【課例主題】

“師之蘊(yùn)臨港世外數(shù)學(xué)教師主題研修工作室”持續(xù)落實(shí)“數(shù)學(xué)課標(biāo)植根課堂的課例研修”主題，本課例以“行程問(wèn)題”的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，探索數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂的有效方法。

【文本解讀】

1. 課標(biāo)銜接

方程在初等數(shù)學(xué)中占有較大比重，方程教學(xué)不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要組成部分，更是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和解決問(wèn)題能力的重要途徑。列方程解應(yīng)用題不但在培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力方面起到相當(dāng)大的作用，而且還是解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。課標(biāo)要求學(xué)生能解一元一次方程，能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義，能針對(duì)具體問(wèn)題列出方程。在具體情境中，認(rèn)識(shí)常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系：路程=速度×?xí)r間，能利用這些關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，能在較復(fù)雜的真實(shí)情境中，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

2. 單元素養(yǎng)

方程的建立與解法是鍛煉學(xué)生邏輯思維能力的重要途徑。數(shù)學(xué)中的方程，如同現(xiàn)實(shí)世界中的邏輯鏈條，每一步的推導(dǎo)都需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬛?。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生理解方程背后的數(shù)學(xué)邏輯，鼓勵(lì)他們自主建立方程并探索其解法，旨在培養(yǎng)學(xué)生的思維條理性和嚴(yán)密性。這樣的過(guò)程能夠讓學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，保持清晰的頭腦，有序地分析問(wèn)題，提出合理的解決方案。方程單元教學(xué)也是提高學(xué)生計(jì)算能力的重要手段。在實(shí)際解題過(guò)程中，學(xué)生需要運(yùn)用加減乘除、乘方開(kāi)方等基礎(chǔ)運(yùn)算技能，以及代數(shù)式的變形、方程的求解等高級(jí)運(yùn)算技巧。通過(guò)大量的練習(xí)和實(shí)踐，學(xué)生能夠逐漸提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確性，為將來(lái)的學(xué)習(xí)和生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)不僅僅是一門學(xué)科，更是一種工具，一種能夠解決實(shí)際問(wèn)題的工具。在方程單元的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題。例如，在解決商品打折、利潤(rùn)計(jì)算等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)建立方程來(lái)找出問(wèn)題的答案，從而感受到數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值。

3. 教材解讀

“一次方程（組）和一次不等式（組）”這一教學(xué)單元，教材不僅教授了方程和不等式的解法，更重要的是，它蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化和類比的思想。這種思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要，它能夠幫助學(xué)生化繁為簡(jiǎn)，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題。類比思想也是這一單元的重要教學(xué)點(diǎn)。通過(guò)類比一次方程和一次不等式的解法，教師可以幫助學(xué)生更好地理解兩者的聯(lián)系和區(qū)別，提高解題的靈活性和準(zhǔn)確性。教師不僅要讓學(xué)生掌握方程和不等式的解法，更要讓他們理解其中的數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師需要注重方程的應(yīng)用，通過(guò)引入一些實(shí)際問(wèn)題的例子，讓學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，從而更好地理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。方程和不等式相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，如購(gòu)物問(wèn)題、行程問(wèn)題等，這些問(wèn)題往往涉及多個(gè)變量和條件，需要學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的方程和不等式知識(shí)來(lái)求解。通過(guò)解決這些問(wèn)題，學(xué)生不僅能夠鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，更能夠鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維和問(wèn)題解決能力。

【學(xué)情分析】

本課授課對(duì)象是六年級(jí)2A班的學(xué)生，他們的思維活躍，但依賴性強(qiáng)，抽象概括能力相對(duì)較弱。本節(jié)課是對(duì)一元一次方程的應(yīng)用進(jìn)行的一次專題性的復(fù)習(xí)課，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了一元一次方程及其解法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。班級(jí)大部分學(xué)生對(duì)方程的基本概念和運(yùn)用較為熟悉，但在實(shí)際的計(jì)算中仍然存在部分問(wèn)題。本節(jié)課旨在引導(dǎo)學(xué)生從行程問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，建立方程并求解方程。教師以速度、時(shí)間及路程三者的關(guān)系為主線，從直線上的相遇和追及兩種情形進(jìn)行教學(xué)，通過(guò)學(xué)生思考、師生交流梳理行程問(wèn)題的解題方法和步驟，充分給予學(xué)生反應(yīng)以及自我生成整理的時(shí)間。在梳理方法的同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，滲透方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【課時(shí)目標(biāo)】

1. 理解和掌握行程問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)條件找準(zhǔn)等量關(guān)系;2. 根據(jù)條件畫出線段圖并列出方程，解決實(shí)際問(wèn)題;3. 在自主學(xué)習(xí)的過(guò)程中，經(jīng)歷行程問(wèn)題的解答過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，體會(huì)方程思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力。

【課堂環(huán)節(jié)】

一、課前練習(xí)

1. 甲車的速度是每小時(shí)75千米，經(jīng)過(guò)x小時(shí)行駛了____千米。2. 乙車3小時(shí)走了x千米，他的速度是千米/小時(shí)。3. 某一段路程x千米，如果乙車以45千米/小時(shí)的速度行駛，那么乙車行駛?cè)绦枰猒___小時(shí)。

復(fù)習(xí)：①行程問(wèn)題中的三個(gè)基本量;②路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系;③三個(gè)量知二求一。

二、新知講授

思考：1. 甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，兩車會(huì)相遇嗎？請(qǐng)畫出線段圖。

2. 如果兩車相遇，則相遇時(shí)兩車所走的路程與A、B兩地的距離有什么關(guān)系？

例題1：甲、乙兩車分別?？吭谙嗑?40千米的A、B兩地，甲車每小時(shí)行50千米，乙車每小時(shí)行30千米。若兩車同時(shí)相向而行，請(qǐng)問(wèn)乙車行了多長(zhǎng)時(shí)間后與甲車相遇？

變式：甲、乙兩車分別?？吭谙嗑?40千米的A、B兩地，甲車每小時(shí)行50千米，乙車每小時(shí)行30千米。若甲車先行1.6小時(shí)，兩車相向而行，請(qǐng)問(wèn)乙車行了多長(zhǎng)時(shí)間后與甲車相遇？

題后小結(jié)：相遇問(wèn)題的兩種情況：①同時(shí)出發(fā)的相向而行;②一方先行，不同時(shí)出發(fā)的相向而行。

思考：3. 甲、乙兩車同一地點(diǎn)同向而行，乙車先出發(fā)a小時(shí)甲車再出發(fā)，在什么情況下兩車能相遇？4.如果甲車能追上乙車，你能畫出線段圖嗎？

例題2：甲、乙從同一點(diǎn)出發(fā)，同向而行，甲每小時(shí)走3km，乙每小時(shí)走2km，乙先出發(fā)3小時(shí)，甲再出發(fā)追趕乙，問(wèn)甲要多久才能追上乙？

變式1：A、B兩地相距4km，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)同向出發(fā)去往C地（B地離C地更近），甲每小時(shí)走3km，乙每小時(shí)走2km，問(wèn)甲要多久才能追上乙？

變式2：已知A、B兩地相距240km，甲、乙兩人分別從A、B兩地出發(fā)，甲的速度為40km/h，乙的速度為20km/h。（1）若甲乙同時(shí)相向行駛，幾小時(shí)后兩人相距60km？（2）若甲乙同時(shí)同向行駛（甲在乙后），幾小時(shí)后兩人相距60km？

題后小結(jié)：追及問(wèn)題的兩種情況：①同時(shí)不同地;②同地不同時(shí)。

說(shuō)明：這一環(huán)節(jié)是為教學(xué)目標(biāo)2、3服務(wù)。

三、當(dāng)堂檢測(cè)

練習(xí)：甲、乙兩車分別從相距120km的 兩地出發(fā)，甲車速度為70km/h，乙車速度為50km/h。（1）兩車同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)____小時(shí)兩車相遇。（2）兩車同時(shí)出發(fā)，同向而行（乙車在前甲車在后），經(jīng)過(guò)____小時(shí)甲車追上乙車。（3）兩車同時(shí)出發(fā)，相向而行，多長(zhǎng)時(shí)間后兩車相距60km？

四、課堂小結(jié)

1. 列方程解應(yīng)用題的一般步驟。2. 行程問(wèn)題的三個(gè)基本量。3. 行程問(wèn)題的兩種題型。4. 行程問(wèn)題的分析方法。

五、作業(yè)布置

1. 梳理學(xué)習(xí)單。2. 完成課后作業(yè)單。

六、板書設(shè)計(jì)

七、課后作業(yè)單

1. 請(qǐng)列方程完成以下題目：以下是兩張不同類型（“Dxxx次”表示動(dòng)車，“Gxxx次”表示高鐵）的車票：（1）根據(jù)車票中的信息填空：該列動(dòng)車和高鐵是______（填“相”或“同”）向而行，該列動(dòng)車比高鐵發(fā)車______（填“早”或“晚”）。（2）已知該列動(dòng)車和高鐵的平均速度分別為200km/h、300km/h，兩列列車的長(zhǎng)度不計(jì)，高鐵比動(dòng)車早到1h，求A，B兩地之間的距離。

2. 甲、乙兩地相距72km，一輛工程車和一輛灑水車上午6時(shí)同時(shí)從甲地出發(fā)，分別以v1km/h、v2km/h的速度勻速駛往乙地。工程車到達(dá)乙地后停留了2h，沿原路以原速返回，中午12時(shí)到達(dá)甲地，此時(shí)灑水車也恰好到達(dá)乙地。（1）v1=______，v2=______;（2）出發(fā)______小時(shí)后，兩車相遇？（3）求出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后，兩車相距30km？（列方程解）

3. 問(wèn)題情境：在高鐵站上車的小明發(fā)現(xiàn)：坐在勻速行駛動(dòng)車上經(jīng)過(guò)一座大橋時(shí)，他從剛上橋到離橋共需要150秒;而從動(dòng)車車尾上橋開(kāi)始到車頭離橋結(jié)束，整列動(dòng)車完全在橋上的時(shí)間是148秒。已知該列動(dòng)車長(zhǎng)為120米，求動(dòng)車經(jīng)過(guò)的這座大橋的長(zhǎng)度。

合作探究：

（1）請(qǐng)補(bǔ)全下列探究過(guò)程：小明的思路是設(shè)這座大橋的長(zhǎng)度為x米，則車頭上橋開(kāi)始到車尾離橋的長(zhǎng)度為（x+120）米，所以動(dòng)車的平均速度可表示為_(kāi)___米/秒;從動(dòng)車車尾上橋開(kāi)始到車頭離橋結(jié)束的路程為（x-120）米，所以動(dòng)車的平均速度還可以表示為_(kāi)___米/秒。再根據(jù)火車的平均速度不變，可列方程____________。

（2）小穎認(rèn)為：也可以設(shè)動(dòng)車的平均速度為v米/秒，列出方程解決問(wèn)題。請(qǐng)你按照小穎的思路求動(dòng)車經(jīng)過(guò)的這座大橋的長(zhǎng)度。

【執(zhí)教反思】

本節(jié)課旨在探索數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂的有效路徑與方法。在教授本課之前，教師對(duì)教案經(jīng)過(guò)反復(fù)設(shè)計(jì)與修改。在正式教學(xué)中，通過(guò)課堂實(shí)踐，對(duì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂的教學(xué)有了更多的領(lǐng)悟，對(duì)如何在復(fù)習(xí)課堂中落實(shí)教學(xué)目標(biāo)也有了新的認(rèn)識(shí)。

一、列表和畫線段圖解題是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂教學(xué)精彩所在

本課例主要探索“數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)課堂”的教學(xué)方法，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂上，畫線段圖與列表分析等量關(guān)系這兩種解題技巧尤為關(guān)鍵，它們不僅能夠幫助學(xué)生理清各個(gè)關(guān)鍵量之間的關(guān)系，為設(shè)出未知數(shù)并列出方程提供有力的支持。

在解決行程問(wèn)題的課堂上，本課充分發(fā)揮了列表與畫線段圖的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的關(guān)鍵信息，學(xué)生能夠準(zhǔn)確地列出表格并畫出線段圖，繼而求解行程問(wèn)題。

二、靈活學(xué)與教，促進(jìn)師生課堂更加有效互動(dòng)

在本課教學(xué)中，雖然教師一直堅(jiān)持教學(xué)生如何思考、如何分析問(wèn)題、如何解題，但在授課中過(guò)于依賴講解和自我演示，引導(dǎo)較多，導(dǎo)致學(xué)生只能按教師框定的方式去思考問(wèn)題。這種教學(xué)方式雖然能夠幫助學(xué)生掌握一定的解題方法與策略，卻限制了學(xué)生的思維發(fā)展，少數(shù)學(xué)生并不能正確畫出線段圖從而找到各個(gè)量之間的關(guān)系，也無(wú)法激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。在以后授課過(guò)程中，教師應(yīng)更加注重學(xué)生的主體地位，鼓勵(lì)學(xué)生自主思考，自主探究。當(dāng)學(xué)生在分析問(wèn)題的過(guò)程中遇到困難時(shí)，應(yīng)及時(shí)給予指導(dǎo)，幫助學(xué)生找到問(wèn)題的癥結(jié)所在，避免學(xué)生因挫敗感而失去學(xué)習(xí)動(dòng)力。

三、例題的難度適當(dāng)加深會(huì)更加符合復(fù)習(xí)課的要求

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，例題難度的適當(dāng)提高符合復(fù)習(xí)課要求的策略深化。復(fù)習(xí)課不是對(duì)已學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是要在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上適當(dāng)提高和拓展。本節(jié)課教學(xué)過(guò)程中的例題過(guò)于側(cè)重基本知識(shí)與方法的復(fù)習(xí)，而忽略了復(fù)習(xí)課的適當(dāng)提高，沒(méi)有給予學(xué)生足夠的探索空間，作為復(fù)習(xí)課型可以在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)加入有思維量的題型，通過(guò)解答這些有思維量的題型，幫助學(xué)生更好地鞏固已學(xué)知識(shí)，拓展自己的思維能力和創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生的探索欲和求知欲。

總之，行程問(wèn)題作為一元一次方程學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)重要應(yīng)用場(chǎng)景，其重要性不言而喻。這一領(lǐng)域的問(wèn)題，不僅考查學(xué)生對(duì)一元一次方程知識(shí)的掌握程度，更檢驗(yàn)他們?nèi)绾螌⒗碚撝R(shí)應(yīng)用于實(shí)際情境，以及如何通過(guò)邏輯思維和數(shù)學(xué)工具解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。在數(shù)學(xué)教育中，教師應(yīng)該充分重視行程問(wèn)題的教學(xué)，并通過(guò)多種方式幫助學(xué)生掌握其解決方法和思維過(guò)程。

（責(zé)任編輯：淳 潔）