摘要： 介紹了采用階躍函數(shù)模擬橋梁斷面時域氣動自激力的方法并對模擬的精度進行了研究。提出了采用現(xiàn)代遺傳優(yōu)化算法進行階躍函數(shù)參數(shù)識別的方法。在模擬橋梁斷面時域自激力的過程中，建立了顫振導數(shù)與階躍函數(shù)各參數(shù)之間的等量關系，基于MATLAB平臺實現(xiàn)了遺傳優(yōu)化算法并識別了階躍函數(shù)的各個參數(shù)，根據(jù)參數(shù)值與上述等量關系反算得到顫振導數(shù)的擬合值，并通過對比顫振導數(shù)的擬合值與試驗值來評估模擬的精度。數(shù)值算例表明，遺傳優(yōu)化算法的計算效率很高且不受參數(shù)個數(shù)與參數(shù)取值范圍的影響；階躍函數(shù)參數(shù)個數(shù)對顫振導數(shù)擬合精度存在較大的影響；當參數(shù)個數(shù)較少時，對于較為復雜的顫振導數(shù)曲線，擬合精度不高。隨著參數(shù)個數(shù)的增加，擬合精度顯著提高。擬合精度直接影響后續(xù)時域顫振分析得到的橋梁顫振性能；因此，需要依據(jù)顫振導數(shù)曲線規(guī)律，合理地選取階躍函數(shù)的參數(shù)個數(shù)，才能建立精度較高的時域自激力模型，進而準確評估橋梁的顫振穩(wěn)定性能。

關鍵詞： 橋梁； 顫振； 時域； 階躍函數(shù)； 遺傳優(yōu)化

中圖分類號： U441+.3； TU312+.3 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）06-0997-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.010

引 言

顫振是大跨橋梁抗風設計的關鍵問題之一。目前研究橋梁顫振的方法主要包括頻域法與時域法兩類。頻域方法很成熟，能夠較為準確地描述橋梁斷面的氣動力特性，已被廣泛應用于橋梁顫振臨界問題的研究中［1?2］。較晚形成的時域方法也具有其獨特的優(yōu)勢，不僅便于考慮多種非線性效應的影響，還能與結(jié)構的有限元計算模型相結(jié)合，在橋梁顫振、非線性顫振、顫抖振一體化研究中得到了廣泛的應用［3?9］。橋梁斷面的氣動自激力一般采用由氣動導數(shù)描述的Scanlan自激力模型模擬，直接基于該模型進行的顫振分析屬于頻域方法。若建立合適的與試驗氣動導數(shù)相應的過渡函數(shù)，將Scanlan自激力模型轉(zhuǎn)換為純時域模型，然后基于時域自激力模型進行顫振分析，這類方法屬于時域方法。

建立橋梁斷面時域自激力模型的主要方法有階躍函數(shù)法與有理函數(shù)法［10］。階躍函數(shù)（Indicial Functions， IFs）已被廣泛用于描述橋梁的氣彈效應與時域顫振分析［11?14］。階躍函數(shù)時域表達橋梁斷面自激力的本質(zhì)是通過已知的氣動導數(shù)來擬合未知的階躍函數(shù)，即確定階躍函數(shù)的參數(shù)值，這屬于最優(yōu)化問題，且擬合精度必須滿足工程要求才能保證后續(xù)時域顫振分析的可靠性。在以往的研究中，常采用傳統(tǒng)的最小二乘優(yōu)化方法，為了提高擬合效率，期望階躍函數(shù)所含的參數(shù)個數(shù)越少越好，通常參數(shù)取4個或6個，且各參數(shù)的搜索范圍也不宜太大。當顫振導數(shù)隨折算風速的變化較為平順時，較少的參數(shù)可能達到較高的擬合精度；當顫振導數(shù)隨折算風速的變化較為復雜時，較少的參數(shù)將無法滿足精度要求，此時只能增加階躍函數(shù)的指數(shù)項個數(shù)即增加參數(shù)個數(shù)來提高擬合精度，然而參數(shù)個數(shù)的增加，將會導致優(yōu)化算法的效率降低。鑒于此，本文引入了現(xiàn)代智能優(yōu)化方法中的遺傳算法［15］，并基于MATLAB平臺實現(xiàn)了階躍函數(shù)參數(shù)的快速識別，該方法計算效率高，且不受參數(shù)個數(shù)及搜索域的影響，可同時求解多個參數(shù)的最優(yōu)解。

以江底河大橋為例，基于遺傳優(yōu)化算法，分別選取含有4，6，8，10與12參數(shù)的階躍函數(shù)對主梁斷面的試驗顫振導數(shù)進行擬合，得到階躍函數(shù)的參數(shù)值與顫振導數(shù)的擬合值。通過考查顫振導數(shù)試驗值與擬合值的吻合情況來評估參數(shù)個數(shù)對顫振導數(shù)擬合精度的影響?；贏NSYS有限元軟件，分別采用不同類型階躍函數(shù)建立的時域自激力模型對橋梁進行時域顫振分析，得到相應的顫振臨界風速，并進一步討論采用階躍函數(shù)法進行橋梁時域顫振分析的可靠性。

1 顫振導數(shù)與IFs參數(shù)等價關系

Scanlan自激力模型描述的是微小振幅簡諧運動引起的自激氣動力［16］，以橋梁斷面二維自激氣動力為例，其表達式如下式所示：

（1）

（2）

式中 及分別為單位長度主梁的自激氣動升力及升力矩；與分別表示豎向運動引起的升力與升力矩時程，與分別表示扭轉(zhuǎn)運動引起的升力與升力矩時程；為空氣密度；U為來流風速；B為橋面寬度；K為無量綱折算頻率，K=Bω/U，其中ω為結(jié)構振動頻率；與 （i=1，2，3，4）為顫振導數(shù)；與分別為豎向位移及其對時間的一階導數(shù)；與分別為扭轉(zhuǎn)位移及其對時間的一階導數(shù)。

階躍函數(shù)可以描述階躍響應所引起的結(jié)構斷面氣動力變化時程。在描述橋梁斷面自激氣動力中，階躍函數(shù)通常采用如下的形式：

（3）

式中 ，為待定參數(shù)；r為指數(shù)項個數(shù)。

借助上述階躍函數(shù)，任意微小扭轉(zhuǎn)振動所引起的升力時程可以表示為如下式所示的卷積形式：

（4）

式中 ，為積分變量，表示無量綱時間s的變化。

對于橋梁斷面，通常分開處理豎向與扭轉(zhuǎn)運動所引起的自激氣動力后再疊加，即單位長度主梁所受的氣動升力與升力矩分別表示如下：

（5）

（6）

式中 s為無量綱時間，s=Ut/B，其中t為時間；與分別為升力與升力矩系數(shù)對攻角的導數(shù)；為扭轉(zhuǎn)位移對s的一階導數(shù)；為豎向位移對s的二階導數(shù)；，，與為階躍函數(shù)，其表達式可統(tǒng)一為如下形式：

（7）

式中 與為階躍函數(shù)參數(shù)，其中x表示L或M，y表示h或，如為描述扭轉(zhuǎn)階躍響應引起斷面升力變化的階躍函數(shù)。將公式（5）和（6）稱為IF型時域自激力模型。

通過Scanlan自激力模型來建立與之等價的IF型時域自激力模型，其實質(zhì)是根據(jù)已知的氣動導數(shù)（包括顫振導數(shù)與三分力系數(shù)）來識別階躍函數(shù)各個參數(shù)值的過程。下面介紹一種直觀簡便的方法來建立氣動導數(shù)與階躍函數(shù)各參數(shù)之間的等量關系。

假設結(jié)構做單位幅值的正弦豎向運動與扭轉(zhuǎn)運動，表達式分別如下：

豎向：（8）

扭轉(zhuǎn)：（9）

將公式（8）和（9）代入公式（1）和（2）中可得Scanlan自激力模型的具體表達式如下式所示：

（10）

（11）

（12）

（13）

將公式（8）和（9）代入公式（5）和（6）中可得IF型自激力模型的具體表達式如下式所示：

（14）

（15）

（16）

（17）

對比公式（10）～（13）與（14）～（17）可知，后者均比前者多一個含的指數(shù)項，根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的曲線規(guī)律，假如參數(shù)為負值，指數(shù)項將會發(fā)散，此時IF型時域自激力無法與Scanlan自激力等價。因此，必須為一正值，讓指數(shù)項隨時間衰減；但需要說明的是，為正值的前提下，IF型自激力時程在起初的一段時間內(nèi)也可能會出現(xiàn)較為明顯的瞬態(tài)現(xiàn)象，但隨著時間的推移，自激力時程最終會趨于穩(wěn)態(tài)，如圖1所示。

綜上可知，要建立與Scanlan模型等價的IF型時域自激力模型，必須滿足以下兩個條件：首先，IF型自激力模型中的指數(shù)項必須隨時間衰減為零，即要求參數(shù)必須為正值；其次，在保證擬合精度的前提下，的下限可以適當?shù)靥岣?，促使指?shù)項在較短時間內(nèi)衰減；最后，兩類自激力模型的正弦項與余弦項的系數(shù)必須對應相等，即如下式所示：

（18）

（19）

（20）

（21）

整理即可建立氣動導數(shù)與階躍函數(shù)各待定參數(shù)之間的等價關系，如下式所示：

（22）

（23）

（24）

（25）

根據(jù)上述等價關系，建立如下式所示的目標函數(shù)，通過求解目標函數(shù)的極小值來識別階躍函數(shù)的參數(shù)值，進而確定公式（5）和（6）所示時域自激力模型的具體表達式。顯然，階躍函數(shù)參數(shù)識別是一個典型的最優(yōu)化問題。

（26）

（27）

（28）

（29）

式中 與（m=1，2，3，4）為顫振導數(shù)的試驗值；n為試驗數(shù)據(jù)組數(shù)。

由于公式（26）～（29）中分式的分母存在待識別的參數(shù)，因此它是一個較為復雜的非線性最優(yōu)化問題。針對此類非線性優(yōu)化問題，下面介紹現(xiàn)代優(yōu)化算法中的遺傳算法，并基于MATLAB平臺進行求解。

2 階躍函數(shù)參數(shù)識別

2.1 遺傳優(yōu)化算法

遺傳算法是基于優(yōu)勝劣汰、適者生存的進化論原理，模擬生物在自然環(huán)境中遺傳進化過程的一種隨機搜索優(yōu)化算法［15］。具體來說，就是依照遺傳進化原理，將隨機產(chǎn)生的初始種群作為優(yōu)化問題的一組初始解，通過對初始種群施加選擇、交叉、變異等一系列遺傳進化操作來產(chǎn)生適應性較好的新一代種群，重復上述操作直至種群優(yōu)化到包含近似最優(yōu)解的狀態(tài)。

遺傳優(yōu)化算法的具體思路為：針對某一具體的優(yōu)化問題，建立相應的目標函數(shù)作為個體評價的適應度函數(shù)。在進化過程的每一代中，分別計算所有個體的適應度，適應度小的個體淘汰，適應度大的個體留下作為產(chǎn)生新一代種群的母體。若某一代個體的適應度達到目標容許誤差，或遺傳代數(shù)達到預先設定的最大值，則停止計算，返回最優(yōu)解。與傳統(tǒng)優(yōu)化方法相比，遺傳優(yōu)化算法具有較廣的搜索域，較強的并行運算能力，靈活性更強，效率更高，有利于獲取全局最優(yōu)解。

階躍函數(shù)參數(shù)識別實質(zhì)上是求解公式（26）～（29）所示目標函數(shù)取得極小值時的參數(shù)值。根據(jù)上述優(yōu)化問題的性質(zhì)，借助MATLAB遺傳工具箱的“ga”函數(shù)進行優(yōu)化計算，“ga”函數(shù)的一般格式如下：

該函數(shù)主要的輸出與輸入?yún)?shù)如下：

輸出參數(shù)：x表示階躍函數(shù)所有參數(shù)（，，，…，；，，，…，）組成的數(shù)組；fval為x對應的適應度值。

輸入?yún)?shù)：fitnessfcn為適應度函數(shù)，公式（26）～（29）所示的目標函數(shù)即為適應度函數(shù)，用于計算x對應的適應度值；nvars為適應度函數(shù)中獨立變量的個數(shù)，即待擬合參數(shù)的個數(shù)；lb，ub分別為x搜索域的下限與上限；options為算法結(jié)構參數(shù)，主要包括種群大小、最大遺傳代數(shù)、交叉概率、變異概率、適應度的閾值等，可以根據(jù)具體問題的性質(zhì)調(diào)整結(jié)構參數(shù)的范圍。采用遺傳優(yōu)化算法進行階躍函數(shù)參數(shù)識別的流程如圖2所示。

2.2 參數(shù)識別結(jié)果與精度討論

以江底河懸索橋為例，通過上述遺傳優(yōu)化算法來識別得到階躍函數(shù)的各個參數(shù)值，相關的計算參數(shù)如表1所示。由表1可知，風攻角為+3°，與分別為升力與升力矩系數(shù)對攻角的一階導數(shù)，參數(shù)（i=1，2，…，r）的搜索域設置為全體實數(shù)，（i=1，2，…，r）的搜索域設置為≥0.1。階躍函數(shù)的指數(shù)項個數(shù)分別取2，3，4，5，6項時，對應的參數(shù)個數(shù)依次為4，6，8，10，12，如表2所示。若階躍函數(shù)的指數(shù)項個數(shù)為2，即含有4個參數(shù)，則稱為4參數(shù)階躍函數(shù)，其他情形類推。

分別采用4，6，8，10與12參數(shù)階躍函數(shù)對橋梁斷面的試驗顫振導數(shù)進行擬合。當遺傳優(yōu)化算法的種群大小取1000，遺傳代數(shù)取1000，其余計算參數(shù)采用默認值時，5種工況的計算時間成本均低于2 min，計算效率非常高。表3～7分別給出了4，6，8，10與12參數(shù)階躍函數(shù)的參數(shù)識別結(jié)果。

將階躍函數(shù)參數(shù)值代入公式（22）～（25）即可求得顫振導數(shù)的擬合值。通過比較顫振導數(shù)的擬合曲線與試驗曲線，即可判斷顫振導數(shù)的擬合精度。

由公式（26）～（29）可知，參數(shù)擬合過程均是以兩組顫振導數(shù)成對的形式進行擬合的，如與為一對，因此往往也將成對的兩組顫振導數(shù)曲線繪制在同一個圖形中，然而當成對的兩組顫振導數(shù)的數(shù)值范圍相差較大時，這樣繪制的顫振導數(shù)曲線圖很可能從視覺上掩蓋了數(shù)值較小的那一組顫振導數(shù)的擬合誤差。鑒于此，本文將8組顫振導數(shù)分別繪制在獨立的圖形中，這樣便可很直觀地考查各組顫振導數(shù)的擬合精度。

圖3給出了橋梁斷面顫振導數(shù)試驗值與由階躍函數(shù)參數(shù)反算得到的顫振導數(shù)擬合值。由圖3可知，對于4參數(shù)階躍函數(shù)擬合的情形，除了顫振導數(shù)與的擬合精度較好之外，其他顫振導數(shù)的擬合均是失敗的；對于6參數(shù)階躍函數(shù)擬合的情形，顫振導數(shù)，與的擬合精度較低，其他顫振導數(shù)的擬合精度較好；對于8與10參數(shù)階躍函數(shù)擬合的情形，顫振導數(shù)的擬合精度較低，其他顫振導數(shù)的擬合精度較高；12參數(shù)階躍函數(shù)的擬合效果最佳，所有顫振導數(shù)的擬合精度均很高。

綜上所述，4參數(shù)階躍函數(shù)對某些顫振導數(shù)的擬合是失敗的，因此不能采用4參數(shù)階躍函數(shù)對橋梁斷面自激力進行時域化。隨著階躍函數(shù)參數(shù)個數(shù)的增加，顫振導數(shù)的擬合精度也逐漸提高，采用6參數(shù)、8參數(shù)與10參數(shù)階躍函數(shù)擬合時，除了少數(shù)顫振導數(shù)的擬合精度不高外，其余顫振導數(shù)的擬合精度均較高。12參數(shù)階躍函數(shù)對所有顫振導數(shù)的擬合精度均較高。

3 數(shù)值算例及結(jié)果討論

江底河大橋是一座主跨920 m，全長1146 m的特大公路懸索橋。兩橋塔高度分別為181 m和102.5 m，主纜矢跨比為1∶9，主梁采用流線型扁平鋼箱梁，其斷面寬度為32 m，高度為3 m，如圖4所示。

采用ANSYS軟件建立大橋的全橋有限元模型，如圖5所示。全橋采用魚骨梁模型進行模擬，其中加勁梁與橋塔均采用BEAM4梁單元模擬；主纜以及吊桿均采用LINK10桿單元模擬；主梁與吊桿的連接件采用剛臂單元進行模擬；橋面二期恒載通過MASS21附加質(zhì)量單元模擬，全橋共劃分464個節(jié)點與703個單元。主梁兩端施加橫向、豎向位移約束及繞橋軸方向的轉(zhuǎn)動約束，主纜兩端在錨固點固結(jié)。

基于ANSYS軟件分別采用6，8，10與12參數(shù)階躍函數(shù)擬合得到的自激力時程對江底河大橋進行時域顫振分析，得到各工況對應的顫振臨界風速及頻率。時域顫振計算的參數(shù)如表8所示。結(jié)構阻尼采用瑞利阻尼模型進行描述，其表達式如下式所示：

（30）

式中 ，與分別為結(jié)構的阻尼、質(zhì)量與剛度矩陣；和為瑞利阻尼系數(shù)。根據(jù)表8的參數(shù)可得到阻尼比與圓頻率的關系如圖6所示。

圖7給出了橋梁不同工況的顫振臨界風速及頻率。由圖7可知，8與10參數(shù)所對應的顫振臨界風速相差不大，且略低于6參數(shù)所對應的風速值，但均明顯低于12參數(shù)的風速值。這一結(jié)果可從圖3所示的顫振導數(shù)擬合效果來解釋，相比6參數(shù)階躍函數(shù)的擬合效果，8與10參數(shù)階躍函數(shù)的擬合效果得到了一定的改善，且8與10參數(shù)的擬合效果相差不大；相比之下，12參數(shù)階躍函數(shù)的整體擬合效果最佳。不同工況對應的顫振頻率相差甚微，表明4種工況在顫振臨界點的氣動剛度相差很小。

表9給出了江底河大橋不同工況對應的顫振臨界風速相對風洞試驗結(jié)果的誤差。由表9可知，12參數(shù)對應的顫振臨界風速為90.05 m/s，與風洞試驗結(jié)果十分接近，誤差僅為0.39%，而其他工況對應的顫振臨界風速顯著低于風洞試驗結(jié)果，即明顯地低估了此橋的顫振穩(wěn)定性能。

綜上所述，階躍函數(shù)的參數(shù)個數(shù)對顫振導數(shù)的擬合精度存在顯著的影響，參數(shù)個數(shù)較少時，有些顫振導數(shù)的擬合精度不高，將會導致時域顫振計算得到的顫振臨界風速與試驗值存在較大的偏差，因此需要增加參數(shù)個數(shù)，提高所有顫振導數(shù)的擬合精度，這樣才能保證時域法進行橋梁顫振穩(wěn)定分析的可靠性。

4 結(jié) 論

本文詳細地介紹了采用階躍函數(shù)時域表達橋梁斷面自激氣動力的方法。采用現(xiàn)代優(yōu)化算法中的遺傳算法進行階躍函數(shù)參數(shù)識別并基于MATLAB平臺實現(xiàn)。以江底河大橋為例，研究了階躍函數(shù)的參數(shù)個數(shù)對顫振導數(shù)擬合效果的影響；基于ANSYS平臺進行了大跨橋梁的時域顫振分析，并討論了應用階躍函數(shù)法進行時域顫振分析的可靠性。主要結(jié)論如下：

（1） 階躍函數(shù)參數(shù)識別的遺傳優(yōu)化算法具有很高的計算效率，且能在很廣的搜索域內(nèi)識別出最優(yōu)參數(shù)值。在本文設置的計算參數(shù)與搜索域的條件下，5種工況的計算成本均低于2 min。因此，遺傳優(yōu)化算法的引入顯著地提高了大跨橋梁時域顫振分析的效率與精度；

（2） 對江底河大橋斷面而言，采用4參數(shù)階躍函數(shù)對其試驗顫振導數(shù)進行擬合的精度很差，甚至對于某些顫振導數(shù)的擬合是失敗的，因此4參數(shù)階躍函數(shù)不能用于此橋自激氣動力的時域表達。算例表明，隨著階躍函數(shù)參數(shù)個數(shù)的增加，顫振導數(shù)的擬合精度得到逐步提高。

（3） 由于不同類型階躍函數(shù)在自激力時程的擬合精度上存在差異，因此時域顫振計算得到的顫振臨界風速也會存在差異。5種工況中，12參數(shù)階躍函數(shù)擬合精度最高，它對應的顫振臨界風速為90.05 m/s，與節(jié)段模型風洞試驗結(jié)果的89.7 m/s十分接近。而6， 8與10參數(shù)階躍函數(shù)對于某些顫振導數(shù)的擬合精度不高，因此得到的顫振臨界風速與試驗值相差較大。

由于遺傳優(yōu)化算法具有很高的計算效率，因此對于顫振導數(shù)曲線較為復雜的橋梁鈍體斷面，建議選取參數(shù)個數(shù)較多的階躍函數(shù)進行顫振導數(shù)擬合，建立精度較高的時域自激力模型，進而保證后續(xù)時域顫振分析的可靠性。

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Precision investigation on the self-excited aerodynamic force model of bridge decks simulated by indicial functions

WU Chang-qing1， ZHANG Zhi-tian2

（1.College of Civil Engineering and Architecture， Hunan Institute of Science and Technology， Yueyang 414006， China；2.School of Civil Engineering and Architecture， Hainan University， Haikou 570228， China）

Abstract： This paper introduces a method of using indicial functions （IFs） to simulate the time-domain expressions of self-excited aerodynamic loads of bridge decks， and studies the precision of this simulation. A modern genetic optimization algorithm is proposed to identify the parameters of IFs based on the tested flutter derivatives. During the simulation process， the equivalent relation between flutter derivatives and IFs parameters is first established. Then， the genetic optimization algorithm is implemented to identify all the IFs parameters using the MATLAB software. Based on the obtained IFs parameters， the fitted flutter derivatives are calculated according to the relation expression between IFs parameters and flutter derivatives. Finally， the simulation precision is evaluated by comparing the fitted and tested flutter derivatives. Numerical results indicate that the genetic optimization algorithm has high computational efficiency and is not affected by the number or range of parameters. The number of IFs parameters greatly influences the fitting precision of the flutter derivative. When the number of IFs parameters is small， the fitting precision is not ideal for complex flutter derivative curves. As the number of IFs parameters increases， the fitting precision significantly improves. The difference in fitting precision directly affects the critical wind speed of flutter obtained by the subsequent time-domain flutter analysis. Therefore， it is necessary to carefully select the number of IFs parameters based on the properties of flutter derivative curves. This allows for the simulation of a high-precision time-domain self-excited aerodynamic loads model， which can accurately evaluate the flutter stability of long-span bridges.

Key words： bridges；flutter；time-domain；indicial functions；genetic optimization

作者簡介： 吳長青（1987―），男，博士，講師。E-mail：12021048@hnist.edu.cn。