摘要：多能流狀態(tài)估計是能源互聯(lián)網(wǎng)的重要研究領(lǐng)域。目前，關(guān)于電-水耦合系統(tǒng)狀態(tài)估計的研究剛起步，還存在對水網(wǎng)工況適應(yīng)性差、對電-水耦合信息利用不充分等問題。為此，提出一種考慮管道摩阻系數(shù)修正的水網(wǎng)雙線性最小二乘（weighted least square，WLS）狀態(tài)估計方法，并進(jìn)一步基于水泵虛擬測量構(gòu)造電-水耦合信息雙向傳遞，提出適用于電-水耦合系統(tǒng)分立運(yùn)行、協(xié)同運(yùn)行和聯(lián)合運(yùn)行的雙線性WLS 狀態(tài)估計方法。用11 節(jié)點水網(wǎng)及其與IEEE-14 節(jié)點、IEEE-118 節(jié)點電網(wǎng)耦合形成的2 個電-水耦合系統(tǒng)驗證了所提雙線性WLS 估計的有效性。算例結(jié)果證明了水網(wǎng)狀態(tài)估計中修正管道摩阻系數(shù)的必要性與雙線性WLS 估計方法在計算效率與小流量水網(wǎng)適應(yīng)性方面的優(yōu)越性，以及協(xié)同估計與聯(lián)合估計在提升電網(wǎng)/水網(wǎng)狀態(tài)估計精度、數(shù)據(jù)一致性與可觀性方面的有效性。

關(guān)鍵詞：能源互聯(lián)網(wǎng)；狀態(tài)估計；電力系統(tǒng)；水網(wǎng)；最小二乘；雙線性估計

中圖分類號：TM732 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1000-582X（2024）11-065-16

能源互聯(lián)網(wǎng)以電力、天然氣、熱力系統(tǒng)等多種能源系統(tǒng)互聯(lián)互通形成的綜合能源系統(tǒng)（integrated energysystem，IES）為物理載體，以多能互補(bǔ)、開放共享為基本特征，近年來逐漸發(fā)展成為能源領(lǐng)域的前沿方向[1]。能源互聯(lián)網(wǎng)中多能流系統(tǒng)的高效協(xié)同運(yùn)行與控制需要利用數(shù)據(jù)采集與監(jiān)控（supervisory control and dataacquisition，SCADA）系統(tǒng)提供的量測數(shù)據(jù)，并通過狀態(tài)估計來提供完整、可靠、準(zhǔn)確的多能流模型與狀態(tài)數(shù)據(jù)來實現(xiàn)。

目前，多能流狀態(tài)估計已成為能源互聯(lián)網(wǎng)的重要研究內(nèi)容。國內(nèi)外學(xué)者以電網(wǎng)狀態(tài)估計為基礎(chǔ)，結(jié)合多能流耦合特性，開展了大量關(guān)于多能流狀態(tài)估計的研究[2]，涉及電-氣IES[3-5]、電-熱IES[6-8]和電-氣-熱IES[9-10]等多種耦合系統(tǒng)。其中，文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[8]是較早關(guān)注多能流狀態(tài)估計的研究，基于加權(quán)最小二乘（weightedleast squares，WLS）方法分別實現(xiàn)了電-熱和電-氣IES 的狀態(tài)估計；此后，在多能流狀態(tài)估計領(lǐng)域進(jìn)一步出現(xiàn)加權(quán)最小絕對值估計[6]、基于交替方向乘子法的分布式狀態(tài)估計[9]等方法。

不僅電-氣、電-熱和電-氣-熱之間存在耦合關(guān)系，電網(wǎng)與水網(wǎng)之間也有密切關(guān)聯(lián)。電力生產(chǎn)需要大量取水，水的取用、處理和輸送需要消耗大量電力（電力驅(qū)動水泵耗能占比最大，據(jù)統(tǒng)計中國2015 年僅泵取地下水消耗的電能就高達(dá)45 800 GW·h[11]）。在能源互聯(lián)網(wǎng)背景下，盡管已有大量關(guān)于電-水耦合系統(tǒng)潮流[12]、最優(yōu)潮流[13]及協(xié)同調(diào)度[14]的研究，但關(guān)于電-水耦合系統(tǒng)狀態(tài)估計的研究才剛剛起步[15]。

電-水耦合系統(tǒng)狀態(tài)估計以電網(wǎng)和水網(wǎng)狀態(tài)估計為基礎(chǔ)，需要重點處理電-水耦合環(huán)節(jié)帶來的新問題。電網(wǎng)狀態(tài)估計最早由Scheweppe 教授于20 世紀(jì)70 年代提出[16]，目前已有十分成熟的理論和方法；水網(wǎng)狀態(tài)估計在很大程度上借鑒了電網(wǎng)的研究思路，也針對水力狀態(tài)估計、水質(zhì)估計、泄漏檢測等特殊問題形成了一系列水網(wǎng)狀態(tài)估計方法。與電網(wǎng)類似，水網(wǎng)狀態(tài)估計同樣以WLS 估計為基礎(chǔ)[17-22]，分別以節(jié)點水頭[18]、環(huán)路修正流量[19]為狀態(tài)變量，基于節(jié)點流量平衡方程[20]或環(huán)能量方程[21]建立水網(wǎng)的WLS 估計模型，Bargiela[22]特別針對小流量工況討論了WLS 估計的收斂性問題?？梢?，無論是電網(wǎng)、水網(wǎng)還是各種IES，最基本且應(yīng)用最廣泛的狀態(tài)估計方法都是WLS 估計，Moazeni 等[15]同樣報道了基于WLS 估計實現(xiàn)電-水耦合系統(tǒng)狀態(tài)估計。然而，電網(wǎng)和各種IES 的WLS 估計本質(zhì)上都是非線性非凸優(yōu)化問題，存在收斂性問題及全局尋優(yōu)困難問題[23]。為此，Gomez-Exposito 等[24]提出電網(wǎng)狀態(tài)估計的雙線性WLS 方法，通過引入輔助量測量和輔助狀態(tài)變量，將原非線性WLS 問題轉(zhuǎn)化為2 個線性WLS 問題（即“雙線性化”）和一個非線性變換過程；之后，該方法進(jìn)一步發(fā)展為考慮等式約束的雙線性估計方法[25]和雙線性抗差估計方法[26-27]。隨著能源互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，雙線性估計方法也從電網(wǎng)狀態(tài)估計進(jìn)一步推廣應(yīng)用于電-氣IES[28]、電-熱IES[29]及電-氣-熱IES[9]的多能流狀態(tài)估計。

如前所述，文獻(xiàn)[15]是目前僅有的關(guān)于電-水耦合系統(tǒng)狀態(tài)估計的專題研究，但還存在以下局限：1）方法本質(zhì)上是求解水網(wǎng)和電網(wǎng)2 個非線性WLS 估計問題，難以克服非線性WLS 模型固有的收斂性問題和全局尋優(yōu)困難；2）僅將水泵功率用于電網(wǎng)狀態(tài)估計而未考慮水泵功率對水網(wǎng)狀態(tài)估計的作用，對電-水耦合信息的利用并不充分；3）為電網(wǎng)和水網(wǎng)的狀態(tài)估計問題的順序求解，未討論耦合系統(tǒng)運(yùn)行管理模式對狀態(tài)估計的影響；4）采用Hazen-Williams（H-W）公式[30]描述管道水頭損失，而H-W 公式對流態(tài)及管道粗糙度有一定限制。這些影響了文獻(xiàn)[15]的工程適用性。

水網(wǎng)及電-水耦合系統(tǒng)量測方程的非線性導(dǎo)致其狀態(tài)估計是一個非線性WLS 問題，因此，文中將應(yīng)用雙線性估計的基本思想，研究適用于水網(wǎng)和電-水耦合系統(tǒng)狀態(tài)估計的雙線性估計方法。需要指出，熱網(wǎng)含水力和熱力2 個部分，涉及熱網(wǎng)雙線性估計方法的研究（如文獻(xiàn)[9]與文獻(xiàn)[29]），對水網(wǎng)的雙線性化有一定參考意義。但是，熱網(wǎng)水力工況平穩(wěn)，水壓和流量變化不大，而水網(wǎng)工況取決于水負(fù)荷，變化幅度大，對管道方程的適用性要求更高；此外，水網(wǎng)通常需要配置水泵來補(bǔ)償水頭損失，而現(xiàn)有的關(guān)于熱網(wǎng)、電-熱IES[6-8，29]及電-氣-熱IES[9-10]狀態(tài)估計的研究均未涉及水泵。

文中的主要工作如下：1）提出水網(wǎng)與電-水耦合元件量測方程的雙線性化方案；2）為保證管道方程對水網(wǎng)水力工況的適應(yīng)性，提出考慮管道摩阻系數(shù)修正的水網(wǎng)雙線性WLS 估計方法；3）為適應(yīng)電-水耦合系統(tǒng)的不同運(yùn)營模式，提出以水泵虛擬量測實現(xiàn)電-水耦合信息雙向傳遞的雙線性協(xié)同估計和聯(lián)合估計方法。分別用水網(wǎng)和2 個不同規(guī)模電-水耦合系統(tǒng)算例驗證所提雙線性WLS 估計方法的有效性。

1 電-水耦合系統(tǒng)的量測方程

電-水耦合系統(tǒng)量測方程由電網(wǎng)、輸配水網(wǎng)與電-水耦合環(huán)節(jié)3 部分量測方程組成。電網(wǎng)量測方程以經(jīng)典交流潮流方程為基礎(chǔ)，以下重點說明輸配水網(wǎng)與電-水耦合環(huán)節(jié)的量測方程。

1.1 電網(wǎng)的量測方程

考慮電網(wǎng)量測數(shù)據(jù)為SCADA 系統(tǒng)提供的節(jié)點電壓幅值、支路有功/無功功率及節(jié)點注入有功/無功功率，以節(jié)點電壓為狀態(tài)變量，電網(wǎng)量測方程為[23]：

式中：上標(biāo)m 表示量測量，下標(biāo)i、j 表示節(jié)點i 和節(jié)點j，下標(biāo)ij 表示支路ij；Vi和V mi 分別為節(jié)點i 電壓模值及其量測；θij=θi-θj為支路ij 兩端節(jié)點電壓相角差；Pmij 與Qmij 分別為支路ij 的有功與無功量測；Pmi 與Qmi 分別為節(jié)點i注入有功和無功量測；gij和bij分別為支路ij 的串聯(lián)電導(dǎo)和電納；gsi和bsi分別為節(jié)點i、j 的對地電導(dǎo)和電納；Gij和Bij分別為節(jié)點導(dǎo)納矩陣中節(jié)點i、j 對應(yīng)的電導(dǎo)和電納；j∈i 表示與節(jié)點i 直接連接的節(jié)點集合；eVi、ePij、eQij、ePi與eQi分別表示下標(biāo)量測量對應(yīng)的量測誤差。

記節(jié)點電壓模值和相角分別為V = [V1 ，…，VNE ]T、θ = [θ1 ，…，θNE - 1 ]T（下標(biāo)E 表示電網(wǎng)，上標(biāo)T 表示轉(zhuǎn)置，NE為節(jié)點總數(shù)，平衡節(jié)點相角設(shè)為0），則電網(wǎng)狀態(tài)變量為xE = [V T ，θT ]T，式（1）可記為

zE = hE （ xE ） + eE， （2）

式中：hE（·）表示電網(wǎng)量測函數(shù)；zE和eE分別表示電網(wǎng)量測量及其誤差向量。

1.2 水網(wǎng)的量測方程

1.2.1 水網(wǎng)的元件模型

輸配水網(wǎng)又稱給水管網(wǎng)[30] （簡稱水網(wǎng)），主要包含管道、水泵等元件，用節(jié)點水頭和支路流量來刻畫其穩(wěn)態(tài)水力特性。文中考慮圓管滿流，管道沿程水頭損失為

Δhp = rqnp， （3）

式中：下標(biāo)p 表示管道；Δhp為管道兩端節(jié)點的水頭差；qp為管道流量；r 和n 分別為管道摩阻系數(shù)和水力指數(shù)。摩阻系數(shù)與管道材質(zhì)、幾何參數(shù)及水流流態(tài)等多個因素有關(guān)。采用Darcy-Weisbach（D-W）公式時，n=2，摩阻系數(shù)為

r =fl/2gdA2 ， （4）

式中：g 為重力加速度；l、d 和A 分別為管道的長度、內(nèi)直徑和斷面面積；f 為管道摩擦系數(shù)，取決于水流流態(tài)、管道粗糙度等多個因素。

目前，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種計算摩擦系數(shù)的方法，其中，Colebrook-White（C-W）公式是適用性及精度最高的公式之一，為

式中：ε 為管壁當(dāng)量粗糙度；Re 為雷諾數(shù)。

雷諾數(shù)是表征流態(tài)的重要參數(shù)，圓管滿流的雷諾數(shù)計算為

Re =4qp/πvd， （6）

式中，v 為水的運(yùn)動粘滯系數(shù)。

C-W 公式實質(zhì)是關(guān)于摩擦系數(shù)的隱函數(shù)。為簡化摩擦系數(shù)的計算，水力學(xué)分析中通常采用近似顯函數(shù)[30]、Moody 曲線[31]等方法。對于處于紊流態(tài)（Re>4 000）的較光滑圓管滿流，可用H-W 公式來進(jìn)一步簡化計算[30]：

f =13.16gd 0.13/C 1.852HW q0.148p。（7）

式中：CHW 為管道的H-W系數(shù)（與管道材料、老化程度、斷面橫截面積等參數(shù)有關(guān)的經(jīng)驗常數(shù)）。

基于H-W公式的管道水頭損失為：

Δw9l4ov0Dne+Hv/WDq+QOPw==hp =（10.67l/C 1.852HW d 4.87）q1.852p 。（8）

沿用式（3）的一般表達(dá)，則式（3）中n=1.852，摩阻系數(shù)為：

r =10.67l/C 1.852HW d 4.87 。（9）

如前所述，現(xiàn)有關(guān)于水網(wǎng)及電-水耦合網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)估計的研究大多采用H-W公式，而H-W公式的適用性有限，可能會影響狀態(tài)估計的精度。為此，文中提出基于D-W公式的水網(wǎng)狀態(tài)估計方法?？紤]到狀態(tài)估計對計算時間要求高而C-W公式的計算量較大，因此，筆者采用文獻(xiàn)[32]的經(jīng)驗計算方法。

水泵通過增加水流壓力來克服管道的摩擦阻力，是實現(xiàn)水流加壓輸送以滿足用戶水壓需求的重要元件。文中采用以下?lián)P程方程[32]來描述水泵的水力特性

Δhu = a - bq2u， （10）

式中：下標(biāo)u 表示水泵；Δhu 為水泵揚(yáng)程（水泵兩端節(jié)點的水頭差）；qu 為水泵流量；a 和b 分別為水泵關(guān)斷水頭和阻力系數(shù)，一般通過廠家提供的揚(yáng)程曲線擬合得到。

1.2.2 水網(wǎng)的量測量及量測方程

與電網(wǎng)類似，輸配水網(wǎng)同樣通過水力SCADA 系統(tǒng)來獲取相關(guān)量測數(shù)據(jù)，典型量測包括節(jié)點水頭、管道/水泵流量及節(jié)點注入流量[33]。以節(jié)點水頭為狀態(tài)變量，由管道方程（式（3））、水泵方程（式（10））及節(jié)點流量連續(xù)性定律，可得量測方程

式中：hi和hmi 分別為水網(wǎng)節(jié)點i 水頭及其量測；qp，ij 和qmp，ij 分別為管道ij（即首末節(jié)點為i、j 的管道）流量及其量測；rij為管道ij 摩阻系數(shù)；qu，ij 和qmu，ij 分別為水泵ij 流量及其量測；au，ij和bu，ij分別為水泵ij 的水力參數(shù)；qmi 為節(jié)點i注入流量量測；ij∈i+、ki∈i- 分別表示以節(jié)點i 為起點及終點的支路集合；ehi、epij、euij與eqi分別表示下標(biāo)對應(yīng)的量測誤差。

需要特別指出，采用H-W 公式時，式（11）中摩阻系數(shù)rij 為經(jīng)驗常數(shù)；而采用D-W 公式時，由于rij 隨管道流量變化，而管道流量是水頭差的函數(shù)（參見式（3）～（6）），管道流量量測函數(shù)是關(guān)于管道兩端節(jié)點水頭的復(fù)雜函數(shù)。為簡化狀態(tài)估計模型同時兼顧狀態(tài)估計的精度，基于文獻(xiàn)[32]的經(jīng)驗計算方法，提出一種考慮摩阻系數(shù)修正的水網(wǎng)狀態(tài)估計方法。

與電網(wǎng)類似，水網(wǎng)量測方程（式（11））同樣可記為

zW = hW （ xW） + eW， （12）

式中：下標(biāo)W表示水網(wǎng)；xW = h = [ h1 ，…，hNW ]T為水網(wǎng)水頭向量，NW 為水網(wǎng)節(jié)點總數(shù)；hW（·）表示水網(wǎng)量測函數(shù)；zW 和eW 分別表示水網(wǎng)量測量及其誤差向量。

1.3 電-水耦合環(huán)節(jié)的量測方程

電力驅(qū)動水泵將電能轉(zhuǎn)化為提升水頭所需的機(jī)械能，是最主要的電-水耦合元件。水泵所消耗的功率[15]為

式中：ρ 為水的密度；ηu為水泵功率和效率。

顯然，根據(jù)式（13）的電-水耦合關(guān)系，水泵流量及水頭量測可參與電網(wǎng)的狀態(tài)估計，而水泵功率量測也可以參與水網(wǎng)的狀態(tài)估計。文獻(xiàn)[15]僅考慮前者，文中同時考慮2 種情形，以充分利用耦合環(huán)節(jié)的量測信息。

假設(shè)水泵接入水網(wǎng)節(jié)點i、j，由式（10）及（13），可構(gòu)造如下水泵功率量測方程

式中：Pmu，ij 和ePuij分別為水泵ij 的功率量測及其誤差；ηu，ij為水泵ij 的效率。

若水泵ij 由電網(wǎng)節(jié)點k 供電，則水泵功率以節(jié)點有功負(fù)荷形式參與節(jié)點k 的有功功率平衡。文中以水泵流量與揚(yáng)程的乘積（即quΔhu）作為虛擬量測，則有

式中，C muk 和eCk分別為水泵虛擬量測量及其誤差。

設(shè)水泵ij 的流量及水頭量測為服從正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量，即qmu ～ N （μq ，σ 2q ），水頭量測hmi ～ N （ μi ，σ 2i ）、hmj ～ N （μj ，σ 2j ），則揚(yáng)程Δhmu ～ N （μj - μi ，σ 2i + σ 2j ）。

以Cu=quΔhu作為虛擬量測，則虛擬量測量的方差為

D （qu Δhu ） = D （qu ） D （Δhu ） + D （qu ） E2 （Δhu ） + D （Δhu ） E2 （qu ）， （16）

式中，E（·）和D（·）分別為期望和方差算子。

代入流量及揚(yáng)程的均值和方差，有：

D （qu Δhu ） = σ 2q （σ 2i + σ 2j ） + σ 2q （ μj - μi ） 2+ （σ 2i + σ 2j ） μ2q。（17）

取流量及水頭表計量測精度作為標(biāo)準(zhǔn)差，并假設(shè)水泵量測水頭量測表計的精度一致，則有σi=σj=σh；用流量/水頭量測值來近似其期望，則虛擬量測量方差為：

D （qu Δhu ） ≈ 2σ 2q σ 2h + σ 2q （hmj- hmi） 2+ 2 （σh qmu） 2。（18）

顯然，式（14）與（15）可記為

zuP = huP （ xW） + euP， （19）

zuC = huC （ xE ） + euC， （20）

式中：zuP和euP分別表示水泵功率量測及其誤差向量；zuC和euC分別表示水泵虛擬量測量及其誤差向量；huP（·）和huC（·）分別表示水泵功率及虛擬量測量對應(yīng)的量測函數(shù)。

2 雙線性最小二乘狀態(tài)估計原理

2.1 加權(quán)最小二乘估計

電網(wǎng)、水網(wǎng)及電-水耦合系統(tǒng)的量測方程均可寫為

z = h （ x） + e， （21）

式中：x、z 和e 分別為狀態(tài)變量、量測量及量測誤差向量。

假設(shè)各量測量為服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，基于極大似然估計的狀態(tài)估計等價于求解如下WLS 問題[23]。

min [ z - h （ x） ]TW [ z - h （ x） ]， （22）

式中：W為權(quán)重矩陣，通常取 W = diag{σ -2i }（σi為第i 個量測量的標(biāo)準(zhǔn)差，diag{·}表示對角陣）。

問題（22）可轉(zhuǎn)化為如下正則方程的迭代求解[23] （通常稱為高斯-牛頓法）

G（k ）Δx（k ） =[ H（k ） ]TW [ z - h （ x（k ） ） ]， （23）

式中：上標(biāo)（k）表示第k 次迭代；H 為h（x）的雅可比矩陣，G=HTWH 稱為增益矩陣；Δx 為x 的修正量。顯然，當(dāng)h（x）為線性函數(shù)時，G 為常系數(shù)矩陣，求解正則方程無需迭代。

考慮電網(wǎng)/水網(wǎng)的零注入約束及電-水耦合方程時，狀態(tài)估計建模為含等式約束的WLS 問題，基于高斯-牛頓法同樣可以轉(zhuǎn)化為類似式（23）的正則方程的迭代求解，詳見文獻(xiàn)[23]。

2.2 雙線性WLS 估計

對于電網(wǎng)、水網(wǎng)或者電-水耦合系統(tǒng)，WLS 估計本質(zhì)上都是非線性非凸優(yōu)化問題，應(yīng)用高斯-牛頓法可能存在收斂問題及全局尋優(yōu)困難。為此，文獻(xiàn)[24]提出雙線性WLS 估計方法，其基本思想是通過設(shè)置輔助變量將非線性量測函數(shù)線性化，從而將非線性的WLS 原問題轉(zhuǎn)化為2 個線性WLS 問題的順序求解。為簡化表述，下面以不含等式約束的WLS 問題為例說明雙線性WLS 估計的基本原理，等式約束雙線性估計方法詳見文獻(xiàn)[25]。

假設(shè)通過引入適當(dāng)?shù)妮o助變量和變換關(guān)系，原量測方程（21）可轉(zhuǎn)化為

z = By + e， （24）

u = f （ y）， （25）

u = Cx + eu， （26）

式中：y 和u 為輔助變量；f（·）為u 和y 之間的變換關(guān)系；eu為u 的量測誤差；B 和C 分別表征z、y 及u、x 之間線性變換關(guān)系的系數(shù)矩陣。

式（24）與式（26）為2 組線性量測方程，式（25）為一組非線性變換。相應(yīng)地，雙線性估計包含以下3 個階段[24]。

1）以y 為輔助狀態(tài)變量，求解式（24）對應(yīng)的線性WLS 問題，得到y(tǒng) 的估計值y?，即

Gb y? = BTWz， （27）

式中：Gb=BTWB 為式（24）對應(yīng)的增益矩陣?？梢宰C明，y 的協(xié)方差矩陣cov （ y） = G-1b 。

2）計算u 的估計值u? 及權(quán)重矩陣Wu為

式中：F 為f（·）的雅可比矩陣；F ? 為F 在y? 處的取值。

3）以u 為輔助量測量，求解式（26）對應(yīng)的線性WLS 問題，得到x 的估計值x?，即

Gc x? = CTWuu?， （29）

式中：Gc=CTWuC 為式（26）對應(yīng)的增益矩陣。

對于含等式約束的WLS 模型，應(yīng)用雙線性方法時需要引入輔助狀態(tài)變量將等式約束線性化，并在上述3個階段線性WLS 估計及非線性變換中增廣拉格朗日乘子。

3 電-水耦合系統(tǒng)量測方程的雙線性化

雙線性狀態(tài)估計的關(guān)鍵在于量測方程的雙線性化，即如何構(gòu)造輔助變量y、u 實現(xiàn)量測方程的線性化。關(guān)于電網(wǎng)的雙線性化已有諸多研究[24-25]，以下重點說明水網(wǎng)及電-水耦合環(huán)節(jié)的雙線性化方案。下文分別用下標(biāo)E、W表示電網(wǎng)與水網(wǎng)對應(yīng)的相關(guān)矩陣（例如，用yE、yW 分別表示電網(wǎng)與水網(wǎng)對應(yīng)的y，余類推）。

3.1 電網(wǎng)量測方程的雙線性化

采用文獻(xiàn)[24]的輔助變量設(shè)置方案，取

則有：yE = [U T ，K T ，LT ]T（U、K 和L 分別為Ui、Kij和Lij構(gòu)成的列向量）。

需要指出，一般來說，yE 的維度大于電網(wǎng)WLS 原問題的狀態(tài)變量xE = [V T ，θT ]T，某些情況下可能影響狀態(tài)估計的可觀性，這也是雙線性估計方法的固有缺陷。

以節(jié)點電壓平方的對數(shù)（即αi=2lnVi）及電壓相角為電網(wǎng)狀態(tài)變量（即xE = [ αT ，θT ]T），則可以按式（31）設(shè)置式（26）中的輔助量測向量uE。

因此，取第一階段水網(wǎng)的輔助狀態(tài)向量yW = [ hT ，MT ，N T ]T（h、M、N 分別為節(jié)點水頭hi 及支路輔助變量Mp，ij、Nu，ij 構(gòu)成的列向量），即可將水網(wǎng)原始量測方程zW=hW（xW）+eW（式（12））轉(zhuǎn)化為線性量測方程zW=BWyW+eW（BW 為水網(wǎng)對應(yīng)的B 矩陣）。文中以節(jié)點水頭為水網(wǎng)狀態(tài)變量xW，取各支路水頭差（即Δhij=hi-hj）形成輔助量測向量uW（即取uW=[hT，ΔhT]T），則uW 與xW 之間滿足第三階段所需的線性變換關(guān)系，且由水網(wǎng)的節(jié)點-支路關(guān)聯(lián)矩陣即可方便地獲取式（26）中系數(shù)矩陣CW。此外，由式（33）可知，管道和水泵的水頭差分別滿足：

由式（35）可導(dǎo)出第二階段所需uW 與yW 之間的非線性變換關(guān)系。

不難發(fā)現(xiàn)，雙線性估計第一階段以zW 為量測、yW 為輔助狀態(tài)向量，第三階段以uW 為輔助量測、xW 為狀態(tài)向量，而常規(guī)WLS 估計以zW 為量測、xW 為狀態(tài)向量；由于yW 及uW 的維度取決于水頭測點數(shù)、支路流量測點數(shù)及節(jié)點流量測點關(guān)聯(lián)的支路數(shù)，其維度可能超過節(jié)點數(shù)，導(dǎo)致雙線性估計冗余度損失，從而影響雙線性估計的精度甚至可觀性。后文將結(jié)合算例具體說明這一問題（參見5.1.2 節(jié)）。

3.3 電-水耦合環(huán)節(jié)量測方程的雙線性化

電-水耦合環(huán)節(jié)量測方程包含水泵功率量測方程（式（14））和虛擬量測方程（式（15））。其中，虛擬量測方程本質(zhì)上是節(jié)點功率方程，按式（30）設(shè)置輔助變量即可實現(xiàn)量測方程的線性化。對于水泵功率量測方程，在輔助變量Nu，ij的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步補(bǔ)充變量Tu，ij：

Tu，ij = （au，ij + hi - hj ） 1.5。（36）

則式（14）轉(zhuǎn)化為如下線性量測方程：

與3.2 節(jié)所述水網(wǎng)的線性化類似，取水泵水頭差作為輔助量測量，則由式（36），有

Δhu，ij = au，ij - T 2 3u，ij 。（38）

可見，式（35）第二式和式（38）即為電-水耦合環(huán)節(jié)輔助狀態(tài)變量與輔助量測量之間的非線性變換關(guān)系。

需要指出，由于電-水耦合環(huán)節(jié)的量測方程并不獨(dú)立構(gòu)成狀態(tài)估計模型，因此無須專門針對電-水耦合環(huán)節(jié)形成雙線性狀態(tài)估計所需的y 和u。

4 電-水耦合系統(tǒng)狀態(tài)估計的3 種模式及其雙線性估計方法

考慮電-水耦合系統(tǒng)不同的運(yùn)行管理模式，文中提出分立估計、協(xié)同估計和聯(lián)合估計3 種狀態(tài)估計模式。

4.1 分立估計

分立估計不考慮電網(wǎng)與水網(wǎng)之間的耦合關(guān)系，適用于電網(wǎng)與水網(wǎng)分立運(yùn)行的傳統(tǒng)模式。在該模式下，電網(wǎng)和水網(wǎng)分別獨(dú)立進(jìn)行狀態(tài)估計，兩者之間不進(jìn)行數(shù)據(jù)交互。

根據(jù)電網(wǎng)和水網(wǎng)的量測方程（式（2）、式（12）），考慮零注入約束，分立估計模式下電網(wǎng)和水網(wǎng)的WLS 估計模型分別為：

min [ zE - hE （ xE ） ]TWE[ zE - hE （ xE ） ]，s.t. cE （ xE ） = 0 ；（39）

min [ zW - hW （ xW） ]TWW[ zW - hW （ xW） ]，s.t. cW （ xW） = 0 。（40）

式中：WE和WW分別為電網(wǎng)與水網(wǎng)量測量的權(quán)重矩陣；cE（·）和cW（·）分別對應(yīng)零注入節(jié)點的節(jié)點功率和流量函數(shù)。

顯然，式（39）與式（40）所示的WLS 問題均可應(yīng)用高斯-牛頓法（以下稱為常規(guī)WLS 估計）或者雙線性估計方法進(jìn)行求解。由于電網(wǎng)與水網(wǎng)獨(dú)立估計，常規(guī)估計和雙線性估計均可并行求解2 個WLS 問題。

采用雙線性估計方法時，2 個網(wǎng)絡(luò)的基本計算步驟同式（27）～（29），此時只需根據(jù)3.1 節(jié)與3.2 節(jié)所述的電網(wǎng)/水網(wǎng)的雙線性化方案，分別代入2 個網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的系數(shù)矩陣B、C 及非線性變化關(guān)系f（·）進(jìn)行3 個階段的計算即可。計算過程中，需要將零注入等式約束線性化（線性化方法與節(jié)點功率/流量量測方程相同），并在3 個階段的計算中增廣拉格朗日乘子。

需要指出，對于水網(wǎng)狀態(tài)估計，若采用H-W 公式，管道摩阻系數(shù)為常數(shù)且流量量測方程形式較為直觀（參見式（11）），但其適用性有限；采用D-W公式時，由于摩阻系數(shù)與雷諾數(shù)（管道流量）的函數(shù)關(guān)系，管道流量量測方程的形式將十分復(fù)雜。為簡化水網(wǎng)狀態(tài)估計的計算同時兼顧狀態(tài)估計模型的精確性，筆者基于文獻(xiàn)[32]的摩擦系數(shù)計算方法提出考慮摩阻系數(shù)修正的水網(wǎng)狀態(tài)估計方法。以雙線性狀態(tài)估計為例，所提水網(wǎng)狀態(tài)估計步驟如下。

步驟1：輸入水網(wǎng)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)（包括管道/水泵數(shù)據(jù)、拓?fù)鋽?shù)據(jù)和量測數(shù)據(jù)等）及收斂精度ε；按定壓節(jié)點水頭初始化各節(jié)點水頭x（ k ）W （k=0）。

步驟2：根據(jù)管道直徑、長度和H-W系數(shù)等基本數(shù)據(jù)，由式（9）按H-W公式計算管道摩阻系數(shù)rij。

步驟3：由3.2 節(jié)所述水網(wǎng)輔助變量yW 和uW 的設(shè)置方案，計算水網(wǎng)系數(shù)矩陣BW、CW。

步驟4：求解雙線性估計第一階段的線性WLS 模型，即由（27）計算yW 的估計值y?W。

步驟5：進(jìn)行雙線性估計第二階段的非線性變換，即由（28）計算uW 的估計值u? W 及權(quán)重矩陣Wu。

步驟6：求解雙線性估計第三階段的線性WLS 模型，即由（29）解得水網(wǎng)各節(jié)點水頭的估計值x?W。

步驟7：若||x?W - x（ k ）W ||∞ ≤ ε，則結(jié)束計算并轉(zhuǎn)步驟10；否則，令k=k+1，x（ k） W = x?W。

步驟8：根據(jù)節(jié)點水頭和管道摩阻系數(shù)rij，由式（3）與式（6）計算管道流量及雷諾數(shù)。

步驟9：應(yīng)用文獻(xiàn)[32]所述經(jīng)驗方法，根據(jù)管道雷諾數(shù)計算管道摩擦因子fij，再由式（4）計算摩阻系數(shù)rij，返回步驟3。

步驟10：輸出水網(wǎng)狀態(tài)估計結(jié)果。

由以上計算步驟可見，步驟3～6 為雙線性估計的計算步驟，而步驟7～9 體現(xiàn)對管道摩阻系數(shù)的修正。因此，用高斯-牛頓法計算步驟替換步驟3～6 即得到考慮摩阻系數(shù)修正的水網(wǎng)WLS 估計方法，而去掉步驟7～9，則退化為基于H-W模型的水網(wǎng)雙線性估計方法。

4.2 協(xié)同估計

與分立估計類似，協(xié)同模式下電網(wǎng)和水網(wǎng)狀態(tài)估計由各自的調(diào)度中心負(fù)責(zé)運(yùn)行，區(qū)別在于該模式下2 個網(wǎng)絡(luò)會交互耦合環(huán)節(jié)信息。具體來說，水網(wǎng)向電網(wǎng)傳遞水泵虛擬量測量（流量與揚(yáng)程量測乘積）及其方差，而電網(wǎng)向水網(wǎng)傳遞水泵功率量測及其方差。

協(xié)同估計模式下，電網(wǎng)量測方程包含電網(wǎng)原有量測方程（式（2））及水泵虛擬量測方程（式（20））構(gòu)成，而水網(wǎng)量測方程由水網(wǎng)原有量測方程（式（12））及水泵功率量測方程（式（19））構(gòu)成。因此，2 個網(wǎng)絡(luò)的協(xié)同估計WLS 模型分別為：

min [ zE - hE （ xE ） ]TWE[ zE - hE （ xE ） ]+[ zuC - huC （ xE ） ]TWuC[ zuC - huC （ xE ） ]，s.t. cE （ xE ） = 0;（41）

min [ z ] W - hW（ x ） WTWW[ z ] W - hW（ x ） W + [ z ] uP - huP（ x ） WTWuP[ z ] uP - huP（ x ） W ，s.t. cW（ x ） W = 0。（42）

式中：WuC為水泵虛擬量測量的權(quán)重（取為虛擬量測量方差的倒數(shù)）；WuP為水泵功率量測的權(quán)重。

可見，協(xié)同估計在分立估計WLS 模型基礎(chǔ)上擴(kuò)展了與水泵相關(guān)的量測方程。當(dāng)水泵缺乏流量和揚(yáng)程量測時，電網(wǎng)協(xié)同估計模型（41）退化為分立估計模型（39）；而當(dāng)水泵缺乏功率量測時，水網(wǎng)協(xié)同估計模型（42）則退化為分立估計模型（40）。

與分立估計類似，同樣可以采用常規(guī)WLS 方法或者雙線性估計方法進(jìn)行協(xié)同估計。對于雙線性協(xié)同估計方法，說明以下幾點：

1）與電網(wǎng)分立估計模型（39）比較，協(xié)同估計模型（41）擴(kuò)展了水泵虛擬量測方程（式（20））但不會引入新的輔助量測量和輔助狀態(tài)變量，y 和u 的設(shè)置同3.1 節(jié)的yE和uE。

2）與水網(wǎng)分立估計模型（40）比較，協(xié)同估計模型（42）擴(kuò)展了水泵功率量測方程（式（37））并引入新的輔助狀態(tài)變量Tu，ij，因此需要對3.2 節(jié)所述水網(wǎng)輔助狀態(tài)向量yW 進(jìn)行擴(kuò)展，取yW = [ hT ，MT ，N T ，T T ]T（T 為Tu，ij構(gòu)成的列向量），u 的設(shè)置同3.2 節(jié)的uW。

3）對水網(wǎng)進(jìn)行協(xié)同估計時，若考慮管道摩阻系數(shù)的修正，同樣可采用與上述方案類似的迭代修正策略。

需要特別指出，文獻(xiàn)[15]本質(zhì)上也是電-水耦合系統(tǒng)的協(xié)同狀態(tài)估計，但該文需要根據(jù)水網(wǎng)狀態(tài)估計結(jié)果計算水泵功率并傳遞給電網(wǎng)，順序求解水網(wǎng)與電網(wǎng)的狀態(tài)估計。與文獻(xiàn)[15]不同，文中的協(xié)同估計僅需要傳遞水泵量測信息，電網(wǎng)和水網(wǎng)的狀態(tài)估計仍可并行處理，提高了狀態(tài)估計的效率。此外，文獻(xiàn)[15]僅考慮在電網(wǎng)狀態(tài)估計中利用水泵量測數(shù)據(jù)，而文中通過電網(wǎng)與水網(wǎng)量測方程的擴(kuò)展，實現(xiàn)了水泵量測數(shù)據(jù)的雙向利用，特別是當(dāng)水網(wǎng)缺乏水泵相關(guān)量測時，由電網(wǎng)向水網(wǎng)傳遞水泵功率量測數(shù)據(jù)將有利于提高水網(wǎng)量測的冗余度并提升水網(wǎng)狀態(tài)估計的性能。

4.3 聯(lián)合估計

聯(lián)合估計適用于電-水耦合系統(tǒng)由統(tǒng)一調(diào)度中心負(fù)責(zé)運(yùn)行的場景，是電網(wǎng)與水網(wǎng)的一體化估計。統(tǒng)一調(diào)度中心同時接收2 個網(wǎng)絡(luò)的量測數(shù)據(jù)，聯(lián)合估計的WLS 模型為：

式中，cEW（·）表示電-水耦合約束，對應(yīng)式（13）的水泵功率方程。

與分立估計和協(xié)同估計相比，聯(lián)合估計將水泵功率方程作為等式約束，能夠保證狀態(tài)估計結(jié)果嚴(yán)格滿足電-水耦合關(guān)系（即獲得全局一致解），但聯(lián)合估計模型的問題規(guī)模顯著增大。

與分立估計和協(xié)同估計類似，同樣可以采用常規(guī)WLS 方法或者雙線性估計方法求解聯(lián)合估計模型。對于雙線性聯(lián)合估計，說明以下幾點：

1）根據(jù)3.3 節(jié)所述電-水耦合環(huán)節(jié)量測方程的線性化方法，借助電網(wǎng)輔助變量（Ui、Kij和Lij）和水泵輔助變量（Nu，ij和Tu，ij），即可實現(xiàn)耦合函數(shù)cEW（·）的線性化。由于Tu，ij僅與水泵功率方程關(guān)聯(lián)，雙線性估計需要補(bǔ)充水泵功率量測方程（式（37））作為聯(lián)合估計的虛擬量測方程，即此時式（43）中的zW 擴(kuò)展為[ z TW，z TuP ]T。

2）聯(lián)合估計的輔助變量y 和u 分別由3.1 節(jié)和3.2 節(jié)所述電網(wǎng)和水網(wǎng)對應(yīng)的輔助變量構(gòu)成，即y =[ yTE ，yTW ]T，u = [ uTE ，uTW ]T。

3）由于電網(wǎng)與水網(wǎng)的輔助變量并無關(guān)聯(lián)，因此，雙線性估計的第二與第三階段可以實現(xiàn)電網(wǎng)與水網(wǎng)的解耦計算。

4）當(dāng)考慮修正管道摩阻系數(shù)時，修正方法與分立和協(xié)同估計并無區(qū)別，但這2 種估計模式只需要迭代求解水網(wǎng)的估計模型，而聯(lián)合估計則需要同時對電網(wǎng)雙線性WLS 估計的第一階段進(jìn)行求解，計算時間可能大幅增加。

5 算例分析

用11 節(jié)點水網(wǎng)、IEEE-14 節(jié)點電網(wǎng)[34]與11 節(jié)點水網(wǎng)耦合形成的電-水耦合系統(tǒng)、IEEE-118 節(jié)點電網(wǎng)[34]與2個11 節(jié)點水網(wǎng)耦合形成的電-水耦合系統(tǒng)3 個不同規(guī)模算例驗證文中雙線性狀態(tài)估計方法的有效性。11 節(jié)點水網(wǎng)算例接線圖及其與IEEE-14 節(jié)點電網(wǎng)的耦合關(guān)系如圖1（a）（圖中1 和[1]分別表示節(jié)點1 及支路1，下同），IEEE-118 節(jié)點電網(wǎng)與2 個水網(wǎng)的耦合關(guān)系如圖1（b）所示。算例詳細(xì)數(shù)據(jù)參見文獻(xiàn)[35]。

以3 個算例的潮流解作為量測真值（水網(wǎng)潮流通過水力分析軟件EPANET[32]求解），在潮流真值上疊加量測誤差（均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差已知的正態(tài)分布隨機(jī)變量）形成量測值。通過蒙特卡羅抽樣產(chǎn)生量測值樣本，用以下統(tǒng)計指標(biāo)表征狀態(tài)估計的精度：

式中：T 為蒙特卡羅樣本總數(shù)（文中取T=3 000）；m 為測點總數(shù)（即量測向量z 的維度）；下標(biāo)i、t 分別對應(yīng)第i 個測點、第t 個樣本；z *i 和σi分別為測點i 的真值和標(biāo)準(zhǔn)差；zi，t和z?i，t 分別為測點i 在第t 個樣本中的量測值和估計值（z?i，t = hi，t （ x? ））。

可見，SM 和SE分別表示量測誤差和估計誤差的統(tǒng)計值。對于正常的量測系統(tǒng)和狀態(tài)估計，有SM≈1，SE<1；若SE/SM<1，表明通過狀態(tài)估計減小了測點的誤差，實現(xiàn)了狀態(tài)估計的濾波目的，且比值越小，濾波效果越好[23]。

5.1 算例1∶11 節(jié)點水網(wǎng)

算例1 驗證管道摩阻系數(shù)修正對水網(wǎng)狀態(tài)估計結(jié)果的影響及所提水網(wǎng)雙線性估計方法的有效性。

5.1.1 修正管道摩阻系數(shù)的影響

假設(shè)算例1 全部節(jié)點均配置水頭及流量量測、全部支路均配置流量量測（即全量測配置）；取水頭、支路流量及節(jié)點流量量測的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.1 m、0.001 m3/s 及0.003 m3/s。以文獻(xiàn)[35]負(fù)荷為基荷，考慮基荷和高負(fù)荷（負(fù)荷流量為基荷的5 倍）2 種工況，應(yīng)用文中雙線性方法對算例1 進(jìn)行狀態(tài)估計。2 種工況的狀態(tài)估計指標(biāo)如表1 所示。其中，“管道摩阻系數(shù)取為常數(shù)”相當(dāng)于采用H-W管道方程。

由表1 可見，在基荷情形下，是否修正管道摩阻系數(shù)對狀態(tài)估計指標(biāo)的影響不大。在高負(fù)荷情形下，若摩阻系數(shù)依然取為常數(shù)，則SE及SE/SM 指標(biāo)均顯著大于1（見表1 中下劃線數(shù)據(jù)），狀態(tài)估計未取得濾波效果，這是因為H-W方程的適用性有限，當(dāng)管道流量較大時，常數(shù)摩阻系數(shù)無法準(zhǔn)確刻畫管道的水力特性；此時，若按文中方法對管道摩阻系數(shù)進(jìn)行修正，則可以有效降低SE及SE/SM指標(biāo)，保證狀態(tài)估計的濾波效果。

表1 結(jié)果表明，為保證水網(wǎng)狀態(tài)估計對工況的適應(yīng)性有必要修正管道摩阻系數(shù)，同時驗證了文中按經(jīng)驗方法修正管道摩阻系數(shù)的有效性。

5.1.2 雙線性WLS 估計與常規(guī)WLS 估計的對比

1）不同量測配置（冗余度）下的估計精度。

考慮全量測（方案1）和非全量測（方案2，圖1（a）中水網(wǎng)僅奇數(shù)號節(jié)點配置節(jié)點流量量測、奇數(shù)號管道配置流量量測，其余量測同方案1）2 種配置方案，量測量標(biāo)準(zhǔn)差同5.1.1 節(jié)。分別應(yīng)用常規(guī)WLS 估計和文中所提雙線性WLS 估計對算例1 進(jìn)行狀態(tài)估計，常規(guī)方法以水頭量測值作為初值（對于無水頭量測節(jié)點，根據(jù)定壓節(jié)點水頭按一定水頭差設(shè)置初值），2 種方法均考慮管道摩阻系數(shù)的修正。2 種方法的狀態(tài)估計指標(biāo)及平均計算時間如表2 所示，表中冗余度取量測數(shù)與狀態(tài)變量數(shù)的比值[24]。

由表2 可見，在2 種量測配置方案下，雙線性WLS 估計的冗余度均明顯低于常規(guī)WLS 估計，但2 種方法的SE/SM 指標(biāo)均小于1，表明雙線性WLS 估計和常規(guī)WLS 估計均能有效實現(xiàn)濾波；計算時間方面，文中方法較常規(guī)方法減少約25%，計算效率提升明顯。進(jìn)一步對比估計精度可見，方案1 中雙線性估計的精度略優(yōu)于WLS 估計，表明在全量測配置下，雙線性WLS 估計中冗余度下降對估計精度的影響不大；與方案1 比較，隨著量測量減少，方案2 下2 種方法的SE/SM 指標(biāo)均有不同程度增大，而雙線性WLS 方法指標(biāo)的增幅更大，表明雙線性WLS 方法的估計精度受量測配置的影響更大。

為進(jìn)一步對比2 種方法的估計精度，按式（46）計算第t 個樣本的節(jié)點水頭估計誤差。

式中，h ?i 和h*i 分別為節(jié)點i 水頭的估計值和真值。3 000 次抽樣所得εt 的概率密度及累積密度曲線如圖2所示。

由圖2 可見，方案1 中2 種方法的概率密度和累積分布都非常接近，最大估計誤差（εt 的最大值）小于0.6%，絕大多數(shù)樣本的估計誤差小于0.4%（60% 以上樣本的誤差小于0.22%）；與方案1 比較，2 種方法的估計精度有不同程度下降，其中，2 種方法的最大估計誤差增加到0.8%，常規(guī)方法60% 樣本所對應(yīng)的估計誤差為0.32%，而文中方法的這一指標(biāo)為0.34%，再次證明量測量減少對文中方法精度的影響更大。

2）對小流量工況的適應(yīng)性。

當(dāng)水網(wǎng)中部分管道流量較小時，以節(jié)點水頭為狀態(tài)變量的水力學(xué)分析可能因為雅可比矩陣條件數(shù)過大而導(dǎo)致收斂困難[22]。文中雙線性WLS 估計方法同樣以節(jié)點水頭為狀態(tài)變量，為分析文中方法對小流量工況的適應(yīng)性，以算例1 基荷工況為基礎(chǔ)，將節(jié)點11 的負(fù)荷減小到1/10。在全量測配置（量測量標(biāo)準(zhǔn)差同5.1.1 節(jié)）下，2 種方法3 000 次抽樣所得狀態(tài)估計指標(biāo)如表3 所示。

由表3 可見，小流量工況下，常規(guī)WLS 方法的收斂性明顯惡化，3 000 個樣本中僅570 個樣本收斂，而其中有效濾波（SE/SM<1）樣本僅有21 個（占比0.7%）；文中方法將非線性WLS 估計問題轉(zhuǎn)化為線性問題，無需迭代求解（不存在收斂性問題），且僅有6 個樣本未實現(xiàn)有效濾波，估計性能較常規(guī)方法有明顯提升。

5.2 算例2：IEEE-14 節(jié)點電網(wǎng)+11 節(jié)點水網(wǎng)

本節(jié)以電-水耦合系統(tǒng)為算例，驗證所提雙線性估計方法對電-水耦合系統(tǒng)的適應(yīng)性，并對比分析3 種估計模式對耦合系統(tǒng)狀態(tài)估計精度及可觀性的影響。

5.2.1 3 種模式的狀態(tài)估計指標(biāo)

假設(shè)電網(wǎng)中各節(jié)點配置注入有功及無功量測、偶數(shù)號節(jié)點配置電壓量測、偶數(shù)號支路配置首端有功和無功量測、奇數(shù)號支路配置末端有功和無功量測；取電壓和功率量測的標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)幺值）分別為0.005 和0.010。水網(wǎng)中各支路配置流量量測、奇數(shù)號節(jié)點配置水頭量測和注入流量量測，各量測量標(biāo)準(zhǔn)差同5.1.1 節(jié)。

考慮管道摩阻系數(shù)修正，應(yīng)用雙線性估計方法對算例2 分別進(jìn)行分立估計、協(xié)同估計和聯(lián)合估計。3 種模式下，分別統(tǒng)計電網(wǎng)與水網(wǎng)的狀態(tài)估計指標(biāo)；此外，分別根據(jù)電網(wǎng)與水網(wǎng)的估計結(jié)果計算水泵功率，用兩者之差來表示水泵功率估計偏差，取2 臺水泵功率偏差的最大值來表征電-水耦合環(huán)節(jié)的不匹配程度。3 種模式的指標(biāo)及平均計算時間如表4 所示。

由表4 可見，文中的雙線性方法能有效實現(xiàn)3 種模式的狀態(tài)估計，驗證了文中方法對電-水耦合系統(tǒng)狀態(tài)估計的適應(yīng)性。此外，3 種模式的SE/SM指標(biāo)、水泵功率偏差和計算時間均有明顯差別，具體說明如下。

從SE/SM 指標(biāo)來看，與分立估計比較，協(xié)同估計和聯(lián)合估計模式下電網(wǎng)和水網(wǎng)的SE/SM 指標(biāo)均有明顯下降，表明協(xié)同估計和聯(lián)合估計均有利于提升電網(wǎng)和水網(wǎng)的狀態(tài)估計精度。此外，對比協(xié)同估計與聯(lián)合估計可見，水網(wǎng)的估計精度相當(dāng)，但電網(wǎng)聯(lián)合估計的精度有所下降。

從水泵功率偏差來看，由于分立估計模式下電網(wǎng)和水網(wǎng)不交換電-水耦合環(huán)節(jié)的相關(guān)數(shù)據(jù)，水泵功率偏差最大。協(xié)同估計模式下電網(wǎng)與水網(wǎng)交互虛擬量測與功率量測，聯(lián)合估計模式將水泵功率方程作為狀態(tài)估計的等式約束，2 種模式均能大幅降低水泵功率偏差，從而提升電-水耦合環(huán)節(jié)的數(shù)據(jù)一致性。

從計算時間來看，分立估計、協(xié)同估計和聯(lián)合估計的用時依次增加，這是因為分立估計優(yōu)化問題的規(guī)模最小，聯(lián)合估計的規(guī)模最大，而協(xié)同估計的問題規(guī)模居中。由于3 種估計均采用雙線性方法，且聯(lián)合估計第二與第三階段可實現(xiàn)電網(wǎng)與水網(wǎng)的解耦計算，因此，3 種模式的計算時間相差并不大。

5.2.2 3 種模式對可觀性的影響

在5.2.1 節(jié)量測量基礎(chǔ)上，取消電網(wǎng)節(jié)點10（水泵[1]的供電節(jié)點）的電壓和注入功率量測，以及與節(jié)點10關(guān)聯(lián)所有支路的功率量測，取消水泵[2]及其關(guān)聯(lián)支路[11]的流量量測和節(jié)點7 的水頭量測，其余量測配置及標(biāo)準(zhǔn)差同5.2.1 節(jié)。應(yīng)用文中的雙線性方法對電-水耦合系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計，3 種模式的狀態(tài)估計指標(biāo)如表5所示。

經(jīng)可觀性分析可知，電網(wǎng)節(jié)點10 和水泵[2]網(wǎng)側(cè)節(jié)點（水網(wǎng)節(jié)點10）均不可觀測，因此，無法通過分立估計對電網(wǎng)和水網(wǎng)進(jìn)行狀態(tài)估計。協(xié)同模式下，水網(wǎng)向電網(wǎng)傳遞水泵[1]的虛擬量測，相當(dāng)于補(bǔ)充了電網(wǎng)節(jié)點10的注入有功量測，而電網(wǎng)向水網(wǎng)傳遞水泵[2]的功率量測，相當(dāng)于補(bǔ)充了與水泵[2]流量和網(wǎng)側(cè)節(jié)點（節(jié)點10）水頭有關(guān)的量測，因此，協(xié)同模式下電網(wǎng)和水網(wǎng)均可觀測。聯(lián)合估計將2 臺水泵的功率方程作為等式約束，相當(dāng)于同時擴(kuò)展了電網(wǎng)節(jié)點10 與水泵[2]與耦合系統(tǒng)狀態(tài)變量的關(guān)聯(lián)關(guān)系，同樣使電網(wǎng)和水網(wǎng)可觀測。

需要特別指出，文獻(xiàn)[15]的方法將水泵功率傳遞給電網(wǎng)，同樣可以改善電網(wǎng)的可觀性；但文獻(xiàn)[15]缺乏電網(wǎng)到水網(wǎng)的反向數(shù)據(jù)傳遞，水網(wǎng)仍不可觀。文中考慮了電網(wǎng)與水網(wǎng)之間數(shù)據(jù)的雙向傳遞，可以同時改善電網(wǎng)和水網(wǎng)的可觀性。

5.3 算例3：IEEE-118 節(jié)點電網(wǎng)+2 個11 節(jié)點水網(wǎng)

假設(shè)算例3 中IEEE-118 節(jié)點電網(wǎng)中各節(jié)點配置注入有功量測與電壓量測、各支路配置首端有功和無功量測，電壓和功率量測的標(biāo)準(zhǔn)差同5.2 節(jié)；水網(wǎng)A 中各節(jié)點配置水頭量測和注入流量量測、奇數(shù)號支路配置流量量測（水頭、支路流量及節(jié)點流量量測的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.1 m、0.01 m3/s 及0.03 m3/s）；水網(wǎng)B 中僅在奇數(shù)號節(jié)點處配置水頭量測，其余量測配置及量測標(biāo)準(zhǔn)差同水網(wǎng)A。應(yīng)用文中雙線性方法對算例3 進(jìn)行狀態(tài)估計，3種模式的估計指標(biāo)及計算時間如表6 所示。

由表6 可見，3 種模式下雙線性WLS 估計方法均能有效實現(xiàn)電網(wǎng)和2 個水網(wǎng)的狀態(tài)估計，驗證了文中方法對較大規(guī)模電-水耦合系統(tǒng)狀態(tài)估計的適應(yīng)性。

從SE/SM 指標(biāo)和水泵功率偏差來看，與分立估計比較，協(xié)同估計和聯(lián)合估計下電網(wǎng)及2 個水網(wǎng)的SE/SM 指標(biāo)有不同程度降低，而水泵功率偏差明顯減小，這些結(jié)果與算例2 類似，再次驗證協(xié)同估計和聯(lián)合估計有利于提升電網(wǎng)和水網(wǎng)的估計精度，以及電-水耦合環(huán)節(jié)的數(shù)據(jù)一致性（且聯(lián)合估計在改善水網(wǎng)估計精度、提升數(shù)據(jù)一致性方面具有更明顯的優(yōu)勢）。

從計算時間來看，3 種模式下雙線性方法均能快速實現(xiàn)算例3 的狀態(tài)估計，與常規(guī)WLS（分立估計和協(xié)同估計用時0.770 s，聯(lián)合估計用時2.612 s）比較，雙線性估計的用時低于WLS 估計的8%，計算效率優(yōu)勢較為明顯。此外，對比算例2（見表4）的計算時間可見，分立模式和協(xié)同模式的計算時間略有增加，而聯(lián)合模式的時間增幅較大，這是因為分立估計和協(xié)同估計只需要分別修正2 個水網(wǎng)的摩阻系數(shù)，而聯(lián)合估計的迭代修正流程要求2 個水網(wǎng)同時滿足收斂條件時才停止迭代，導(dǎo)致估計時間增加；總體來說，對不同規(guī)模算例，雙線性方法的計算時間變化不大，在計算效率上表現(xiàn)出良好的適應(yīng)性。

6 結(jié) 論

文中提出考慮管道摩阻系數(shù)的水網(wǎng)雙線性估計方法，并進(jìn)一步考慮電-水耦合系統(tǒng)的分立運(yùn)行、協(xié)同運(yùn)行和聯(lián)合運(yùn)行3 種不同模式，提出電-水耦合系統(tǒng)的雙線性估計方法。用11 節(jié)點水網(wǎng)及其與IEEE-14 節(jié)點、IEEE-118 節(jié)點電網(wǎng)耦合形成的電-水耦合系統(tǒng)驗證了文中雙線性估計方法的有效性。算例結(jié)果表明：

1）為保證狀態(tài)估計對水網(wǎng)工況的適應(yīng)性，有必要在狀態(tài)估計中考慮管道摩阻系數(shù)的修正。

2）與常規(guī)WLS 估計方法比較，文中雙線性估計方法具有計算效率高且對小流量水網(wǎng)適應(yīng)性好的突出優(yōu)勢。

3）文中所提協(xié)同估計和聯(lián)合估計均有助于改善電網(wǎng)和水網(wǎng)的狀態(tài)估計精度，對電-水耦合環(huán)節(jié)的數(shù)據(jù)一致性和耦合網(wǎng)絡(luò)的可觀性有一定提升效果。

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（編輯 詹燕平）