摘要： 實(shí)際工程結(jié)構(gòu)遭受的災(zāi)害性動(dòng)力作用（如強(qiáng)風(fēng)、地震等）往往具有顯著的隨機(jī)性和非平穩(wěn)性。對(duì)復(fù)雜隨機(jī)激勵(lì)下高維非線性系統(tǒng)的動(dòng)力可靠度進(jìn)行精細(xì)化分析，對(duì)于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的抗災(zāi)設(shè)計(jì)和優(yōu)化具有重要意義?；谝话氵B續(xù)隨機(jī)過程的降維概率密度演化方程，給出了一類非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下的高維非線性系統(tǒng)動(dòng)力可靠度分析方法。具體地，若僅針對(duì)系統(tǒng)某一感興趣物理量在給定安全域下的首次超越問題，則可以構(gòu)造該物理量在安全域內(nèi)的吸收邊界過程，并建立其瞬時(shí)概率密度函數(shù)滿足的二維偏微分方程，即降維概率密度演化方程。方程中的本征漂移系數(shù)是驅(qū)動(dòng)概率密度演化的全局性物理驅(qū)動(dòng)力，可以通過對(duì)原系統(tǒng)有限次代表性確定性動(dòng)力分析獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值構(gòu)造。采用數(shù)值方法求解降維概率密度演化方程，即可獲得系統(tǒng)的動(dòng)力可靠度解答。文中通過兩個(gè)算例驗(yàn)證了該方法的有效性，并討論了需要進(jìn)一步研究的問題。

關(guān)鍵詞： 降維概率密度演化方程； 高維非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)； 非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)； 動(dòng)力可靠度分析； 物理驅(qū)動(dòng)

中圖分類號(hào)： O324； TU318 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）06-0903-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.001

引 言

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)在服役過程中，不可避免地會(huì)受到各類外部激勵(lì)的作用，如強(qiáng)風(fēng)、地震等［1］。這些外部激勵(lì)往往具有很強(qiáng)的隨機(jī)性和非平穩(wěn)特征，可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)不同部位的損傷、乃至不同模式的破壞［2?3］。因而，災(zāi)害性隨機(jī)動(dòng)力作用下復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的可靠性分析一直是人們所關(guān)心的重要問題［4?5］。

基于首次超越失效準(zhǔn)則的結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性理論經(jīng)歷了長(zhǎng)期的發(fā)展［6?7］，但是對(duì)復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的精確求解依然存在局限［4］。事實(shí)上，傳統(tǒng)的首次超越可靠度理論主要包括三類：跨越過程理論、擴(kuò)散過程理論和極值分布理論?？缭竭^程理論基于Rice公式［8］，進(jìn)而引入關(guān)于跨越事件性質(zhì)的假設(shè)來(lái)估計(jì)動(dòng)力可靠度［9］。然而對(duì)于復(fù)雜工程系統(tǒng)，其響應(yīng)及速度的聯(lián)合概率密度很難準(zhǔn)確獲得，且難以消除由對(duì)跨越事件性質(zhì)的假定引起的誤差［10］。擴(kuò)散過程理論通過求解Chapman?Kolmogorov方程或Kolmogorov后向方程獲得動(dòng)力可靠度［11］，但同樣面臨高維系統(tǒng)難以求解的困難［6］。極值分布理論最早始于對(duì)獨(dú)立隨機(jī)變量序列極值的研究［12］，雖然此后對(duì)不同情形下隨機(jī)抽樣極值或漸近極值的研究逐漸成熟［13］，但對(duì)于隨機(jī)過程極值分布的解析或數(shù)值研究迄今仍不成熟。最近，針對(duì)Markov過程發(fā)展了增廣Markov系統(tǒng)方法［14?16］和概率分布演化積分方程［17］等確定時(shí)變極值分布的系統(tǒng)性方法，但目前仍難以突破維數(shù)對(duì)計(jì)算成本的限制。

在上述理論的基礎(chǔ)上，若考慮高維系統(tǒng)的可靠度評(píng)估問題，往往需要借助一定數(shù)量的系統(tǒng)觀測(cè)或動(dòng)力分析樣本數(shù)據(jù)。直接通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)可靠度的思想就是隨機(jī)模擬方法，包括直接蒙特卡羅模擬及其各類改進(jìn)方法，如重要性抽樣［18］、子集模擬［19］、線抽樣［20］等。這類方法是隨機(jī)收斂的，且對(duì)蒙特卡羅的各類改進(jìn)往往以犧牲其適用性為代價(jià)。各類低偏差點(diǎn)集方法（有時(shí)又稱擬蒙特卡羅模擬）［21］原則上是確定性收斂的，依然難以應(yīng)用于高維問題。另一類應(yīng)用廣泛的方法是矩方法，即先由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)響應(yīng)極值或極限狀態(tài)函數(shù)的幾階矩，進(jìn)而由矩信息估計(jì)極值分布或可靠度，這方面的代表性研究包括高階矩法［22?23］、分?jǐn)?shù)階矩法［24?25］、線性矩法［26］等。矩方法采用響應(yīng)的矩估計(jì)信息、結(jié)合既定的響應(yīng)尾部或極值分布形式，往往對(duì)可靠度分析具有較高的計(jì)算效率，但由于從根本上對(duì)概率密度函數(shù)的反映是不完全的，因此其適用性在一定程度上取決于問題本身的性質(zhì)。

21世紀(jì)初提出的概率密度演化理論［4，27］揭示了系統(tǒng)物理本質(zhì)對(duì)隨機(jī)性傳播的驅(qū)動(dòng)規(guī)律，從而為高維系統(tǒng)的可靠度分析提供了新的視角。根據(jù)概率守恒原理的隨機(jī)事件描述［28］，可以通過對(duì)降維概率密度演化方程設(shè)置吸收邊界條件［29］、構(gòu)造等價(jià)極值事件［30?31］或采用物理綜合法［3，32］等，實(shí)現(xiàn)對(duì)高維非線性系統(tǒng)的動(dòng)力可靠度、乃至整體可靠度的評(píng)估。近年來(lái)，在概率密度演化理論的點(diǎn)演化實(shí)現(xiàn)途徑基礎(chǔ)上［33］，進(jìn)一步發(fā)展出了數(shù)值求解穩(wěn)健性和尾部精度更高的概率密度全局演化方法，在此方法下建立起的方程稱為降維概率密度演化方程。全局演化方法最初只應(yīng)用于白噪聲激勵(lì)下各類高維非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的響應(yīng)分析［34?35］和可靠度分析［36］，隨著一般連續(xù)隨機(jī)過程的降維概率密度演化方程統(tǒng)一理論框架的建立［37］，該方法可以用于隨機(jī)波浪場(chǎng)激勵(lì)［38］、分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)［39］等更具一般性的復(fù)雜工程隨機(jī)動(dòng)力問題。

在降維概率密度演化方程的理論基礎(chǔ)上，本文嘗試將其拓展至一般非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下高維非線性系統(tǒng)的可靠度分析。對(duì)非平穩(wěn)激勵(lì)下系統(tǒng)感興趣量的吸收邊界過程建立了降維概率密度演化方程，并發(fā)展了相應(yīng)的數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法。

1 高維系統(tǒng)吸收邊界過程的降維概率密度演化方程

1.1 非平穩(wěn)Gauss白噪聲激勵(lì)下的高維非線性系統(tǒng)

首先考慮非平穩(wěn)Gauss白噪聲激勵(lì)下的自由度非線性系統(tǒng)，其動(dòng)力方程為：

（1）

式中 ，和分別為系統(tǒng)的維位移、速度和加速度列向量過程；為表征系統(tǒng)阻尼力和恢復(fù)力的維函數(shù)列向量；為非平穩(wěn)調(diào)制函數(shù)；為表征激勵(lì)作用位置的維矩陣；為維Gauss白噪聲列向量過程，其維強(qiáng)度矩陣為，即有且，其中，為期望算子，為Dirac函數(shù)，表示元素全為零的維列向量。系統(tǒng)的初值和均為維確定性列向量。

由于外部激勵(lì)是隨機(jī)過程，因此系統(tǒng)的所有響應(yīng)過程也都是隨機(jī)的。若僅關(guān)心系統(tǒng)第個(gè)自由度的位移響應(yīng)， 在某一給定安全域下的首次超越破壞問題，則系統(tǒng)的動(dòng)力可靠度可以定義為：

（2）

式中 為實(shí)數(shù)域上邊界記為的任意開集；表示事件的發(fā)生概率。

由于系統(tǒng)各個(gè)響應(yīng)分量在動(dòng)力方程中的耦合性，若采用經(jīng)典的隨機(jī)振動(dòng)方法分析系統(tǒng)的首次超越可靠度，則需要求解吸收邊界條件下所有響應(yīng)量（位移和速度）的聯(lián)合概率密度函數(shù)所滿足的高維FPK方程或Kolmogorov后向方程，這對(duì)于自由度數(shù)很大的情形（如），計(jì)算成本往往難以接受［6］。此時(shí)，一個(gè)可行的途徑是構(gòu)造感興趣量及其速度響應(yīng)關(guān)于安全域的吸收邊界過程，建立并求解吸收邊界過程的概率密度函數(shù)所滿足的降維概率密度演化方程。

具體地，定義和關(guān)于安全域的吸收邊界過程為：

（3）

式中 為關(guān)于安全域的首次超越時(shí)間，其中表示變量的下確界。過程和及其吸收邊界過程和的樣本路徑之間的關(guān)系如圖1所示。

顯然，若吸收邊界過程在時(shí)刻的值位于安全域內(nèi)，則說(shuō)明感興趣量在時(shí)間段內(nèi)一直位于內(nèi)，即系統(tǒng)尚未失效；若在時(shí)刻的值位于安全域邊界上，則說(shuō)明在時(shí)間段內(nèi)至少發(fā)生了一次超越安全域的事件，即系統(tǒng)已經(jīng)失效。因此，時(shí)刻的動(dòng)力可靠度即等于吸收邊界過程的概率密度函數(shù)在安全域內(nèi)的積分，即

（4）

一旦獲得了吸收邊界過程的瞬時(shí)概率密度函數(shù)解答，即等價(jià)于解得了系統(tǒng)的動(dòng)力可靠度。

一般地，系統(tǒng)的位移和速度響應(yīng)均為樣本連續(xù)的隨機(jī)過程，由此易知其吸收邊界過程必然也是樣本連續(xù)的隨機(jī)過程。根據(jù)樣本連續(xù)過程的降維概率密度演化方程［37］可得，吸收邊界過程和的聯(lián)合概率密度滿足如下二階偏微分方程：

（5）

式中 系數(shù)和 分別稱為本征漂移系數(shù)和本征擴(kuò)散系數(shù)［37］，它們分別是和的前兩階條件導(dǎo)出矩，即

（6）

根據(jù)動(dòng)力方程（1）的第個(gè)分量以及式（3），可知和滿足如下微分關(guān)系：

（7）

式中 ；表示矩陣的第行向量；為向量的第l個(gè)分量；是與對(duì)應(yīng)的維Wiener列向量過程，即有且。

將式（7）代入式（6），可得：

（8）

式中 為矩陣中的第個(gè)元素； 為示性泛函。而式（6）中只有本征漂移系數(shù)無(wú)法給出解析表達(dá)，但可以將其表達(dá)為：

（9）

于是，式（5）化簡(jiǎn)為：

（10）

式（10）即稱為關(guān)于吸收邊界過程和的降維概率密度演化方程。方程的初始條件可由動(dòng)力方程（1）的初值確定，即

（11）

式中 和分別為位移初值和速度初值。

由以上推導(dǎo)過程可知，降維概率密度演化方程（10）是精確成立的。在實(shí)際中，對(duì)一些系統(tǒng)，如能量等分的碰撞振子，可獲取其表達(dá)的待定函數(shù)形式［34］。對(duì)于更一般的情況，本征漂移系數(shù)，即式（9）的條件期望函數(shù)形式難以解析地給出。若可以采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法構(gòu)造，并將其代入降維概率密度演化方程（10）求解得到和的聯(lián)合概率密度函數(shù)，即可積分獲得的瞬時(shí)概率密度函數(shù)，最終由式（4）計(jì)算動(dòng)力可靠度。

注記1：應(yīng)指出，不論系統(tǒng)的自由度數(shù)多大，若僅關(guān)心系統(tǒng)某一關(guān)鍵的響應(yīng)過程及其速度過程，那么獲得的降維概率密度演化方程就只是二維偏微分方程，即不會(huì)受到系統(tǒng)維數(shù)的限制，數(shù)值求解將十分方便。此外，降維概率密度演化方程原則上對(duì)于任意維數(shù)的連續(xù)隨機(jī)過程均成立，因此在理論上，也可以只建立關(guān)于自身的一維偏微分方程，但是由于自身未直接受到白噪聲激勵(lì)的作用，這樣建立起來(lái)的一維方程將是不含二階擴(kuò)散項(xiàng)的雙曲型偏微分方程，這將對(duì)其數(shù)值求解帶來(lái)不便。因此，上述推導(dǎo)過程中選擇將和直接被白噪聲激勵(lì)的速度過程聯(lián)立，建立其吸收邊界過程的聯(lián)合概率密度所滿足的二維偏微分方程，使得方程成為包含精確二階擴(kuò)散項(xiàng)的拋物型偏微分方程，更便于后文的數(shù)值求解。

1.2 非平穩(wěn)非白噪聲激勵(lì)下的高維非線性系統(tǒng)

再考慮非平穩(wěn)非白噪聲激勵(lì)下的自由度非線性系統(tǒng)，其動(dòng)力方程可以寫為：

（12）

式中 為維非平穩(wěn)非白噪聲列向量過程，可以用來(lái)表征隨機(jī)地震動(dòng)加速度、隨機(jī)脈動(dòng)風(fēng)速等一般工程激勵(lì)。

一般地，可以表征為非平穩(wěn)調(diào)制函數(shù)和某一給定功率譜密度矩陣的平穩(wěn)向量過程的乘積，或直接由演變功率譜密度矩陣刻畫。根據(jù)線性濾波理論［40］，可以表征為Gauss白噪聲激勵(lì)下某個(gè)維線性濾波系統(tǒng)的輸出響應(yīng)的函數(shù)（），即

（13）

式中 為維濾波響應(yīng)列向量過程；為維函數(shù)列向量；和分別為維和維矩陣。若具有有理功率譜密度，則這里的，和可以直接由譜參數(shù)確定；否則，它們需要由非有理譜采用非線性最小二乘擬合最優(yōu)值［38］。此外，若直接由演變功率譜密度矩陣刻畫，則不顯含，而和是時(shí)變的；而若表征為非平穩(wěn)調(diào)制函數(shù)和某個(gè)平穩(wěn)過程的乘積，則需顯含，而和是時(shí)不變的。

對(duì)于動(dòng)力方程（12）控制的自由度非線性系統(tǒng)，仍關(guān)心系統(tǒng)第個(gè)自由度的位移響應(yīng)， 在某一給定安全域下的首次超越可靠度，則可以構(gòu)建和某個(gè)擴(kuò)散項(xiàng)不為零的濾波響應(yīng)過程（）關(guān)于安全域的吸收邊界過程，即

（14）

一般地，Gauss白噪聲激勵(lì)下的線性濾波響應(yīng)是一個(gè)時(shí)間上連續(xù)的隨機(jī)過程，則其吸收邊界過程必然也是時(shí)間上連續(xù)的隨機(jī)過程。故而和的聯(lián)合概率密度滿足降維概率密度演化方程［37］。經(jīng)過與1.1節(jié)類似的推導(dǎo)，可得降維概率密度演化方程為：

（15）

式中 為矩陣中的第個(gè)元素；和為本征漂移系數(shù)，有：

（16）

式中 為的第k列構(gòu)成的向量。

若采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法構(gòu)造和，并將其代入降維概率密度演化方程（15）求解得到和的聯(lián)合概率密度函數(shù)，即可積分獲得的瞬時(shí)概率密度函數(shù)，最終由式（4）計(jì)算動(dòng)力可靠度。

注記2：應(yīng)指出，對(duì)于非白噪聲激勵(lì)問題，這里并沒有與1.1節(jié)一樣選擇相應(yīng)速度過程作為輔助過程構(gòu)建降維概率密度演化方程，而是選擇了某個(gè)擴(kuò)散項(xiàng)不為零的濾波響應(yīng)過程。這是因?yàn)閷?duì)于有限功率譜密度的非白噪聲激勵(lì)，系統(tǒng)速度響應(yīng)的本征擴(kuò)散系數(shù)為零，而濾波響應(yīng)過程由于受Gauss白噪聲的直接激勵(lì)，其擴(kuò)散項(xiàng)不為零［37］。

2 非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下高維系統(tǒng)可靠度計(jì)算的數(shù)值方法

基于降維概率密度演化方程的動(dòng)力可靠度分析通?？煞譃閮蓚€(gè)步驟：（1） 基于物理驅(qū)動(dòng)的本征漂移系數(shù)數(shù)值構(gòu)造；（2） 吸收邊界過程的降維概率密度演化方程數(shù)值求解。下面以非平穩(wěn)Gauss白噪聲激勵(lì)下的高維系統(tǒng)為例（即本征漂移系數(shù)式（9）的構(gòu)造和降維概率密度演化方程（10）的求解）闡述該方法的數(shù)值實(shí)現(xiàn)流程，而對(duì)于非平穩(wěn)非白噪聲激勵(lì)下的高維系統(tǒng)（即本征漂移系數(shù)式（16）的構(gòu)造和降維概率密度演化方程（15）的求解），則可以類似地處理。

2.1 基于物理驅(qū)動(dòng)的本征漂移系數(shù)數(shù)值構(gòu)造

盡管對(duì)于一些特殊的高維系統(tǒng)，目前已經(jīng)可以給出本征漂移系數(shù)的解析表達(dá)或穩(wěn)態(tài)解析表達(dá)［34］，但是對(duì)于一般的高維非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，降維概率密度演化方程中的本征漂移系數(shù)通常難以解析地獲得，因此需要基于原系統(tǒng)動(dòng)力方程的演化特性，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法加以構(gòu)造。

式（9）的本征漂移系數(shù)可以表達(dá)為：

（17）

式中 是和與均相關(guān)的隨機(jī)過程。

根據(jù)式（17）所表達(dá)的作為條件期望的物理意義，對(duì)其進(jìn)行數(shù)值構(gòu)造的一個(gè)可行途徑是：

（1） 對(duì)原系統(tǒng)的動(dòng)力方程（1）進(jìn)行有限次代表性確定性動(dòng)力分析（分析次數(shù)記為），可獲得系統(tǒng)響應(yīng)和的個(gè)時(shí)程數(shù)據(jù)。其中有限次確定性動(dòng)力分析是指對(duì)激勵(lì)進(jìn)行隨機(jī)模擬（如采用線性濾波法［40］、譜表達(dá)法［41］或隨機(jī)諧和函數(shù)法［42］），進(jìn)而以隨機(jī)激勵(lì)樣本作為輸入求解系統(tǒng)的動(dòng)力方程，獲得分析數(shù)據(jù)。

（2） 對(duì)某一時(shí)刻， （為數(shù)值離散時(shí)間步數(shù)），記錄滿足“時(shí)段內(nèi)時(shí)程從未失效”這一條件的，和的數(shù)據(jù)值分別為，和， ，其中為所有個(gè)數(shù)據(jù)中滿足這一條件的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，注意此處應(yīng)有。

（3） 根據(jù)三維狀態(tài)量空間Oxva內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)， ，估計(jì)某一給定狀態(tài)點(diǎn)處的本征漂移系數(shù)值， ； （和為估計(jì)本征漂移系數(shù)時(shí)在安全域內(nèi)劃分的網(wǎng)格數(shù)）。這一步有多種可行的參數(shù)化或非參數(shù)化數(shù)值方法，例如采用局部加權(quán)回歸的思想［43］，可將本征漂移系數(shù)構(gòu)造為：

（18）

其中，回歸系數(shù)對(duì)每一狀態(tài)點(diǎn)是不同的，可以根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)點(diǎn)與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)， 的距離選取合適的權(quán)函數(shù)，采用加權(quán)最小二乘方法估計(jì)。

2.2 吸收邊界過程的降維概率密度演化方程數(shù)值求解

在已知本征漂移系數(shù)的解答后，可以選用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法，在初值條件式（11）下，求解降維概率密度演化方程（10）。本節(jié)闡述該方程的路徑積分求解格式。

根據(jù)隨機(jī)微分方程理論［6］，若存在二維Markov擴(kuò)散向量過程，其初值為和，且其樣本路徑滿足如下It?隨機(jī)微分方程：

（19）

式中 為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程，則該二維過程的聯(lián)合概率密度也滿足式（10）的二維偏微分方程。亦即，此處構(gòu)造的二維Markov過程和二維（非Markov的）吸收邊界過程，二者在任意單一時(shí)點(diǎn)處的瞬時(shí)概率密度函數(shù)是相等的。故而，可以直接采用路徑積分格式求解的瞬時(shí)概率密度函數(shù)，也就同時(shí)獲得了吸收邊界過程的瞬時(shí)概率密度函數(shù)。而根據(jù)It?隨機(jī)微分方程（19），二維Markov過程的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)在時(shí)間步很小時(shí)可以由短時(shí)Gauss假定［44］給出解析表達(dá)，即

（20）

故而，若已知吸收邊界過程在時(shí)刻的聯(lián)合概率密度函數(shù)的解，則其在， 時(shí)刻的聯(lián)合概率密度函數(shù)可由如下路徑積分格式計(jì)算：

（1） 對(duì)于，有：

（21）

（2） 對(duì)于，有：

（22）

由此，可以逐時(shí)間步地計(jì)算的聯(lián)合概率密度函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)式（4），可以給出系統(tǒng)的時(shí)變動(dòng)力可靠度以及相應(yīng)的時(shí)變失效概率解答：

（23）

在上述降維概率密度演化方程的數(shù)值求解中，本征漂移系數(shù)作為原高維系統(tǒng)物理方程中的感興趣量所在低維狀態(tài)空間內(nèi)物理力的反映，通過決定式（20）中轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)在每一時(shí)間步的表達(dá)，驅(qū)動(dòng)著吸收邊界過程的概率密度演化，因而它本質(zhì)上是概率密度全局演化的本征物理驅(qū)動(dòng)力。這一物理關(guān)系的反映如圖2所示，圖中，表示安全域內(nèi)的概率總和，即可靠度。（注：為了更直觀，圖中省略了所在維度，僅表現(xiàn)了一維情形下本征漂移系數(shù)對(duì)概率密度演化的物理驅(qū)動(dòng)，對(duì)于二維情形是類似的。圖2中左邊表示本征漂移系數(shù)與有限次確定性分析數(shù)據(jù)之間的條件期望關(guān)系；右邊表示概率密度函數(shù)隨時(shí)間演化過程中的平均漂移趨勢(shì)與局部漲落規(guī)律。）

3 數(shù)值算例

3.1 非平穩(wěn)Gauss白噪聲激勵(lì)下的10層滯回非線性框架結(jié)構(gòu)

非平穩(wěn)Gauss白噪聲激勵(lì)下自由度滯回非線性框架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程可以寫為：

（24）

式中 和分別為維集中質(zhì)量矩陣和Rayleigh阻尼矩陣；為維非線性恢復(fù)力函數(shù)列向量；為維滯回位移列向量過程；為元素全為1的m維列向量；是強(qiáng)度為的Gauss白噪聲過程。

本例中非線性恢復(fù)力采用Bouc?Wen模型［45?47］刻畫，即結(jié)構(gòu)第層層間恢復(fù)力取為：

（25）

式中 為結(jié)構(gòu)屈服剛度與初始剛度之比；為結(jié)構(gòu)第層層間初始剛度；為結(jié)構(gòu)第層層間位移過程。

結(jié)構(gòu)第層滯回位移過程和滯回耗能過程的演化由如下微分方程控制：

（26）

式中 為符號(hào)函數(shù)；和為基本滯回形狀控制參數(shù)；和分別為強(qiáng)度和剛度退化系數(shù)；為總滑移量；，，，和分別為控制捏攏初值、坡度、幅值、速率和強(qiáng)度的參數(shù)。

本例中取結(jié)構(gòu)自由度數(shù)，結(jié)構(gòu)各層集中質(zhì)量均為2.6×105 kg、初始彈性模量均為3×1010 Pa；結(jié)構(gòu)底層高4 m、柱截面0.5 m × 0.5 m，其余各層高3 m、柱截面0.4 m × 0.4 m；結(jié)構(gòu)前二階阻尼比均為0.05；Bouc?Wen模型各參數(shù)取值為：，，，，，，，，。結(jié)構(gòu)所受的白噪聲激勵(lì)強(qiáng)度，非平穩(wěn)調(diào)制函數(shù)為［48］：

（27）

式中 ，，。

結(jié)構(gòu)在非平穩(wěn)Gauss白噪聲激勵(lì)下底層層間恢復(fù)力?位移曲線的典型樣本如圖3所示。由圖3可以看出恢復(fù)力具有很強(qiáng)的滯回非線性特性。

取結(jié)構(gòu)的底層位移作為感興趣的物理量，考察底層位移響應(yīng)在安全域下的首次超越可靠度（其中閾值為常數(shù)），則可以建立底層位移和底層速度的吸收邊界過程的聯(lián)合概率密度函數(shù)滿足的降維概率密度演化方程（如式（10）所示）。對(duì)原系統(tǒng)的動(dòng)力方程（24）進(jìn)行800次代表性確定性分析，并根據(jù)分析數(shù)據(jù)構(gòu)造本征漂移系數(shù)的數(shù)值解，即可數(shù)值求解降維概率密度演化方程獲得時(shí)變可靠度或失效概率的解答。同時(shí)，若直接建立和的聯(lián)合概率密度函數(shù)滿足的降維概率密度演化方程，則可數(shù)值求解獲得二者的響應(yīng)概率分布信息（具體可參見文獻(xiàn)［37］）。

本例給出該結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析和可靠度分析的數(shù)值結(jié)果與106次蒙特卡羅模擬（MCS）結(jié)果的對(duì)比，以驗(yàn)證本文方法的精度和有效性：在14 s時(shí)刻結(jié)構(gòu)底層位移和速度的概率密度函數(shù)（PDF）和概率分布函數(shù)（CDF）如圖4所示；結(jié)構(gòu)底層位移和速度的標(biāo)準(zhǔn)差（STD）時(shí)程如圖5所示；結(jié)構(gòu)底層位移在不同閾值下的時(shí)變失效概率如圖6所示；地震動(dòng)衰減階段（20 s時(shí)刻）結(jié)構(gòu)的失效概率數(shù)值結(jié)果與蒙特卡羅模擬的相對(duì)誤差比較如表1所示。從圖6中可以看出，概率密度全局演化方法獲得的響應(yīng)分析和可靠度結(jié)果與蒙特卡羅模擬的結(jié)果完全一致。當(dāng)14 s之后，隨著外部激勵(lì)進(jìn)入衰減段，響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差迅速下降，結(jié)構(gòu)的失效概率也趨于平緩不再升高，在隨機(jī)激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)的這些物理隨機(jī)特性都可以通過求解降維概率密度演化方程精確地捕捉到。

3.2 非平穩(wěn)隨機(jī)地震動(dòng)作用下的10層滯回非線性框架結(jié)構(gòu)

仍考慮算例3.1中的10層滯回非線性框架結(jié)構(gòu)，但外部激勵(lì)采用非平穩(wěn)隨機(jī)地震動(dòng)激勵(lì)。結(jié)構(gòu)所受的地震動(dòng)激勵(lì)的加速度由非平穩(wěn)時(shí)間調(diào)制下的Kanai?Tajimi模型［49?50］給出，其功率譜密度函數(shù)為：

（28）

式中 為強(qiáng)度；為圓頻率；和分別為場(chǎng)地的特征圓頻率和阻尼比。

根據(jù)線性濾波理論，地震動(dòng)加速度可以表達(dá)為如下Gauss白噪聲激勵(lì)下的單自由度線性濾波系統(tǒng)：

（29）

式中 為系統(tǒng)的位移響應(yīng)。

其相對(duì)加速度響應(yīng)［51］，即

（30）

本例中取，，。生成的非平穩(wěn)隨機(jī)地震動(dòng)加速度的典型時(shí)程樣本如圖7所示。

取結(jié)構(gòu)的頂層位移作為感興趣的物理量，考察頂層位移響應(yīng)在安全域下的首次超越可靠度（其中閾值為常數(shù)），則可以建立頂層位移和濾波速度的吸收邊界過程的聯(lián)合概率密度函數(shù)滿足的降維概率密度演化方程（如式（15）所示）。對(duì)原系統(tǒng)的動(dòng)力方程和濾波系統(tǒng)進(jìn)行800次代表性確定性分析，并根據(jù)分析數(shù)據(jù)構(gòu)造本征漂移系數(shù)的數(shù)值解，即可數(shù)值求解降維概率密度演化方程獲得時(shí)變可靠度或失效概率的解答。

結(jié)構(gòu)頂層位移在不同閾值下的時(shí)變失效概率如圖8所示。從圖8中可以看出，概率密度全局演化方法獲得的響應(yīng)分析和可靠度結(jié)果與蒙特卡羅模擬的結(jié)果完全一致。

4 結(jié) 論

（1） 對(duì)于一般的非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下的高維系統(tǒng)，通過構(gòu)造感興趣響應(yīng)量以及某個(gè)輔助過程的吸收邊界過程，并建立其瞬時(shí)概率密度滿足的降維概率密度演化方程（一個(gè)二維偏微分方程），可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)給定閾值下的首次超越可靠度分析。

（2） 降維概率密度演化方程中的本征漂移系數(shù)是驅(qū)動(dòng)概率密度演化的本征物理驅(qū)動(dòng)力。對(duì)于一般非線性問題，本征漂移系數(shù)難以給出解析表達(dá)，需要根據(jù)原始高維系統(tǒng)的有限次代表性確定性動(dòng)力分析數(shù)據(jù)，通過合適的數(shù)值方法構(gòu)造。

（3） 降維概率密度演化方程對(duì)于高維隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的可靠度分析具有較高的精度和計(jì)算效率。數(shù)值算例表明，僅需要幾百次確定性分析結(jié)果構(gòu)造本征漂移系數(shù)，即可實(shí)現(xiàn)罕遇事件下的小失效概率精細(xì)化評(píng)估。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文所提出的理論框架可進(jìn)一步應(yīng)用于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的抗震可靠度分析。此外，不同本征漂移系數(shù)的數(shù)值構(gòu)造方法對(duì)降維概率密度演化方程數(shù)值精度的影響也有待進(jìn)一步研究。本文主要討論了降維概率密度演化方程在非平穩(wěn)Gauss白噪聲或非白噪聲激勵(lì)下高維系統(tǒng)的可靠度分析，該方法對(duì)于非Gauss噪聲激勵(lì)問題［52?56］的適用性值得深入研究。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 劉章軍， 陳建兵， 彭勇波. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)［M］. 北京： 中國(guó)建筑工業(yè)出版社， 2022.

［2］ 李杰. 論第三代結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論［J］. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版）， 2017， 45 （5）： 617?624.

Li J. On the third generation of structural design theory［J］. Journal of Tongji University （Natural Science）， 2017， 45 （5）： 617?624.

［3］ 李杰. 工程結(jié)構(gòu)整體可靠性分析研究進(jìn)展［J］. 土木工程學(xué)報(bào)， 2018， 51 （8）： 1?10.

Li J. Advances in global reliability analysis of engineering structures［J］. China Civil Engineering Journal， 2018， 51 （8）： 1?10.

［4］ Li J， Chen J B. Stochastic Dynamics of Structures ［M］. Singapore：John Wiley & Sons，Inc.， 2009.

［5］ 李杰. 工程結(jié)構(gòu)可靠性分析原理［M］. 北京： 科學(xué)出版社， 2021.

Li J. Fundamental of Structural Reliability Analysis［M］. Beijing： Science Press， 2021.

［6］ 朱位秋. 隨機(jī)振動(dòng)［M］. 北京： 科學(xué)出版社， 1992.

［7］ 李桂青， 曹宏， 李秋勝， 等. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性理論及其應(yīng)用［M］. 北京： 地震出版社， 1993.

［8］ Rice S O. Mathematical analysis of random noise［J］. Bell System Technical Journal， 1944， 23（3）： 282?332.

［9］ Yang J N， Shinozuka M. On the first excursion probability in stationary narrow?band random vibration［J］. Journal of Applied Mechanics， 1971， 38 （4）： 1017?1022.

［10］ Vanmarcke E. 隨機(jī)場(chǎng)： 分析與綜合［M］.修訂擴(kuò)展版. 陳朝暉， 范文亮，譯. 北京： 高等教育出版社， 2017.

［11］ Roberts J B. First?passage probabilities for randomly excited systems： diffusion methods［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 1986， 1： 66?81.

［12］ Gumbel E J. Statistics of Extremes［M］. New York， USA： Columbia University Press， 1958.

［13］ 洪華生， 鄧漢忠. 工程中的概率概念——在土木與環(huán)境工程中的應(yīng)用［M］. 2版. 陳建兵， 彭勇波， 劉威， 等，譯. 北京： 中國(guó)建筑工業(yè)出版社， 2017.

［14］ 陳建兵， 律夢(mèng)澤. 一類Markov過程的最大絕對(duì)值過程概率密度求解的新方法［J］. 力學(xué)學(xué)報(bào)， 2019， 51 （5）： 1437?1447.

Chen J B， Lü M Z. A new method for the probability density of maximum absolute value of a Markov process［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2019， 51 （5）： 1437?1447.

［15］ Chen J B， Lü M Z. A new approach for time?variant probability density function of the maximal value of stochastic dynamical systems［J］. Journal of Computational Physics， 2020， 415： 109525.

［16］ Lü M Z， Chen J B， Pirrotta A. A novel method based on augmented Markov vector process for the time?variant extreme value distribution of stochastic dynamical systems enforced by Poisson white noise［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2020， 80： 104974.

［17］ Lü M Z， Wang J M， Chen J B. Closed?form solutions for the probability distribution of time?variant maximal value processes for some classes of Markov processes［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2021， 99： 105803.

［18］ Harbitz A. An accurate probability?of?failure calculation method［J］. IEEE Transactions on Reliability， 1983， 32 （5）： 458?460.

［19］ Au S K， Beck J L. Estimation of small failure probabilities in high dimensions by subset simulation［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 2001， 16 （4）： 263?277.

［20］ Koutsourelakis P S， Pradlwarter H J， Schu?ller G I. Reliability of structures in high dimensions， Part Ⅰ： algorithms and applications［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 2004， 19 （4）： 409?417.

［21］ Xu J， Kong F. A new unequal?weighted sampling method for efficient reliability analysis［J］. Reliability Engineering & System Safety， 2018， 172： 94?102.

［22］ Zhao Y G， Lu Z H. Fourth moment standardization for structural reliability assessment［J］. Journal of Structural Engineering， 2007， 133（7）： 916?924.

［23］ Zhao Y G， Zhang X Y， Lu Z H. Complete monotonic expression of the fourth?moment normal transformation for structural reliability［J］. Computers & Structures， 2018， 196： 186?199.

［24］ Xu J. A new method for reliability assessment of structural dynamic systems with random parameters［J］. Structural Safety， 2016， 60： 130?143.

［25］ Xu J， Dang C. A new bivariate dimension reduction method for efficient structural reliability analysis［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2019， 115： 281?300.

［26］ Zhang L W， Lu Z H， Zhao Y G. Dynamic reliability assessment of nonlinear structures using extreme value distribution based on L?moments［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2021， 159： 107832.

［27］ Li J， Chen J B. Probability density evolution method for dynamic response analysis of structures with uncertain parameters［J］. Computational Mechanics， 2004， 34： 400?409.

［28］ Li J， Chen J B. The principle of preservation of probability and the generalized density evolution equation［J］. Structural Safety， 2008， 30 （1）： 65?77.

［29］ Chen J B， Li J. Dynamic response and reliability analysis of non?linear stochastic structures［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 2005， 20 （1）： 33?44.

［30］ Li J， Chen J B， Fan W L. The equivalent extreme?value event and evaluation of the structural system reliability［J］. Structural Safety， 2007， 29 （2）： 112?131.

［31］ Wang D， Li J. An efficient load effect combination method based on probability density evolution method［J］. Structural Safety， 2022， 97： 102217.

［32］ Li J， Gao R F. Fatigue reliability analysis of concrete structures based on physical synthesis method［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 2019， 56： 14?26.

［33］ Li J， Chen J B， Sun W L， et al. Advances of the probability density evolution method for nonlinear stochastic systems［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 2012， 28： 132?142.

［34］ Sun T T， Chen J B. Physically driven exact dimension reduction of a class of nonlinear multi?dimensional systems subjected to additive white noise［J］. Journal of Risk and Uncertainty in Engineering Systems， Part A： Civil Engineering， 2022， 8 （2）： 04022012.

［35］ Chen J B， Lü M Z. Globally?evolving?based generalized density evolution equation for nonlinear systems involving randomness from both system parameters and excitations［J］. Proceedings of the Royal Society A， 2022， 478（2264）： 20220356.

［36］ Lü M Z， Chen J B. First?passage reliability of high?dimensional nonlinear systems under additive excitation by the ensemble?evolving?based generalized density evolution equation［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 2021， 63： 103119.

［37］ Lü M Z， Chen J B. A unified formalism of the GE?GDEE for generic continuous responses and first?passage reliability analysis of multi?dimensional nonlinear systems subjected to non?white?noise excitations［J］. Structural Safety， 2022， 98： 102233.

［38］ Luo Y， Chen J B， Spanos P D. Determination of monopile offshore structure response to stochastic wave loads via analog filter approximation and GV?GDEE procedure［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 2022， 67： 103197.

［39］ Luo Y， Spanos P D， Chen J B. Stochastic response determination of multi?dimensional nonlinear systems endowed with fractional derivative elements by the GE?GDEE［J］. International Journal of Non?Linear Mechanics， 2022，147： 104247.

［40］ Spanos P D， Mignolet M P. ARMA Monte Carlo simulation in probabilistic structural analysis［J］. The Shock & Vibration Digest， 1989， 21 （11）： 3?14.

［41］ Shinozuka M， Deodatis G. Simulation of stochastic processes by spectral representation［J］. Applied Mechanics Reviews， 1991， 44 （4）： 191?204.

［42］ Chen J B， Sun W L， Li J， et al. Stochastic harmonic function representation of stochastic processes［J］. Journal of Applied Mechanics， 2013， 80（1）： 011001.

［43］ Cleveland W S. Robust locally weighted regression and smoothing scatterplots［J］. Journal of the American Statistical Association， 1979， 74 （368）： 829?836.

［44］ Risken H. The Fokker?Planck Equation：Methods of Solution and Applications［M］.2nd ed. Berlin， Germany： Springer?Verlag， 1989.

［45］ Bouc R. Modèle mathématique d'hystérésis： application aux systèmesàun degréde liberté［J］. Acustica， 1971， 24 （1）： 16?25.

［46］ Wen Y K. Method for random vibration of hysteretic systems［J］. Journal of Engineering Mechanics， 1976， 102： 249?263.

［47］ Ma F， Zhang H， Bockstedte A， et al. Parameter analysis of the differential model of hysteresis［J］. Journal of Engineering Mechanics， 2004， 71（3）： 342?349.

［48］ Amin M， Ang A H S. Nonstationary stochastic models of earthquake motions［J］. Journal of the Engineering Mechanics Division， 1968， 94 （2）： 559?583.

［49］ Kanai K. Semi?empirical formula for the seismic characteristics of the ground［J］. Bulletin of the Earthquake Research Institute， 1957， 35 （2）： 309?325.

［50］ Tajimi H. A statistical method of determining the maximum response of a building structure during an earthquake［C］∥ Proceedings of the 2nd World Conference on Earthquake Engineering. Tokyo， Japan， 1960： 781?797.

［51］ Clough R， Penzien J. Dynamics of Structures［M］. 3rd ed. Berkeley， USA： Computers & Structures Inc.， 2003.

［52］ Xu Y， Li H， Wang H Y， et al. The estimates of the mean first exit time of a bistable system excited by Poisson white noise［J］. Journal of Applied Mechanics， 2017， 84（9）： 091004.

［53］ Li Y G， Xu Y， Kurths J. First?passage?time distribution in a moving parabolic potential with spatial roughness ［J］. Physical Review E， 2019， 99： 052203.

［54］ Li Y G， Xu Y， Kurths J， et al. The influences of correlated spatially random perturbations on first passage time in a linear?cubic potential［J］. Chaos， 2019， 29： 101102.

［55］ Zan W R， Xu Y， Metzler R， et al. First?passage problem for stochastic differential equations with combined parametric Gaussian and Lévy white noises via path integral method［J］. Journal of Computational Physics， 2021， 435： 110264.

［56］ Zan W R， Jia W T， Xu Y. Reliability of dynamical systems with combined Gaussian and Poisson white noise via path integral method［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 2022， 68： 103252.

GE?GDEE for reliability analysis of high?dimensional nonlinear systems enforced by non?stationary stochastic excitations

Lü Meng?ze1，2， CHEN Jian?bing1，2

（1.State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering， Tongji University， Shanghai 200092， China；

2.College of Civil Engineering， Tongji University， Shanghai 200092， China）

Abstract： Dynamic actions such as strong winds and earthquakes often have significant randomness and non-stationarity， which can have disastrous effects on practical engineering structures. Therefore， accurately evaluating the dynamic reliability of high-dimensional nonlinear systems under non-stationary stochastic excitations is crucial for the disaster-resistant design and optimizatio1M824I6wONc1+/Ycw8lFBcVBLRwwWJ37+dUrsm9Fn3U=n of these structures. This paper presents a numerical method for solving the high-dimensional nonlinear dynamic reliability under non-stationary noises， based on the globally-evolving-based generalized density evolution equation （GE-GDEE） for generic continuous processes. Specifically， if we are concerned with the first-passage reliability of a quantity of interest within a specified safe domain， an absorbing boundary process （ABP） of the quantity of interest can be constructed. This leads to a two-dimensional partial differential equation for its transient probability density function （PDF）， known as the GE-GDEE for ABPs. The effective drift coefficient in the GE-GDEE， which serves as the global physical driving force for evolution of the PDF， can be identified using data from representative deterministic dynamic analyses. The solution for dynamic reliability can be obtained by solving the GE-GDEE. This paper includes two numerical examples to verify the efficiency and accuracy of the proposed method and discusses areas that require further study.

Key words： globally?evolving?based generalized density evolution equation （GE?GDEE）；high?dimensional nonlinear stochastic dynamic system；non?stationary stochastic excitation；dynamic reliability analysis；physically driven

作者簡(jiǎn)介： 律夢(mèng)澤 （1994—），男，博士，博士后。 E?mail： lyumz@#edu.cn。

通訊作者： 陳建兵 （1975—），男，博士，教授。電話： （021） 65981505； E?mail： chenjb@#edu.cn。