摘要： 針對強噪聲下難以估計信號瞬時頻率的問題，提出了基于質(zhì)心動態(tài)路徑規(guī)劃（DPPB）的變轉(zhuǎn)速齒輪箱時頻脊線索引算法。該算法在剖析多路徑匹配追蹤（MMP）脊線索引算法及其在強噪聲下失效原因的基礎(chǔ)上，通過對MMP算法得到的脊線集加窗求質(zhì)心，構(gòu)建信號的脊線質(zhì)心稀疏矩陣，并針對質(zhì)心稀疏矩陣設(shè)計動態(tài)路徑規(guī)劃函數(shù)索引脊線上的質(zhì)心點，根據(jù)脊線代價函數(shù)值計算最優(yōu)時頻脊線。將相似度系數(shù)Ra和置信度σRa作為脊線提取效果的衡量指標，通過仿真和試驗驗證了DPPB算法可有效提取強噪聲信號的時頻脊線，且不同程度噪聲下的可靠性和魯棒性均優(yōu)于峰值索引算法和MMP脊線索引算法。

關(guān)鍵詞： 故障診斷； 齒輪箱； 質(zhì)心動態(tài)路徑規(guī)劃（DPPB）； 時頻脊線索引； 多路徑匹配追蹤（MMP）； 時頻分析

中圖分類號： TH165+.3； TH132.41 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）06-1077-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.018

引 言

齒輪箱在變轉(zhuǎn)速工況下會產(chǎn)生與轉(zhuǎn)速相關(guān)的非平穩(wěn)振動信號，使用傳統(tǒng)的平穩(wěn)信號分析方法難以診斷齒輪箱故障［1］。瞬時轉(zhuǎn)速不僅是反映齒輪箱運行狀態(tài)的重要參數(shù)，也是階次跟蹤算法、廣義解調(diào)分析等非平穩(wěn)信號分析方法的必需參量［2?4］。所以準確獲得變轉(zhuǎn)速齒輪箱瞬時轉(zhuǎn)速對齒輪箱健康狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷具有重要意義。

利用高精度轉(zhuǎn)速測量設(shè)備可獲得振動信號對應(yīng)的轉(zhuǎn)速，但是由于實際工作環(huán)境的制約，大部分齒輪箱不具備安裝轉(zhuǎn)速測量設(shè)備的條件。齒輪箱振動信號中的特征頻率通常與轉(zhuǎn)速相關(guān)，所以通過估計瞬時頻率（Instantaneous Frequency，IF）可達到求取瞬時轉(zhuǎn)速的目的［5］。郭瑜等［6］針對變轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)機械，利用峰值索引算法在振動信號時頻分布中獲得一階轉(zhuǎn)速對應(yīng)的IF時頻脊線，實現(xiàn)了無轉(zhuǎn)速計條件下估計振動信號的轉(zhuǎn)頻信息。峰值索引算法計算簡單但對噪聲較為敏感，在實際工程中往往難以得到滿足要求的時頻曲線。為了提高估計算法對噪聲的魯棒性， latsenko等［7］以頻率平均值和標準差構(gòu)造自適應(yīng)代價函數(shù)代替時頻峰值進行脊線索引，引入跳頻懲罰保證脊線的連續(xù)性，一定程度上降低了噪聲對脊線索引的影響。江星星等［8］提出了一種雙向搜索時頻脊融合算法，運用代價函數(shù)脊線索引方法從正反兩個方希搜索同一IF分量的時頻脊線，通過脊線融合算法合并最優(yōu)脊線段從而消除噪聲引起的局部誤差。Ding等［9］則根據(jù)軸承振動信號的頻率特征，運用概率密度函數(shù)將基頻與其對應(yīng)的倍頻進行融合，從而達到修正時頻脊線、提高轉(zhuǎn)速估計精度的目的。由于受到Heisenberg不確定原理的影響，時頻分布中頻率發(fā)散、多分量頻率信號混疊等現(xiàn)象嚴重影響時頻脊線的索引結(jié)果。張炎等［10］運用同步壓縮小波變換（Synchrosqueezing Wavelet Transform，SWT）對軸承振動信號的包絡(luò)譜進行時頻重排，通過提高時頻包絡(luò)譜的分辨率和聚集性，減小頻譜發(fā)散對脊線提取的影響，從而準確提取軸承的特征頻率曲線。上述算法一定程度上提高了時頻脊線索引的精度，但對索引初始點的依賴性很高，若選擇錯誤的索引初始點便無法提取正確的時頻脊線。多路徑匹配追蹤（Multipath Matching Pursuit，MMP）［11］通過建立基于樹的路徑搜索模型，運用貪心算法搜尋最優(yōu)路徑，降低初始搜索點選擇對搜索結(jié)果的影響。相繼有學(xué)者利用同步壓縮變換（Synchro?Squeezing Transform， SST）［12］、Multisynchro?squeezing Transform（MSST）［13］、同步提取變換（Synchro?Extracting Transform，SET）［14］、Synchro?Reassigning Transform（SRT）［15］算法獲得變轉(zhuǎn)速齒輪箱振動信號的重排時頻分布，運用MMP算法提取到了較為準確的瞬時頻率。然而對于強噪聲信號，重排時頻分布會出現(xiàn)大量噪聲分量，MMP算法在干擾下依然難以識別正確的時頻脊線。

目前脊線索引算法均是以時頻分布上的離散時頻點作為索引對象，強噪聲產(chǎn)生的局部幅值極值會對脊線索引造成很強的干擾；同時現(xiàn)有算法將局部最優(yōu)點的集合作為最終的脊線，所以其結(jié)果不一定滿足全局最優(yōu)。針對現(xiàn)有算法的不足，本文提出一種質(zhì)心動態(tài)路徑規(guī)劃（Dynamic Path Planning for Barycenter， DPPB）時頻脊線索引算法。算法在MMP算法的基礎(chǔ)上構(gòu)建脊線質(zhì)心稀疏矩陣，將索引的對象由時頻離散點轉(zhuǎn)換為質(zhì)心點，減少噪聲對脊線索引的干擾并降低時頻分布的維度；運用動態(tài)路徑規(guī)劃算法索引時頻脊線，盡可能使索引結(jié)果達到全局最優(yōu)。

1 MMP脊線索引算法

1.1 MMP算法原理及實現(xiàn)

對于信號，窗函數(shù)，通過滑動窗口可得到不同時間段信號的頻譜圖，從而獲得信號的時頻分布如下式所示：

（1）

式中 和表示時間；表示頻率；表示g的共軛。

根據(jù)時頻曲線附近局部能量突出且具有一定連續(xù)性的特點，建立最優(yōu)脊線路徑代價函數(shù)［16］：

（2）

式中 表示幅值對代價函數(shù)的權(quán)重系數(shù)；表示第k階導(dǎo)數(shù)對代價函數(shù)的權(quán)重系數(shù)；k為求導(dǎo)階數(shù)。

對式（2）進行離散變換，忽略高階項的影響，同時設(shè)置脊線搜索頻率半徑為，得到如下式所示的脊線索引代價函數(shù)：

（3）

式中 為權(quán)重系數(shù)，用于確定幅值（時頻分布）和頻率變化量對代價函數(shù)的貢獻率。由于噪聲的影響，時頻分布中可能出現(xiàn)噪聲時頻點幅值高于脊線上的幅值，若索引初始點落在噪聲點上則無法索引到正確脊線。

MMP脊線索引算法通過選擇多個索引初始點的方法消除索引結(jié)果過于依賴初始點的問題。對于時頻分布構(gòu)建基于樹的脊線索引模型，選取n個起始點作為路徑搜索樹的支集起點，以代價函數(shù)C更新支集原子，通過貪心算法搜索每個支集上的原子，得到個支集作為時頻脊線，然后根據(jù)下式確定最優(yōu)時頻脊線：

（4）

式中 為離散信號總長度。

MMP脊線索引算法具體步驟如下：

（1） 對于時頻矩陣，取個索引初始點將時間平均分為n段，每一段的時間間隔為，每個初始點對應(yīng)的時刻為，初始化；

（2） 令，找到第個初始時刻的最大幅值點作為脊線搜索的起始點；

（3） 正向搜索：令，根據(jù)式（3）以半徑搜索處的脊線點；

（4） 重復(fù)步驟（3），直到停止迭代，；

（5） 負向搜索：令，根據(jù)式（3）以半徑搜索處的脊線所在位置，；

（6） 重復(fù)步驟（5） ，直到停止迭代，得到時頻脊線；

（7） 重復(fù)步驟（2）～（6） ，直到停止迭代；根據(jù)式（4）得到最終的脊線。

1.2 強噪聲下MMP算法失效機理分析

圖1（a）為信噪比為-10 dB的強噪聲下利用MMP算法得到的時頻脊線，其中黑色虛線代表理論時頻曲線，紅色實線為MMP算法提取的結(jié)果。從圖1（a）中可以看出，時間在0～7.5 s時與基本重合，提取效果較好；在7.5 s時與發(fā)生偏離，然后便沿著偏離后的結(jié)果繼續(xù)搜尋，致使7.5 s后未能提取到有效的時頻脊線。

圖1（b）為圖1（a）中位置A的局部放大圖，紅色虛線表示式（3）中的搜索頻率半徑。在時刻，時頻點a雖然在附近，但在噪聲的影響下幅值并不是搜索半徑內(nèi)的最大值，存在一個遠離理論曲線的時頻點b，其幅值大于，所以在時刻會將b作為上的點。當(dāng)脊線索引至?xí)r刻，附近的時頻點c的幅值高于遠離的d處幅值，然而此刻c點已經(jīng)超出的范圍，算法只能在的范圍內(nèi)選擇最大幅值點d作為f上的點而無法索引到正確的時頻點c，使逐步偏離正確的索引方向。

由于MMP算法在索引處的脊線點時僅根據(jù)確定的索引范圍，得到關(guān)于的局部最優(yōu)值；若在噪聲的影響下偏離，的索引范圍也隨之發(fā)生偏離；當(dāng)?shù)钠屏吭谒饕秶鷥?nèi)，索引結(jié)果僅在附近波動；當(dāng)?shù)睦塾嬈屏砍鏊饕秶?，偏離了并且偏離量可能越來越大，得到如圖1（a）中的結(jié)果。如果根據(jù)已搜索到的所有脊線點確定的索引范圍，可以有效抑制局部最優(yōu)導(dǎo)致的脊線偏移，但是在高采樣頻率下數(shù)據(jù)點多，影響計算效率。所以本文通過構(gòu)造脊線質(zhì)心稀疏矩陣重構(gòu)時頻分布，減少噪聲干擾并降低脊線索引的數(shù)據(jù)量，進而利用動態(tài)路徑規(guī)劃算法解決脊線索引時容易陷入局部最優(yōu)的問題。

2 DPPB時頻脊線索引算法

2.1 構(gòu)建脊線質(zhì)心稀疏矩陣

由第1節(jié)可知，MMP算法得到最終脊線之前會生成一個脊線集，如圖2所示。圖2中彩色細實線為算法索引的所有脊線，紅色粗實線為最終的提取結(jié)果，紫色虛線區(qū)域為理論時頻曲線所在的搜索范圍。

雖然噪聲導(dǎo)致脊線集中不一定存在一條脊線能夠較好地描述信號真實的時頻分布，但是對于，存在和集合，使得：

（5）

即時頻脊線上存在某一段正好落在內(nèi)，所有滿足式（5）的脊線點集合便構(gòu)成目標脊線。

質(zhì)心可以反映質(zhì)點集的整體分布情況，將式（2）中的視為脊線的質(zhì)量，設(shè)窗函數(shù)為，時窗半徑為，窗口平移步長為λ，那么第k條脊線的質(zhì)心可由下式求得：

（6）

針對離散的時頻分布，將式（6）改寫為離散形式：

（7）

式中 和分別為質(zhì)心對應(yīng)的時間和頻率；為質(zhì)心質(zhì)量；m為時間序列；為質(zhì)心序列，其中，表示向上取整運算，為采樣頻率。

截取一段脊線加窗求質(zhì)心的結(jié)果如圖3所示，其中不同顏色代表加窗后的脊線段，“○”為該段脊線的質(zhì)心，藍色虛線表示理論曲線。從圖3中可以看出，加窗質(zhì)心運算弱化了異常脊線點對時頻分布的影響，從而達到消除噪聲干擾的目的。同時，質(zhì)心點反映了窗口內(nèi)脊線點的整體分布，所以通過質(zhì)心點描述時頻脊線可以降低時頻脊線的維度。

利用式（7）對圖2中的n段脊線加窗求質(zhì)心，得到一個由質(zhì)心點構(gòu)成的稀疏矩陣V如圖4所示，圖4（b）為4（a）中區(qū)域B的局部放大圖。圖中“·”為質(zhì)心點的位置，顏色深淺代表該質(zhì)心質(zhì)量的大小。與圖1（a）對比，圖4中的時頻脊線更加清晰。

采用二維數(shù)組存儲稀疏矩陣會浪費存儲單元存放零元素，在運算中需要花費大量時間對零元素進行無效運算。三元組存儲格式（Coordinate，COO）是一種直觀、簡單的稀疏矩陣存儲格式，分別將二維數(shù)組中非零元素的行、列和數(shù)值存在三個一維矩陣中，極大地壓縮了原始數(shù)據(jù)量［17］。但是COO存儲數(shù)據(jù)不考慮存儲順序，在數(shù)據(jù)讀取時需要遍歷整個矩陣索引需要的數(shù)據(jù)，一定程度上降低運算效率。針對時頻脊線索引的特點，按照時間順序運用COO方法存儲稀疏矩陣，減少索引時的數(shù)據(jù)讀取量。首先通過COO方法將b時刻的質(zhì)心儲存在三個一維矩陣中，即

（8）

然后將所有時刻的存儲矩陣組成質(zhì)心稀疏矩陣V：

（9）

通過構(gòu)建質(zhì)心稀疏矩陣將時頻脊線索引對象由時頻分布轉(zhuǎn)化為稀疏矩陣V，保留了時頻分布中的關(guān)鍵信息，極大地壓縮了數(shù)據(jù)量；在索引某一時刻的脊線點時，只需在該時刻的COO矩陣中查找目標元素，從而避免遍歷稀疏矩陣的全部數(shù)據(jù)，達到降低運算量的目的。

2.2 構(gòu)造動態(tài)路徑規(guī)劃脊線索引函數(shù)

路徑規(guī)劃可通過現(xiàn)有的數(shù)據(jù)集預(yù)測接下來一段時間的數(shù)據(jù)分布，多項式擬合是常用的路徑規(guī)劃方法。但是數(shù)據(jù)量和擬合階數(shù)對多項式擬合的結(jié)果影響較大，決定了擬合結(jié)果的精度和泛化能力。為了提高脊線點預(yù)測的魯棒性且盡可能保留脊線局部的細節(jié)信息，本文采用了動態(tài)路徑規(guī)劃的脊線點索引算法。

設(shè)置閾值確定擬合點數(shù)量和擬合階數(shù)，當(dāng)已搜索到脊線的質(zhì)心個數(shù)時選用低階數(shù)對序列的質(zhì)心集進行擬合；當(dāng)時選用高階數(shù)對序列的質(zhì)心集進行擬合；然后計算序列為的預(yù)測值，如下式所示：

（10）

式中 ，分別為預(yù)測點的時間集和頻率集；；。

定義新的代價函數(shù)如下式所示：

（11）

式中 為時刻的預(yù)測頻率；表示距離。代價函數(shù)是一個與距離和質(zhì)量有關(guān)的函數(shù)。

將式（11）得到的代價函數(shù)值取最大值時的質(zhì)心點作為的脊線點，并把此時的作為脊線點的幅值，如下式所示：

（12）

將每條脊線各點的幅值合作為脊線的判別參數(shù)，選擇最大幅值合的脊線作為最終脊線，如下式所示：

（13）

2.3 DPPB脊線索引算法實現(xiàn)

對于一段時間長度為的信號，運用DPPB算法搜索時頻脊線的具體步驟如下：

（1） 根據(jù)第1節(jié)的MMP脊線索引算法搜索時頻分布的時頻脊線，得到脊線集合。

（2） 設(shè)置窗函數(shù)，時窗半徑，窗口平移步長λ，對脊線集加窗求質(zhì)心，構(gòu)建質(zhì)心稀疏矩陣，計算初始化，確定擬合階數(shù)閾值m。

（3） 令，搜索中的最大值所對應(yīng)的質(zhì)點作為第i條脊線的搜尋起始點，即。

（4） 正向搜索：，若，執(zhí)行步驟（5）；否則，令，執(zhí)行步驟（6）。

（5） 由式（10）確定預(yù)測值，由式（11）計算時刻的代價函數(shù)集，由式（12）搜索脊線點；若，重復(fù)步驟（4）。

（6） 反向搜索：，若，執(zhí)行步驟（7）；否則，執(zhí)行步驟（8）。

（7） 由式（10）確定預(yù)測值，由式（11）計算時刻的代價函數(shù)集，由式（12）搜索脊線點，重復(fù)步驟（6）。

（8） 令，重復(fù)步驟（3）～（6），直到停止。由式（13）得到最終的時頻脊線。

DPPB算法流程圖如圖5所示。

2.4 關(guān)于算法的討論

2.4.1 參數(shù)設(shè)置對結(jié)果的影響

在DPPB算法中，搜索半徑、窗寬和步長是算法的三個關(guān)鍵參數(shù)。搜索半徑的大小影響MMP算法對噪聲的魯棒性。減小可以降低索引區(qū)域內(nèi)的噪聲點數(shù)量，避免脊線波動，但同時也降低了索引到正確脊線點的概率，容易在噪聲的干擾下偏離正確索引路徑；增大可以增加索引到正確脊線點的概率，當(dāng)索引路徑偏離理論脊線時有更大的機會重新返回正確的索引路徑，但是也增加了噪聲點的數(shù)量，容易使提取結(jié)果產(chǎn)生波動。加窗求質(zhì)心的目的是降低噪聲對脊線提取的干擾，使質(zhì)心點能夠準確描述理論脊線。窗口大小和步長會影響質(zhì)心計算的準確性、抗噪聲干擾能力和復(fù)雜度。隨著增大，質(zhì)心計算的抗噪聲干擾能力增強，而準確性則先增高后降低；增大時，質(zhì)心計算的準確性提高，但是提升效果會隨的減小而降低。同時，和影響算法的復(fù)雜度，增大和會增加運算量。

目前尚未有合適的理論確定數(shù)據(jù)的最優(yōu)搜索半徑、窗寬和步長，本文僅根據(jù)經(jīng)驗和試驗分析獲得各參數(shù)的較優(yōu)取值范圍。對于，一般取10～35 Hz效果較好。對于，如果待提取的脊線變化較為劇烈，通常選擇0.1～0.5 s的較小窗口；如果變化較為緩慢，通常選擇0.5～1 s的較大窗口。對于，原則上越小越好，但是考慮到運算量，一般選擇。

2.4.2 算法的計算成本

本文所提算法的計算成本主要包括MMP索引、質(zhì)心求解和動態(tài)路徑規(guī)劃三部分。若信號時頻分布的數(shù)據(jù)量為×，為離散信號總長度，為頻率維度，算法的計算成本可以表示為：

（14）

式中 ，，和分別為算法總成本、MMP索引成本、質(zhì)心計算成本和動態(tài)路徑規(guī)劃成本；為脊線段的數(shù)量；為個點的多項式擬合計算成本。

所提算法以較高的計算成本來換取較好的提取性能，所以計算成本較大。特別注意的是，的系數(shù)對計算成本產(chǎn)生較大的影響，所以在保證索引精度的前提下，合理減小和、增大可以有效降低算法的計算成本。

3 仿真分析

3.1 構(gòu)建仿真模型

設(shè)仿真信號x及瞬時頻率曲線f如下式所示：

（15）

設(shè)置采樣頻率fs=800 Hz，采樣時間t=10 s，信號的時域圖和STFT變換后的時頻分布如圖6所示。

對信號加高斯白噪聲后，取，運用第1節(jié)MMP脊線提取算法得到脊線集如圖7所示。

由式（7）構(gòu)建質(zhì)心稀疏矩陣V，其中總采樣點數(shù)N=fs·t=8000，窗寬度g=0.5 s，步長λ=0.1 s，時間序列總長度B=t/λ=100。

令式（10）中的，，，，，則仿真模型的動態(tài)路徑規(guī)劃函數(shù)可表示為：

（16）

根據(jù)式（11）構(gòu)造仿真信號的代價函數(shù)為：

（17）

式中 為歸一化質(zhì)心質(zhì)量；為距離權(quán)重，用來平衡歸一化質(zhì)心質(zhì)量和距離對代價函數(shù)的貢獻度，通常的取值范圍為。

3.2 時頻脊線提取效果衡量指標

為了更直觀地分析不同算法的優(yōu)劣，此處構(gòu)造兩個量化衡量指標：相似度系數(shù)和置信度。

絕對值倒數(shù)法是確定兩個向量間相似度的一種方法，對于提取的第j條脊線上任意一點的頻率與對應(yīng)的理論值之間的相關(guān)程度可以由下式確定：

（18）

式中 c為誤差允許值，表示接受與理論值的距離不大于c的提取結(jié)果。

對于某一算法O提取的第j條脊線與理論曲線的相似度，計算公式如下：

（19）

式中 Ra∈［0，1］，Ra越接近1，說明算法提取的脊線與理論曲線相似度越高，脊線提取效果越好；反之Ra越接近0，則說明相似度越低，提取效果越差。

圖8所示為不同相似度Ra時的時頻脊線對比圖，圖中誤差上、下限之間為允許誤差c的范圍。當(dāng)Ra≥0.9時，脊線與理論時頻曲線基本吻合，提取結(jié)果誤差較?。划?dāng)0.9≤Ra≤0.8時，脊線在理論曲線附近波動變大，且存在少量脊線點超出了誤差范圍，但是脊線基本落在誤差范圍以內(nèi)；當(dāng)Ra≤0.7時，脊線與理論曲線保持相同的變化趨勢，但是有部分脊線嚴重超出誤差范圍，提取效果欠佳。

運用算法O對M個信號進行脊線提取，獲得M條脊線，根據(jù)式（19）計算得到所有脊線與理論曲線的相關(guān)系數(shù)，算法O的平均相似度系數(shù)為：

（20）

對于任意，存在k條脊線滿足，則置信水平在上的置信度為：

（21）

平均相似系數(shù)表示提取結(jié)果與理論結(jié)果偏差的統(tǒng)計平均值，可以反映算法的穩(wěn)定程度。置信度表示將與理論結(jié)果的相似度在的提取結(jié)果視為合格結(jié)果，則在整個試驗結(jié)果中合格的提取結(jié)果所占的比率為，值越大，代表算法的提取效果越好。

3.3 仿真結(jié)果及分析

脊線提取結(jié)果及其與理論曲線對比結(jié)果如圖9所示。圖9（a）中紅色曲線為提取到的時頻脊線，脊線索引到了理論脊線附近所有的高幅值時頻點；從圖9（b）中可以看到，提取到的脊線與理論曲線基本重合，表明本算法可以提取得到較為準確的時頻脊線。

為了分析噪聲對脊線提取結(jié)果的影響，運用峰值索引、MMP脊線索引、DPPB脊線索引三種算法對信噪比的信號進行脊線提取，結(jié)果如圖10所示。

在圖10（a）中，對于信噪比SNR=-5 dB的低噪聲信號，3種算法均能較好地提取時頻脊線。在SNR=-8和-10 dB的較強噪聲時（圖10（b）和（c）所示），峰值索引算法得到的脊線已經(jīng)完全偏離理論曲線，MMP算法得到的脊線與理論曲線有相同的變化趨勢，但存在局部誤差而偏離理論曲線，DPPB算法提取的脊線與理論曲線基本重合。在SNR=-12 dB的強噪聲下（圖10（d）所示），其他兩種算法已經(jīng)完全偏離理論曲線，DPPB算法可得到與理論曲線變化趨勢相同的脊線，僅存在局部誤差。由此可以初步得出，峰值索引算法和MMP算法容易受噪聲的影響，強噪聲下會失去脊線提取能力，而DPPB算法可以在強噪聲下有效提取時頻脊線，提取效果和對噪聲的魯棒性優(yōu)于其他兩種算法。

重復(fù)進行圖10中的仿真試驗，試驗次數(shù)M=10000，根據(jù)式（20）計算三種算法的平均相關(guān)系數(shù)如表1所示，其中取 Hz。

由表1可知，當(dāng)SNR=-5 dB時，三種算法的平均相關(guān)系數(shù)均大于0.9，提取結(jié)果比較穩(wěn)定。峰值索引算法在SNR=-8，-10和-12 dB的強噪聲下值下降明顯；MMP算法在三種強噪聲下的值雖然高于峰值索引算法，但是也有較大幅度的下降；DPPB算法在三種強噪聲下的值降幅較小且均在0.8以上。隨著噪聲的增強，三種算法的值均有不同程度的下降，但是DPPB算法的值始終高于其他兩種算法，且噪聲越強越明顯，說明對噪聲的魯棒性優(yōu)于其他算法。

根據(jù)圖8的仿真結(jié)果，取，由式（21）計算置信水平在［0.9，1］上的置信度，結(jié)果如表2所示。

由表2可知，在SNR=-5 dB時，MMP脊線索引和DPPB算法的置信度分別為98.01%和100%，可以準確地提取到符合要求的時頻脊線；峰值索引算法的也達到80%，具備較好的提取效果。當(dāng)噪聲強度高于-8 dB時，峰值索引算法的均為0，已經(jīng)無法提取到符合要求的脊線。MMP算法在SNR=-8 dB時為54.75%，接近一半的提取結(jié)果不符合要求，在SNR=-10和-12 dB時的分別為13.95%和2.87%，已經(jīng)很難提取到合格的脊線。DPPB算法在SNR=-8和-10 dB的較強噪聲條件下分別為99.91%和93.51%，合格脊線所占的比率均在90%以上，在SNR=-12 dB的強噪聲下為57.12%，依然有一半以上的提取結(jié)果符合要求。雖然噪聲的增強降低了各算法的提取效果，但DPPB算法的提取效果始終優(yōu)于其他兩種算法，且針對強噪聲具有良好的脊線提取能力。

通過以上仿真結(jié)果和分析可以得出，DPPB算法可以抵抗信號中強噪聲的干擾，相比于峰值索引算法和MMP算法更容易從強噪聲信號中提取到有效的時頻脊線，對噪聲有更好的魯棒性。

4 試驗驗證

4.1 試驗說明

齒輪箱振動信號中的嚙合頻率分量是分析故障的重要特征頻率之一，本文利用SpectraQuest公司研發(fā)的動力傳動故障診斷綜合試驗臺（DDS）獲取不同轉(zhuǎn)速下齒輪箱的振動信號，通過提取不同轉(zhuǎn)速下的嚙合頻率時頻脊線驗證所提算法的有效性，試驗臺如圖11所示。

其中齒輪箱5為二級減速器減速齒輪箱，由4組直齒輪組合而成，主要參數(shù)如表3所示。設(shè)置加速度振動傳感器6的采樣頻率為25.6 kHz，采集齒輪箱徑向的振動信號。

由于DDS試驗臺不易輸出非線性變化的轉(zhuǎn)速，所以試驗?zāi)M三組線性變化的輸入轉(zhuǎn)速，分別為震蕩波動曲線、三角形單波谷波動曲線、三角形三波谷波動曲線，如圖12所示。為了與時頻脊線對應(yīng)，下文均用“轉(zhuǎn)頻”代替“轉(zhuǎn)速”。

齒輪箱振動信號中包含與轉(zhuǎn)頻相關(guān)的第i級傳動齒輪嚙合頻率及其倍頻，與的關(guān)系如下式所示：

（22）

因此，獲得齒輪箱振動信號的第i級傳統(tǒng)齒輪嚙合頻率的n倍頻，便可計算得到齒輪箱的輸入轉(zhuǎn)頻。

4.2 試驗結(jié)果及分析

為了計算方便，試驗通過提取1級傳動齒輪嚙合頻率的基頻計算輸入轉(zhuǎn)頻。三種不同輸入轉(zhuǎn)速下齒輪箱的振動時域圖和STFT變換后附近的時頻分布如圖13所示。

運用DPPB算法提取不同轉(zhuǎn)頻曲線下嚙合頻率的時頻脊線，提取結(jié)果如圖14所示。

在圖13（b）和（d）的時頻分布中，信號的SNR較高，噪聲對瞬時頻率的影響較小，可以觀察到較為明顯的時頻脊線；在圖13（f）中，頻率波動部分受噪聲污染嚴重，SNR較低，難以觀察到時頻脊線的變化趨勢。通過圖14的提取結(jié)果可以看出，雖然三種轉(zhuǎn)頻下的信噪比差異較大，但是DPPB算法均能提取到較為準確的時頻脊線，表明該算法對強噪聲有良好的魯棒性。

為了驗證DPPB算法提取轉(zhuǎn)頻的準確性，將圖14得到的嚙合頻率和表3中齒輪箱參數(shù)及代入式（22）可計算三組信號的轉(zhuǎn)頻。同時，運用MMP算法提取的時頻脊線，計算轉(zhuǎn)頻；用試驗臺中的角度編碼器測得齒輪箱輸出軸轉(zhuǎn)頻，根據(jù)傳動比計算得到輸入軸實測轉(zhuǎn)頻。將，作為對照組與進行對比，結(jié)果如圖15所示。

由圖15可以看出，在震蕩波動轉(zhuǎn)頻和三角形單波谷轉(zhuǎn)頻下，MMP脊線索引和DPPB兩種算法提取到的時頻脊線基本與實測轉(zhuǎn)頻重合（圖15（a）和（b）所示），但由MMP脊線索引算法提取的三角形單波谷波時頻脊線存在較小的誤差。在三波谷轉(zhuǎn)頻波動下，MMP脊線索引算法提取的脊線在恒頻部分與重合較好，但波谷處與存在較大誤差；DPPB算法得到的脊線無論在恒頻部分還是波谷處均與重合較好，只有局部存在較小的誤差（如圖15（c）所示）。由此表明DPPB算法可以在強噪聲下較為準確地估計信號的轉(zhuǎn)頻曲線。

將實測轉(zhuǎn)頻作為理論輸入轉(zhuǎn)頻，根據(jù)式（19）計算三組信號在不同算法下提取結(jié)果的相似度Ra衡量MMP算法和DPPB算法的提取效果，如表4所示。

由表4可以看出，MMP算法和DPPB算法得到的震蕩波動信號轉(zhuǎn)頻的Ra值均為1，三角形單波谷波動信號轉(zhuǎn)頻的Ra值分別為0.9939和1，均有較好的提取效果。對于三角形三波谷波動信號，MMP算法得到的轉(zhuǎn)頻的Ra值為0.7678，與實際轉(zhuǎn)頻的偏差較大，而DPPB算法得到的轉(zhuǎn)頻的Ra值為0.9669，遠高于MMP算法，進一步說明DPPB算法的有效性和對噪聲的魯棒性。

5 結(jié) 論

mhqytu3B96llJVmdX9+jYw==本文提出了一種改進的時頻脊線索引算法來提高時頻估計的準確性，主要結(jié)論如下：

（1） 信號時頻分布在強噪聲下會產(chǎn)生多個幅值極值，MMP算法索引時頻脊線時容易受到噪聲極值點的干擾陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致算法提取到錯誤的時頻脊線。

（2） 通過構(gòu)建脊線質(zhì)心稀疏矩陣，將脊線索引對象由時頻離散點轉(zhuǎn)化為質(zhì)心點，降低了噪聲對脊線索引的干擾，同時壓縮了索引數(shù)據(jù)量，提高了運算速率。

（3） 提出了一種基于質(zhì)心動態(tài)路徑規(guī)劃（DPPB）的時頻脊線索引算法，設(shè)計動態(tài)路徑優(yōu)化函數(shù)和脊線索引代價函數(shù)識別質(zhì)心稀疏矩陣中的時頻脊線點，從而避免了脊線索引過程中陷入局部最優(yōu)，提高了算法對噪聲的魯棒性。通過仿真和試驗分析，驗證了DPPB算法索引時頻脊線的精度和魯棒性優(yōu)于傳統(tǒng)的脊線索引算法。所提算法可用于實際工程中變轉(zhuǎn)速齒輪箱的轉(zhuǎn)速估計和故障診斷，具有一定的工程應(yīng)用價值。

參考文獻：

［1］ 陳雪峰， 郭艷婕， 許才彬， 等. 風(fēng)電裝備故障診斷與健康監(jiān)測研究綜述［J］. 中國機械工程， 2020， 31（2）： 175-189.

Cheng Xuefeng， Guo Yanjie， Xu Caibin， et al. Review of fault diagnosis and health monitoring for wind power equipment［J］. China Mechanical Engineering， 2020， 31（2）： 175-189.

［2］ 孫鑫暉， 董翔文， 郝木明. 基于小波脊提取的扭轉(zhuǎn)振動測試方法研究［J］. 振動、測試與診斷， 2020， 40（1）： 135-139.

Sun Xinhui， Dong Xiangwen， Hao Muming. Research on testing method of torsional vibration based on wavelet ridge extraction［J］. Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis， 2020， 40（1）： 135-139.

［3］ 趙德尊， 王天楊， 褚福磊. 基于自適應(yīng)廣義解調(diào)變換的滾動軸承時變非平穩(wěn)故障特征提取［J］. 機械工程學(xué)報， 2020， 56（3）： 80-87.

Zhao Dezun， Wang Tianyang， Chu Fulei. Adaptive generalized demodulation transform based rolling bearing time-varying nonstationary fault feature extraction［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2020， 56（3）： 80-87.

［4］ 王曉龍， 閆曉麗， 何玉靈. 變速工況下基于IEWT能量階次譜的風(fēng)電機組軸承故障診斷［J］. 太陽能學(xué)報， 2021， 42（4）： 479-486.

Wang Xiaolong， Yan Xiaoli， He Yuling. Fault diagnosis wind turbine bearing based on IEWT energy order spec-trum under variable speed condition［J］. Acta Energiae Solaris Sinica， 2021， 42（4）： 479-486.

［5］ 陳是扦， 彭志科， 周鵬. 信號分解及其在機械故障診斷中的應(yīng)用研究綜述［J］. 機械工程學(xué)報， 2020， 56（17）： 91-107.

Chen Shiqian， Peng Zhike， Zhou Peng. Review of signal decomposition theory and its applications in machine fault diagnosis［J］. Journal of Mechanicla Egnineering， 2020， 56（17）： 91-107.

［6］ 郭瑜， 秦樹人， 湯寶平， 等. 基于瞬時頻率估計的旋轉(zhuǎn)機械階比跟蹤［J］. 機械工程學(xué)報， 2003， 39（3）： 32-36.

Guo Yu， Qin Shuren， Tang Baoping， et al. Order tracking of rotating machinery based on instantaneous frequency estimation［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2003， 39（3）： 32-36.

［7］ Iatsenko D， McClintock P V E， Stefanovska A. Extrac-tion of instantaneous frequencies from ridges in time–frequency representations of signals［J］. Signal Processing， 2016， 125： 290-303.

［8］ 江星星， 李舜酩， 周東旺， 等. 時頻脊融合方法及時變工況行星齒輪箱故障識別［J］. 振動工程學(xué)報， 2017， 30（1）： 127-134.

Jiang Xingxing， Li Shunming， Zhou Dongwang， et al. Time-frequency ridge fusion method and defective identification of planetary gearbox running on time-varying condition［J］. Journal of Vibration Engineering， 2017， 30（1）： 127-134.

［9］ Ding Rongmei， Shi Juanjuan， Jiang Xingxing， et al. Multiple instantaneous frequency ridge based integration strategy for bearing fault diagnosis under variable speed operations［J］. Measurement Science and Technology， 2018， 29（11）： 115002.

［10］ 張焱， 何姝鋇， 王平， 等. 無轉(zhuǎn)速計下變工況滾動軸承故障特征量化表征提?。跩］. 儀器儀表學(xué)報， 2021， 42（8）： 104-114.

Zhang Yan， He Shubei， Wang Ping， et al. Tacholess quanti-tative characterization of rolling bearing fault feature under varying conditions［J］. Chinese Journal of Scientific Instrument， 2021， 42（8）： 104-114.

［11］ Wu M， Wu F， Yang K， et al. A multipath matching pursuit algorithm based on improved-inner product matching criterion［C］.2020 IEEE International Conference on Signal Processing， Communications and Computing （ICSPCC）. IEEE， 2020： 1-5.

［12］ Fourer D， Auger F， Flandrin P. Recursive versions of the Levenberg-Marquardt reassigned spectrogram and of the synchrosqueezed STFT［C］.2016 IEEE International Conference on Acoustics， Speech and Signal Processing （ICASSP）. IEEE， 2016： 4880-4884.

［13］ Yu G， Wang Z H， Zhao P. Multisynchrosqueezing transform［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2018， 66（7）： 5441-5455.

［14］ Yu G， Yu M J， Xu C Y. Synchroextracting transform［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2017， 64（10）： 8042-8054.

［15］ Li M F， Wang T Y， Kong Y， et al. Synchro-reassigning transform for instantaneous frequency estimation and signal reconstruction［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2021， 69（7）： 7263-7274.

［16］ 江星星. 齒輪箱關(guān)鍵部件非平穩(wěn)振動信號分析及診斷方法研究［D］. 南京：南京航空航天大學(xué)， 2016.

Jiang Xingxing. Research on the nonstationary vibration signal of key parts of gearbox and its fault diagnosis method［D］. Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， 2016.

［17］ 楊世偉， 蔣國平， 宋玉蓉， 等. 基于GPU的稀疏矩陣存儲格式優(yōu)化研究［J］. 計算機工程， 2019， 45（9）： 23-31.

Yang Shiwei， Jiang Guoping， Song Yurong， et al. Research on storage format optimization of sparse matrix based on GPU［J］. Computer Engineering， 2019， 45（9）： 23-31.

Time-frequency ridge index algorithm for gearbox under variable speed based on dynamic path planning of barycenter

ZHANG Bo-lin1， WAN Shu-ting1， ZHAO Xiao-yan1， ZHANG Xiong1， GU Xiao-hui2

（1.Hebei Key Laboratory of Electric Machinery Health Maintenance & Failure Prevention，North China Electric Power University， Baoding 071003， China；2.State Key Laboratory of Mechanical Behavior and System Safety of Traffic Engineering Structures，Shijiazhuang Tiedao University， Shijiazhuang 050043， China）

Abstract： The paper proposes a time-frequency ridge index algorithm for gearboxes under variable speed conditions， based on Dynamic Path Planning of Barycenter （DPPB）. This algorithm addresses the challenge of estimating the instantaneous frequency of signals in a high-noise environment. The algorithm builds upon the analysis of the Multi-Path Matching Pursuit （MMP） ridge index algorithm and its limitations under high noise. By adding windows to the ridge set obtained by the MMP algorithm， a ridge barycenter sparse matrix of the signal is constructed. A dynamic path planning function is then designed for the barycenter sparse matrix to index the barycenters on the ridge line. The optimal time-frequency ridge line is calculated based on the values of the ridge line cost function. The similarity coefficient Ra and confidence σRa are used as measures of the ridge extraction effect. Simulations and experiments indicate that the DPPB algorithm can effectively extract the time-frequency ridge of signals in high-noise environments， and it is more reliable and robust than the peak index algorithm and the MMP algorithm under various noise intensities.

Key words： fault diagnosis； gearbox；dynamic path planning barycenter （DPPB）； time-frequency ridge index； multipath matching pursuit （MMP）； time-frequency analysis

作者簡介： 張伯麟（1993—），男，博士研究生。電話：（0312）7525428； E-mail：393696838@qq.com。

通訊作者： 萬書亭（1970—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。電話：（0312）7525455； E-mail：52450809@ncepu.edu.cn。