【摘要】本文以“因式分解”起始課為例，探討如何在單元整體教學(xué)框架下打造高效的數(shù)學(xué)課堂．通過創(chuàng)設(shè)生活情境、總結(jié)聯(lián)系和區(qū)別、借助辨析鞏固概念、在具體中探討方法和依據(jù)、繼續(xù)探究、動手操作提升思維以及引導(dǎo)回顧等教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生深刻理解因式分解的概念、方法和應(yīng)用，同時培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思維能力．

【關(guān)鍵詞】單元整體教學(xué)；因式分解；高效課堂

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出，整體把握教學(xué)內(nèi)容，注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，重視單元整體教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系.所以教師應(yīng)重視對教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)內(nèi)容之間、教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的整體分析[1].筆者在一次教學(xué)活動中教授了“因式分解”，進行了單元整體教學(xué)的實踐與探索.

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)生活情境，通過不同方法計算面積，感受“化積”的獨特作用

學(xué)校的實踐課上，老師要求同學(xué)們測量學(xué)校三處花圃的各邊長度，并計算它們的面積.如圖1所示，以下是同學(xué)們的測量結(jié)果，你能用不同的方法來計算面積嗎？

問題1 如何計算第一個花圃的面積？

學(xué)生1 面積這樣計算：3.7×2.8+3.7×5+3.7×2.2.

學(xué)生2 還可以這樣計算：3.7×（2.8+5+2.2）.

問題2 這兩種方法計算的面積相等嗎？哪一種更簡便？

學(xué)生齊答 相等，3.7×2.8+5+2.2更簡便.

問題3 如何計算第二個花圃的面積？

學(xué)生3 面積這樣計算：5.4 2 +2 ×5.4×4.6+4.6 2.

學(xué)生4 還可以這樣計算：5.4+4.62 .

問題4 這兩種方法計算的面積相等嗎？哪一種更簡便？

學(xué)生齊答 相等，5.4+4.62 更簡便.

問題5 如何計算第三個花圃？

學(xué)生5 面積這樣計算：5.52-2.52.

學(xué)生6 還可以這樣計算：（5.5+2.5）×（5.5-2.5）.

問題6 這兩種方法計算的面積相等嗎？哪一種簡便？

學(xué)生齊答 相等，5.5+2.5×（5.5-2.5）簡單.

問題7 這些方法更簡便的依據(jù)是什么？

學(xué)生7 3.7×2.8+3.7×5+3.7×2.2=3.依據(jù)是逆用乘法分配律ab+ac+ad=a（b+c+d）.

學(xué)生8 5.4 2 +2 × 5.4 × 4.6+4.6 2 =（5.4+4.62）的依據(jù)是逆用乘法的完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b2）.

學(xué)生9 5.52-2.52=（5.5+2.5）×（5.5-2.5）的依據(jù)是逆用乘法的平方差公式a2-b2=a+ba-b.

設(shè)計意圖 以實際生活情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到運用數(shù)學(xué)知識解決生活問題的便捷性.學(xué)生在計算中逆運用乘法法則和公式，從數(shù)字運算的“化積”的過程向代數(shù)式運算的“化積”靠攏，具體感悟“化積”的依據(jù)[2].

2.2 分析特點

總結(jié)聯(lián)系和區(qū)別a（b+c+d）=ab+ac+ad ab+ac+ad=a（b+c+d）；

a±b2=a2±2ab+b2a2±2ab+b2=（a±b）2；

a+ba－b=a2－b2a2－b2=（a+b）（a－b）．

問題1 觀察以上三組等式，左邊一列三個等式從左往右看，都發(fā)生了怎樣的變形？

學(xué)生1 將幾個多項式乘積計算出來寫成右邊的一個多項式化.

問題2 這是我們學(xué)習(xí)過的整式的什么運算？

學(xué)生2 整式乘法.

問題3 觀察以上三組等式，對比左邊一列，右邊一列三個等式從左往右看，都發(fā)生了怎樣的變形？

學(xué)生3 都是將一個多項式化成了幾個整式的乘積.

師總結(jié) 像這樣把一個多項式寫成幾個整式的乘積的過程，叫作多項式的因式分解.

問題4 請思考因式分解與整式乘法有什么聯(lián)系和區(qū)別？

學(xué)生小組交流并總結(jié)歸納，如圖2所示.

教師口頭歸納，學(xué)生初步感知因式分解的基本方法（見圖3）.

設(shè)計意圖 在學(xué)生使用簡便方法計算面積的基礎(chǔ)上，類比整式乘法的特征，從形到數(shù)引導(dǎo)學(xué)生感悟逆運用乘法法則和公式的共同特點.從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，建構(gòu)因式分解的概念，初步建立因式分解的方法的知識框架[3].

2.3 借助辨析，鞏固概念

下列各式從左往右的變形，哪些是因式分解？

1x+2x－2=x22a2－4b2=a+2ba－2b3ab+ac+d=ab+c+d4x2－4x+4=x+2253x2z+6x3y=3x2z+2xy

師生活動 學(xué)生完成題目，教師引導(dǎo)歸納.

設(shè)計意圖 鞏固學(xué)生對因式分解概念的理解，進一步深化對因式分解和整式乘法的互逆關(guān)系的認識.

2.4 在具體問題中探討因式分解的方法和依據(jù)

學(xué)生搶答并總結(jié)如何尋找多項式的公因式，如圖4所示.

探究1 將6a3b－9a2b2c分解因式.

問題 你能把多項式的各項寫成公因式與另一個因式的積嗎？

總結(jié) 將多項式的每一項分別除以公因式，所得到的項就是另一個因式.

變式1 6a3b－9a2b2c+3a2b.

變式2 －6a3b－9a2b2c+3a2b.

設(shè)計意圖 通過問題串與變式的形式引導(dǎo)學(xué)生用提公因式法分解因式.

探究2 已知a+b=3，ab=2，求a2b+2a2b2+ab2的值.

練習(xí) 把x2+3x+c分解因式，得（x+1）（x+2），則c的值為 .

2.5 繼續(xù)探究，拓展思維

拓展1 已知長方形花壇面積為a2+a，一邊長為a+1，你能求出另一邊長嗎？

學(xué)生1 長方形的另一邊為（a2+a）÷（a+1）.

教師 你能算出結(jié)果來嗎？

學(xué)生2 將a2+a寫成aa+1，結(jié)果就是a.

教師 a2+a=a（a+1）這一步是在進行什么數(shù)學(xué)變形呢？

學(xué)生齊答 因式分解.

拓展2 你會解這樣的方程嗎？

學(xué)生 因為x2－2x=x（x－2），所以x（x－2）=0，所以x=0或2.

教師 這是逆運用整式乘法法則，即體現(xiàn)因式分解是整式乘法的逆變形，后續(xù)也會逆運用乘法公式.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生在解決問題中“識別”和“運用”因式分解，進一步認識整式乘法與因式分解是互逆變形的．運用因式分解將學(xué)生不熟悉的一元二次方程分解為幾個熟悉的一元一次方程，初步感知“降次”，為后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊[4].

2.6 動手操作 思維提升

數(shù)學(xué)實驗：如圖5所示，用1張A型紙片，2張B型紙片，3張C型紙片，拼成一個長為a+2b，寬為a+b的長方形，并根據(jù)拼圖的過程將多項式a2+3ab+2b2分解因式.

小組上臺展示拼圖結(jié)果，代表1展示部分法求圖形面積a2+3ab+2b2，代表2展示整體法求圖形面積a+2ba+b，代表3總結(jié)：a2+3ab+2b2=a+2ba+b.

教師 我們借助拼圖，用不同的方法求圖形面積得出等式a2+3ab+2b2=a+2ba+b，這就是我們今天學(xué)習(xí)的因式分解，這種方法將是我們今后要學(xué)習(xí)的十字相乘法.

個等式設(shè)計意圖 通過動手操作——拼圖，用不同的方法計算圖形面積，并將其蘊含的數(shù)形結(jié)合思想方法與因式分解的基本知識相關(guān)聯(lián)，完善知識基本框架.

2.7 引導(dǎo)回顧，整體建構(gòu)“因式分解”

教師結(jié)合知識框架圖，通過問題串引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)歷程（見圖6）.

（1）因式分解是什么？

（2）如何理解它與整式乘法的關(guān)系？

（3）因式分解的方法有哪些？

（4）因式分解有哪些簡單應(yīng)用？

3 教學(xué)思考

3.1 順應(yīng)知識的發(fā)展路徑，建構(gòu)知識體系

“因式分解”教學(xué)中，對概念引入、探究、形成環(huán)節(jié)的設(shè)計，應(yīng)在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上，讓其明白知識的來龍去脈、內(nèi)在聯(lián)系，把握知識的發(fā)生、發(fā)展過程，形成結(jié)構(gòu)化的框圖式思維體系，促進知識的融合.

3.2 借助問題串整體探究，促進深刻理解

借助問題串提問，可以引導(dǎo)學(xué)生有邏輯地思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同知識點間的區(qū)別與聯(lián)系，進一步細化原本的知識結(jié)構(gòu)框圖.

參考文獻：

[1]施俊進.整體建構(gòu)：先見“森林”，再見“樹木”——《因式分解》一課教學(xué)實踐[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2021（05）：84-86.

[2]戴秀梅.聚焦整體建構(gòu)，引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)——以“因式分解”起始課教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（14）：12-15.