摘要 ：針對直線間平行、垂直和斜交的3種位置關系，提出將直線間的位置關系轉化為等式約束條件，結合加權整體最小二乘法進行直線擬合。首先，將直線間的3種位置關系表達為直線斜率的關系，對其線性化，得到3種約束模型;其次，根據(jù)加權整體最小二乘準則確定附有等式約束的加權整體最小二乘法平差模型，推導其解算方程，并建立平差算法;最后，針對3種約束模型進行擬合實驗。實驗結果表明：新算法具有可行性，擬合精度較高，且能確保直線間的平面位置關系正確。

關鍵詞 ：平面位置關系;直線擬合;加權整體最小二乘;等式約束

中圖分類號：P207"" 文獻標志碼：A"" 文章編號：1004-0366（2025）01-0001-08

直線擬合在工程實踐中有著廣泛的應用^［1-2］。傳統(tǒng)上，常用最小二乘法（LS，least squares）估計直線參數(shù)，該方法易于理解與計算，但只考慮了因變量誤差，沒有考慮自變量誤差，導致估計結果只是某個坐標軸上的最佳^［3-4］。因此LS直線擬合結果會隨自變量選取的不同而不同，不是全體觀測誤差下的最優(yōu)估計結果。整體最小二乘法（TLS，total least squares）同時考慮自變量和因變量誤差，參數(shù)估計理論更嚴密，能夠得到全體觀測誤差平方和最小條件下的最優(yōu)估計結果。學者們針對TLS進行了大量的研究，先后提出了奇異值分解算法^［5-6］（SVD，singular value decomposition）、TLS迭代算法和遞推的等價算法^［7-11］。丁克良等^［12-13］分別采用LS和TLS進行了直線擬合，并對比分析了LS與TLS擬合精度，指出TLS能有效提高擬合精度，獲得了更好的擬合結果。針對非等精度的直線擬合問題，文獻［14-16］中提出了嚴密的加權整體最小二乘（WTLS，weighted total least square）直線擬合模型;王繼剛等^［17］從測量平差角度入手，基于附有參數(shù)的條件平差理論，建立了一種簡單的WTLS直線擬合模型。

當先驗約束條件已知時，國內(nèi)外學者研究了附約束條件的WTLS平差問題^［18-19］，并導出了解算的通用公式^［20］。先驗約束條件有線性和非線性之分，王樂洋^［21］對約束條件為線性的WTLS進行了研究，胡川等^［22］對非線性約束的WTLS進行了研究?，F(xiàn)有的研究多數(shù)是針對單一直線擬合問題進行，然而在工程實踐過程中存在擬合直線與相鄰直線具有位置約束關系的情況，此時，采用線性或非線性等式約束的加權整體最小二乘法（ECWTLS，equality constrained weight total least squares）來估計直線參數(shù)更為合理。本次研究以ECWTLS為基礎，將平面直線的相對位置關系轉換成直線間斜率的約束關系，建立對應的等式約束方程，構建位置關系約束下的直線擬合模型。

1 位置關系約束下的直線參數(shù)整體最小擬合模型

1.1 顧及直線位置關系的直線擬合模型

常規(guī)WTLS的函數(shù)模型和隨機模型^{［6，11］}為

y-ey=（A-EA）ξ， （1）

eyeA：=ey vec （EA）～00，σ20Qy00Q0Qx，（2）

其中：y和ey分別是n×1的觀測向量和誤差向量;A和EA分別是n×m的系數(shù)矩陣和誤差矩陣，且有 rank （A）=mlt;n;ξ為m×1的參數(shù)向量; vec 表示對矩陣的拉直運算;

σ20表示未知的單位權方差;Qy和Qx都是n×n的協(xié)因數(shù)陣;Q0與A的結構有關;符號表示克羅內(nèi)克積。

對式（1）稍作變換，整理后^［22］可得

y-ey=A（x） -（ξTIn）Nex， （3）

其中：A（x）表示A是關于x的矩陣函數(shù);In表示n階單位矩陣;ex表示n×1的誤差向量;N表示nm×n的轉換矩陣^［23］，根據(jù)向量求導法得到N的計算公式^［24］為

N= d { vec （A（x））} d xT。 （4）

為將直線間的平面位置關系融入WTLS，首先將直線位置關系轉化為可以執(zhí)行的數(shù)學表達式。以兩條直線為例，根據(jù)兩直線間的位置關系，得到的數(shù)學表達式為

f（a1，b1，a2，b2）=0， （5）

其中：a1和a2分別表示兩條直線的斜率;b1和b2分別表示兩條直線的截距。

當兩條直線為平行關系時，兩直線的斜率相等，此時平行關系約束模型表示為

a1-a2=0， （6）

并令

a1=1+Δa1， （7）

a2=2+Δa2， （8）

其中：1和2分別表示兩條直線斜率的預測值;Δa1和Δa2分別表示兩條直線斜率的誤差預測值。

將式（7）和式（8）代入式（6）可得

Δa1-Δa2+1-2=0。 （9）

當兩條直線相交但不垂直時，即為斜交關系，兩條直線間存在一個夾角θ，此時位置關系約束模型表示為

a1-a21+a1a2= tan "θ， （10）

其中：以a1為斜率的直線傾斜角大于以a2為斜率的直線傾斜角。將式（7）和式（8）代入式（10）中并進行線性化，斜交關系約束模型可進一步表示為

Δa1-Δa2-2 tan "θΔa1-1 tan "θΔa2+1-2-（1+12） tan "θ=0。（11）

相交關系中存在一種特殊關系，即兩直線垂直，兩直線斜率之積等于-1，此時正交位置關系約束模型表示為

a1a2=-1。 （12）

將式（7）和式（8）代入式（12）中并進行線性化，正交關系約束模型可進一步表示為

2Δa1+1Δa2+12+1=0。 （13）

然后將式（9）、式（11）和式（13）表示為相同形式的約束模型：

Kδ=C， （14）

其中：K為等式約束矩陣;C為約束向量;δ為直線參數(shù)的誤差預測值向量，具體表示為（Δa1" Δb1" Δa2" Δb2）T。將式（14）作為約束方程加入 WTLS中組成ECWTLS 平差的函數(shù)模型。3種直線位置關系K和C的表達式如表1所列。

1.2 ECWTLS平差模型的解算

將TLS看成是一個非線性的參數(shù)估計問題^［14］，令

=A-A， （15）

=ξ^（0）+δ。 （16）

將非線性方程（3）線性化為

Y-ey=δ-ZTx， （17）

其中：Y=y-Aξ^（0），Z=NT（ξ^（0）In）。

另外， ECWTLS 的極小值條件式為

eTyQ^-1yey+eTxQ^-1xex= min 。 （18）

采用拉格朗日乘數(shù)法求解 ECWTLS， 根據(jù)線性化的方程將目標函數(shù)定義為

Φ（ey，ex，δ，λ，μ）=eTyQ^-1yey+eTxQ^-1xex+2λT（Y-ey-δ+ZTx）+2μT（Kδ-C），（19）

其中：λ（n×1）和μ（l×m）為拉格朗日乘積因子。對上式各待解參數(shù)求偏導并令它們等于0，可得

12Φey=Q^-1yy-=0， （20）

12Φex=Q^-1xx-Z=0， （21）

12Φ=-AT+KT=0， （22）

12Φλ=Y-y-δ+ZTx=0， （23）

12Φμ=Kδ-C=0。 （24）

根據(jù)式（20）和式（21）可得

y=Qy， （25）

x=-QxZ， （26）

將式（25）和式（26）帶入式（23）可得

=（Qy+ZTQxZ）^-1（Y-Aδ）=R1（Y-Aδ），

（27）

其中：R1=（Qy+ZTQxZ）^-1。再將式（27）帶入式（25）和式（26）可得

y=QyR1（Y-Aδ）， （28）

x=-QxZR1（Y-Aδ）。 （29）

將式（27）代入式（22）可得

δ=（ATR1A）^-1（ATR1Y-KT）。 （30）

令R2=（ATR1A）^-1，再將式（30）代入式（24）可得

=（KR2KT）^-1（KR2ATR1Y-C）。 （31）

對應的單位權方差為

20=eTyQ^-1yey+eTxQ^-1xex（n-m+l）。 （32）

2 ECWTLS算法

根據(jù)以上推導的計算公式，顧及平面位置關系的直線參數(shù)ECWTLS估計算法設計如下：

輸入觀測向量 y1和y2、系數(shù)矩陣A1和A2及對應的協(xié)因數(shù)陣Qx1、Qy1、Qx2和Qy2、轉換矩陣N。

（1） 計算矩陣：

y=y1y2，

A=A100A2，

Qx=Qx100Qx2，

Qy=Qy100Qy2。

（2） 計算ξ的初值：^（0）=（AQ^-1yA）^-1AQ^-1yy，并令E^（0）A=0。

（3） 依照表1，根據(jù)直線間的位置關系計算相應的約束矩陣K和約束向量C。

（4）根據(jù)線性化公式依次計算下列各值：

^（i）=A-^（i）A，

Y^（i）=y-A^（i-1），

Z^（i）=NT（^（i-1）In）。

（5） 按下列公式計算參數(shù)值：

R^（i）1=（Qy+Z^（i）TQxZ^（i））^-1，

R^（i）2=（^（i）TR^（i）1^（i））^-1，

^（i）=（KR^（i）2KT）^-1（KR^（i）2^（i）TR^（i）1Y^（i）-C），

δ^（i）=R^（i）2（^TR^（i）1Y-KT^（i）），

^（i）y=QyR^（i）1（Y^（i）-A^（i）δ^（i）），

^（i）x=-QxZ^（i）R^（i）1（Y^（i）-A^（i）δ^（i）），

^（i）=^（i-1）+δ^（i）。

（6） 如果δ^（i）gt;10^-10，則E^（i+1）A= vec ^-1（Ne^（i）x），將值代回至第（3）步繼續(xù)進行迭代計算;反之，終止迭代，并以式（32）進行精度評定計算結束，以迭代終止前一步計算的值作為最終結果輸出，包括參數(shù)估計值和精度指標σ20。

3 算例與分析

為了驗證本文提出的直線間位置關系的約束模型，現(xiàn)針對直線間的平行、斜交和垂直3種位置關系分別進行了3個實驗，其中實驗1和實驗2使用仿真數(shù)據(jù)，實驗3使用實測數(shù)據(jù)。

實驗1 驗證平行線約束。假設兩條直線 l1和l2為平行線，其斜率a1=a2=0.45，截距b1=1.6，b2=3.2。為l1給定7個沒有觀測誤差的x坐標值（1.39，2.32，3.93，5.24，6.04，7.33，8.93），為l2給定8個沒有觀測誤差的x坐標值（9.69，8.23，7.37，6.39，5.26，4.29，3.36，1.97），并根據(jù)斜率和截距計算對應的y 坐標，單位均為m。然后為直線 l1和直線l2的x 坐標附上期望為0、方差均為0.01 m2的隨機誤差，為直線 l1和直線l2的y 坐標附上期望為0、方差均為0.008 1 m2的隨機誤差，得到了含有隨機誤差的坐標觀測量，坐標的權用單位矩陣乘方差的倒數(shù)表示。選擇表1中平行的約束條件模型進行1 000次擬合，每次都采用LS、TLS、WTLS和ECWTLS 4種方法進行解算。

4種方法進行參數(shù)估計后，采用參數(shù)估計值減去給定的參數(shù)真值，得到估計值與真值的差值，即估計值誤差，其結果如圖1所示，再計算所有誤差絕對值的平均值以及總和，結果如表2和表3所列。另外，分別計算4種方法1 000次實驗中參數(shù)誤差的標準差，用來表示參數(shù)誤差的離散程度，結果如表4所列。

由圖1可知，每次采用ECWTLS估計兩條直線斜率的估計值與真值之差都相等，而采用另外3種方法的差值不是每次都相等，由于此次實驗設置的兩條直線斜率真值相等，可得采用ECWTLS估計兩條直線的斜率一定相等，LS、TLS、WTLS 3種方法估計兩條直線的斜率不一定相等。由表2和表3可知，采用ECWTLS所得參數(shù)誤差絕對值的均值與總和均相等，同樣說明在平行線約束下，ECWTLS估計的直線斜率相等;在4種方法中ECWTLS得到的誤差絕對值的平均值、誤差絕對值的總和均為最小，可以認為4種方法中ECWTLS的估計值更接近真值。由表4可知，LS、TLS、WTLS 3種方法所得參數(shù)誤差的標準差比較接近，ECWTLS計算所得參數(shù)誤差的標準差最小，認為采用ECWTLS估計平行線的參數(shù)時結果更加穩(wěn)定。

實驗2 驗證斜交約束。假設兩條直線 l3和l4，其中直線l3 的傾斜角為120°，斜率 a3為-3，截距b3為3.4;直線l4的傾斜角為15°，斜率a4為2-3，截距b4為2.8。為l3給定7個沒有觀測誤差的x 坐標值（9.46，7.15，6.41，5.35，4.89，3.23，1.26），為 l4給定8個沒有觀測誤差的x 坐標值（0.86，1.64，2.16，3.49，5.94，6.48，7.56，8.23），并根據(jù)斜率和截距計算對應的 y 坐標，單位均為m。然后分別為直線 l3和直線l4的x坐標附上期望為0、 方差均為0.01 m2的隨機誤差，分別為直線 l3和直線l4的y 坐標附上期望為0、方差均為0.04 m2的隨機誤差，得到了含有隨機誤差的坐標觀測量，坐標的權用單位矩陣乘方差的倒數(shù)表示。選擇表1中斜交的約束條件模型，分別用LS、TLS、WTLS、ECWTLS 4種方法進行直線參數(shù)估計。計算得到的參數(shù)估計值及單位權方差如表5所列，參數(shù)估計值與真值之差如表6所列。最后對擬合的兩條直線的夾角進行計算，結果如表7所列。

由表5和表6可知，LS、TLS、WTLS 3種方法得到參數(shù)估計值與真值的差值差距不大，均大于ECWTLS，采用ECWTLS估計的參數(shù)最接近真值。由表7可知，采用ECWTLS擬合的兩條直線的夾角基本等于105°，其他3種方法擬合的兩條直線的夾角與105°有明顯差異，本文的方法能夠確保直線間的斜交約束關系。通過實驗2的結果，說明ECWTLS通過對直線間的夾角進行約束，能夠提高直線參數(shù)估計的準確性。

實驗3 驗證垂直約束。選取兩條設計夾角為90°的道路，采用全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)（GNSS，global navigation satellite system）測量道路中心線上的點，認為是等精度觀測，實測坐標如表8所列。仍然采用LS、TLS、WTLS、ECWTLS 4種方法進行直線參數(shù)估計，參數(shù)估計結果如表9所列，4種方法擬合的兩條直線的夾角如表10所列。

由表9可知，由于是等精度觀測，TLS和WTLS兩種方法得到的參數(shù)估計值完全相同。另外，由于LS、TLS、WTLS 3種方法是分開估計兩條直線的參數(shù)，所得參數(shù)的單位權方差不相同，而ECWTLS是同時估計兩條直線的參數(shù)，所得直線參數(shù)的單位權方差相同。由表10可知，采用ECWTLS擬合得到兩條直線的夾角基本等于90°，其他3種方法擬合出的兩條直線的夾角均與90°有一定的差距。實驗3的結果說明本文提出的直線間垂直約束模型能夠確保擬合直線的正交關系。

4 結語

以直線間的平面關系為出發(fā)點，分別以平行、斜交和垂直3種位置關系推導了不同約束條件的約束模型，并與WTLS相結合組成ECWTLS，針對平行約束和斜交約束進行模擬數(shù)據(jù)實驗，針對垂直約束進行實測數(shù)據(jù)實驗，得出以下結論：

（1） 本文給出的方法和算法具有可行性。

（2） 在已知直線位置關系時，與LS、TLS、WTLS相比，使用ECWTLS能確保擬合直線位置關系正確。

（3） 擬合平行直線時，ECWTLS計算的參數(shù)標準差最小，參數(shù)估計值最接近真值;擬合斜交直線時，ECWTLS計算的參數(shù)估計值最接近真值。

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An algorithm for total least squares of line parameters

considering the position relationship

YAN Xiaoyu，LIU Yufan，LU Ziyang，ZHANG Chongyang

（School of Smart City，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China）

Abstract

Position relationships between lines can be divided into parallel，perpendicular and intersecting，and these relationships can be transformed into constraints in line fitting.For taking advantage of this constraint，the weighted total least squares estimation method with equation constraint is introduced for line fitting.Position relationship between lines is expressed as the relationship between slopes of lines，and is linearized to obtain three constraint models，which together with the weighted total least squares criterion determine the equality constrained weighted total least squares model.Then the solution

formula of the model is derived and an iterative algorithm is proposed.Finally，three simulation experiments demonstrated the feasibility and effectiveness of the developed algorithm.The result shows that the new algorithm is feasible with a higher fitting accuracy，and can ensure the correct plane position relationship between straight lines.

Key words

Plane position relationship;Straight-line fiting;Weighted total least squares;Equality constraint

（本文責編：葛 文）