一、引言

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，通過數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)已成為廣大教師的普遍共識(shí).核心素養(yǎng)包含三個(gè)基本要素：必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、正確的價(jià)值觀.為了使核心素養(yǎng)落地生根，在實(shí)際教學(xué)中，教師在注重必備知識(shí)教學(xué)的同時(shí)可以將教學(xué)活動(dòng)和教學(xué)行為指向?qū)W生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)作為教學(xué)的方向和追求.相對(duì)于素養(yǎng)，培養(yǎng)關(guān)鍵能力更具實(shí)操性，也更容易進(jìn)行教學(xué)測量.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.對(duì)應(yīng)于這六種素養(yǎng)，可以將關(guān)鍵能力分解為數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、直觀想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)據(jù)分析能力.名稱雖然一致，但體現(xiàn)了核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力之間的層次差別.相對(duì)而言，“素養(yǎng)”比“能力”的內(nèi)涵更為廣泛，它不僅包括能力，還包括知識(shí)、態(tài)度、情感、價(jià)值觀等層面.學(xué)生具備了關(guān)鍵能力，才能轉(zhuǎn)化升級(jí)為素養(yǎng)，所以說，發(fā)展關(guān)鍵能力是形成核心素養(yǎng)的必由之路.

二、解題教學(xué)應(yīng)指向關(guān)鍵能力發(fā)展

作為數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的特色之一，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，歷來受到教師的重視.筆者在聽課中發(fā)現(xiàn)，教師在解題教學(xué)中往往單純的就題講題，重知識(shí)傳授與技能訓(xùn)練，缺乏發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力的意識(shí)，課堂立意不高，教學(xué)效果不彰.事實(shí)上，解題教學(xué)不能僅僅講解題，訓(xùn)技能，它同樣有著培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力，落實(shí)核心素養(yǎng)的教學(xué)任務(wù).

課標(biāo)在高考命題建議中明確提出：“注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能的關(guān)系，要充分考慮對(duì)教學(xué)的積極引導(dǎo)作用.”這提醒我們，解題教學(xué)應(yīng)指向題中所考查的關(guān)鍵能力，以數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和問題解決為載體，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

下面以2021年新高考Ⅰ卷的解析幾何題為例，就講題時(shí)如何指向關(guān)鍵能力，提升教學(xué)內(nèi)涵，談一談自己的認(rèn)識(shí).

1.例題呈現(xiàn)

2.問題解剖

此題涉及直線方程、雙曲線方程、二次方程等必備知識(shí)，恒等變形、方程求解等基本技能，數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、化歸轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)思想，選擇合適的變?cè)米鴺?biāo)法將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

“四基”是問題解決的必要條件，但要完整地解決問題，還需要相關(guān)的關(guān)鍵能力支持.就本題而言，涉及到除數(shù)據(jù)分析能力之外的其他五種關(guān)鍵能力.在一道問題的解決過程中，各種關(guān)鍵能力所發(fā)揮的作用各異，地位也因題而異；另一方面，它們往往是協(xié)同發(fā)力的，正如課標(biāo)所言，它們是“既相互獨(dú)立、又相互交融”的有機(jī)整體.

程來刻畫；兩條動(dòng)直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)后滿足受限的條件TATB=TPTQ，這是本題的關(guān)鍵條件.在轉(zhuǎn)化思想指引下，需選擇合適的工具將這個(gè)幾何條件用僅含k1，k2的式子表示后推出結(jié)果.這是本題的難點(diǎn)所在，需要多種關(guān)鍵能力協(xié)同作戰(zhàn)才能順利通過.

3.關(guān)鍵能力指向分析

以上簡要剖析了解決問題的思維過程，這個(gè)過程是按點(diǎn)線形成順序推動(dòng)的有邏輯的過程，是用坐標(biāo)法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的數(shù)形結(jié)合的過程.不過要實(shí)現(xiàn)問題的最終解決，還需要不同關(guān)鍵能力通力合作，跨越障礙，將思路變?yōu)楝F(xiàn)實(shí).

（1）指向數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

很多教師在與筆者交流時(shí)經(jīng)常說學(xué)生做不好解析幾何題是因?yàn)檫\(yùn)算能力差，完成解析幾何題必須具備數(shù)學(xué)運(yùn)算能力看來已經(jīng)成為教師的共識(shí).運(yùn)算能力主要體現(xiàn)在哪些方面，教學(xué)中該如何著力，很多教師就答不好了，遑論在教學(xué)活動(dòng)中有針對(duì)性的指導(dǎo)了.

數(shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算規(guī)則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果.教師在教學(xué)中應(yīng)充分了解學(xué)情，明晰學(xué)生運(yùn)算能力的水平層次，薄弱之處，有目的的去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.比如運(yùn)算對(duì)象是繁分式或無理式，學(xué)生若未掌握它們的運(yùn)算規(guī)則，就可能會(huì)導(dǎo)致解題過程中道崩殂.明晰了學(xué)生的需求，教學(xué)時(shí)就應(yīng)對(duì)此進(jìn)行有的放矢的指導(dǎo)和訓(xùn)練.

講解解析幾何問題時(shí)，教師應(yīng)通過師生討論，讓學(xué)生明確：運(yùn)算對(duì)象和目標(biāo)、運(yùn)算條件、運(yùn)算路徑等.為了使運(yùn)算過程暢通無阻，還要讓學(xué)生掌握運(yùn)算規(guī)則、處理技巧等.如第（2）小題：

運(yùn)算目標(biāo)：k1+k2為定值.

（2）指向邏輯推理能力

首先要指出，探究運(yùn)算思路的過程其實(shí)就是邏輯推理的過程.例題中點(diǎn)線繁多，關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是梳理點(diǎn)和線的生成關(guān)系，理清主次，以形成思路.如本題中，點(diǎn)T是主動(dòng)點(diǎn)，推動(dòng)了題圖的形成，必須以它為源漸次表示其他點(diǎn)和線；直線AB，PQ繞T運(yùn)動(dòng)，地位平等，因此需同時(shí)引入兩個(gè)參數(shù)k1，k2，并且A，B與P，Q具有對(duì)等關(guān)系，反映在解題中，有了A，B坐標(biāo)的關(guān)系無需再重復(fù)計(jì)算P，Q坐標(biāo)間關(guān)系，只需更換下標(biāo)即可；過T自由運(yùn)動(dòng)的兩直線受條件TATB=TPTQ的約束，因此需將此條件轉(zhuǎn)化為只用參數(shù)t 和k1，k2表示的式子（這三個(gè)參數(shù)確定后，圖形隨之確定）；兩直線的對(duì)等關(guān)系表明此等式兩邊結(jié)構(gòu)必然相同，解題目標(biāo)則表明參數(shù)t必定在化簡過程中消失.教學(xué)中建議引導(dǎo)學(xué)生以流程圖或思維導(dǎo)圖的形式將以上過程體現(xiàn)出來，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，發(fā)現(xiàn)破題之道是大有裨益的.

其次，能運(yùn)用規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算也仰仗于邏輯推理能力，另外，有條理地將思路進(jìn)行表達(dá)和書寫是邏輯推理能力的另一種體現(xiàn).很多學(xué)生眼高手低，有思路卻不會(huì)表達(dá)或完整書寫，反映的其實(shí)是邏輯推理能力的不足.在教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)情選擇親身示范、學(xué)生板演、師生共評(píng)等多種教學(xué)方法提高學(xué)生這方面的能力.

本題的目標(biāo)是求k1+k2的值，這個(gè)值能提前預(yù)知嗎？可借助于合情推理，讓點(diǎn)T在x軸上，兩條動(dòng)直線關(guān)于x軸對(duì)稱顯然滿足條件，此時(shí)k1，k2互為相反數(shù)，所以k1+k2若為定值，結(jié)果必為零.預(yù)知結(jié)果能有效減少變形盲目，提高運(yùn)算效率.合情推理也是邏輯推理能力的重要方面，在教學(xué)時(shí)教師應(yīng)加強(qiáng)這方面的指導(dǎo).

解題思路的形成過程依賴于合情推理與演繹推理的共同作用，合情推理在探索發(fā)現(xiàn)方面更有著演繹推理不具備的作用.因此培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力時(shí)，這兩種推理形式都需重視，不可偏廢.

（3）指向直觀想象能力

解析幾何問題歸根結(jié)底是幾何問題，自然離不開一定的直觀想象能力.教師教學(xué)時(shí)，一方面應(yīng)借助于幾何直觀幫學(xué)生理解問題，梳理點(diǎn)線關(guān)系，另一方面應(yīng)充分發(fā)揮圖形的直觀作用，形數(shù)互化，合理想象，尋找條件與條件之間，條件與結(jié)論之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問題的解決.

本題中，正確的畫出圖形離不開直觀想象，合情推測k1+k2的值離不開直觀想象，借助圖形探尋解題思路更離不開直觀想象.在講題時(shí)，要提供讓學(xué)生獨(dú)立畫圖的機(jī)會(huì)，始終圍繞圖形找聯(lián)系，聚焦圖形探思路，結(jié)合圖形進(jìn)行代數(shù)翻譯.解析幾何是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的沃土，講解解析幾何題時(shí)，千萬不能將它異化為單純的運(yùn)算教學(xué).

（4）指向數(shù)學(xué)建模能力

例題的第（1）小題不少學(xué)生是設(shè)點(diǎn)列式化簡去處理的，其實(shí)回歸定義可以直接寫出結(jié)果，為什么沒有這樣做呢？究其原因，一方面因?yàn)檫@些學(xué)生模型意識(shí)淡薄，缺乏利用模型解決問題的習(xí)慣，數(shù)學(xué)建模能力差，另一方面也反映出不少教師教學(xué)時(shí)將重心過于落在知識(shí)方法的應(yīng)用上，極少讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的完整活動(dòng)，模型觀點(diǎn)強(qiáng)調(diào)不足，學(xué)生缺乏相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.事實(shí)上，坐標(biāo)系就是模型，是研究圓錐曲線的最佳工具.正因?yàn)橛辛俗鴺?biāo)，解析幾何才得以產(chǎn)生，教師有理由讓學(xué)生逐步地深刻認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)，而不是僅僅讓他們沉于題海，成為題目的奴隸.有了坐標(biāo)，曲線就有了方程，研究對(duì)象就發(fā)生了轉(zhuǎn)變，幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

（5）指向數(shù)學(xué)抽象能力

數(shù)學(xué)是抽象的產(chǎn)物，抽象發(fā)生在數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落.課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)思想方法與思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.

三、結(jié)語

發(fā)展核心素養(yǎng)是對(duì)新時(shí)代學(xué)生的基本要求，解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，同樣應(yīng)承擔(dān)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的責(zé)任.本文以一道解析幾何題的教學(xué)為例，談了如何在講題過程中以發(fā)展關(guān)鍵能力為指向，去追求核心素養(yǎng)培育目標(biāo)的落地.期待更多的教師通過自己的教學(xué)實(shí)踐，聚焦關(guān)鍵能力培養(yǎng)，改進(jìn)教學(xué)行為，提升課堂內(nèi)涵，最終實(shí)現(xiàn)育人目標(biāo)的達(dá)成.

參考文獻(xiàn)

［1］ 中國人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］．北京：人民教育出版社，2018．