摘" 要：本文對比分析了兩道幾何問題的多種解法，研究發(fā)現(xiàn)，它們的每種解題思路都是相通的，考查的知識點也相同，因此兩道題本質上是同一類問題.在初中數(shù)學教學中，引導學生發(fā)現(xiàn)兩道題的關聯(lián)性，可以有效培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，提升其數(shù)學核心素養(yǎng).

關鍵詞：幾何問題；三角形；對比分析；教學啟示

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2025）05-0030-03

收稿日期：2024-11-15

作者簡介：王德波，本科，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

在初中數(shù)學學習中，幾何問題難度較大，技巧性較強，思維含量較高，是歷年全國各地中考的熱點和難點問題，承載著一定的選拔性功能，對學生而言具有一定的難度.基于此，本文通過對比兩道中考模擬題及其解法，剖析它們的內在聯(lián)系，以此培養(yǎng)學生的聯(lián)想能力和發(fā)散思維，從而提高學生分析問題和解決問題的能力，促使其全面發(fā)展.

1" 試題呈現(xiàn)

例1" 如圖1所示，點A，B，C在一條東西走向的公路沿線上，已知AB=2 km，BC=3 km，在B村的正北方向有一個D村，測得∠ADC=45°.今將△ADC區(qū)域規(guī)劃為開發(fā)區(qū)，除其中4 km2的水塘外，其余均為綠化用地，試求綠化用地的面積.

對于此題，因為△ADC中開發(fā)區(qū)的面積已知，欲求綠化用地的面積，只需求△ADC的面積即可.又因為AC的長度可求出，故根據(jù)三角形的面積公式，只需求AC邊上的高BD即可.因此，例1的本質是已知AB和BC的長度及∠ADC=45°，求AC邊上的高BD的長度.

例2" 如圖2所示，已知△ABC中，∠ACB=135°，CD⊥AB，垂足為D，若AD=6，BD=20，則CD的長為（" ）.

A.22""" B.32""" C.72""" D.4

在此例中，已知AD和BD的長度及∠ACB=135°，求AB邊上的高CD的長度.對比例1和例2可以發(fā)現(xiàn)，兩道題目的構圖和已知條件是類似的，都是一條邊被這條邊上的高分為兩條線段，每條線段的長度已知，這條邊的對角也已知，且滿足互補關系.由此可以發(fā)現(xiàn)，這兩道題目的已知條件類似，圖形結構特征類似，故而它們有類似的解法.

2" 解法探究

基于以上分析，對這兩道題目的解法展開對比探究，以便發(fā)現(xiàn)它們之間的內在聯(lián)系.

2.1" 翻折構造正方形解決問題

解法1" 對于例1而言，如圖3所示，將△ABD沿AD翻折得△AED，將△BCD沿CD翻折得△GCD，延長EA，交GC的延長線于點F.根據(jù)翻折的性質易知△ABD≌△AED，△BCD≌△GCD.根據(jù)全等三角形的性質可知∠AED=∠ABD=90°，∠ADE=∠ADB，AE=AB=2，∠CGD=∠CBD=90°，∠CDG=∠CDB，CG=CB=3，DE=DB=DG.又因為∠ADC=45°，所以∠EDG=2（∠ADB+∠CDB）=2∠ADC=90°，所以四邊形DEFG是正方形.設DB=DE=EF=FG=DG=x，易知AF=EF-AE=EF-AB=x-2，CF=FG-CG=FG-BC=x-3.在Rt△ACF中，根據(jù)勾股定理可知AC2=AF2+CF2，所以52=（x-2）2+（x-3）2，解得x1=6，x2=-1（不合題意，舍去），所以BD=6.

對于例2而言，如圖4所示，將△ACD沿AC翻折得△ACE，將△BCD沿BC翻折得到△BCG，延長EA，交BG的延長線于點F.根據(jù)翻折的性質易知△ACD≌△ACE，△BCD≌△BCG.根據(jù)全等三角形的性質可知∠AEC=∠ADC=90°，∠ACE=∠ACD，AE=AD=6，∠BGC=∠BDC=90°，∠BCG=∠BCD，BG=BD=20，CD=CE=CG.又因為∠ACB=135°，所以∠ECG=360°-2（∠ADB+∠CDB）=360°-2∠ADC=360°-270°=90°，所以四邊形CEFG是正方形.設CD=CE=EF=FG=CG=x，則AF=AE+EF=AD+EF=6+x，BF=BG+GF=BD+GF=20+x.在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理可知AB2=AF2+BF2，所以262=（6+x）2+（20+x）2，解得x1=4，x2=-30（不合題意，舍去），所以CD=4.

由此可以看出，一方面，例1和例2的解答過程是類似的，都利用翻折構造正方形，從而得到邊之間的關系，最后利用勾股定理列方程解決問題.不同點在于，例1中的已知角為45°，構造出的正方形為包含Rt△ABF的大正方形DEFG；例2中的已知角為135°，構造出的正方形是包含在Rt△ABF中的小正方形CEFG.

2.2" 取點構造等腰直角三角形解決問題

解法2" 對于例1而言，如圖5所示，在CA的延長線上取點E，使得BE=BD，則△DBE為等腰直角三角形，所以∠CED=45°=∠CDA.又因為∠DCE=∠ACD，所以△ACD∽△DCE，所以CDCE=CACD，即CD2=CA·CE.設BD=BE=x，則CE=x+3.在Rt△BCD中，CD2=BD2+BC2，所以BD2+BC2=CA·CE，即x2+9=5（x+3），解得x1=6，x2=-1（不合題意，舍去），所以BD=6.

對于例2而言，如圖6所示，在AD上取點E，使得DE=DC，則△CDE為等腰直角三角形，所以∠CED=45°，所以∠AEC=180°-∠CED=135°=∠ACB.又因為∠CAE=∠EAC，所以△ACE∽△ABC，所以ACAB=AEAC，即AC2=AB·AE.設CD=DE=x，則BE=6-x.在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，所以AD2+CD2=AB·AE，即62+x2=26（6-x），解得x1=4，x2=-30（不合題意，舍去），所以CD=4.

由此可以看出，例1和例2的這兩種解法也是類似的，都是先構造一個等腰直角三角形，再根據(jù)角度關系得到與原三角形相似的三角形，接著根據(jù)相似三角形的性質得到邊之間的關系.另一方面，根據(jù)圖中的直角三角形，利用勾股定理得到另一個關系，將兩式聯(lián)立即可解決問題.不同之處在于例1取的點在圖形之外，例2取的點在圖形之內［1］.

2.3" 作高構造等腰直角三角形解決問題

解法3" 對于例1而言，如圖7所示，過點A作AE⊥CD，垂足為E，且與BD交于點F.因為∠ADC=45°，所以△ADE為等腰直角三角形，所以AE=DE.又∠AEC=∠DBC=90°，所以∠EAC=∠EDF，所以△ACE≌△DFE，所以AC=DF=2+3=5.因為AE⊥CD，DB⊥AC，所以△ABF∽△DBC，所以ABDB=BFBC.設BD=x，則BF=x-5，所以2x=x-53，解得x1=6，x2=-1（不合題意，舍去），所以BD=6.

對于例2而言，如圖8所示，過點A作直線BC的垂線，交BC的延長線于點E，且與DC交于點F.因為∠ACB=135°，所以∠ACE=45°，所以△ACE為等腰直角三角形，所以AE=CE.又因為∠ADF=∠CEF=90°，所以可得∠ABE=∠CFE，所以△ABE≌△CFE，所以CF=AB=6+20=26.因為DF⊥AB，CE⊥AF，所以△ADF∽△CDB，所以ADCD=DFDB.設CD=x，則DF=x+26，所以6x=x+2620，解得x1=4，x2=-30（不合題意，舍去），所以CD=4.

由此可以看出，例1和例2的解法3的思路是類似的，都是先作一條邊上的高，構造出等腰直角三角形和相似三角形，再根據(jù)相似三角形邊的比例關系列出方程，解方程即可求出要求的高.

3" 教學啟示

通過對兩道題不同解法的對比分析，可以發(fā)現(xiàn)這兩道題的求解思路是相通的，考查的知識點也是相同的，都綜合考查圖形翻折的性質、等腰直角三角形的性質、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、一元二次方程的解法等知識，它們都是初中數(shù)學最基礎的內容.因此，兩道題在教學中可以起到相同的作用，它們雖然看起來不太一樣，但解答思路相通，本質上可以看作同一類題.在教學過程中，引導學生發(fā)現(xiàn)兩道題的聯(lián)系，可以有效培養(yǎng)學生的歸納整理能力和類比聯(lián)想能力，達到學科育人的目的.

4" 結束語

在初中數(shù)學教學中，幾何問題形式靈活多樣，學生不僅需要掌握一些常見的解題技巧和常用的幾何模型，而且要注意挖掘不同試題之間的聯(lián)系，識別出本質特征，提高運用所學知識分析問題和解決問題的能力，從而達到“做一題，會一類，通一片”的效果.

參考文獻：［1］ 程如朋.移形換位探究本質：兩道中考試題的教學實施［J］.中學數(shù)學教學參考（中旬），2023（20）：30-32.

［責任編輯：李慧嬌］