摘 要：關(guān)于模糊數(shù)排序的問題一直是模糊決策研究的熱點。隨著研究的深入，研究對象由區(qū)間模糊數(shù)發(fā)展到三角模糊數(shù)，進而又發(fā)展到梯形模糊數(shù)。文章提出一種新的梯形模糊數(shù)排序方法，該方法是基于兩個梯形模糊數(shù)減法法則，通過定積分的運算給出可能度的概念，再利用可能度大小和布爾矩陣法對多個模糊數(shù)進行排序。最后通過算例顯示該方法的可行性，并通過與近期文獻的方法比較，顯示其有效性和優(yōu)效性。研究結(jié)果表明，該方法不僅能夠比較不同類型的模糊數(shù)次序，而且計算簡單、區(qū)分度強，所以應(yīng)用范圍廣泛。

關(guān)鍵詞：梯形模糊數(shù)；可能度；布爾矩陣；排序

中圖分類號：O223；C159 文獻標識碼：A" 文章編號：1007 - 9734 （2024） 04 - 0106 - 07

0 引 言

模糊決策中關(guān)于模糊數(shù)排序的問題，一直是研究的熱點。常見的模糊數(shù)分為區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)三種。關(guān)于這些模糊數(shù)排序的研究已有大量的成果，其中有關(guān)區(qū)間模糊數(shù)排序方法的成果較多，也較完善[1-4]。在區(qū)間數(shù)之后發(fā)展起來的三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)更適合用來表達不確定性問題。三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)的排序問題早些年就開始研究了[5-6]，其排序方法的多樣性反映在近年來的文獻中。Yu等[7]基于質(zhì)心點的概念提出一種ε偏差度方法；文獻[8]提出了一種基于相對優(yōu)先關(guān)系的三角形和梯形模糊數(shù)排序方法；Chai等[9]研發(fā)了一種模糊數(shù)的擴展排序方法，該方法是Dempster–Shafer理論的應(yīng)用；文獻[10]提出了一種應(yīng)用可能性理論對模糊數(shù)進行排序的方法；Hesamian和Bahrami[11]提出了一種基于可信度理論的模糊數(shù)排序偏好指數(shù)；模糊數(shù)的排序方法也可應(yīng)用在經(jīng)濟數(shù)據(jù)分析中[12]；文獻[13]利用中心平均值法對梯形模糊數(shù)進行排序；文獻[14]使用參數(shù)關(guān)系對基于概率的偏好強度指數(shù)進行排序。

基于以上概述，可以看出模糊數(shù)排序的方法很多，但大多數(shù)是同類型模糊數(shù)之間比較，對于混合型模糊數(shù)不便推廣使用。在本研究中，我們將基于兩個模糊數(shù)的減法運算法則，利用可能度大小進行比較，給出一種新的排序方法。

1 知識回顧

為了表示不確定性，實數(shù)被擴展到區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)以及梯形模糊數(shù)。

特別地，當[b=c]時，梯形模糊數(shù)[a=（a，b，c，d）]退

兩個梯形模糊數(shù)滿足以下運算法則[15-16]：

利用兩個梯形模糊數(shù)的減法運算（或差運算）法則給出下面的定義。

2 兩個模糊數(shù)大小比較方法

2.1" 基本概念

定義3不僅對兩個梯形模糊數(shù)適用，還適用于兩個三角模糊數(shù)、區(qū)間數(shù)，甚至是不同類型的模糊數(shù)。

注1 定義3的實質(zhì)是把差模糊數(shù)對應(yīng)的圖形落在[x]軸的正半軸部分作為依據(jù)。

注2" （1） 一個梯形模糊數(shù)與一個三角模糊數(shù)（或區(qū)間數(shù)）之差還是一個梯形模糊數(shù)。

（2） 一個三角模糊數(shù)與一個區(qū)間數(shù)之差也是一個梯形模糊數(shù)。反之，一個區(qū)間數(shù)與一個三角模糊數(shù)之差也是一個梯形模糊數(shù)。

（3） 一個三角模糊數(shù)與另一個三角模糊數(shù)之差仍是一個三角模糊數(shù)；一個區(qū)間數(shù)與另一個區(qū)間數(shù)之差仍是一個區(qū)間數(shù)，此結(jié)論顯然。

2.2" 理論分析

定理1 當定義3中的兩個梯形模糊數(shù)退化為定義5中的兩個區(qū)間數(shù)時，定義3與定義5是等價的。

證明：當[a1gt;b2]時，有[a1-b2gt;0]，由于[a1lt;b1，a2lt;b2]，則有[b1-a2≥a1-b2gt;0]，因此有[α=max （0，a1-b2]）=[a1-b2]， [β=max0，b1-a2=b1-a2]，從而有

當[a2gt;b1]時，有[a1-b2≤b1-a2lt;0]，則有[α=β=0]，從而有

當[a2≤b1，a1≤b2]時，即兩個區(qū)間數(shù)有交叉時，相當于圖3情形。此時可由公式（3）有

因此，定理1的結(jié)論成立。

注3" （1）由定理1可知，對于區(qū)間數(shù)的情形，定義3與定義5等價，同樣也與文獻[4]所列舉的其他7個公式等價，這也說明利用區(qū)間數(shù)減法運算法則所給出的定義3是合理的。

（2）從計算復(fù)雜度上看，定義3和定義5幾乎沒什么差別，但是定義3卻能從幾何意義上看出定義的思想實質(zhì)，即在直角坐標系下，差模糊數(shù)所對應(yīng)非負部分的面積與整個差模糊數(shù)所對應(yīng)的面積之比。

（3）定義3更重要的價值是把差運算法則應(yīng)用到三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)。正是由于定理1的啟發(fā)，我們可以給出能同時滿足區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)的比較公式，甚至能比較這三種模糊數(shù)混合的情形。

3 多個模糊數(shù)的排序方法

對于區(qū)間數(shù)有如下事實：

證明：我們可以用公式（4）來證明。

由（5）式可知

由（6）式可知

由（7）式+（8）式可得

這說明本方法僅僅保證定性次序，但不能保證定量次序。

定理2雖然是針對區(qū)間模糊數(shù)而言，但是區(qū)間模糊數(shù)是特殊的梯形模糊數(shù)，所以我們有理由認為這種使用可能度來決定次序?qū)τ谌悄：龜?shù)和梯形模糊數(shù)也是不具有定量傳遞性。

關(guān)于梯形模糊數(shù)和三角模糊數(shù)的這種特性，我們尚無法嚴格證明，不過可以通過一個例子來驗證（僅以梯形模糊數(shù)為例）。

例如：三個梯形模糊數(shù)

李德清等在文獻[4]中指出，對于多個區(qū)間數(shù)利用可能度兩兩比較判斷矩陣，若采取行和法比較會產(chǎn)生逆序現(xiàn)象，因為可能度兩兩比較判斷矩陣不是模糊一致性矩陣。定理2也體現(xiàn)了兩個模糊數(shù)的可能度比較不滿足模糊一致性。

對于多個區(qū)間數(shù)排序時，為了克服逆序現(xiàn)象，李德清等[4]提出了布爾矩陣法。

因此在比較多個模糊數(shù)（梯形模糊數(shù)、三角模糊數(shù)或區(qū)間數(shù)）次序時，利用可能度兩兩比較判斷矩陣，為了避免產(chǎn)生逆序現(xiàn)象，下面我們也采用布爾矩陣法來排序。

4 算 例

例1 試比較以下4個模糊數(shù)的次序：

例1顯示了本方法可以對區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)的混合情形進行比較，證明了本方法的可行性。

例2 試比較文獻[14]中的10個梯形模糊數(shù)的次序，數(shù)據(jù)信息見表3，計算的結(jié)果如表4和表5所示。

因此最終的結(jié)果為

了，這充分顯示了本方法的優(yōu)效性。

5 結(jié)束語

本文首先利用兩個模糊數(shù)之間的減法運算法則提出可能度的概念，分析了這種可能度的性質(zhì)，并給出理論根據(jù)；其次，利用可能度給出比較兩個模糊數(shù)的次序的方法，并利用布爾矩陣法對多個模糊數(shù)進行排序；最后，通過與文獻[14]的比較，顯示出本方法的優(yōu)效性?？傊?，該方法計算公式幾何意義明確，易于形象記憶和理解，計算簡單，區(qū)分度強，便于掌握，因此適用面更廣。

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A New Method for Sorting Trapezoidal Fuzzy Numbers

Abstract： The issue of the size of fuzzy numbers has always been a hot research topic. With the deepening of research， fuzzy numbers have evolved from interval numbers to triangular fuzzy numbers， and then to trapezoidal fuzzy numbers. This article proposes a new trapezoidal fuzzy number sorting method. This method is based on two trapezoidal fuzzy number subtraction rules， which provide the concept of possibility degree through definite integral operation， and use the size of possibility degree and Boolean matrix method to sort multiple fuzzy numbers. The feasibility of this method is demonstrated through a numerical example， and its effectiveness and superiority are demonstrated through comparison with the recent literature method. This method can not only compare the order of different types of fuzzy numbers， but also has simple calculation， strong discriminative power， and broad application prospects.

Key words： trapezoidal fuzzy number; possibility degree; Boolean matrix; sort