在平面幾何中，有許多具有特殊性質(zhì)的基本圖形，我們稱之為基本模型. 課本習(xí)題中就有許多基本模型. 同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要善于提煉基本模型，并在解題過程中靈活應(yīng)用. 下面舉例介紹.

模型提煉

人教版課本第33頁第5題：如圖1，△ABC ≌ △DEC，CA和CD，CB和CE是對(duì)應(yīng)邊. ∠ACD和∠BCE相等嗎？為什么？

因?yàn)椤鰽BC ≌ △DEC，它們有公共頂點(diǎn)C，因此，圖1中的△DEC和△ABC可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)相互得到，故稱為“旋轉(zhuǎn)全等模型”.

若繼續(xù)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，可得不同圖形（如圖2），且設(shè)計(jì)出許多新的問題.

模型應(yīng)用

在解題中，若能尋找或構(gòu)造出旋轉(zhuǎn)全等模型，則可迅速找到解題路徑.

例1 如圖3，在△ABC和△ADE中，延長BC交DE于F. BC = DE，AC = AE，∠ACF + ∠AED = 180°. 求證：AB = AD.

解析：易得∠ACB = ∠AED.

∵BC = DE，AC = AE，

∴△ABC ≌ △ADE（SAS），∴AB = AD.

反思：由圖3迅速找到旋轉(zhuǎn)全等模型是解題的關(guān)鍵.

例2 如圖4，在△ABC和△ADE中，∠BAC = ∠DAE = 90°，且AB = AC，AD = AE，連接BD，連接CE交BD的延長線于點(diǎn)O. 求：（1）∠BOC的度數(shù)；（2）BD∶CE的值.

解析：易得△ABD ≌△ACE，∴∠ABD = ∠ACE，BD = CE." （1）設(shè)BO交AC于點(diǎn)F，∵∠ABF + ∠AFB = 90°，∠AFB = ∠OFC，∴∠OFC + ∠OCF = 90°， ∴∠BOC = 90°；（2）∵BD = CE，∴BD∶CE = 1.

反思：圖4比較復(fù)雜，只要從中分離出旋轉(zhuǎn)全等模型，問題即可迎刃而解.

例3 （2024·河南）定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形. 根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì). 下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì). 如圖5，四邊形ABCD是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，AB = AD，AC是它的一條對(duì)角線. 寫出圖中相等的角，并說明理由.

解析：通過觀察、測量可以猜想∠ACB = ∠ACD. 下面說明理由.

方法1：如圖5，延長CB到N，使得BN = CD，連接NA. 易證△ABN ≌ △ADC，∴AN = AC，∠ANB = ∠ACD. ∴∠ANC = ∠ACB，∴∠ACB = ∠ACD.

方法2：如圖6，過點(diǎn)A作AN ⊥ BC于N，AM ⊥ CD交CD的延長線于M. ∵四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ)，∴∠B + ∠ADC = 180°. ∵∠ADM + ∠ADC = 180°，∴∠B = ∠ADM." ∵∠ANB = ∠AMD = 90°，∠B = ∠ADM，AB = AD，∴△ABN ≌ △ADM，∴AN = AM，∴∠ACB = ∠ACD.

反思：受旋轉(zhuǎn)全等模型的啟發(fā)，添加輔助線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等模型是解題關(guān)鍵.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：6分鐘

1. 如圖7，Rt△ABC中，AB = AC，AD ⊥ BC，垂足為D. E，F(xiàn)分別是CD，AD上的點(diǎn)，且CE = AF. 如果∠AED = 62°，那么∠DBF = .

2. 在△ABC中，∠ABM = 45°，AM ⊥ BM，垂足為M，點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn)，連接AC. 如圖8，點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn)，MD = MC，點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn)，EC = AC，連接ED并延長交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn). 求證：∠BDF = ∠CEF.

難度系數(shù)：★★★★ 解題時(shí)間：4分鐘

3. 在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AC = 2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖9放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A，D重合，連接BE，EC. 試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想.

（答案見第39頁）

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué)）