭建階梯聯(lián)系概念，形成數(shù)學(xué)表達(dá)和舉一反三拓展訓(xùn)練，積累概念模型對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)進(jìn)行實(shí)踐探究，以此反哺課堂教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會有邏輯地思考，有理由地解題。同時(shí)，文章還反思數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生在解題后及時(shí)糾錯(cuò)，歸納總結(jié)。

關(guān)鍵詞：大概念；解題教學(xué)；邏輯思維鏈

中圖分類號：G633.6"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1673-8918（2025）04-0068-04

一、 問題提出

解題是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式和主要內(nèi)容，因此數(shù)學(xué)教學(xué)與解題教學(xué)密不可分。然而日常解題教學(xué)實(shí)踐中存在不少問題：①機(jī)械模仿解題過程，缺乏條件聯(lián)系；②反復(fù)解決重復(fù)問題，遺忘解題思路；③不會劃分問題類型，深陷題海戰(zhàn)術(shù)。究其原因，學(xué)生忙于復(fù)制解題過程，眼花繚亂；教師忙于展示解題結(jié)果，火急火燎。教師沒有精力教會學(xué)生學(xué)習(xí)解題，學(xué)生沒有時(shí)間回顧整理解題經(jīng)驗(yàn)，因此難以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重構(gòu)。

文章認(rèn)為可將大概念用于數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程，通過例題統(tǒng)攝教學(xué)內(nèi)容，明確核心概念，聯(lián)系解題方法，逐步剖析問題本質(zhì)，理清數(shù)學(xué)思維方法，再變式訓(xùn)練鞏固熟悉，實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)的真正價(jià)值。

二、 大概念視角解題結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)大概念是大概念理念在數(shù)學(xué)學(xué)科中的具體表達(dá)和綜合運(yùn)用，是基于數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)和數(shù)學(xué)核心內(nèi)容提取出來的具有統(tǒng)攝性的表達(dá)，具有以下特征：能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)；能夠賦予學(xué)生參與數(shù)學(xué)探究的能力；支持?jǐn)?shù)學(xué)與其他學(xué)科、學(xué)生生活產(chǎn)生聯(lián)系，可以表述為一個(gè)詞語、一個(gè)短語或者是一個(gè)問題。

大概念視角下數(shù)學(xué)解題教學(xué)的教學(xué)實(shí)踐，從典型例題出發(fā)，明確相關(guān)概念網(wǎng)絡(luò)，分析其所屬問題體系。依據(jù)等價(jià)命題與前后問題拓展構(gòu)成命題鏈，形成解決問題的路徑，其具體流程如圖1所示。

三、 基于大概念視角的解題教學(xué)

無論是代數(shù)解題教學(xué)還是幾何解題教學(xué)，解決問題的過程實(shí)則都是有邏輯地研究一個(gè)問題對象的過程，梳理所涉及的核心概念，遵循數(shù)學(xué)對象的一般研究套路，以聯(lián)系的觀點(diǎn)搭建相關(guān)概念的知識網(wǎng)絡(luò)，形成邏輯思考鏈，最后變式研究揭示問題本質(zhì)，從而挖掘解題教學(xué)背后的育人價(jià)值。

以二次函數(shù)題和圓的綜合大題為例，對基于大概念視角的初中數(shù)學(xué)中的代數(shù)和幾何解題教學(xué)具體展開實(shí)踐探究，兩者在大概念的統(tǒng)領(lǐng)下辯證統(tǒng)一，但也略有區(qū)別。

題1：已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+3（a為常數(shù)，a≠0）

（1）若a＜0，求證：該函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（2）若a=-1，求證：當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，y＞0；

（3）若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)（x1，0），（x2，0），且-1＜x1＜x2＜4，求出a的取值范圍。

題2：如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，AB⊥CD，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，連接AE，CE，分別交OD，OB于點(diǎn)F，G，連接AC，AD，F(xiàn)G。

（1）若∠AFO=60°，求∠CGO的度數(shù)；

（2）求證：AC2=AG·CF；

（3）設(shè)∠AFO=α，△CFG的面積為S1，△AOF的面積為S2，求證：S1S2=tanα-1。

（一）逐點(diǎn)擊破，多元角度分析題意，構(gòu)建概念體系

數(shù)學(xué)概念是大概念視角下解題教學(xué)的核心與起點(diǎn)，而命題則是由各種概念組合而成。在解題教學(xué)中，教師應(yīng)先幫助學(xué)生學(xué)會閱讀條件信息，逐步進(jìn)行條件要素分析，構(gòu)建數(shù)學(xué)概念體系。

從涉及的概念來看，題1涉及二次函數(shù)及其圖像、一元二次方程與不等式等概念，題2涉及圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形及三角函數(shù)等概念。下面將圍繞這些概念明確解題教學(xué)過程中的主要研究對象，以確定各題組問題類型，并展開知識網(wǎng)絡(luò)搭建。首先要著眼于對題目條件信息的獲取，教師先提出一個(gè)統(tǒng)領(lǐng)性問題作出鋪墊，啟發(fā)學(xué)生思考：這是個(gè)什么問題？要求什么？然后給予學(xué)生充分時(shí)間對文本材料進(jìn)行解讀分析。在代數(shù)解題教學(xué)前期，教師應(yīng)積極幫助學(xué)生分析轉(zhuǎn)化等價(jià)命題，同時(shí)，幫助學(xué)生養(yǎng)成好審題習(xí)慣——做好幾何條件標(biāo)注，用相同的符號標(biāo)注相等的角或邊，用字母表示相對復(fù)雜的邊角數(shù)量關(guān)系。通過審題與分析，搭建起概念系的知識網(wǎng)絡(luò)，建立解題整體觀，為后續(xù)各要素間建立聯(lián)系奠定理論基礎(chǔ)，得到研究問題分析如下。

題1研究對象——二次函數(shù)

問題類型整理：

（1）二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問題；

（2）二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)之求解函數(shù)取值范圍；

（3）二次函數(shù)圖像與不等式綜合。

題2研究對象——圓與相似三角形

問題類型整理：

（1）圓中角度計(jì)算

（2）相似中線段數(shù)量關(guān)系求解

（3）幾何面積比值問題

（二）串點(diǎn)成線，搭建階梯聯(lián)系概念，形成數(shù)學(xué)表達(dá)

在二次函數(shù)和幾何解題中，學(xué)生往往會陷入無頭緒的困境，題干中的條件與結(jié)論分明了然，但難以找尋兩者之間的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”。運(yùn)算公式、法則和性質(zhì)定理倒背如流，但不知何去何從。因此，教師要指引學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，利用有結(jié)構(gòu)的問題鏈推動(dòng)學(xué)生思維的有序前進(jìn)，在問答中呈現(xiàn)學(xué)生的思維過程，揭示解題的一般方法；最后用思維框圖的形式進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。

1. 問題鏈接思維斷點(diǎn)，學(xué)會有邏輯地思考

題1中所涉及的代數(shù)模型較多，但是可以互相轉(zhuǎn)化，學(xué)生沒有掌握研究思路而遲遲不得進(jìn)展。因此在此類代數(shù)解題教學(xué)中，教師不妨先設(shè)計(jì)問題鏈啟發(fā)學(xué)生按照條件信息進(jìn)行程序性思考，從而將各等價(jià)命題與代數(shù)相關(guān)命題進(jìn)行串聯(lián)，進(jìn)而找尋到解題思路。

【題組一問題鏈】

問題1：第（1）問中要證明的命題條件與結(jié)論分別是什么？

追問1：由a＜0出發(fā)，可以得到什么？從函數(shù)圖像上還可以得到什么信息？

追問2：怎么證明二次函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)？二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題還可以理解為什么問題？你能算出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)嗎？為什么這么算？

分析：通過問題引導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷從條件到結(jié)論，結(jié)論推得所需條件的過程，學(xué)會自主尋找問題沖突點(diǎn)，自然理清思維邏輯線。例如“由a＜0出發(fā)”，學(xué)生自然會想到開口方向，從而用二次函數(shù)圖像解決問題，進(jìn)一步推進(jìn)學(xué)生探究二次函數(shù)的對稱軸表示、頂點(diǎn)坐標(biāo)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及是否過定點(diǎn)等問題。與幾何一樣，尋找邏輯推理思路不僅可以由因?qū)Ч?，還可以執(zhí)果索因。例如，“怎么證明與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)”，啟發(fā)學(xué)生從方程角度進(jìn)行求解，遵循一元二次方程的一般研究路徑，進(jìn)而探究解的個(gè)數(shù)。

【題組二問題鏈】

問題2：第（2）問中要證明的命題條件與結(jié)論分別是什么？

追問1：從a=-1和-1＜x＜0出發(fā)，可以得到什么？從函數(shù)圖像上還可以得到什么信息？

追問2：當(dāng)a=-1時(shí)，怎么證明y＞0？若要y＞0成立，需要滿足什么條件？依據(jù)是什么？

追問3：當(dāng)a=-1和-1＜x＜0時(shí)，怎么證明y＞0？若要y＞0成立，需要滿足什么條件？依據(jù)是什么？

分析：從兩個(gè)條件出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生從函數(shù)圖像角度求解函數(shù)的取值范圍，自然推出結(jié)論，滲透數(shù)形結(jié)合的代數(shù)推理能力。從一個(gè)條件與結(jié)論出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想不等式，利用不等式的變形降次求解一元一次不等式組，發(fā)展代數(shù)命題推理能力，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系自變量和函數(shù)之間的關(guān)系，應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)命題推理。此方法對學(xué)生提出了更高的要求，要求學(xué)生能靈活應(yīng)用運(yùn)算，從函數(shù)的角度解決不等式問題。

【題組三問題鏈】

問題3：第（3）問中要證明的命題條件與結(jié)論分別是什么？

追問1：從該函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)（x1，0），（x2，0），且-1＜x1＜x2＜4出發(fā)，可以繪制出怎樣的二次函數(shù)圖像呢？根據(jù)表達(dá)式尋找圖像中的變與不變？根據(jù)圖像，可以得到怎樣關(guān)于a的不等式？

追問2：要求a的取值范圍，需要先得到什么？x1與x2分別用a怎么表示？a何時(shí)取到最小值和最大值？

分析：基于前面的解題經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生從條件與結(jié)論入手，分別從二次函數(shù)圖像法及代數(shù)法對該問題進(jìn)行進(jìn)一步的解決。引導(dǎo)學(xué)生利用不等式還原函數(shù)圖像，依據(jù)函數(shù)圖像聯(lián)想所得的代數(shù)關(guān)系。其中，追問2自然啟發(fā)學(xué)生有序開展對含a的不等式或方程的探索，進(jìn)而得到數(shù)量關(guān)系，這一過程讓學(xué)生感受代數(shù)推理與幾何直觀密不可分的關(guān)系，教會學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決代數(shù)問題。

題2中所涉及的幾何圖形較為綜合，較代數(shù)解題教學(xué)，幾何中的研究對象較多，因此該解題教學(xué)中應(yīng)側(cè)重于啟發(fā)學(xué)生找尋幾個(gè)條件要素的關(guān)聯(lián)性，不僅要找尋要素與要素之間的聯(lián)系，還要分離要素與環(huán)境之間的聯(lián)系，甚至還要積極探索對象與對象之間的聯(lián)系，因此更加考驗(yàn)教師問題設(shè)計(jì)的邏輯性。為清楚表示其問題設(shè)計(jì)，將其以如下表格的形式呈現(xiàn)。

問題鏈設(shè)計(jì)分析與解答

求解第一問

這是一個(gè)什么問題？要求什么？這是一個(gè)角度計(jì)算問題，要求∠CGO的度數(shù)。

已知條件有哪些？可以直接利用嗎？已知條件有直徑AB與CD相互垂直，∠AFO=60°，要求∠CGO的度數(shù)，因此要構(gòu)建兩角的數(shù)量關(guān)系。

可以對已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化嗎？由已知條件∠AFO的度數(shù)推得余角∠AOF，因此∠CGA可以看作△AGE的外角。

有哪些條件可以利用？怎么利用？可以利用直徑AB與CD相互垂直此條件，得到圓心角∠AOC的度數(shù)，從而求得同弧所對圓周角∠AEC的度數(shù)。

求解第二問

要證明什么？利用什么方法得到這些線段之間的等量關(guān)系呢？要證明的是線段之間的比值關(guān)系，根據(jù)此形式可以推得應(yīng)利用相似三角形來證明。

要證明相似的三角形是哪一對呢？根據(jù)等式中的線段可以找尋到要證明相似的三角形為△AGC與△AFC。

這對相似三角形中已經(jīng)存在的等量關(guān)系有什么？可以直接利用條件得到嗎？因?yàn)橐C明邊之間的等量關(guān)系，所以是根據(jù)角的等量關(guān)系推得的，利用直徑AB與CD相互垂直可以找到等弧，推得所對的圓周角∠CAD=∠CAB，因此仍需要再得到一對角對應(yīng)相等。

還能再找到一對角相等嗎？有哪些條件可以利用？∠AGC=∠CAF，聯(lián)系（1）中角的數(shù)量關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)由外角定理可推得∠AGC=∠GAE+∠E=∠GAE+∠CAB=∠CAE。

現(xiàn)在可以證明了嗎？利用對應(yīng)邊成比例可以得到有公共邊的比例式。

求解第三問

這是個(gè)什么問題？要求證什么？要得到兩三角形的面積比。

這兩個(gè)三角形面積之間有直接關(guān)系嗎？要如何構(gòu)建聯(lián)系？沒有直接關(guān)聯(lián)性，可以嘗試用已知條件表示這兩個(gè)三角形的面積，通過計(jì)算求出面積比值。

用于求解這兩個(gè)三角形面積的可利用條件有哪些？怎么求解？設(shè)半徑為r，觀察求證結(jié)論，可利用tanα表示OF的線段長，通過線段和差計(jì)算進(jìn)一步得到CF的長度，結(jié)合第（2）題結(jié)論，得到AG長，從而得到OG長，求解S1和S2，得出面積比。

還有其他方法嗎？如果從可利用的條件出發(fā)呢？由第（2）題結(jié)論發(fā)現(xiàn)，AG和CF為四邊形AFGC的對角線，因此等式可轉(zhuǎn)化為“△ADC和四邊形AFGC面積相等”。

這個(gè)面積關(guān)系和要求的結(jié)論之間有什么關(guān)聯(lián)呢？等積和差變化轉(zhuǎn)化為“△CFG和△AFD面積相等”，最終將要求的面積比轉(zhuǎn)化為DF∶OF，即（OD-OF）∶OF。

最終將其轉(zhuǎn)化為什么問題？用代數(shù)求解幾何問題或面積等積轉(zhuǎn)化。

2. 圖式聯(lián)結(jié)條件要素，學(xué)會有條理地表達(dá)

在問題鏈的指導(dǎo)下，學(xué)生無形中明晰解題思路，但這依舊還是在教師精心設(shè)計(jì)之下，仍舊會存在理解但遺忘的情況。若學(xué)生學(xué)會自己搭建腳手架，自己提問推動(dòng)問題解決進(jìn)程，那才是真正意義上的學(xué)會解題，因此需要預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生重新經(jīng)歷問題推動(dòng)過程，以圖式形式顯化思維過程，給出嚴(yán)謹(jǐn)且有條理的推理線索鏈。

下面分別以第（3）小題為例，依次梳理出代數(shù)和幾何推理過程的一般路徑與一般思路。

【題1等價(jià)條件程序圖】

思路1：由因?qū)Ч?/p>

思路2：執(zhí)果索因

【題2幾何要素關(guān)聯(lián)圖】

思路1：由因?qū)Ч?/p>

思路2：執(zhí)果索因

（三）由線輻面，舉一反三拓展訓(xùn)練，積累概念模型

教師帶學(xué)生分析了核心概念，給出主要研究對象和核心問題，搭建概念體系，也找尋了各概念間的聯(lián)系，鞏固了問題解決的一般思路，但最終目的是為學(xué)會解決一類問題。因此，構(gòu)建適當(dāng)范圍的命題系統(tǒng)是提升學(xué)生思維能力的關(guān)鍵，而其本質(zhì)在于得到問題解決的基本模型，實(shí)現(xiàn)遷移應(yīng)用。

1. 代數(shù)形式轉(zhuǎn)換模型

基于前面代數(shù)問題鏈推理與思維框圖梳理，獲得三個(gè)基本代數(shù)模型：二次函數(shù)模型、二次函數(shù)與方程模型和二次函數(shù)與不等式模型，設(shè)置相應(yīng)的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生在變化過程中感受三種代數(shù)模型之間的關(guān)系并能實(shí)現(xiàn)靈活應(yīng)用與轉(zhuǎn)化，最終解決問題。

2. 幾何要素的研究模型

為從大概念視角教會學(xué)生幾何解題，需要讓學(xué)生形成對幾何對象的邏輯探究系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)各要素之間的全面研究，用大概念視角下聯(lián)系的觀點(diǎn)對研究對象解構(gòu)與重構(gòu)，以變式揭示對象本質(zhì)，通過應(yīng)用來檢測解題教學(xué)是否真實(shí)發(fā)生?；诖耍梢缘玫綆缀我氐难芯磕Ｐ停▓D2）。

四、 教學(xué)成效反思

文章在大概念視角下的解題教學(xué)實(shí)踐過程研究中，獲得相對完整的代數(shù)和幾何解題教學(xué)案例。學(xué)生還是很難做到零失誤。因此，教師解題教學(xué)不僅應(yīng)著眼于教會學(xué)生解題，還應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成錯(cuò)題必糾的習(xí)慣。若要學(xué)生糾錯(cuò)，教師要教會學(xué)生從審題習(xí)慣、解題策略和答題規(guī)范等多角度研究錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤。

（一）審題有節(jié)奏，不急不躁

在解題教學(xué)中，教師應(yīng)給予學(xué)生充分時(shí)間獨(dú)立解題，根據(jù)解答情況分析出典型審題問題，引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)讀題和理解關(guān)鍵信息。教師要教學(xué)生仔細(xì)審題，看清所有題設(shè)，思考全面再落筆計(jì)算或推理，而不是一味地抓住某個(gè)細(xì)枝末節(jié)而倉促解題，導(dǎo)致條件缺失而降低解題效率。

（二）解題有策略，胸有成竹

解題中需要注意條件與結(jié)論的雙向奔赴，運(yùn)用綜合法和分析法得出針對不同問題類型的解題方法，學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)用多種解題方法，才能做到心中有數(shù)，增強(qiáng)解題自信。在此基礎(chǔ)上，教師也可安排多種形式的師生對話或生生對話，使解題思路與解題方法多元化。

（三）答題有依據(jù)，井然有序

在答題時(shí)教師應(yīng)側(cè)重于采分點(diǎn)的核對，或者讓學(xué)生自主設(shè)置得分點(diǎn)，經(jīng)過班級評審后，規(guī)范解題過程。以自我評價(jià)或小組評價(jià)的方式體驗(yàn)“小先生”的身份，更加清楚評分細(xì)則，讓學(xué)生建立解決問題的整體觀，懂得省略非必要表達(dá)步驟，并懂得完善答題關(guān)鍵步驟。

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