摘要： 基于擴展等幾何方法和一階殼體剪切變形理論建立了含裂紋缺陷的功能梯度預扭殼結構的非線性振動控制方程?？刂品匠讨锌紤]了預扭殼結構的預扭角度及幾何非線性，應用擴展等幾何方法，采用反映位移變化的富集函數(shù)來描述裂紋的位置及長度，一方面可以提高計算精度，另一方面可以避免在裂紋處的網(wǎng)格加密，提高計算效率。采用了直接迭代法求解非線性振動控制方程。通過與現(xiàn)有文獻結果對比，證明了本文方法的正確性和穩(wěn)定性。在此基礎上，探究裂紋對功能梯度預扭殼結構非線性振動頻率的影響，研究了預扭角度、裂紋位置及長度和材料的功能梯度指數(shù)等參數(shù)對預扭殼非線性振動特性的影響規(guī)律。

關鍵詞： 非線性振動； 功能梯度材料； 裂紋預扭殼結構； 擴展等幾何方法； 一階殼體剪切變形理論

中圖分類號： O322 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）06-0937-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.004

引 言

旋轉機械在工業(yè)中普遍存在，其主要部件葉片在長期運行過程中可能會出現(xiàn)裂紋的產(chǎn)生及擴展，影響機械的正常運行。因此，判斷裂紋的產(chǎn)生位置和長度顯得尤為重要，其中通過葉片振動頻率的變化來識別裂紋參數(shù)是一種重要的判斷手段。而在利用振動特征識別裂紋參數(shù)的過程中，對含裂紋缺陷的葉片結構進行精確振動建模十分重要。功能梯度材料（FGMs）［1］的使用，為葉片在復雜環(huán)境中運行提供了更多的可能性。為了探究裂紋對于同性材料及功能梯度材料葉片振動頻率的影響規(guī)律，學者們提出了多種裂紋葉片模型。

徐可君等［2］采用等效剛度法表示裂紋效應，將葉片等效為無扭曲的懸臂梁，探究了單面和雙面裂紋對于葉片第一階固有頻率的影響。趙迪等［3］應用了傳遞矩陣法和有限元法計算了含裂紋懸臂梁模型的固有頻率，證明了傳遞矩陣法可以較好地描述裂紋結構的固有振動特征。諸多學者使用無質(zhì)量彈性旋轉彈簧模擬裂紋產(chǎn)生的附加剛度［4?6］，探究裂紋參數(shù)對于裂紋梁動力響應的影響。張俊紅等［7］建立了航空發(fā)動機葉片的有限元模型，分析了裂紋的存在對于葉片自由振動和強迫振動的影響。Panigrahi等［8］探索了在單頻和多頻激勵下功能梯度裂紋梁的非線性振動響應。

由于方法的局限性，以上文獻所研究的含有裂紋的葉片模型大多是基于一維梁理論來建立的，適用于大展弦比類型的葉片結構。但是對于很多旋轉機械，其葉片的長度與寬度的比值并不是很大，此時一維梁理論便不再適用，而應采用二維的板殼變形理論。另外，葉片（特別是含有裂紋的葉片）在復雜的工作環(huán)境中，受到多種載荷的影響，往往會發(fā)生大變形，從而產(chǎn)生非線性應變，進而發(fā)生非線性振動。因此探究含裂紋缺陷的功能梯度（FG）葉片的非線性振動特性是極為重要的。

擴展等幾何方法（XIGA）是一種在擴展有限元方法（XFEM）的基礎上發(fā)展起來的用于解決非連續(xù)區(qū)域問題的方法［9］。由于其在含間斷面子域中采用反映局部位移特征的富集函數(shù)，既可以提高計算精度，又可以避免過密的網(wǎng)格劃分，并且對不連續(xù)面的描述是完全獨立于計算網(wǎng)格的，使其在裂紋擴展后無需進行傳統(tǒng)有限元的網(wǎng)格重構。近年來，諸多學者將XIGA應用于求解含裂紋板殼的靜態(tài)和動態(tài)特性［10?12］。

針對含裂紋缺陷的葉片建模難度較大及其非線性振動特性不明確的問題，本文基于XIGA、一階殼體剪切變形理論和von Kármán幾何非線性理論，將小展弦比葉片等效為考慮預扭角的二維殼模型，探究FG裂紋預扭殼的非線性振動特性?；趘on Kármán幾何非線性理論，得到非線性應變項，采用直接迭代法求解非線性控制方程。通過與其他方法的對比，驗證XIGA求解方法的正確性。在此基礎上，探究預扭角度、裂紋位置及長度和材料的功能梯度指數(shù)對FG預扭殼結構非線性振動特性的影響規(guī)律，為旋轉機械葉片的裂紋識別及疲勞機理研究提供一定的理論依據(jù)。

1 基本原理

1.1 FG裂紋預扭殼模型

本文考慮的FG裂紋預扭殼結構，基本形狀參數(shù)如圖1所示。殼體的長、寬和高分別用L， b和h表示，假設預扭角度沿x方向線性變化，預扭角的變化率kth=θ0/L，θ0為x=L時的預扭角度。裂紋和根部x=0之間的距離用cl表示，裂紋的長度為cd。

圖2所示為擴展等幾何方法描述的裂紋預扭殼模型，其中紅色直線表示裂紋存在的位置及長度，斜線表示固支邊界條件。

1.2 一階殼體剪切變形理論

本文將預扭殼結構等效為具有雙曲率的二維殼模型。根據(jù)一階殼體剪切變形理論，預扭殼上任意一點的位移變量可以表示為：

（1）

式中 u，v，w為中面上任意一點的位移；φx和φy分別表示y?z和x?z方向的轉角。

根據(jù)von Kármán幾何非線性理論，當大變形存在時，預扭殼的位移與應變的關系表達式為：

（2）

（3）

（4）

式中 下標“，x”和“，y”分別表示對x和y變量進行求導；和分別為線性應變和非線性應變；A為拉梅系數(shù)；Rx， Ry和Rxy分別表示預扭殼結構x，y兩個方向的曲率和扭轉曲率，則扭轉曲率［13］為：

（5）

式中 表示擴展等幾何方法中y方向節(jié)點向量的變量。

應變的非線性部分可以進一步表示為如下形式：

（6）

式中 Aθ部分與振動位移向量q有關；為非線性應變矩陣。

由廣義胡克定律，應力與應變的關系可表示為：

（7）

其中：

（8）

本文中剪切修正系數(shù)kn取5/6。

本文考慮的功能梯度材料沿厚度方向呈指數(shù)函數(shù)變化，具體表達式為：

（9）

式中 P表示各種材料參數(shù)，下標“c”和“m”分別表示陶瓷和金屬材料；h為預扭殼的厚度；n為材料的功能梯度指數(shù)。材料參數(shù)P在本文中指材料的彈性模量E（z）、泊松比μ（z）和密度ρ（z）。

1.3 擴展等幾何方法（XIGA）

XIGA是在等幾何方法的基礎上，依據(jù)擴展有限元（XFEM）思想發(fā)展起來的一種用于解決非連續(xù)區(qū)域問題的方法。本文中，在裂紋預扭殼結構的連續(xù)區(qū)域采用標準的等幾何方法構造計算使用的基函數(shù)，而在裂紋存在區(qū)域及裂尖位置所對應的參數(shù)單元內(nèi)，對標準的計算基函數(shù)進行修正，增加能夠描述裂紋處間斷特性及裂尖處奇異性的富集函數(shù)，從而提高計算精度。XIGA采用水平集方法［14］來描述裂紋，使得對于裂紋的描述可以獨立于等幾何單元，在裂紋擴展時，不需要進行網(wǎng)格的重新構造，提高計算效率。

裂紋預扭殼上任意一點的位移向量可以表示為：

（10）

式中 M為所有控制點的個數(shù)；H為裂紋貫穿單元內(nèi)的控制點個數(shù)；G為裂尖單元內(nèi)的控制點個數(shù)；，和分別表示標準單元、裂紋貫穿單元和裂尖單元的位移；u=［u， v， w， φx， φy］；為等幾何單元基函數(shù)，其具體表達式為：

（11）

式中 ωi，j為每個控制點所對應的權值；，分別為，兩個方向節(jié)點向量E和H建立的B樣條基函數(shù)；p， q為基函數(shù)的階數(shù)。由于篇幅限制，這里B樣條基函數(shù)的具體表達式并沒有展開，對此感興趣的讀者可以參閱文獻［15］。

Heaviside階躍函數(shù)的表達式為：

（12）

式中 xl為距離坐標x最近且位于裂紋上的某一點；en為沿著裂紋方向的法向量。

裂尖單元的富集函數(shù)Gl（x）本身是裂尖局部極坐標的函數(shù)Gl（r， θ），當u=［u， v， w］時，Gl（r， θ）MuwtHH8X6a6kYBtmCKqmvScVylHPDl+ojwU5qAlZOJ8=的表達式［16］為：

（13）

當u=［φx， φy］時，Gl （r， θ）的表達式［16］為：

（14）

在進行計算時，利用水平集方法判斷不同的參數(shù)單元類型。在標準單元中，u=ui，應變矩陣只包括標準線性應變矩陣和標準非線性應變矩陣；在裂紋貫穿單元中，u=［ui， uh］，應變矩陣中包含加強項；在裂尖單元中，u=［ui，u1t， u2t，u3t，u4t］，應變矩陣中包含加強項；其中和分別為裂紋單元的加強線性應變和非線性應變矩陣，和分別表示裂尖單元的加強線性應變和非線性應變矩陣。

另外，構建基函數(shù)的參數(shù)域（，）到實際模型坐標域（x， y）之間的轉換雅可比矩陣可表示為：

（15）

關于坐標x和y的一階偏導數(shù)可以寫為以下形式：

（16）

1.4 裂紋預扭殼的非線性振動方程

通過上述的推導，可以得到裂紋預扭殼的勢能和動能表達式為：

（17）

（18）

基于哈密頓原理，得到以下表達式：

（19）

式中 為變分符號。

進一步得到在考慮大變形的情況下，裂紋預扭殼的控制方程為：

（20）

考慮諧波運動，控制方程還可以改寫成：

（21）

為了消除時間參數(shù)t，使用加權殘數(shù)法，并在內(nèi)積分［17］，得到：

（22）

其中：

，

（23）

本文采用直接迭代法求解上述裂紋預扭殼的非線性振動方程（22），從而得到非線性振動頻率，具體求解步驟如下：

（1） 首先忽略非線性剛度矩陣KNL1和KNL2，利用方程（22）求解初始線性頻率和基頻對應的振型向量。

（2） 將得到的初始振型向量進行歸一化后，再乘以一定的放大倍數(shù)Wmax以此達到相應的大變形振動幅值。Wmax是假設的最大位移變形幅值，通常取與變形板殼結構厚度h成比例的數(shù)值。

（3） 以放大后的振動向量為基礎得到非線性矩陣KNL1和KNL2，然后根據(jù)方程（22），得到新的頻率和振動位移向量。

（4） 重復步驟（2）和（3），直到相鄰兩次迭代得到的第一階頻率誤差小于0.1%，迭代結束，得到非線性頻率值。

本文采用第一階非線性頻率和第一階線性頻率的比值γ=ωNL/ωL來表示裂紋預扭殼的非線性振動強弱［17］。頻率比越大，非線性頻率與線性頻率的差值越大，即頻率比表示控制方程的非線性項對振動行為的影響。當頻率比接近1時，表明非線性頻率和線性頻率幾乎具有相同的值，且非線性項對振動行為的影響相當小，可以忽略不計。隨著頻率比的增加，振動行為變?yōu)榉蔷€性，此時進行線性分析是不恰當?shù)摹?/p>

2 數(shù)值結果和討論

2.1 收斂性和準確性驗證

首先考慮一個純鋼材料的裂紋預扭殼結構，其形狀參數(shù)為：L=0.4 m， b=0.2 m， h=0.01 m， θ0=30°， cl=0.5L，考慮有裂紋存在和無裂紋的兩種情況。具體材料參數(shù)如表1所示。本文方法中基函數(shù)的階次p=q=3，取不同的控制點得到的3組結果與ANSYS有限元分析軟件得到的結果進行對比。需要注意的是，在ANSYS有限元分析軟件中，分析裂紋預扭殼模型時，預扭角本身增加了模型建模的難度；由于裂紋的存在，在裂紋尖端位置需要采用ANSYS自帶的2D裂紋奇異單元PLANE183模擬裂紋尖端處的奇異性；在裂紋貫穿處還需進行網(wǎng)格加密處理，用以保證裂紋貫穿處的計算精度，這些操作都會使得有限元的計算成本增加，降低其計算效率。通過表2的數(shù)據(jù)對比可以看出，本文方法隨著控制點數(shù)量的增加，結果呈收斂的趨勢，考慮到計算效率，在計算裂紋預扭殼結構時，可采用36×18控制點組合形式。具體參數(shù)單元和控制點的分布如圖3所示。

為了驗證本文非線性振動方程求解方法的正確性，考慮了簡支邊界條件下（當x=0， L時，v=w=φy=0且當y=-b/2， b/2時，u=w=φx=0）無裂紋Al/Al2O3功能梯度板模型的非線性振動，板的幾何形狀數(shù)據(jù)為：L=0.2 m， b=0.2 m， h=0.02 m。如圖4所示，與參考文獻［18］相比，不同的功能梯度指數(shù)n下結果吻合較好，證明了等幾何方法和直接迭代法求解本文中非線性問題的適用性和準確性。

圖5展示了純鋼材料預扭殼在有無裂紋時的前4階線性振動模態(tài)振型圖。模型參數(shù)與表2所使用的算例一致。通過與ANSYS軟件結果的對比，證明了本文提出的擴展等幾何方法求解含裂紋缺陷預扭殼模型振動特性的正確性。另外，從模態(tài)振型圖可以看出，預扭殼結構在出現(xiàn)裂紋之后，某些模態(tài)振型會發(fā)生明顯的變化，特別是在裂紋周圍的位置，這些變化會更加明顯。并且從圖5中可以看出，含裂紋殼的2，3階模態(tài)發(fā)生了模態(tài)互換現(xiàn)象，說明裂紋缺陷對于預扭殼的振動形態(tài)有明顯的影響。

在上述模型的基礎上，進一步對使用本文方法求解Steel/Al2O3功能梯度裂紋預扭殼非線性振動方程的收斂性進行驗證。模型的基本參數(shù)如下：L=0.4 m， b=0.2 m， h=0.01 m， θ0=30°， cl=0.5L， n=1?？紤]無裂紋和裂紋長度為cd=0.3b時的功能梯度預扭殼結構。如圖6所示，可以看到即使選取較少的控制點，本文的方法依舊可以達到收斂的結果。

2.2 參數(shù)分析

接下來，本文通過求解非線性振動方程（22），討論功能梯度指數(shù)、預扭角度、裂紋位置和長度對裂紋預扭殼模型非線性振動的影響。除非特別說明，模型參數(shù)均與圖6相同。首先，本文研究了功能梯度指數(shù)對于裂紋預扭殼的第1階線性頻率和非線性頻率比的影響。表3給出了裂紋預扭殼的第1階線性頻率和頻率比隨著振動幅值比例及n的變化?？梢悦黠@地看出，頻率比受振動幅值的影響較大，隨著振動幅值的增大而增大。隨著n的增大，裂紋預扭殼結構的線性頻率減小，這是因為隨著n的增大，金屬材料的比例增加，陶瓷材料所占比重減小，導致模型的整體剛度減小、質(zhì)量增加，所以線性頻率降低。但是材料對于頻率比的影響并不是單調(diào)的，在振動幅值較小時，材料對于頻率比的影響較小，隨著振動幅值的增大，頻率比隨著功能梯度指數(shù)的增加呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢。說明了在大變形振動的情況下，考慮裂紋預扭殼非線性振動頻率的必要性。

緊接著，分析了裂紋長度對于裂紋預扭殼頻率比的影響。圖7給出了考慮三種不同的裂紋長度時，非線性頻率比隨著振動幅值比例變化的曲線。從圖7中可以看出，當裂紋位于殼體中間位置時，頻率比隨著裂紋長度的增加而增加，這是因為隨著裂紋長度的增加，殼體剛度減小，使得線性頻率減小。而且裂紋長度對于頻率比的影響隨著振動幅值的增大更加明顯。表4展示了當殼體裂紋位置不同時，含有不同長度裂紋的功能梯度預扭殼的頻率比。由表4中數(shù)據(jù)可知，當裂紋位于不同位置時，裂紋對預扭殼結構的非線性頻率的影響程度不同。在表4考慮的兩個裂紋位置中，當幅值比例小于3，裂紋位于0.5L位置時，裂紋對功能梯度預扭殼的頻率比影響更大；而當幅值比例等于3，裂紋位于0.2L位置時，對功能梯度預扭殼的頻率比影響更大。數(shù)據(jù)表明，裂紋對預扭殼結構非線性振動的影響規(guī)律還與大變形振動發(fā)生的幅值有關。

表5給出了裂紋預扭殼的第一階線性頻率和非線性頻率比隨著裂紋位置變化的數(shù)據(jù)。由表5中數(shù)據(jù)可知，當裂紋遠離固定端（x=0）時，殼體的線性頻率逐漸增大，也就是說裂紋出現(xiàn)在葉片固定端時，對于線性頻率的影響是最大的。然而頻率比隨裂紋位置的變化與線性頻率不同，當裂紋靠近根部（cl/L=0.4）時，頻率比達到最大，然后隨著裂紋向自由端靠近，頻率比略有減小。

最后，本文探究了殼體預扭角對于有/無裂紋預扭殼頻率比的影響。如表6中數(shù)據(jù)所示，在本文考慮的預扭角變化范圍之內(nèi)，隨著預扭角的增大，有/無裂紋預扭殼的非線性頻率比都會減小。而在線性振動中，線性頻率同樣是隨著預扭角的增大而減小的。根據(jù)頻率比γ=ωNL/ωL，可知非線性頻率必然也是隨著預扭角角度的增大而減小。裂紋的存在并沒有改變預扭角對線性頻率和頻率比的影響規(guī)律。

3 結 論

本文利用von Kármán幾何非線性理論，探究在大振幅振動的情況下含裂紋缺陷預扭殼結構的非線性振動特性?；跀U展等幾何的方法建立了含有裂紋的預扭殼模型，利用富集函數(shù)和水平集方法描述裂紋的存在，通過與有限元結果對比，證明了本文方法應用于功能梯度裂紋預扭殼結構的準確性和穩(wěn)定性。擴展了等幾何方法的應用，避免了有限元方法在裂紋處的網(wǎng)格加密，在裂紋擴展時，不需要進行網(wǎng)格重構，可以極大地提高分析含裂紋殼結構的效率。最后探討了裂紋的長度及位置，預扭角度及功能梯度指數(shù)對于大振幅振動時裂紋預扭殼頻率比的影響規(guī)律。針對本文研究的預扭殼模型，功能梯度指數(shù)對于線性頻率的影響是單調(diào)的，而對于頻率比的影響是相對復雜的。裂紋長度越大，頻率比越大；當裂紋位于殼體靠近根部cl/L=0.4處，頻率比最大。裂紋的存在不會改變預扭角對本文模型線性頻率和非線性頻率的影響。本文在擴展等幾何方法的基礎上，只研究了裂紋缺陷對含裂紋預扭殼結構靜頻的影響，接下來會繼續(xù)探究考慮旋轉速度的情況下，裂紋對于預扭殼結構動頻的影響規(guī)律。

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Nonlinear vibration characteristic analysis of a cracked pre-twisted shell

ZHONG Sai?feng1， JIN Guo?yong1， HE Tao2， YE Tian?gui1

（1.College of Power and Energy Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China；2.Wuhan Second Ship Design and Research Institute， Wuhan 430205， China）

Abstract： This paper establishes the governing equations of the nonlinear vibration of a functionally graded shell with a crack， based on the extended isogeometric analysis （XIGA） and the first-order shear deformation theory. The study investigates the effects of the crack on the nonlinear vibrational frequency ratio of the model， taking into account large amplitude vibrations. Enriched functions， which represent displacement changes， are used to describe the position and length of the crack. This approach enhances calculation accuracy and avoids mesh refinement at the crack. The nonlinear governing equation is solved using the direct iteration method， and its correctness is validated by comparing the results with existing literature. The study further explores the effects of the pre-twisted angle， crack location， crack length and material variation parameters on the nonlinear vibration characteristics of the pre-twisted shells with cracks.

Key words： nonlinear vibration；functionally graded materials；cracked pre?twisted shell structure；extended isogeometric analysis；first?order shear deformation theory

作者簡介： 仲賽鳳（1995―），女，博士研究生。E?mail： saifengzhong@hrbeu.edu.cn。

通訊作者： 靳國永（1980―），男，博士，教授。電話： （0451）82588822；E?mail： guoyongjin@hrbeu.edu.cn。