［摘 要］思維是內(nèi)隱的，但學(xué)生可以借助數(shù)學(xué)表達(dá)使其外顯。學(xué)生的思維層級(jí)決定了其數(shù)學(xué)表達(dá)的層級(jí)。文章對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)進(jìn)行研究，變革數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式，不斷推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)從“經(jīng)驗(yàn)性”進(jìn)階到“多元性”“結(jié)構(gòu)性”“應(yīng)用性”，使學(xué)生的思維從“前結(jié)構(gòu)”向“拓展抽象結(jié)構(gòu)”水平不斷進(jìn)階。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)表達(dá)；思維發(fā)展；課堂教學(xué)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2025）02-0018-06

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要包括會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。這就表明，數(shù)學(xué)表達(dá)是數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考的結(jié)果，也是數(shù)學(xué)思維的過程與反映。數(shù)學(xué)表達(dá)展現(xiàn)學(xué)生思維的同時(shí)，也推動(dòng)學(xué)生的思維由低階向高階發(fā)展。

一、課堂中的數(shù)學(xué)表達(dá)和思維進(jìn)階的內(nèi)涵探析

數(shù)學(xué)表達(dá)是以文字語言、符號(hào)語言和圖形語言為載體進(jìn)行的書面或口頭交流活動(dòng)。根據(jù)問題解決程度的不同，筆者將學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)分為“經(jīng)驗(yàn)性”“多元性”“結(jié)構(gòu)性”“應(yīng)用性”四個(gè)表達(dá)層次。隨著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解，其數(shù)學(xué)表達(dá)從外顯向內(nèi)隱推進(jìn)，其思維從低到高，呈持續(xù)進(jìn)階狀態(tài)，這就是學(xué)生思維品質(zhì)的進(jìn)階提升過程。根據(jù)SOLO分類理論，筆者將水平分為“前結(jié)構(gòu)”“單一結(jié)構(gòu)”“多元結(jié)構(gòu)”“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”“拓展抽象結(jié)構(gòu)”五個(gè)階層，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中不斷成長(zhǎng)，促使其思維品質(zhì)不斷提升。

二、課堂中指向思維進(jìn)階的教學(xué)結(jié)構(gòu)模型探構(gòu)

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師與學(xué)生各自的行為活動(dòng)之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。不同的數(shù)學(xué)表達(dá)，依照課堂的教學(xué)活動(dòng)推進(jìn)都可以歸結(jié)為層層遞進(jìn)的思維層級(jí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐和研究中，筆者根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)將一般數(shù)學(xué)課堂教學(xué)分為“教師活動(dòng)”“學(xué)生活動(dòng)”“數(shù)學(xué)表達(dá)層級(jí)”“數(shù)學(xué)思維層級(jí)”四個(gè)方面，以縱向的時(shí)序構(gòu)建了教學(xué)結(jié)構(gòu)（如圖1）。

三、課堂中數(shù)學(xué)表達(dá)促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階的策略探究

一般來講，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中，師生課堂的數(shù)學(xué)表達(dá)有著經(jīng)驗(yàn)性、多元性、結(jié)構(gòu)性和應(yīng)用性四個(gè)水平層次（由低到高）。每個(gè)層次都著意于提升學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)思維層次水平，促進(jìn)其思維進(jìn)階。

（一）經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)：開思維進(jìn)階之門

經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)指學(xué)生基于自己的學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗(yàn)，通過數(shù)學(xué)操作解決數(shù)學(xué)問題，并能夠正確表達(dá)解題的過程。經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)是一種自我表達(dá)，有較強(qiáng)的個(gè)體性和主觀性。經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)就是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行相關(guān)操作、演示、實(shí)驗(yàn)、交流等與數(shù)學(xué)表達(dá)的相關(guān)活動(dòng)，在從無到有、從缺乏到豐富、從混亂到有序、從模糊到正確中獲取經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生開啟思維進(jìn)階之門。面對(duì)新的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生的數(shù)學(xué)操作經(jīng)驗(yàn)?zāi)転槠淇焖俳鉀Q問題。豐富的經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)，可以為學(xué)生思維進(jìn)階積累素材并打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

在解決新的數(shù)學(xué)問題過程中，學(xué)生不斷獲得新的解題經(jīng)驗(yàn)和豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)中，學(xué)生在獲得多種解題方法的同時(shí)，可以促進(jìn)自身數(shù)學(xué)思維水平的提升，從“前結(jié)構(gòu)”水平發(fā)展為“單一結(jié)構(gòu)”水平，甚至是更高層次的結(jié)構(gòu)水平。數(shù)學(xué)課堂的經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)有以下作用和獲取途徑。

1.大問題引領(lǐng)：提供數(shù)學(xué)表達(dá)載體

首先，教師設(shè)計(jì)好大問題，給予學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的空間。學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試解決問題，即對(duì)數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)。教學(xué)中教師設(shè)計(jì)的大問題，能為學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)打開大門，提供表達(dá)載體。

例如，教學(xué)一年級(jí)認(rèn)識(shí)人民幣“元角分”一課，如果按照教材呈現(xiàn)問題，應(yīng)該是先讓學(xué)生逐一認(rèn)識(shí)1元以內(nèi)的人民幣，再將其他面值的人民幣呈現(xiàn)出來，并詢問學(xué)生各面值是多少以及是如何辨別的。面對(duì)這樣的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生只能順著教師的問題，進(jìn)行單一的、碎片化的數(shù)學(xué)表達(dá)。在這個(gè)過程中，學(xué)生處于被動(dòng)性應(yīng)答，參與的積極性不高，其思維難以進(jìn)階。如果將教學(xué)流程改用問題來引導(dǎo)，如“你能從這些人民幣中拿出1元2角嗎？”“比一比，誰的拿錢方法多？”等，促使學(xué)生在問題的引領(lǐng)下解決問題，從而認(rèn)識(shí)人民幣，并使思維從“前結(jié)構(gòu)”水平進(jìn)階到“單一結(jié)構(gòu)”水平。

其次，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義。如果教師將數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)得過于抽象，數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的生活實(shí)際聯(lián)系不緊密，就會(huì)使學(xué)生難以真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)意義。學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)是具體的、現(xiàn)實(shí)的，給學(xué)生營造和生活實(shí)際相關(guān)的情境，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題且能有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)。

又如，教學(xué)三年級(jí)“兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)”一課時(shí)，教材情境圖充分關(guān)注學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)拓展空間。

如圖2所示，每盒有12個(gè)蘋果，10盒有多少個(gè)蘋果？

①橫著看，可以用12×2×5計(jì)算；

②豎著看，可以用12×5×2計(jì)算；

③已經(jīng)放好9盒，正在搬最后一盒，可以用12×9+12計(jì)算；

④借助已有經(jīng)驗(yàn)，可以用12×1，再在積的末尾添上1個(gè)0；

⑤可以在每盒中先放10個(gè)，然后再放2個(gè)，即用10×10+2×10計(jì)算。

這樣的情境可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)提供多種可能。豐富多樣的數(shù)學(xué)表達(dá)，有助于學(xué)生拓寬思維空間。

2.多學(xué)材選擇：豐富數(shù)學(xué)表達(dá)路徑

如果說情境激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，那么多樣化的學(xué)習(xí)材料則是激發(fā)學(xué)生探索問題的欲望。探索是學(xué)生主體性發(fā)展的過程，意味著學(xué)生的認(rèn)知能力、情感體驗(yàn)、控制能力均在提高。教師提供多樣化的學(xué)習(xí)材料，能讓學(xué)生產(chǎn)生多樣化的解題思路，助力其自主探索。

例如，教學(xué)一年級(jí)“9加幾”一課，在進(jìn)行“9+4”的算法探索時(shí)，筆者提供了小棒、計(jì)數(shù)器、十格圖、標(biāo)有數(shù)字的紙條尺等多種學(xué)具。學(xué)生借助豐富的學(xué)具，表達(dá)了更加豐富的解題思路：

①用小棒擺，先擺9根，再擺4根，接著從4根中拿1根和9根合在一起變成10根，10根和3根合起來是13根；

②用計(jì)數(shù)器在個(gè)位上先撥9顆珠子，再撥4顆珠子，由于個(gè)位上的珠子數(shù)超過了10，需要向十位進(jìn)1，進(jìn)位后，個(gè)位上只剩3顆珠子，十位上增加1顆珠子，表示13；

③用十格圖表示，已經(jīng)有9個(gè)了，先從4里面給1個(gè)湊成10個(gè)，格子外面還有3個(gè)，合起來是13個(gè)；

④用標(biāo)有數(shù)字的紙條尺數(shù)，從9往后再數(shù)1個(gè)紙條尺是10，再數(shù)3個(gè)紙條尺就是13。

多樣化的學(xué)習(xí)材料，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)更加豐富。

3.重操作后的表達(dá)：明確數(shù)學(xué)表達(dá)指向

操作行為也是一種表達(dá)，讓學(xué)生用語言或自己在內(nèi)心再次描述操作過程，如同放電影似的進(jìn)行回放，有助于學(xué)生整理思路和自我反思，從而讓混亂的表達(dá)變得有序，讓模糊的表達(dá)變得正確。

例如，教學(xué)“口算兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）”一課時(shí)，筆者出示算式24+6并讓學(xué)生用小棒擺一擺，算一算。有學(xué)生用小棒操作如圖3所示。

在該名學(xué)生用小棒擺完后，筆者對(duì)學(xué)生說：“請(qǐng)同桌互相說一說他先算什么，再算什么？”當(dāng)學(xué)生交流結(jié)束后，筆者直接出示如圖4-1、圖4-2所示的小棒圖，并對(duì)學(xué)生說：“不再動(dòng)手操作，看圖說一說計(jì)算的結(jié)果?！睂W(xué)生回答后，筆者將剛剛解答的三道算式的圖示集中呈現(xiàn)，讓學(xué)生說一說分別是先算什么，再算什么。經(jīng)歷了這樣的表達(dá)過程，學(xué)生的操作、語言表達(dá)都轉(zhuǎn)化成了思維，為其思維進(jìn)階打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）多元性表達(dá)：筑思維進(jìn)階之基

多元性表達(dá)是在豐富和正確的經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)基礎(chǔ)上，讓學(xué)生對(duì)解決問題的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行交流、質(zhì)疑和反思。這不僅充分讓學(xué)生表達(dá)了自己的想法，還能讓學(xué)生理解同伴的解題方法。在這個(gè)過程中，學(xué)生將豐富的經(jīng)驗(yàn)外化為對(duì)解題思路的多元表達(dá)，同時(shí)在與同伴交流和自我反思中，使自身的表達(dá)趨于準(zhǔn)確。在課上，教師要讓學(xué)生充分表達(dá)自己的想法和解題思路，尤其要重視課堂小結(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行多元性表達(dá)，讓學(xué)生在對(duì)比、思辨、評(píng)價(jià)、互補(bǔ)中發(fā)散思維，這不僅能培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，還能培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)、歸納和概括的能力。而這，實(shí)際上就是學(xué)生思維進(jìn)階的過程。

讓學(xué)生在觀察、操作等數(shù)學(xué)活動(dòng)中豐富經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)不是教學(xué)目的，它只是學(xué)生思維得以展開的手段。學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)主要基于自身的學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗(yàn)，雖然教師創(chuàng)設(shè)了利于學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的情境并提供了多樣的學(xué)習(xí)材料，但是作為學(xué)習(xí)個(gè)體而言，若學(xué)生只能表達(dá)出自己的解題思路，則說明其思維結(jié)構(gòu)依舊比較單一。而多元性表達(dá)主要來源于與學(xué)習(xí)共同體的互動(dòng)交流，學(xué)生在互動(dòng)交流中表達(dá)了自己的想法，聆聽了同伴的解題思路，接受了同伴的質(zhì)疑和補(bǔ)充意見。在這個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)的對(duì)話中，學(xué)生完善了自己的思路，學(xué)會(huì)了接納同伴的意見。

多元性表達(dá)所發(fā)揮的教學(xué)作用主要有三點(diǎn)：一是讓學(xué)生集中表達(dá)自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓自己和同伴具有更加豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；二是引導(dǎo)學(xué)生整理自己的解題過程，使自己的解題方法更簡(jiǎn)潔；三是將多種解題方法進(jìn)行比對(duì)和關(guān)聯(lián)，形成啟迪性成果，為結(jié)構(gòu)性表達(dá)打下基礎(chǔ)?？梢姡嘣员磉_(dá)是學(xué)生將經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)中隱含的數(shù)學(xué)思維展露出來的必要過程，更是跨越經(jīng)驗(yàn)的局限性，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階的必經(jīng)途徑。

1.主體多元：拓展數(shù)學(xué)表達(dá)的廣度

最基本的學(xué)習(xí)共同體就是學(xué)生所在的小組以及所在的班級(jí)。小組和班級(jí)是客觀存在的集體，如何用好小組和班級(jí)學(xué)習(xí)共同體才是關(guān)鍵。在合作交流之前，教師為學(xué)生提供了利于表達(dá)的問題和豐富的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題形成了自己的見解，但這種見解是有局限性和片面性的。學(xué)生只有在小組和班級(jí)中進(jìn)行表達(dá)和交流，才能完善對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)收獲更多的解題思路。在小組合作和班級(jí)交流中，學(xué)生通過表達(dá)不僅可以整理自己的解題思路，還能從同伴處獲得更多的啟迪，以豐富、完善解題思路。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”一課時(shí)，筆者在學(xué)生利用情境和學(xué)材有了自己對(duì)負(fù)數(shù)的理解之后，便安排學(xué)生進(jìn)行小組交流。

生1：“-1米”，就是將我站的地面看作0米，向下挖1米。

生2：“-1℃”，即比0℃還低1℃的溫度。

生3：“-1層”，表示地下1層。

生4：“-1元”，表示用去了1元。

……

這樣的交流，使學(xué)生對(duì)“-1”的理解從單一（個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)）到多元（同伴的經(jīng)驗(yàn)）。學(xué)生通過交流，積累了豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，為思維進(jìn)階打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。需要注意的是，小組合作只有建立在學(xué)生豐富的經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)基礎(chǔ)上才能發(fā)揮更大的效用。

2.形式多樣：挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)的深度

數(shù)學(xué)表達(dá)除了不同主體的多元表達(dá)，質(zhì)疑、討論、釋疑、反思等也是學(xué)生思維進(jìn)階的重要方法。質(zhì)疑是一種高效的表達(dá)方式，學(xué)生通過質(zhì)疑可以了解別人的想法，對(duì)比自己的觀點(diǎn)，找出彼此觀點(diǎn)的相同點(diǎn)和差異之處，并激勵(lì)自己進(jìn)行更為深入的思考。在解決問題的過程中，教師不僅要善于提出優(yōu)質(zhì)問題，更要鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，利用問題不斷激發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在質(zhì)疑、討論、表達(dá)、釋疑的過程中達(dá)到深度學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)表達(dá)能力。雖然質(zhì)疑與反思是多元表達(dá)必備的環(huán)節(jié)，但是學(xué)生發(fā)表的觀點(diǎn)可能是片面的或錯(cuò)的。因此，數(shù)學(xué)表達(dá)不能是“你說我聽”，更不能是“你怎么說我也怎么說”，而應(yīng)該是表達(dá)與表達(dá)的碰撞、思維與思維的碰撞，促使學(xué)生的思維得到更高層次的提升。

質(zhì)疑、討論、釋疑、反思等都是一種表達(dá)能力，教師要在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成質(zhì)疑、討論、釋疑、反思的習(xí)慣和能力。如在學(xué)生發(fā)言后讓其余學(xué)生對(duì)難以理解的部分進(jìn)行質(zhì)疑，或者鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)重點(diǎn)處“明知故問”，讓學(xué)生的思維在質(zhì)疑和釋疑過程中得到進(jìn)階。

（三）結(jié)構(gòu)性表達(dá)：展思維進(jìn)階之翼

所謂結(jié)構(gòu)性表達(dá)，是指對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多元認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，依據(jù)一定抽象性，經(jīng)過對(duì)比和關(guān)聯(lián)，作出解決問題的基本結(jié)構(gòu)的一種數(shù)學(xué)交流表達(dá)。

結(jié)構(gòu)性表達(dá)是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的闡述和解釋。學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)具有結(jié)構(gòu)性，反映出學(xué)生的思維已經(jīng)進(jìn)階到“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”水平，是學(xué)生思維實(shí)現(xiàn)質(zhì)的跨越的一種表現(xiàn)。

1.思維導(dǎo)圖：著眼數(shù)學(xué)表達(dá)的結(jié)構(gòu)化

將零散的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)結(jié)成線，繪制成網(wǎng)狀圖，使學(xué)生對(duì)知識(shí)形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)，以便深入理解。思維導(dǎo)圖本身是一種書面表達(dá)，當(dāng)學(xué)生以思維導(dǎo)圖為依據(jù)進(jìn)行語言表述時(shí)，它就更具邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。教師將結(jié)構(gòu)化的思維導(dǎo)圖表達(dá)在黑板上或者練習(xí)紙上，學(xué)生通過觀察、填寫或繪制新的思維導(dǎo)圖，可以將新知和相關(guān)舊知用線條聯(lián)結(jié)起來，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化表達(dá)的程度，使思維形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。

例如，在教學(xué)“7的乘法口訣”基礎(chǔ)上，讓學(xué)生挑選一句口訣進(jìn)行深入研究。有學(xué)生根據(jù)“三七二十一”繪制了這樣的思維導(dǎo)圖（如圖5）。

抓住知識(shí)之間的聯(lián)系進(jìn)行數(shù)學(xué)圖示表達(dá)，可以完整展示知識(shí)的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而促進(jìn)思維進(jìn)階。

2.對(duì)比與關(guān)聯(lián)：指向數(shù)學(xué)表達(dá)的邏輯性

實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)性表達(dá)是很難的，這是學(xué)生對(duì)知識(shí)感性認(rèn)識(shí)上升成為理性思考的過程，也是學(xué)生思維從具體轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄笞顬殛P(guān)鍵的一步。這反映學(xué)生思維水平從量變上升到質(zhì)變的過程。因此，經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)和多元性表達(dá)是結(jié)構(gòu)性表達(dá)的基礎(chǔ)，關(guān)注相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系是結(jié)構(gòu)性表達(dá)的關(guān)鍵。在經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)和多元性表達(dá)中，雖然學(xué)生對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題有了多方面的認(rèn)知，但這些認(rèn)識(shí)是相對(duì)獨(dú)立的。對(duì)此，教師要在課堂教學(xué)中將相關(guān)知識(shí)進(jìn)行對(duì)比和關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生先經(jīng)過抽象，再表達(dá)出解決這個(gè)問題最為核心、本質(zhì)的內(nèi)容。結(jié)構(gòu)性表達(dá)是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題并理性思考后，對(duì)數(shù)學(xué)問題的一種表達(dá)和闡述。

例如，教學(xué)“小數(shù)的乘法”時(shí)，筆者出示一道分段計(jì)算的習(xí)題（如圖6）。

學(xué)生在完成習(xí)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行對(duì)比，能清晰表達(dá)出解決分段計(jì)費(fèi)這類問題的基本結(jié)構(gòu)。

（四）應(yīng)用性表達(dá)：鋪思維進(jìn)階之路

應(yīng)用性表達(dá)是在學(xué)生能夠表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)完整結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，通過推理、演繹等高階思維方式，將知識(shí)結(jié)構(gòu)遷移到新的情境，并且能對(duì)新的拓展性問題解釋和質(zhì)疑的交流表達(dá)。應(yīng)用性表達(dá)是學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的過程，它體現(xiàn)了學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的過程。從總體上看，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維進(jìn)階到“拓展抽象結(jié)構(gòu)”水平難度較大，但從發(fā)展趨勢(shì)看，學(xué)生從低年級(jí)到高年級(jí)，思維不斷進(jìn)階，在教師的組織引導(dǎo)下，能夠進(jìn)階到“拓展抽象結(jié)構(gòu)”水平的學(xué)生比例越來越高?？梢?，應(yīng)用性表達(dá)使學(xué)生的思維發(fā)展水平獲得了穩(wěn)固的提升。

1.拓展性習(xí)題：促數(shù)學(xué)表達(dá)高階發(fā)展

學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用離不開習(xí)題。好的習(xí)題設(shè)計(jì)是學(xué)生形成應(yīng)用性表達(dá)的載體和平臺(tái)。學(xué)生在應(yīng)用知識(shí)解決問題的過程中，通過習(xí)題對(duì)自己的解題思路進(jìn)行表達(dá)和交流，既能鞏固對(duì)知識(shí)的理解，又能提升思維水平。在小學(xué)階段，習(xí)題的設(shè)計(jì)更應(yīng)注重對(duì)前四個(gè)層次——“前結(jié)構(gòu)”“單一結(jié)構(gòu)”“多元結(jié)構(gòu)”“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”思維的發(fā)展，不能讓教材束縛學(xué)生的思維。教師應(yīng)當(dāng)注重拓展性習(xí)題的編撰和使用，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在拓展性習(xí)題的數(shù)學(xué)表達(dá)中獲得更高層次的進(jìn)階。拓展性習(xí)題并不是指難題、奧數(shù)題等，而是指和教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的，需要綜合運(yùn)用知識(shí)解決的問題。

例如，教學(xué)“乘法分配律”后，筆者給學(xué)生增加這樣一道練習(xí)：

計(jì)算（□+50）×4時(shí)，錯(cuò)算成了□×4+50，你知道正確結(jié)果和錯(cuò)誤結(jié)果比，相差多少嗎？

雖然這道題的模型只是在乘法分配律的模型上做了一點(diǎn)點(diǎn)改變，但是對(duì)于學(xué)生來說，這樣的表達(dá)不再是機(jī)械重復(fù)原有知識(shí)，而是能產(chǎn)生新的思考，從而在表達(dá)中讓思維有更進(jìn)一步發(fā)展。

2.實(shí)踐性作業(yè)：促數(shù)學(xué)表達(dá)長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展

課內(nèi)，教師可以嘗試布置“探規(guī)律”“用數(shù)學(xué)”等具有一定實(shí)踐性的作業(yè)，讓學(xué)生在“探”“用”的經(jīng)歷中強(qiáng)化推理和應(yīng)用遷移能力，進(jìn)而進(jìn)行表達(dá)和反思。實(shí)踐性作業(yè)能更好地促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階，進(jìn)而拓展抽象思維。

課后，教師還可以布置實(shí)踐性作業(yè)，讓學(xué)生研究生活中的實(shí)際問題，并適時(shí)組織學(xué)生交流自己的研究過程和收獲，讓學(xué)生的思維更廣闊。如教學(xué)“一億有多大”后，有教師布置的“數(shù)一億粒大米”實(shí)踐作業(yè)曾引起社會(huì)熱議。其實(shí)，教師不妨改成“怎樣快速數(shù)出大約一億粒大米”，讓學(xué)生課后設(shè)計(jì)方案并進(jìn)行操作，再帶回課堂交流。在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅感受到了大數(shù)中的“一億”，還提高了解決實(shí)際問題的能力。

綜上所述，數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)表達(dá)一體雙翼，二者內(nèi)外互促。數(shù)學(xué)思維是隱性的，但是學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)是外顯的。教師可以通過關(guān)注外顯的數(shù)學(xué)表達(dá)來研究學(xué)生的思維狀態(tài)和水平，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。學(xué)習(xí)中，面對(duì)數(shù)學(xué)問題，學(xué)生從自身經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，從“經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)”走向“多元性表達(dá)”，再進(jìn)階到“結(jié)構(gòu)性表達(dá)”“應(yīng)用性表達(dá)”，這是課堂教學(xué)各個(gè)階段學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解過程。教學(xué)中，教師要促使學(xué)生的這一理解過程不斷推進(jìn)，讓學(xué)生的思維不斷進(jìn)階、提升。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 彼格斯，科利斯.學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)價(jià)：SOLO分類理論（可觀察的學(xué)習(xí)成果結(jié)構(gòu)）[M].高凌飚，張洪巖，譯.北京：人民教育出版社，2010.

[2] 潘小福.小學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力培養(yǎng)的研究[J].江蘇教育，2017（41）：25-28.

[3] 趙凌云，李沐慧，威爾金森.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“數(shù)學(xué)表達(dá)”的前沿研究：路易絲·威爾金森（Louise Wilkinson）與趙凌云、李沐慧的對(duì)話[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2018，36（6）：144-149，160.

[4] 呂林海.數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)與教學(xué)：文化的視角[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013.

【本文系南京市中小學(xué)教學(xué)研究2021年度第十四期重點(diǎn)課題“數(shù)學(xué)表達(dá)：指向思維進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂變革研究”（編號(hào)：2021NJJK14—Z12）的階段性研究成果。】

（責(zé)編 覃小慧）