摘"要：深度學習不僅應在新課教學中得到廣泛應用，而且在習題教學中也應得到貫徹落實。本文以“萬有引力與宇宙航行”一章為例，從變軌運動、橢圓軌道和地球上物體的圓周運動入手，結(jié)合橢圓軌道的曲率半徑和衛(wèi)星運動時的機械能，進行了定量分析，旨在探索深度學習在習題教學中的應用。

關(guān)鍵詞：物理教學；深度學習；核心素養(yǎng)；橢圓軌道

1"引言

深度學習是指在教師的引領(lǐng)下，學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程。［1］這種學習模式下，學生的求知欲被激活，思維活躍的他們將遵循認知的遞進規(guī)律，逐步深入探索知識的本質(zhì)內(nèi)涵，形成嚴謹、求實的科學態(tài)度，建構(gòu)、重塑自己的核心知識體系。

深度學習不僅要體現(xiàn)在課堂的新課教學中，也要貫徹落實在習題的教學中。物理新課教學中，教師往往更關(guān)注學生對概念的理解和基本原理、規(guī)律的掌握。然而，受限于教學時間的緊湊和新知識難度的遞增，課堂教學很難系統(tǒng)性地深入展開，而習題教學則恰好彌補了這一不足，因為對于某個知識點，想知道學生是否真正理解，只有通過他們在具體問題中的應用來加以檢驗。通過找出學生在解題過程中犯的錯誤，教師可以引導他們識別原有理解中的誤區(qū)，再適當進行拓展，觸發(fā)學生的深度思考，揭示問題的本質(zhì)內(nèi)涵。這樣有助于學生真正做到對概念和原理的深層理解。本文以“萬有引力與宇宙航行”的習題教學為例，探索如何在習題教學中促進學生的深度學習。

2"變軌問題

例題"如圖所示，衛(wèi)星在P點由橢圓軌道2變軌到靠近火星的圓形軌道1（可認為半徑等于火星半徑R）。已知橢圓軌道2上的遠火點Q到火星表面高度為6R，火星表面重力加速度為g，引力常量為G，下列說法錯誤的是（""）。

A. 火星的平均密度為3g4πGR

B. 衛(wèi)星在軌道2上由Q點運動到P點所用時間為16πRg

C. 衛(wèi)星在軌道2上運動到Q點時的速度小于gR7

D. 衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點時的加速度等于在軌道1上經(jīng)過P點時的加速度

選項C易錯點分析：以火星球心到Q點距離7R為半徑，作圓形軌道3，由環(huán)繞速度可知衛(wèi)星在軌道3上的速度大小為gR7，從軌道3變軌到軌道2，衛(wèi)星需要減速，所以衛(wèi)星在軌道2上Q點的速度小于gR7。學生往往對環(huán)繞速度GMr理解不夠深刻，以為Q點到火星球心的距離為7R，結(jié)合GM＝gR2求得速度等于gR7，這屬于淺層的記憶結(jié)論。深度學習要求學生知其然，還要知其所以然，即學生需要了解結(jié)論的推理演繹過程，從而準確把握它的適用條件。環(huán)繞速度是指，當一個質(zhì)量為m的天體在只受質(zhì)量為M的中心天體的萬有引力作用下，圍繞該中心天體做半徑為r的勻速圓周運動時，所具有的線速度。由萬有引力提供向心力有GMmr2＝mv2r，可得v＝GMr。而本題涉及的是橢圓軌道，因此上述關(guān)于勻速圓周運動的環(huán)繞速度結(jié)論并不適用。

在找出原因后，深度學習模式鼓勵學生在學習過程中勤于總結(jié)與反思，以鞏固學習成果。教師引導學生去思考：這個結(jié)論在我們常見的哪些情形中是不適用的？經(jīng)過師生共同討論，得出了高中階段常見的三種不適用情形。一是，軌跡為橢圓的系統(tǒng)；二是，軌跡為圓但中心天體也在動的系統(tǒng)，比如雙星系統(tǒng)就不適用；三是，雖然中心天體不動，軌跡也是圓，但存在不只一個萬有引力的系統(tǒng)，比如拉格朗日點問題。通過梳理和回顧，概念在學生腦海中得以對比和鞏固。

深度拓展：學生的思維還可以再深入一些，比如讓學生思考衛(wèi)星在軌道2上Q點的速度有定值嗎？在“萬有引力與宇宙航行”這章的學習中，圓周運動的線速度大小是能定量計算的，但對于橢圓運動受限于高中數(shù)學知識，其線速度大小很多時候都是定性描述的。此時教師可以進行補充，以幫助學生更深入地理解這兩種運動在線速度計算上的不同之處。橢圓的標準方程示意圖如圖1所示，由橢圓的標準方程x2a2＋y2b2＝1，根據(jù)曲率半徑的公式ρ＝（1＋y′2）32｜y″｜，可求出橢圓長軸端點處的曲率半徑為ρ＝b2a。［2］由題意知半長軸a＝6R＋2R2＝4R，焦距c＝a－R＝3R，半短軸b＝a2－c2＝7R，在Q點有動力學方程GMmr2＝mv2ρ，代入r＝7R和ρ＝b2a＝74R，可得衛(wèi)星在軌道2上Q點的速度大小v＝GMρr2＝GM28R＜GM7R。

在圓周運動中的曲率半徑概念已在數(shù)學教材中有所提及，平時習題中也會經(jīng)常遇到。介紹橢圓特殊點的曲率半徑表達式，可以幫助學生在解決變軌問題時，實現(xiàn)從定性分析向定量分析的轉(zhuǎn)變，從而更深入地理解物理現(xiàn)象的本質(zhì)。對于例1中選項D，教師要引導學生通過牛頓第二定律去分析，指出不管在哪個軌道上，只要是同一點，所受火星引力的大小便是相等的，故加速度的大小也是相等的。學生可能出現(xiàn)的疑惑在于，如果根據(jù)運動學公式a＝v2r分析，衛(wèi)星在軌道2上P點的速度大小大于其在軌道1上P點的速度大小，為什么不是衛(wèi)星在軌道2上P點的加速度大呢？有了橢圓的曲率半徑后，就可以定量比較。衛(wèi)星在軌道1的線速度v1＝GMR，故在P點的加速度a1P＝v21R＝GMR2，衛(wèi)星在橢圓軌道上運動時的機械能E僅與橢圓軌道的半長軸a相關(guān)，即E＝－GMm2a。［3］可由機械能守恒12mv22P－GMmR＝－GMm2a，解出衛(wèi)星在軌道2上P點的線速度v2P＝2GM1R－12a＝7GM4R，代入可得a2P＝v22Pρ＝GMR2，所以a1P＝a2P。

3"地球上的物體和近地衛(wèi)星

例題"如圖所示，a為地球赤道上的物體，隨地球表面一起轉(zhuǎn)動，b為近地軌道衛(wèi)星（軌道半徑可認為等于地球半徑），c為同步軌道衛(wèi)星，d為高空探測衛(wèi)星。若a、b、c、d繞地球轉(zhuǎn)動的方向相同，且均可視為勻速圓周運動。則（""）。

A. a、b、c、d中，a的加速度最大

B. a、b、c、d中，a的線速度最大

C. a、b、c、d中，d的周期最大

D. a、b、c、d中，d的角速度最大

易錯點1

混淆地球上物體和近地衛(wèi)星。這兩個物體都在做軌道半徑等于地球半徑R的勻速圓周運動，a為地上物體，b為天上物體，但它們所需的向心力差別很大，所以兩者在運動學上的差別極為懸殊。地球上物體做圓周運動的動力學方程為GMmaR2－mag赤＝maaa，可得aa＝GMR2－g赤；而對于近地衛(wèi)星，有GMmbR2＝mbab，可得ab＝GMR2，可知aa＜ab。b、c、d可以用衛(wèi)星環(huán)繞規(guī)律，通過比較半徑大小得出b的加速度最大。其他物理量同理可知，線速度、角速度b最大，周期d最大。當然，我們還可以將a、c角速度相同作為解題切入點，即用相應的運動學公式先比較a、c的相關(guān)物理量，再與b、d的相關(guān)物理量比較。地球上的物體，其向心力只是由萬有引力的一個分力來提供，因此不能根據(jù)軌道半徑大小，比較a與b、c、d的線速度等物理量。

深度拓展：上面的分析是基于表達式得出的結(jié)果。對于各物理量大小的比較，我們還可以通過計算出具體的數(shù)值讓學生去直觀感受。為方便計算，取地球半徑R＝6371km，地球質(zhì)量M＝5.965×1024kg，自轉(zhuǎn)周期T＝24h，引力重量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球上物體的向心加速度aa＝2πT2R≈0.0337m/s2，線速度va＝2πRT≈463m/s，而近地衛(wèi)星加速度ab＝GMR2≈9.802m/s2，線速度vb＝GMR≈7.9×103m/s，周期Tb＝2πR3GM≈1.4h，由此可以更直觀地比較a、b的運動差異。

易錯點2

開普勒第三定律適用條件不清楚。b、c、d軌道的運動都遵循開普勒第三定律，地球上物體看起來也在做以地球為中心的圓周運動，這個定律也適用嗎？對于衛(wèi)星軌道有GMmr2＝m2πT2r，可得r3T2＝GM4π2，r3T2只與中心天體質(zhì)量相關(guān)，而對于地球上的物體則有GMmR2－mg赤＝m2πT2R，R3T2＝GM－g赤R24π2，可見地球上物體的運動并不遵循開普勒第三定律。

深度拓展：在變軌問題中，有時候會有橢圓軌道的周期計算，在高中知識范圍內(nèi)，我們還無法列出動力學方程求解，因此只能去找另一條圓軌道，用開普勒第三定律進行求解。學生從上述的圓軌道可以自行推導出結(jié)論，但受限于數(shù)學知識，無法理解橢圓軌道為何也遵循開普勒第三定律。對此我們可以做如下推導，由開普勒第二定律可知，橢圓軌道上各處衛(wèi)星在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等（見圖2），我們選長軸左端點A求解，取極短時間dt，陰影部分面積dS＝12rAdl，橢圓面積速度dSdt＝12rAdldt＝12rAvA，其中rA為A點到左焦點的距離，A點的曲率半徑ρA＝b2a，對A點列動力學方程有GMmr2A＝mv2AρA，聯(lián)立解得dSdt＝12GMρA＝b2GMa。橢圓面積S＝πab，故橢圓周期T＝

SdtdS＝2πa3GM，得出a3T2＝GM4π2，因此同一中心天體的橢圓軌道和圓軌道都遵循開普勒第三定律。橢圓曲率半徑和衛(wèi)星運動的機械能是輔助補充內(nèi)容，學生了解即可，此時不需深究，也不妨礙學生對整體內(nèi)容的理解。經(jīng)過嚴格的推理過程，學生能夠了解其來龍去脈，不再只是機械地記憶，而是從根本上理解這些概念。

4"結(jié)束語

習題教學是新課教學的延續(xù)，是反饋學習成果的有效方式。時下，學生仍存在只注重刷題數(shù)量，而不看重刷題質(zhì)量的現(xiàn)象，這樣耗費了大量時間，換來的卻是更多迷惑。立足于深度學習的習題教學，不僅僅是解答習題自身的知識點，更重要的是在學習中培養(yǎng)學生的思維能力和探索精神，幫助他們從繁重的作業(yè)負擔中解脫出來，用正確的方式進行高效學習。這種教學旨在使學生從學習知識過渡到能夠處理其他多種問題，形成伴隨終身學習的必備素養(yǎng)，這也是教育的根本任務(wù)。

參考文獻

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［3］程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程.力學篇（第2版）［M］.合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，2013：310.

基金項目：本文系安徽省教育科學研究項目2019年度立項課題“基于核心素養(yǎng)的高中物理深度學習的實踐研究”（課題編號：JK19088）的研究成果。