摘要： 針對短時傅里葉變換 （STFT） 中固定窗效應所導致的能量集中度不高的問題，提出了一種自適應窗口旋轉優(yōu)化短時傅里葉變換 （AWROSTFT） 的變轉速滾動軸承故障診斷方法。通過變分模態(tài)分解 （VMD） 對原始振動信號進行降噪，并利用粒子群優(yōu)化算法 （PSO） 解決了VMD參數(shù)選擇困難的問題；利用切線思想對STFT中水平窗口自適應匹配一系列的旋轉算子，使得窗口旋轉方向接近甚至等于瞬時調(diào)頻率，提高了時頻表示的能量集中度；計算出譜峰檢測法提取到的瞬時頻率與轉頻的平均比值，將得到的結果與軸承的故障特征系數(shù)進行匹配，以此實現(xiàn)變轉速工況下滾動軸承的故障診斷。仿真和實驗的結果都表明，本文所提方法能夠兼顧PSO?VMD和AWROSTFT的優(yōu)勢，通過切線思想自適應的旋轉窗口使得信號與窗函數(shù)在全局上的夾角都為零，從而達到提高能量集中度和銳化時頻脊線的目的，實現(xiàn)了變轉速工況下滾動軸承的故障診斷。

關鍵詞： 故障診斷； 時頻分析； 自適應窗口旋轉優(yōu)化短時傅里葉變換； 變分模態(tài)分解； 變轉速

中圖分類號： TH165+.3； TH133.33 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）06-1064-13

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.017

引 言

滾動軸承作為旋轉機械的關鍵部件，對機械設備的安全穩(wěn)定運行起著至關重要的作用，統(tǒng)計表明，30%以上的機械設備故障是由軸承故障引起的［1］。以傅里葉變換為基礎的包絡分析技術是滾動軸承故障診斷最重要的方法之一［2］，然而在變轉速工況下，由于轉速變化導致的頻譜模糊現(xiàn)象使其不再適用［3］。因此，準確診斷出變轉速工況下滾動軸承的故障有利于設備的正常運行和維護。

變轉速滾動軸承的故障診斷方法主要分為階次跟蹤、循環(huán)平穩(wěn)理論和時頻分析三類［4?9］。

階次跟蹤通過角度域重采樣將時域非平穩(wěn)信號轉化為角域平穩(wěn)信號，從而利用頻譜分析方法診斷軸承故障。由于硬件階次跟蹤（Hardware Order Tracking， HOT）［10］方法完全采用硬件實現(xiàn)，成本很高，之后學者提出了計算階次跟蹤 （Computed Order Tracking， COT）方法［11?12］。但COT要獲取鍵相信號才能重采樣，在某些情況下鍵相信號獲取困難，因此無鍵相階次跟蹤（Tacholess Order Tracking， TLOT）已成為國內(nèi)外學者關注的焦點［13?14］。階次跟蹤雖然解決了轉速波動導致的頻譜模糊問題，但其產(chǎn)生的精度誤差以及效率方面的缺陷也難以忽略。

針對階次跟蹤的弊端，學者們嘗試利用循環(huán)平穩(wěn)理論解決變轉速滾動軸承的故障診斷問題。Abbound等［15?16］提出了角度/時間循環(huán)平穩(wěn)（Angle/Time Cyclostationary， AT?CS）理論，利用階頻譜相關（Order?Frequency Spectral Correlation， OFSC）的方法提取出了變轉速滾動軸承的故障特征。Urbanek等［17］通過廣義角度時間確定（Generalized Angular Temporal Deterministic， GATD）提取出了變轉速機械故障特征。但僅從時域或頻域分析振動信號，通常無法獲得時頻瞬態(tài)特性，而這種特性正是處理非平穩(wěn)信號的核心［18］。

時頻分析提供了時域與頻域的聯(lián)合分布信息，非常適合提取振動信號的瞬態(tài)特征。短時傅里葉變換（Short?Time Fourier Transform， STFT）利用時頻局部化的思想描述信號頻率隨時間變化的關系，被廣泛應用于變轉速設備的狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷。趙曉平等［19］結合圖像分析方法與STFT提出了改進的Seam Carving瞬時頻率估計算法，提取瞬時轉頻曲線。李恒等［20］提出了基于STFT和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的故障軸承診斷方法，實現(xiàn)了端到端的故障模式識別。Zhao等［21］把STFT與瀑布圖相結合，分離出了多級齒輪傳動系統(tǒng)耦合故障的故障特征。但是STFT窗口不變的特性固化了整個時頻平面中的時頻分辨率，對分析快速變化的非平穩(wěn)信號存在一定的局限性。

為了解決STFT窗口固定、分析調(diào)頻信號能力差的問題，學者們基于窗函數(shù)中窗口寬度可變和窗口方向可變兩個方面對STFT進行改進。Pei等［22］提出了一種基于能量測量的自適應短時傅里葉變換方法，可以自適應獲得具有時變窗寬的高斯內(nèi)核。通過窗口寬度可變改進STFT的方法計算復雜度較高，并且估計的參數(shù)往往精度較低。而通過窗口方向變化改進STFT的方法易于實現(xiàn)，精度也高于前者。

線性調(diào)頻變換（Linear Chirplet Transform， LCT）以一個固定旋轉度來改變STFT中窗口的方向，適用于線性調(diào)頻信號。Yu等［23］提出了一般線性調(diào)頻變換（General Linear Chirplet Transform， GLCT），通過等間隔選取多個旋轉度來旋轉窗口，在一定程度上增強了非線性調(diào)頻信號的時頻聚集性。GLCT方法雖然增強了時頻平面的能量集中度，但是無法保證旋轉后的窗口與信號頻率方向的夾角恒為零，并且該方法需要進行多次LCT計算才能確定最優(yōu)的窗口旋轉度?，F(xiàn)有的兩類優(yōu)化STFT窗口方向的方法都是通過人為設置若干個旋轉度來旋轉窗口，只能在局部增強能量集中度。因此，有必要研究如何通過自適應的旋轉窗口的方法來增強全局的能量集中度。

針對現(xiàn)有STFT窗函數(shù)改進方法中所出現(xiàn)的能量集中度低和耗時長等問題，為了提高變轉速滾動軸承的時頻分辨率和故障識別的準確性，本文從窗口方向可變的角度，基于切線思想對STFT的窗函數(shù)進行了改進，提出了一種自適應窗口旋轉優(yōu)化STFT （Adaptive Window Rotation Optimization Short?Time Fourier Transform， AWROSTFT） 的方法，并通過粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization， PSO）和變分模態(tài)分解（Variational Mode Decomposition， VMD）方法提高振動信號的信噪比，以此獲得更高精度的瞬時頻率脊線，最后用譜峰檢測法從時頻表示（Time?Frequency Representation， TFR）中提取出瞬時頻率（Instantaneous Frequency， IF），計算出譜峰檢測法提取到的瞬時頻率與轉頻的平均比值，并將得到的結果與軸承的故障特征系數(shù)進行匹配，即可實現(xiàn)變轉速工況下滾動軸承的故障診斷。仿真和實驗的結果表明，本文所提出的基于PSO?VMD和自適應窗口旋轉優(yōu)化STFT的方法能夠提高瞬時頻率提取的精度，可以有效實現(xiàn)變轉速滾動軸承的故障診斷。

1 基本原理

1.1 PSO?VMD

利用PSO對VMD算法的參數(shù)進行優(yōu)化，假設在d維空間中搜索粒子，通過迭代更新找到最優(yōu)解［24］。每次迭代都可以用位置向量和速度向量表示粒子信息，第oi個粒子的位置和速度分別表示為：So=（So1，So2，…，SoD），Vo=（Vo1，Vo2，…，VoD）。粒子可以根據(jù)個體的局部極值和全局極值不斷更新自己的兩個信息，更新公式為［24］：

（1）

（2）

式中 o=1，2，3，…；h為迭代次數(shù)；為粒子在d維中第h次迭代時的速度；［0，1］為慣性權重；c1和c2為學習因子；為［0，1］之間的隨機數(shù)；為粒子在d維中第h次迭代時的個別極值點位置；為粒子在d維中第h次迭代時的當前位置；為整個種群在第h次迭代時全局極值在d維上的位置。

在PSO中，慣性權重按凹函數(shù)變化，凹函數(shù)策略調(diào)整可表示為［24］：

（3）

式中 為最大權重值；為最小權重值；H為最大迭代次數(shù)。

將式（3）代入式（1）中，得到：

（4）

PSO算法進行優(yōu)化時，需要確定一個適應度函數(shù)，根據(jù)整個粒子群的適應度來確定最優(yōu)解?？紤]振動信號中沖擊分量的周期性和強度，引入包絡譜峰值因子Ec作為適應度函數(shù)。假設信號包絡譜的幅值序列為X（z）（z=1，2，…，Z），Ec可以表示為［25］：

（5）

Ec越大，周期沖擊性越強，軸承故障特征越明顯。PSO優(yōu)化VMD的流程如圖1所示，具體步驟如下：

（1） 初始化PSO中的參數(shù)懲罰因子ξ和分量數(shù)K，將VMD算法的參數(shù)組合［ξ， K］作為個體位置，隨機產(chǎn)生與種群數(shù)量相當?shù)膮?shù)組合，作為種群中個體的初始化位置，隨機初始化每個粒子個體的移動速度；

（2） 計算各粒子適應度函數(shù)值Ec，對比和評價適應度值，更新個體局部極值和種群全局極值；

（3） 更新粒子的速度和位置；

（4） 循環(huán)迭代，轉至步驟2，直至迭代次數(shù)達到最大設定值后輸出最佳參數(shù)組合。

1.2 短時傅里葉變換

短時傅里葉變換提供了時域與頻域的聯(lián)合分布信息，是一種典型的線性變換方法。一個時變信號s（t）的STFT可以表示為［26］：

（6）

式中 為窗函數(shù)；為頻率；為窗長。

STFT的原理如圖2所示，實質(zhì)上是對一系列信號分段求傅里葉變換的過程，可以表示成g（τ-t）s（τ），其中τ為截取時間的長度，且。

由圖2可知，STFT窗口不變特性固化了整個時頻面的時頻分辨率，因此STFT不適合直接表征快速變化的非平穩(wěn)信號。

1.3 譜峰檢測法

譜峰檢測法是一種基于能量峰值的瞬時頻率提取算法，通過搜尋峰值在時頻圖上的坐標位置來估計瞬時頻率，其表達式為［27］：

（7）

式中 fk（j）表示第k個分量的瞬時頻率估計；TFR（：， j）表示信號進行時頻變換以后的時頻系數(shù)；為其單峰幅值。

譜峰檢測法不受信號時變程度的影響，其估計精度僅取決于時頻表示的能量集中水平。時頻表示的能量集中水平越高，提取到的瞬時頻率的精度也越高。

2 自適應旋轉窗口的短時傅里葉變換

2.1 調(diào)頻率與時頻能量集中度的關系

選擇式（6）中窗函數(shù)g（t）為高斯窗，定義為［27］：

（8）

線性調(diào)頻（Linear Frequency Modulated， LFM）和平穩(wěn)信號在相同窗長下信號的帶寬如圖3所示。對于瞬時頻率φ（t）=C0的平穩(wěn)信號，窗函數(shù)與瞬時頻率的夾角θ為0，當窗口長度一定時，在時頻圖中頻率帶寬最小，能夠獲得最佳能量集中度。對于瞬時頻率φ（t）=rt+C0（其中為調(diào)頻率）的LFM信號，瞬時頻率與窗函數(shù)之間會有一個夾角θ，這使得LFM信號的頻率帶寬將大于平穩(wěn)信號的帶寬。

如圖3截取放大部分所示，調(diào)頻率r與頻率帶寬dg之間的幾何關系可表示為：

（9）

從式（9）中可知，當窗長τ選定時，頻率帶寬dg只與信號的瞬時調(diào)頻率r有關，并且dg隨|r|的增大而增大。為了定量分析調(diào)頻率與能量集中之間的關系，本文將頻率帶寬作為能量集中度的量化指標，能量集中度越高，信號分量在時頻平面中的頻率帶寬越窄，dg越小。

2.2 基于切線思想的自適應窗口旋轉優(yōu)化STFT

LCT方法僅對窗口進行一次旋轉，能夠有效地處理LFM信號，其表達式為：

（10）

式中 hN（τ-t）為旋轉后的窗口函數(shù)，可以表示為：

（11）

式中 N為旋轉度；為固定旋轉算子，是在t時刻將窗口旋轉arctan N角度。

對于非線性調(diào)頻（Non?Linear Frequency Modulated， NLFM）信號，其瞬時頻率是連續(xù)的，僅靠一個旋轉度N不能夠完全實現(xiàn)信號全局上的頻率帶寬最小。因此本文提出一種基于切線思想的自適應窗口旋轉優(yōu)化STFT方法，其原理如圖4所示。把一個小時間段內(nèi)的弧線近似看作線段，每個線段都可以用一個調(diào)頻率為rn（其中n=1，2，3，…）的線性調(diào)頻信號表示。如果將NLFM信號不斷細分，每一時刻的調(diào)頻率將越來越接近真實值。當無限細分下去，信號每一時刻的調(diào)頻率可以用瞬時頻率曲線的切線即瞬時頻率的一階導數(shù)φ'（t）表示。

本文基于切線思想的AWROSTFT方法，通過自適應地匹配一系列的旋轉度N（t）來旋轉水平窗口，使得窗口方向接近甚至等于瞬時調(diào)頻率，則信號將在全局上具有最佳能量集中度。提出的自適應窗口旋轉優(yōu)化短時傅里葉變換方法定義如下：

（12）

式中 hN（t）（τ-t）為時變旋轉窗口函數(shù)，可以表示為：

（13）

式中 N（t）為時變的旋轉度，其值不大于信號長度L。當且僅當N（t）=φ'（t）時，信號具有最小的頻率帶寬。

在短時間τ內(nèi)，時變信號的瞬時頻率φ（t）可以用一階泰勒公式展開成如下形式：

（14）

此時，式（6）和（12）可以分別寫成：

（15）

（16）

式中 為瞬時幅值。

由式（15）可知，由于調(diào)制項的存在，使得信號出現(xiàn)了能量發(fā)散現(xiàn)象。而由式（16）可知，引入時變的旋轉度N（t）后，此時信號的調(diào)制項變?yōu)椋擭（t）接近于的φ'（t）時，信號的這種調(diào)制現(xiàn)象將減弱。當且僅當N（t）=φ'（t）時，信號中不包含調(diào)制項，此時信號與窗函數(shù)hN（t）的夾角為零，經(jīng)過STFT變換后將獲得最佳的能量集中度。

STFT，LCT，GLCT和AWROSTFT四種方法在處理單分量信號時的窗口變化原理如圖5所示。對于單分量信號，AWROSTFT是容易實現(xiàn)的。對于多分量信號，信號是各個分量在時間序列上的疊加，并且窗函數(shù)是直接作用在序列組合上的，因此很難同時實現(xiàn)窗口在不同分量上不同角度的旋轉。為此，本文給出了一種時頻融合方法。首先，通過不同分量的旋轉度Ni（t）分別對各分量進行調(diào)頻變換；其次，提取各個分量調(diào)頻變換后時頻系數(shù)；最后，將提取的時頻系數(shù)等按照分量頻率位置轉化到新的時頻面上。

假設第個分量的AWROSTFT時頻系數(shù)表示為，若已知其瞬時頻率為φi（t），那么時頻系數(shù)提取可以表示為：

（17）

式中 φi（t）為信號第個分量的瞬時頻率；為常數(shù)，dg。

由于時頻融合是沿頻率方向進行重組的，因此該方法也起到了時變帶通濾波器的效果。

3 基于PSO-VMD和AWROSTFT的變轉速滾動軸承故障診斷方法

針對變轉速滾動軸承故障診斷所出現(xiàn)的能量集中度低、耗時長和強背景噪聲等問題，本文提出了一種基于PSO?VMD和AWROSTFT的變轉速滾動軸承故障診斷方法。該方法包括：振動信號采集、降噪、自適應窗口旋轉、瞬時頻率的提取與識別和故障類型的判斷，整個故障診斷的流程如圖6所示，具體的步驟如下：

（1） 傳感器采集變轉速工況下設備的振動信號。

（2） 通過PSO算法確定VMD最佳影響參數(shù)［ξ0， K0］。將PSO算法的參數(shù)大小設置為［25］：學習因子c1=c2=2，種群規(guī)模O=30。H為最大迭代次數(shù)，如果H值過大會增加算法的計算時間，如果H值太小，至迭代終止時算法可能仍然不收斂，因此本文設定H=20。最大權重值和最小權重值分別為0.9和0.4；［ξ， K］的尋優(yōu)范圍分別為［100， 2000］，［3， 10］。

（3） 用最佳影響參數(shù)［ξ0， K0］對振動信號進行VMD處理。計算分解后的各個IMF分量的Ec值，根據(jù)Ec值挑選IMF進行重構，得到重構信號X1（t）。

（4） 應用AWROSTFT算法獲得具有高能量集中度的時頻表示，采用譜峰檢測法從TFR中提取出瞬時頻率。

（5） 將瞬時頻率與轉頻的平均比值與軸承的故障特征系數(shù)FCC進行匹配，即可實現(xiàn)變轉速工況下滾動軸承故障類型的判斷。

4 故障軸承仿真信號分析

4.1 仿真信號構造

為驗證本文所提方法的有效性，構造了升速條件下的故障軸承仿真信號［28］：

（18）

式中 M為信號的長度；Am=λtm表示第m個沖擊的幅值；η為結構的衰減系數(shù)；ωr表示軸承故障激勵的共振頻率；μ（t）為單位階躍函數(shù)；n（t）為高斯白噪聲；tm表示第m個沖擊出現(xiàn)的時間，計算公式如下：

（19）

式中 t0=0；m=1，2，3，…，M；x（t）=1.5t+13表示軸承轉頻隨時間變化的規(guī)律；表示由滾動體滑移帶來的故障沖擊間隔之間的誤差；n表示軸承每轉出現(xiàn)的故障沖擊數(shù)，其他參數(shù)取值如表1所示。

4.2 仿真信號分析

根據(jù)上述仿真信號得到的時域波形和轉頻曲線如圖7所示。由圖7可以分析出故障軸承振動信號在變轉速工況下的時域特性：振動信號的幅值隨著轉速的變化而發(fā)生變化，轉速低時信號的振幅低，轉速增大時信號的振幅也相應增大；隨著轉速的增大，故障振動沖擊時間間隔減小，軸承的故障特征頻率不再是一個定值，從而導致在變轉速工況下無法使用故障特征頻率識別故障。

在變轉速工況下，滾動軸承的故障特征頻率將隨著時間的變化而變化。而故障特征頻率與轉頻的比值是一個常數(shù)，且該常數(shù)只與軸承本身的參數(shù)有關，與轉速無關，因此被稱為故障特征系數(shù)（Fault Characteristic Coefficient， FCC）［27］。軸承參數(shù)一旦被確定，其FCC就是一個定值，它反映了軸承每轉一周所發(fā)生故障沖擊的次數(shù)，與轉速無關，因此常被用在變轉速工況下滾動軸承的故障診斷中。計算出譜峰檢測法提取到的瞬時頻率與轉頻的平均比值，所得到的結果與軸承的FCC進行匹配，即可判斷出變轉速軸承的故障類型。

采用PSO?VMD和AWROSTFT的變轉速滾動軸承故障診斷方法對仿真信號進行分析。先對VMD算法中的兩個參數(shù)［ξ，K］進行尋優(yōu)。圖8（a）表示局部最大包絡譜峰值因子Ec1隨迭代次數(shù)變化的曲線，縱坐標Ec1為無量綱指標。PSO優(yōu)化VMD在第15代收斂，搜索到的Ec1為5.125，最佳參數(shù)組合為［1450，7］。根據(jù)優(yōu)化結果設定懲罰因子ξ0=1450和分量個數(shù)K0=7。對仿真信號進行VMD處理，得到7個IMF分量。計算每個IMF分量Ec的幅值，從圖8（b）中可以看出，第5和第6個IMF分量Ec的幅值最大，對這兩個分量進行重構，得到重構信號X1（t）。

采用AWROSTFT方法提取重構信號X1（t）在變轉速工況下的瞬時頻率，圖9（a）為經(jīng)過AWROS TFT后的時頻表示結果，圖9（b）為用譜峰檢測法從圖9（a）中提取到的瞬時頻率。

計算得到圖9（b）中的瞬時頻率與轉頻的平均比值為5.5，等于仿真信號的FCC，實現(xiàn)了對變轉速工況下滾動軸承的故障診斷。

4.3 結果對比

為了驗證所提方法在識別變轉速滾動軸承故障方面的可行性，分別用STFT，LCT和GLCT三種方法對該仿真信號進行分析，圖10～13分別為三種方法得到的TFR結果和各自提取到的瞬時頻率。

從圖10和11中可以看出，無論是STFT方法還是LCT方法，兩者時頻表示的能量集中度都很低，采用譜峰檢測法提取到的IF與真實的IF相比誤差都很大，不能準確診斷出變轉速滾動軸承的故障類型。這是因為在噪聲和調(diào)制項的干擾下，STFT和LCT的時頻表示都存在能量發(fā)散的現(xiàn)象。STFT由于窗口不變的特性固化了整個時頻面的時頻分辨率，導致在處理轉速波動較大的時變信號時能量集中度較低。LCT與STFT類似，由于只對窗口旋轉了一次，所以在全局上無法保證旋轉后窗口方向與信號頻率方向的夾角為零。

從圖12和13中可以看出，GLCT方法的能量集中度略有改善，且旋轉度N越大效果越好，但是用譜峰檢測法提取到的瞬時頻率依舊存在誤差。這是因為GLCT方法的旋轉度N不能完全匹配瞬時調(diào)頻率，導致其分割痕跡比較嚴重，并且時頻脊線也不夠平滑。雖然增加N的數(shù)量可以獲得更高的能量集中度，但同時意味著需要進行N次LCT運算，計算量增加；其次，GLCT中窗口旋轉算子的數(shù)量遠小于信號采樣數(shù)，因此并不能獲得更佳的能量集中度，造成提取到的瞬時頻率不夠準確，從而導致漏診或者誤診。

本文所提的AWROSTFT方法利用切線思想對STFT的固定窗口進行自適應旋轉，使得窗口方向接近甚至等于瞬時調(diào)頻率，提高了信號在全局上的能量集中度。與上述四種時頻表示方法相比，無論是在局部和總體的診斷效果上，還是在參數(shù)的選擇以及計算效率上都要更加優(yōu)秀。

為了對上述各方法的能量集中度進行量化分析，引入Renyi熵作為評價指標。Renyi熵可以有效反映時頻分布能量的離散程度，定義為［29］：

（20）

式中 β表示階次，一般β>2；TFR（t，ω）為時頻系數(shù)。

由式（20）可知，Renyi熵值越小，時頻分布的能量集中度越高。表2為上述五種時頻表示方法的Renyi熵值，其中本文提出的AWROSTFT方法的Renyi熵值最小，能量集中度最高。

5 實驗驗證與結果分析

為了進一步驗證所提方法的有效性，在Spectrum Quest Incorporated （SQI）生產(chǎn)的MFS實驗臺上進行了滾動軸承變轉速工況下的故障實驗，整個實驗臺如圖14所示。三相交流電機通過柔性聯(lián)軸器與傳動軸連接，兩個ER?16K滾動軸承支撐傳動軸。對滾動軸承進行激光刻蝕模擬軸承的內(nèi)圈故障，缺陷部位如圖15所示。實驗臺中左邊是故障實驗軸承，右邊是健康軸承，在轉軸上安裝5.1 kg的轉子盤，施加50 N的徑向載荷，具體軸承的相關參數(shù)如表3所示。其中加速度傳感器安裝在離故障軸承較近的位置以準確測取振動信號，采樣時間為10 s，采樣頻率為20 kHz。

滾動軸承內(nèi)圈故障特征系數(shù)FCCi的計算公式如下式所示［28］：

（21）

代入軸承相關的幾何參數(shù)，計算得到FCCi=5.43。

在變轉速工況下采集軸承內(nèi)圈缺陷的振動數(shù)據(jù)，其時域波形和轉頻曲線如圖16所示。

采用PSO?VMD和AWROSTFT的變轉速滾動軸承故障診斷方法對實驗信號進行分析，先對VMD算法中的兩個參數(shù)［ξ， K］進行尋優(yōu)。圖17（a）表示局部最大包絡譜峰值因子Ec1隨迭代次數(shù)變化的曲線。PSO優(yōu)化VMD在第15代收斂，搜索到的Ec1為7.83，最佳參數(shù)組合為［1500，8］。根據(jù)優(yōu)化結果設定懲罰因子ξ0=1500和分量個數(shù)K0=8。對實驗信號進行VMD處理，得到8個分量。計算每個IMF分量Ec的幅值，從圖17（b）中可以看出，第5和第7個IMF分量的幅值最大，對這兩個分量進行重構，得到重構信號X1（t）。

采用AWROSTFT方法提取重構信號X1（t）在變轉速工況下的瞬時頻率，圖18（a）和（b）分別為經(jīng)過AWROSTFT后的時頻表示和用譜峰檢測法所提取到的瞬時頻率。計算得到圖18（b）中瞬時頻率與轉頻的平均比值為5.43，等于實驗軸承的FCCi，因此可以判斷出該軸承存在內(nèi)圈故障。

6 討 論

為了說明所提方法在識別變轉速滾動軸承故障方面的可行性和適用性，分別使用STFT，LCT和GLCT三種方法對第5節(jié)的實驗信號進行分析。圖19～22分別為STFT，LC，GLCT（N=5）和GLCT（N=10）四種方法在窗口長度均為128時得到的TFR結果和各自提取到的瞬時頻率。

比較圖18～22的結果，可以看出所提AWRO?STFT方法與其他四種時頻表示方法相比，具有更高的能量集中度和更窄的帶寬，用譜峰檢測法所提取到的時頻脊線也更加光滑，并且在全局上能量都是處于最集中狀態(tài)。表4為上述五種時頻表示方法的Renyi熵值，其中本文AWROSTFT方法具有最小的Renyi熵值，因此AWROSTFT方法的能量集中度最高。

為了進一步說明本文所提方法的優(yōu)勢，在相同參數(shù)設置下分別統(tǒng)計了上述五種時頻表示方法的運算耗時，結果如表5所示。AWROSTFT方法比STFT和LCT的耗時略長，但是這三種方法耗時的差距在1 s內(nèi)，在實際應用中是可以被接受的。AWROSTFT與GLCT方法相比計算效率較高，這是因為AWROSTFT在全局上只進行一次LCT運算，計算量大大降低。

綜上所述，所提方法無論是在故障診斷的準確性方面，還是在運算耗時方面，其整體效果都要明顯優(yōu)于現(xiàn)有變轉速故障診斷方法。主要是因為所提方法克服了時變窗口旋轉度難以確定的問題，通過切線思想實現(xiàn)了自適應窗口旋轉，解決了STFT在分析快速變化的非平穩(wěn)信號上的局限性，既獲得了良好的時頻分辨率和能量集中度，與其他窗口旋轉優(yōu)化方法相比又縮短了運算耗時，提高了變轉速時頻表示的能量集中度和滾動軸承故障診斷的準確性。但在處理復合故障的脊線交叉和轉頻曲線精度較低的情況時，本文還存在一定的局限性，后續(xù)將針對該問題進行研究。

7 結 論

針對現(xiàn)有STFT窗函數(shù)改進方法中所出現(xiàn)的能量集中度低、背景噪聲強和運算耗時長等問題，本文提出了一種自適應旋轉窗口優(yōu)化短時傅里葉變換的變轉速滾動軸承故障診斷方法，通過仿真信號和實驗信號驗證了所提方法的可行性。主要結論如下：

（1）VMD算法能夠有效抑制噪聲成分，突出瞬態(tài)沖擊，且PSO算法解決了VMD參數(shù)選擇困難的問題。

（2）利用切線思想自適應地匹配時變窗口的旋轉算子，解決了現(xiàn)有方法中窗口旋轉度難以確定的問題，增強了算法的適用范圍。

（3）與STFT，LCT，GLCT等方法進行比較，仿真和實驗結果都表明：本文提出的AWROSTFT方法的能量集中度最高，能夠準確診斷出變轉速工況下滾動軸承的故障類型。

參考文獻：

［1］ Wang R， Zhang C Y， Yu L， et al. Rolling bearing weak fault feature extraction under variable speed conditions via joint sparsity and low-rankness in the cyclic order-frequency domain［J］. Applied Sciences， 2022， 12： 2449.

［2］ Chen B， Yin P， Gao Y， et al. Use of the correlated EEMD and time-spectral kurtosis for bearing defect detection under large speed variation［J］. Mechanism and Machine Theory， 2018， 139： 162-174.

［3］ Feng Z P， Chen X W， Wang T Y. Time-varying demodulation analysis for rolling bearing fault diagnosis under variable speed conditions［J］. Journal of Sound Vibration， 2017， 400： 71-85.

［4］ Mahgoun H， Chaari F， Felkaoui A. Detection of gear faults in variable rotating speed using variational mode decomposition（VMD）［J］. Mechanics & Industry， 2016， 17（2）： 207.

［5］ Shi J J， Liang M， Guan Y P. Bearing fault diagnosis under variable rotational speed via the joint application of windowed fractal dimension transform and generalized demodulation： a method free from prefiltering and resampling［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2016， 68-69： 15-33.

［6］ Wang T Y， Chu F L. Bearing fault diagnosis under time-varying rotational speed via the fault characteristic order （FCO） index based demodulation and the stepwise resampling in the fault phase angle （FPA） domain［J］. ISA Transactions， 2019， 94： 391-400.

［7］ Huang H， Baddour N， Liang M. Bearing fault diagnosis under unknown time-varying rotational speed conditions via multiple time-frequency curve extraction［J］. Journal of Sound and Vibration， 2018， 414： 43-60.

［8］ Jahagirdar A C， Gupta K K. Cumulative distribution sharpness profiling based bearing fault diagnosis framework under variable speed conditions［J］. IEEE Sensors Journal， 2021， 21（13）： 15124-15132.

［9］ Shi J J， Huang W G， Shen C Q， et al. Dual-guidance-based optimal resonant frequency band selection and multiple ridge path identification for bearing fault diagnosis under time-varying speeds［J］. IEEE Access， 2019， 7： 144995-145012.

［10］ 趙明. 變轉速下機械動態(tài)信息的自適應提取與狀態(tài)評估［D］. 西安：西安交通大學， 2017.

Zhao Ming. Adaptive dynamic information extraction and state evaluation for machinery under varying speeds［D］. Xi’an： Xi’an Jiaotong University， 2017．

［11］ 王曉龍， 閆曉麗， 何玉靈. 變速工況下基于IEWT能量階次譜的風電機組軸承故障診斷［J］. 太陽能學報， 2021， 42（4）： 479-486.

Wang Xiaolong， Yan Xiaoli， He Yuling. Fault diagnosis of wind turbine bearing based on IEWT energy order spectrum under variable speed condition［J］. Acta Energiae Solaris Sinica， 2021， 42（4）： 479-486.

［12］ Wang X L， Zhou F C， He Y L， et al. Weak fault diagnosis of rolling bearing under variable speed condition using IEWT-based enhanced envelope order spectrum［J］. Measurement Science and Technology， 2019， 30（3）： 035003.

［13］ 孫云嵩， 于德介， 陳向民，等. 基于信號共振稀疏分解的階比分析及其在齒輪故障診斷中的應用［J］. 振動與沖擊， 2013， 32（16）： 88-94.

Sun Yunsong， Yu Dejie， Chen Xiangmin， et al. Order domain analysis based on resonance-based sparse signal decomposition and its application to gear fault diagnosis［J］. Journal of Vibration and Shock， 2013， 32（16）： 88-94.

［14］ Wang Y， Tse P W， Tang B P， et al. Order spectrogram visualization for rolling bearing fault detection under speed variation conditions［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2019， 122： 580-596.

［15］ Abbound D， Antoni J， Eltabach M， et al. Angle/time cyclostationarity in rolling element bearing vibrations ［C］. The 4th International Conference on Condition Monitoring of Machinery in Non-Stationary Operations. 2014.

［16］ Abbound D， Antoni J， Eltabach M， et al. Angle/time cyclostationarity for the analysis of rolling element bearing vibrations［J］. Measurement， 2015， 75： 29-39.

［17］ Urbanek J， Barszcz T， Jablonski A. Application of angular-temporal spectrum to exploratory analysis of generalized angular-temporal deterministic signals［J］. Applied Acoustics， 2016， 109： 27-36.

［18］ 白云川， 陳成法， 夏均忠，等. 變轉速下滾動軸承故障診斷方法研究現(xiàn)狀分析［J］. 軍事交通學院學報， 2019， 21（7）： 52-56.

Bai Yunchuan， Chen Chengfa， Xia Junzhong， et al. Current status of rolling bearing fault diagnosis method under variable speed［J］. Journal of Military Transportation University， 2019， 21（7）： 52-56.

［19］ 趙曉平， 吳家新， 周子賢. 改進的Seam Carving瞬時頻率估計算法研究［J］. 南京信息工程大學學報（自然科學版），2017， 9（2）： 214-219.

Zhao Xiaoping， Wu Jiaxin， Zhou Zixian. Instantaneous frequency estimation based on improved Seam Carving algorithm［J］. Journal of Nanjing University of Information Science & Technology （Natural Science Edition），2017， 9（2）： 214-219.

［20］ 李恒， 張氫， 秦仙蓉， 等. 基于短時傅里葉變換和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的軸承故障診斷方法［J］. 振動與沖擊， 2018， 37（19）： 124-131.

Li Heng， Zhang Qing， Qin Xianrong， et al. Fault diagnosis method for rolling bearings based on short-time Fourier transform and convolution neural network［J］. Journal of Vibration and Shock， 2018， 37（19）： 124-131.

［21］ Zhao Q R， Wang X， Li T T， et al. Analysis of coupling fault correlation and nonlinear vibration of multi-stage gear transmission system［J］. Journal of Vibroengineering， 2021， 23（1）： 114-126.

［22］ Pei S C， Huang S G. STFT with adaptive window width based on the chirp rate［J］. IEEE Transactions on Signal Processing， 2012， 60（8）： 4065-4080.

［23］ Yu G， Zhou Y Q. General linear chirplet transform［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2016， 70-71： 958-973.

［24］ Cheng Y， Wang Z W， Zhang W H， et al. Particle swarm optimization algorithm to solve the deconvolution problem for rolling element bearing fault diagnosis［J］. ISA Transactions， 2019， 90： 244-267.

［25］ 張俊， 張建群， 鐘敏， 等. 基于PSO-VMD-MCKD方法的風機軸承微弱故障診斷［J］. 振動、測試與診斷， 2020， 40（2）： 287-296.

Zhang Jun， Zhang Jianqun， Zhong Min， et al. PSO-VMD-MCKD based fault diagnosis for incipient damage in wind turbine rolling bearing［J］. Journal of Vibration， Measurement & Diagnosis， 2020， 40（2）： 287-296.

［26］ 俞昆， 羅志濤， 李鴻飛， 等. 廣義參數(shù)化同步壓縮變換及其在旋轉機械振動信號中的應用［J］. 機械工程學報， 2019， 55（11）： 149-159.

Yu Kun， Luo Zhitao， Li Hongfei， et al. General parameterized synchrosqueezing transform and its application in rotating machinery vibration signal［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2019， 55（11）： 149-159.

［27］ 王亞濤. 變轉速工況下的滾動軸承復合故障診斷方法研究［D］. 北京：北京化工大學， 2020.

Wang Yatao. Research on compound fault diagnosis method of rolling bearing under varying speed conditions［D］. Beijing： Beijing University of Chemical Technology， 2020．

［28］ 趙德尊， 李建勇， 程衛(wèi)東， 等 . 變轉速下基于廣義解調(diào)算法的滾動軸承故障診斷［J］. 振動工程學報， 2017， 30（5）： 865-873.

Zhao Dezun， Li Jianyong， Cheng Weidong， et al. Rolling element bearing fault diagnosis based on generalized demodulation algorithm under variable rotational speed［J］. Journal of Vibration Engineering， 2017， 30（5）： 865-873.

［29］ Stankovi? L. A measure of some time-frequency distributions concentration［J］. Signal Processing， 2001， 81（3）： 621-631.

Fault diagnosis of rolling bearings under variable speed conditions based on adaptive window rotation optimization short-time Fourier transform

ZHAO Yi-nan1， YAN Chang-feng1， MENG Jia-dong2， WANG Zong-gang3，

WANG Hui-bin1，4， WU Li-xiao1

（1.School of Mechanical and Electrical Engineering， Lanzhou University of Technology， Lanzhou 730050， China；2.School of Mechanical Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China；3.College of Physics and Electromechanical Engineering， Hexi University， Zhangye 734000， China；4.Department of Medical Technology， Zhangzhou Health Vocational College， Zhangzhou 363000， China）

Abstract： This paper proposes a fault diagnosis method for rolling bearings under variable speed conditions， based on the Adaptive Window Rotation Optimization Short-Time Fourier Transform （AWROSTFT）. This method addresses the issue of low energy concentration caused by the fixed window effect in Short-Time Fourier Transform （STFT）. Variational Mode Decomposition （VMD） is used to reduce the noise of the original vibration signal， and Particle Swarm Optimization （PSO） is employed to solve the complex problem of VMD parameter selection. A series of rotation operators are adaptively matched to the horizontal window in STFT using the tangent idea， aligning the rotation direction of the window with the instantaneous frequency modulation to improve the energy concentration of time-frequency representation. The instantaneous frequency， extracted by the spectral peak detection method， is divided by the frequency transformation curve. The result is matched with the fault characteristic coefficient of the bearing to achieve fault diagnosis of the rolling bearing under variable speed conditions. The results of simulation and experimental signals show that the proposed method effectively combines the advantages of PSO-VMD and AWROSTFT. Through the adaptive rotation window with the idea of tangency， the angle between the signal and the window function is globally reduced to zero， improving energy concentration， sharpening the time-frequency ridge line， and enabling fault diagnosis of rolling bearings under variable speed conditions.

Key words： fault diagnosis；time-frequency analysis；adaptive window rotation optimization short-time Fourier transform；VMD；variable speed conditions

作者簡介： 趙一楠（1998—），男，碩士研究生。E-mail：zyn15537789892@163.com。

通訊作者： 剡昌鋒（1974—），男，博士，研究員，博士生導師。E-mail：changf_yan@163.com。