在現(xiàn)代科技不斷進步的背景下，信息技術(shù)成了高中數(shù)學(xué)教學(xué)主要應(yīng)用的輔助手段，基于GeoGebra的數(shù)學(xué)教學(xué)模式應(yīng)運而生。與此同時，高中數(shù)學(xué)教育方法不斷改革，以往灌輸式的教學(xué)模式逐漸被探究式教學(xué)取代，旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究意識與能力，助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。將GeoGebra與探究式教學(xué)模式相融合，有望發(fā)揮兩者的優(yōu)勢，打造高效的數(shù)學(xué)課堂。因此，分析基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)策略具有非常突出的現(xiàn)實意義。

一、GeoGebra在高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)中的實踐意義

（一）激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

GeoGebra是一款具備基礎(chǔ)幾何、代數(shù)功能，同時還蘊含著在線微積分處理、概率統(tǒng)計、數(shù)據(jù)表計算等功能的動態(tài)數(shù)學(xué)作圖軟件。將GeoGebra應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)中，可以借助作圖功能，直觀展現(xiàn)目標(biāo)圖形，整體操作簡單，繪圖工具豐富，可以激發(fā)學(xué)生的操作興趣。同時，GeoGebra特有的動態(tài)演示功能，可以將數(shù)學(xué)探究成果轉(zhuǎn)化為動態(tài)圖形，刺激學(xué)生的感官，吸引學(xué)生積極參與探究過程。

（二）提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果

高中數(shù)學(xué)知識數(shù)量、難度進一步增加，眾多抽象知識的編排，對師生提出了較大的挑戰(zhàn)，也阻礙著學(xué)生探究過程的順利開展。利用GeoGebra，可以直觀展示圓錐曲線的抽象內(nèi)容，完美整合數(shù)與形，并精準(zhǔn)描繪、動態(tài)展現(xiàn)幾何圖形的生成過程，同步展示圖形對應(yīng)的解析式，促使圖形變化的過程清晰明了，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度、教師的講解難度，提升數(shù)學(xué)課堂探究式教學(xué)效果。

（三）促進學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)提升

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)課堂探究式教學(xué)的主要任務(wù)，涉及了理性思維、實踐能力、科學(xué)精神、創(chuàng)新意識、思維能力等幾個維度。將GeoGebra應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)過程，可以輕松完成圖形的多種變換、數(shù)形的完美結(jié)合，加深學(xué)生對概念的理解，提升學(xué)生思維的深刻性、廣闊性與敏捷性。同時，GeoGebra可以對比展示內(nèi)容，靈活變換已有條件，便于學(xué)生探索問題的多種解法，提升學(xué)生思維的靈活性、批判性，為學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)提升提供依據(jù)。

二、基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)實踐原則

（一）學(xué)生主體原則

學(xué)生是高中數(shù)學(xué)課堂探究式教學(xué)的主體，在基于GeoGebra的探究式教學(xué)全程，教師應(yīng)貫徹學(xué)生主體原則，為學(xué)生提供自主探究的空間，允許學(xué)生在課堂上探究新知識、思考疑難問題、交流階段成果、動手驗證結(jié)果。具體到GeoGebra應(yīng)用中，教師負責(zé)制作課件，學(xué)生需要思考GeoGebra作圖或運算過程，追溯涉及的數(shù)學(xué)思想，在思考探究中持續(xù)加深對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解。

（二）課時均衡原則

課時均衡原則是GeoGebra優(yōu)勢在高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)實踐中充分發(fā)揮的關(guān)鍵原則。在課時均衡原則指導(dǎo)下，教師應(yīng)當(dāng)協(xié)調(diào)效率、效果、效益，利用GeoGebra有效代替粉筆、黑板，但不能全部取代粉筆黑板。在課堂上，教師可以利用GeoGebra作圖，簡化講解步驟，縮短黑板作圖課時，但應(yīng)避免過于追求動畫逼真效果而將大量課時耗費在作圖上，確保課堂進度。

（三）因材施教原則

在高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)中，不同學(xué)生探究意識與能力存在一定的差異，對GeoGebra的掌握水平也具有一些區(qū)別。基于此，教師應(yīng)貫徹因材施教原則，綜合考慮不同學(xué)生數(shù)學(xué)探究意識、能力，以及對GeoGebra認(rèn)識差異，針對同一個知識點進行調(diào)整。在實踐中，對于探究意識與能力較強的學(xué)生，選擇先講解思路后利用GeoGebra直接展示圖形的形式；而對于探究意識與能力較弱的學(xué)生，則選擇利用GeoGebra逐步展示知識形成過程的方式，降低學(xué)生理解的難度。

三、基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)實踐策略

（一）選擇探究內(nèi)容

在基于GeoGebra的數(shù)學(xué)探究式教學(xué)中，探究內(nèi)容的選擇至關(guān)重要。在內(nèi)容選擇前，教師應(yīng)分析現(xiàn)有內(nèi)容、目標(biāo)，結(jié)合學(xué)生實際情況，確定最適宜探究內(nèi)容。根據(jù)所選擇的數(shù)學(xué)探究內(nèi)容，教師可以回顧GeoGebra技術(shù)特點，嘗試設(shè)計制作GeoGebra數(shù)學(xué)探究課件。

蘇教版普通高中數(shù)學(xué)教科書在信息技術(shù)引用模塊進行了調(diào)整，淡化了算法應(yīng)用，突出了數(shù)學(xué)探究，不同信息水平自主發(fā)揮空間更大，為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科探究式教學(xué)融合提供了充足載體。以蘇教版數(shù)學(xué)選修1-1“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，課程為學(xué)生接觸圓錐曲線的初始環(huán)節(jié)，主要內(nèi)容為橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，均為概念性知識，學(xué)生對橢圓幾何性質(zhì)的掌握情況，直接影響到后續(xù)雙曲線、拋物線的學(xué)習(xí)。從學(xué)生現(xiàn)狀來看，多數(shù)學(xué)生初步認(rèn)識了解析幾何，可以借助坐標(biāo)系分析幾何圖形，但無法利用數(shù)學(xué)語言精準(zhǔn)描述橢圓概念，也缺乏橢圓方程探究技能?；诖?，教師可以將“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”作為探究內(nèi)容，利用GeoGebra演示圓錐曲線的來歷，并直觀展示橢圓的形成過程。同時，教師可利用GeoGebra動態(tài)演示功能制作課件，可視化表現(xiàn)橢圓焦點位置的判斷過程，為基于GeoGebra的數(shù)學(xué)探究式教學(xué)過程提供充足支持。

（二）創(chuàng)設(shè)探究情境

恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)探究情境，可以在激發(fā)高中生探究興趣的同時，縮短學(xué)生進入探究的時間。圓錐是GeoGebra自帶的作圖工具，利用GeoGebra可以簡單做出自由控制的圓錐平面圖。基于此，在蘇教版數(shù)學(xué)選修1-1“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”探究情境創(chuàng)設(shè)時，教師可以利用GeoGebra展示橢圓軌跡，即在GeoGebra中，取兩個定點F1、F2，以F1為中心作圓，在圓上任意取一點N，連接線段NF2，做線段NF2的中垂線與NF1相交于點M，將學(xué)生的視線引入點M的軌跡以及軌跡形成過程幾何特征上。為了幫助學(xué)生直觀感受圓錐曲線，教師可以先創(chuàng)設(shè)2個滑動條，控制平面在x軸、z軸方向移動，再以原點為中心，以z軸為軸線，做一個半頂角一定的圓錐面，并展現(xiàn)平面與圓錐面相交軸線。隨后教師可以定義一點，過點做平行于y軸的直線，輸入直線坐標(biāo)和另外一點，做以直線為軸且經(jīng)過另外一點的圓，為平面創(chuàng)設(shè)一個圓的旋轉(zhuǎn)軌跡。在這個基礎(chǔ)上，教師可以利用GeoGebra右擊屬性，修改控制截面與圓錐面軸夾角為0°～90°，做另外一點繞直線旋轉(zhuǎn)的對稱點。在為平面設(shè)置旋轉(zhuǎn)角后，教師可以由對稱點和直線確定動平面，最終利用GeoGebra“相交曲線”命令顯示圓錐、截面相交的圓錐曲線。在展示橢圓軌跡的同時，教師可以關(guān)聯(lián)行星繞太陽運動軌跡、國家大劇院、雞蛋等圖形，使學(xué)生認(rèn)識到現(xiàn)實生活中橢圓的應(yīng)用，引出探究主題“橢圓”。

（三）提出探究問題

探究問題是基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)的核心。教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、提出探究問題，初步激發(fā)學(xué)生探究意識、探究能力。在問題提出環(huán)節(jié)，教師應(yīng)提前了解學(xué)生已有知識儲備，提出學(xué)生根據(jù)已有知識無法解決的挑戰(zhàn)性問題，以引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生質(zhì)疑意識，促使更多學(xué)生自主參與到后期探究活動中。例如，在蘇教版數(shù)學(xué)選修1-1“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”中，鑒于多數(shù)高中生已學(xué)習(xí)了“離心率大于0且小于1的圓錐曲線是橢圓，離心率大于1的圓錐曲線是雙曲線”等知識，教師可以“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”為立足點，提出“如何得到一個拋物線的圖形，并求解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程”的問題，教師可以利用GeoGebra創(chuàng)設(shè)拋物線圖形，并插入數(shù)學(xué)對象的名稱、數(shù)值、定義，便于學(xué)生直觀獲知問題信息。

面對上述問題，多數(shù)學(xué)生可以直接聯(lián)想到拋物線是離心率等于1的圓錐曲線，但無法精準(zhǔn)獲得拋物線圖形及其標(biāo)準(zhǔn)方程。由此，學(xué)生可以認(rèn)識到自身知識盲區(qū)，產(chǎn)生探究欲望。對于部分問題意識較為薄弱的學(xué)生，教師應(yīng)遵循高中數(shù)學(xué)問題探究邏輯，利用否定屬性的策略，適當(dāng)變更原有問題條件，為學(xué)生的問題發(fā)現(xiàn)意識、提出能力的發(fā)展提供更多條件。例如，在圓錐曲線中，教師可以利用GeoGebra將“兩定點距離之和（或之差）”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟啥c距離之積（或之商）”，或者將“到兩定點F1、F2距離之和的絕對值為定值，但絕對值小于|F1F 2|”將肯定轉(zhuǎn)變?yōu)榉穸?，引?dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、提出問題，為學(xué)生問題意識的增強提供依據(jù)。

（四）實施探究活動

探究活動的實施是基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)關(guān)鍵步驟，教師可以貫徹學(xué)生主體原則，選擇學(xué)生自主探究或合作探究方式。作為數(shù)學(xué)探究式教學(xué)最核心部分，探究活動主要以任務(wù)為載體，教師負責(zé)下發(fā)學(xué)生自主探究任務(wù)，學(xué)生負責(zé)根據(jù)任務(wù)內(nèi)容展開探究，在學(xué)生探究期間教師應(yīng)注重巡視指導(dǎo)。例如，在圓錐曲線探究活動中，教師可以借助前期GeoGebra內(nèi)制作的圓錐及截面，分別設(shè)計截面與圓錐面軸之間夾角為0°的截線、截面與圓錐面軸之間夾角為90°的截線、截面與圓錐面軸之間夾角為0°～90°時的截線探究任務(wù)。在截面、圓錐面軸之間夾角為0°～90°時，截線截得的圓錐曲線形式具有一定差異，教師可以在展示截面、圓錐面軸之間夾角為0°～90°內(nèi)截面的不同情況（見圖1）基礎(chǔ)上，要求學(xué)生探索相應(yīng)情況對應(yīng)的參數(shù)。

（五）交流探究成果

在階段探究成果獲得后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前期探究經(jīng)驗進行成果交流。探究成果交流主體不僅限于學(xué)生，還包括師生交流。教師應(yīng)恰當(dāng)利用師生對話方式，積極組織對話活動，與學(xué)生展開平等信息交流，有意激發(fā)學(xué)生探究成果表達意識，并引導(dǎo)更多學(xué)生參與到課堂交流中。例如，教師可以就“如何探究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”與學(xué)生進行交流，引導(dǎo)學(xué)生從“建立坐標(biāo)系”著手，發(fā)表個人或小組探究成果，如根據(jù)橢圓對稱性以焦點所在直線為x軸、焦點連線中垂線為y軸，或者以焦點連線中垂線為x軸、焦點所在垂線為y軸。在學(xué)生個體或小組發(fā)表看法后，教師應(yīng)及時給予肯定意見，恰當(dāng)利用激勵性語言，培養(yǎng)學(xué)生的探究自信。

（六）延伸探究空間

在課內(nèi)探究基礎(chǔ)上，教師可以利用GeoGebra將探究內(nèi)容延伸到課外，激發(fā)學(xué)生立足生活場景探究數(shù)學(xué)知識的熱情。例如，教師可以利用GeoGebra呈現(xiàn)一個“平面截圓錐面”模型，預(yù)留“點光源照射球面”時地面影子的各種情況探究任務(wù)，即：“一個點光源照射一個地面上的籃球，籃球半徑為r，地面上的籃球影子可能是什么圖形？”在基于現(xiàn)實生活背景的課后探究任務(wù)布置的基礎(chǔ)上，教師可以根據(jù)課上學(xué)習(xí)內(nèi)容，發(fā)揮GeoGebra優(yōu)勢，對相關(guān)內(nèi)容進行適當(dāng)變形，提高解題難度，進一步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究問題的能力。例如，課上問題是：動圓M過定圓O內(nèi)一點N，且與圓O內(nèi)切，探求動圓圓心M的軌跡。課下探究可在探究內(nèi)容一定情況下，適當(dāng)變更題設(shè)條件，如動圓M過定圓O外一點N，且與圓O外切。

課后延伸探究任務(wù)提出后，教師可以要求學(xué)生利用課下時間查閱資料，并經(jīng)歷GeoGebra作圖過程，借助視圖中GeoGebra“查看作圖過程”功能，自主開展情況模擬、數(shù)據(jù)收集、合作探究等活動，點燃學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)探究的興趣。

綜上所述，借助高中數(shù)學(xué)實踐活動開展契機，將GeoGebra這一動態(tài)教學(xué)軟件應(yīng)用到探究式教學(xué)中，有利于學(xué)生在課堂上更好地理解數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展過程，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，改善高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果，促進學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提升。因此，教師應(yīng)貫徹學(xué)生主體原則、課時均衡原則、因材施教原則，恰當(dāng)選擇適宜GeoGebra探究式教學(xué)的內(nèi)容，科學(xué)組織GeoGebra探究式教學(xué)活動，充分發(fā)揮GeoGebra優(yōu)勢，促進數(shù)學(xué)探究式教學(xué)目標(biāo)的高效達成。

【本文系鎮(zhèn)江市2021年度中小學(xué)教育教學(xué)研究課題“新課程下GeoGebra融入高中數(shù)學(xué)探究教學(xué)實踐研究”（課題編號：2021jky-L347）的研究成果。】