【摘要】本文通過(guò)對(duì)不同類(lèi)型的幾何模型進(jìn)行分析，結(jié)合具體實(shí)例，總結(jié)求解線(xiàn)段最值問(wèn)題的有效方法，以提高學(xué)生解決此類(lèi)問(wèn)題的能力．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；線(xiàn)段最值；解題策略

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，線(xiàn)段最值問(wèn)題是一個(gè)重要的研究課題．解決線(xiàn)段最值問(wèn)題需要綜合運(yùn)用幾何知識(shí)、代數(shù)方法和邏輯推理能力．通過(guò)對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的深入研究，可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新意識(shí)．

1 “將軍飲馬”模型

例1 已知點(diǎn)P在∠MON內(nèi)．

（1）如圖1，點(diǎn)P關(guān)于射線(xiàn)OM、ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是G、H，連接OG、OH、OP、CH．

①若∠MON=30°，則△OGH是什么特殊三角形？為什么？

②若∠MON=90°，試判斷GH與OP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）如圖2，若∠MON=30°， A、B分別是射線(xiàn)OM、ON上的點(diǎn)，AB⊥ON于點(diǎn)B，點(diǎn)P、Q分別為OA、AB上的兩個(gè)定點(diǎn)，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一動(dòng)點(diǎn)E，試求PE+QE的最小值．

解析 （1）①△OGH是等邊三角形，

因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于OM對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為G，

所以O(shè)P=OG，∠POM=∠GOM，

同理OP=OH，∠PON=∠HON，

所以O(shè)G=OH，

因?yàn)椤螹ON=30°，

所以∠GOH=60°，

所以△OGH是等邊三角形．

②GH=2OP，當(dāng)∠MON=90°時(shí)，∠GOH=180°，

所以G、O、H在同一直線(xiàn)上，OP=OG=OH．

因?yàn)镚H=OG+OH=2OC，

所以GH=2OP.

（2）過(guò)Q作ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′，連接PQ′，交ON于點(diǎn)E，連接QE，如圖3，

所以PE+QE最小值為PQ′．

因?yàn)椤螹ON=30°，∠ABO=90°，

所以∠OAB=60°．

因?yàn)锳Q=OP=2，QB=1.5，

所以AB=3.5，

所以O(shè)A=2AB=7，

所以AP=5．

因?yàn)辄c(diǎn)Q與Q′關(guān)于ON對(duì)稱(chēng)，

所以QB=Q′B=1.5，所以AQ′=5，所以△APQ′是等邊三角形，

所以PQ′=5，即PE+QE的最小值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)—最短路線(xiàn)問(wèn)題，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)．首先要識(shí)別屬于“將軍飲馬”模型，利用模型技巧作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)并連線(xiàn)，即可快速解題．

2 垂線(xiàn)段最短模型

例2 如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)．若CD＝5，則DE的最小值為 ．

解析 當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE的值最小，

因?yàn)锳D是∠BAC的平分線(xiàn)，

∠C＝90°，CD＝5，

所以DE的最小值＝CD＝5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是角平分線(xiàn)性質(zhì)，關(guān)鍵是知道垂線(xiàn)段最短是解題的關(guān)鍵．

3 旋轉(zhuǎn)求最值模型

例3 如圖5，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求22BP+5AP+3PC最小值．

解析 如圖6，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AP′C′，將△AP′C′擴(kuò)大，相似比為324倍，得到△AP″C″，

則AP″=324AP′，P″C″=324P′C′，

AC″=324AC′，

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AP″于E，

所以AE=PE=22AP，

所以P″E=AP″-AE=24AP，

所以PP″=PE2+P″E2=104AP，

當(dāng)點(diǎn)B、P、P″、C″在同一直線(xiàn)上時(shí)，22BP+5AP+3PC=22PB+PP″+P″C″最短，

此時(shí)22PB+PP″+P″C″=22BC″，

因?yàn)椤螧AC″=∠BAC+∠CAC″=90°，AB=6，

AC″=324AC′=324×4=32，

所以BC″=AB2+AC″2=62+（32）2=36．

所以22BP+5AP+3PC=22BC″=22×36=123.

點(diǎn)評(píng) 此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理.正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線(xiàn)段，利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)共線(xiàn)的知識(shí)求解，有時(shí)根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形．

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在幾何背景下求解線(xiàn)段最值問(wèn)題，從以上三種模型中分別尋找相應(yīng)的解題策略．在實(shí)際解題過(guò)程中，需要根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)，靈活選擇合適的方法．通過(guò)對(duì)線(xiàn)段最值問(wèn)題的深入研究和不斷探索，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

參考文獻(xiàn)：

[1]丁力.初中數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題探究——以“將軍飲馬”問(wèn)題模型的解題策略為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（14）：79-80.

[2]陸燕.初三學(xué)生在求解幾何最值問(wèn)題中思維障礙成因的調(diào)查研究[D].揚(yáng)州：揚(yáng)州大學(xué)，2023.

[3]陳禮弦.利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”解決最值問(wèn)題[J].數(shù)理化解題研究，2024（08）：13-15.