摘 要：文章研究了一類半線性波動方程的能量穩(wěn)定的全離散Galerkin方法的超收斂誤差估計。首先，分析了數值格式解的唯一性和穩(wěn)定性。其次，利用矩形網格上雙線性元的特殊性質以及插值算子和Ritz算子在[H1]-范數下的超逼近的估計，得到了超逼近的結果。再次，借助于插值后處理技術得到了[H1]-范數下的全局超收斂的結果。最后，通過數值實驗驗證了理論分析的正確性。

關鍵詞：半線性波動方程，能量穩(wěn)定的全離散格式，超收斂誤差估計

中圖分類號：O242.21" 文獻標識碼：A" "文章編號：1007 - 9734 （2024） 04 - 0098 - 08

0 引 言

在許多數學和物理問題的研究中，半線性波動方程都是一類重要的數學模型。本文研究了一類半線性波動方程的能量穩(wěn)定的全離散方法Galerkin的超收斂誤差估計。

考慮如下的半線性波動方程[1-3]：

[utt（x， t）-Δu（x， t）+ut（x， t）+f（u）=0，（x， t）∈Ω×（0，T]] （1）

[u（x，0）=u0（x）， ut（x， 0）=u1（x）， x∈Ω] （2）

[u（x， t）=0，" " " （x， t）∈?Ω×（0，T] ] （3）

其中，[Ω?R2]是一個矩形區(qū)域，其邊界為[?Ω]，[x=（x1，x2）]，且[f（u）=u3] 。

波動方程的數值方法已經得到廣泛研究， 包括有限差分法[4-7]、有限元法[8-16]及間斷Galerkin方法[17-19]。特別地，文獻[4]研究了兩種有限差分格式，得到了離散[H1]-范數的最優(yōu)誤差估計；文獻[5]給出了一個求解二維二階非齊次線性雙曲方程的三階緊致差分格式；文獻[8]討論了含有瞬時系數的二階雙曲方程的一個有限元分裂外推法；文獻[10]使用Galerkin方法研究了一個二階線性雙曲方程，并得到了[L∞（L2）]范數的最優(yōu)誤差估計。此外，文獻[11]使用連續(xù)和離散Galerkin方法，建立了不同邊界條件下的一個廣義波動方程的[L2]范數的最優(yōu)誤差估計；文獻[12]提出了一類二階雙曲問題的一個[H1]-Galerkin混合有限元方法；文獻[13]和文獻[14]通過使用二重網格混合有限元方法研究非線性雙曲方程，并得出了最優(yōu)誤差估計；文獻[15]和文獻[16]使用Galerkin有限元方法得到了非線性波動方程的超收斂誤差估計。然而，這些全離散格式都不是能量穩(wěn)定的。文獻[17-19]分別研究了二階波動方程的間斷Galerkin方法，并得到了相應的最優(yōu)誤差估計。

目前，關于半線性波動方程的能量穩(wěn)定的有限元方法的超收斂誤差分析的研究還少見報道。本文的主要目的是研究問題（1）—（3）的能量穩(wěn)定的全離散Galerkin格式的超收斂誤差估計。文章其余部分安排如下：第2部分介紹了一些預備知識和引理。第3部分研究了能量穩(wěn)定Galerkin格式的全離散超收斂誤差估計。第4部分通過一些數值結果驗證了理論分析的正確性。

在本文中，我們使用標準的記號[Wm，p（Ω）]來表示Sobolev空間，其上的范數和半范數分別記為[||?||][m，p]和[|?|m，p]（參見文獻[20]），相應的[L2]內積記為[?，?]。我們用[C]（帶下標或不帶下標）代表一般正常數，它不依賴于[n]（時間層）、[h]（空間尺寸）及[τ]（時間步長），并且在不同地方代表不同的值。

1 預備知識和引理

此外，在文獻[23]中已經證明了算子[I2h]有如下

3 數值結果

在這一節(jié)中，我們給出兩個數值例子來驗證理論分析的正確性。

例1[誤差和收斂階]

在計算過程中，我們令[Ω=0，1×0，1]，并且選取最終時間[T=1.0]?？紤]半線性非齊次波動雙曲方程：

[utt-Δu+ut+u3=g（t，x，y），" （x，y）∈Ω， 0lt;t≤T]。

設函數[g]以及與如下精確解相對應的初始條件和邊界條件：

[u（t，x，y）=exp（-t）sin（2πx）sin（2πy）]。

在表1—表3中分別給出了在[t=0.1，][0.6，][1.0]處的[||un-unh||0，][||un-unh||1，][||Ihun-unh||1]和[||un-I2hunh||1]的數值誤差。可以看到，數值結果和理論分析結果吻合的很好，收斂階分別為[O（h2），][O（h），][O（h2）]和[O（h2）]。與此同時，圖2中給出了精確解和數值解在[t=1.0]在網格剖分為[32×32]的圖像，也表明了數值解與精確解十分接近。

例 2[不增加的離散能量[4]]

考慮如下非線性波動方程

[utt-Δu+ut+u3=0， （x，y）∈Ω， 0lt;t≤T=10]，

初始條件

[u（x，y，0）=sin（2πx）sin（2πy）， ut（x，y，0）=-sin（2πx）sin（2πy）， （x，y）∈Ω]。

圖3中給出了式（8）—式（10）在不同時間層[tn]下的離散能量?？梢钥闯鰯抵蹈袷奖３至穗x散能量的不增加特性，這與理論分析相一致。

綜上，本文研究了一類半線性波動方程的能量穩(wěn)定的全離散Galerkin方法，利用矩形網格上雙線性元的特殊性質，插值算子和Ritz算子在[H1]-范數下的超逼近的估計以及從能量穩(wěn)定性質所得到的數值解的能量范數有界性，得到了精確解的插值和數值解之間的超逼近的結果。進一步，借助插值后處理技術，得到了精確解和后處理解之間的超收斂的誤差估計結果。最后通過兩個數值例子驗證了理論分析的正確性。本文主要考慮的是二維的情形，以后的工作可以研究三維的情形并拓展到較為復雜的問題中去。

參考文獻：

［1］BALL J M.On the asymptotic behavior of generalized processes，with applications to nonlinear evolution equations[J].Journal of Differential Equations，1978，27（2）：224-265.

［2］MATSUMURA A.On the asymptotic behavior of solutions of semi-linear wave equations[J].Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences ，Kyoto University，1976，12：169-189.

［3］ARRIETA J M，CARVALHO A N，HALE J K.A damped hyperbolic equation with critical exponent[J].Communications in Partial Differential Equations，1992，17（5-6）：841-866.

［4］ACHOURI T.Finite difference schemes for the two-dimensional semilinear wave equation[J].Numerical Methods for Partial Differential Equations，2019，35：200-221.

［5］DING H，ZHANG Y.A new fourth-order compact finite difference scheme for the two-dimensional second-order hyperbolic equation[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，230（2）：626-632.

［6］LIAO H，SUN Z.A two-level compact ADI method for solving second-order wave equations[J].International Journal of Computer Mathematics，2013，90（1）：1471-1488.

［7］WANG S，KREISS G.Convergence of summation-by-parts finite difference methods for the wave equation[J].Journal of Scientific Computing，2017，71：219-245.

［8］HE X M，LU T.A finite element splitting extrapolation for second order hyperbolic equations[J].SIAM Journal of Scientific Computing，2009，31（6）：4244-4265.

［9］BASSON M，VAN RENSBURG N F J.Galerkin finite element approximation of general linear second order hyperbolic equations[J].Numerical Functional Analysis and Optimization，2013，34（9）：976-1000.

［10］BAKER G A，.Error estimates for finite element methods for second order hyperbolic equations[J].SIAM Journal on Numerical Analysis，1976，13（4）：564-576.

［11］DUPONT T.[L2]-estimate for Galerkin methods for second order hyperbolic equations[J].SIAM Journal on Numerical Analysis，1973，10：880-889.

［12］PANI A K，SINHA R K，OTTA A K.An [H1]-Galerkin mixed method for second order hyperbolic equations[J].International Journal of Numerical Analysis and Modeling，2004，1（2）：111-129.

［13］WANG K Y，CHEN Y P.Two-grid mixed finite element method for nonlinear hyperbolic equations[J].Computers amp; Mathematics with Applications，2017，74（6）：1489-1505.

［14］WANG K Y，CHEN Y P.Analysis of two-grid discretization scheme for semilinear hyperbolic equations by mixed finite element methods[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences，2018，41（9）：3370-3391.

［15］WEI Y F，SHI D Y.Superconvergence analysis of a two-grid method for nonlinear hyperbolic equations[J].Computers amp; Mathematics with Applications，2020，79（10） ：2846-2855.

［16］SHI D Y，WANG R.Unconditional superconvergence analysis of a two-grid finite element method for nonlinear wave equations[J].Applied Numerical Mathematics，2020，150：38-50.

［17］HAN W M，HE L M，WANG F.Optimal order error estimates for discontinuous galerkin methods for the wave equations[J].Journal of Scientific Computing，2019，78：121-144.

［18］GROTE M J，SCHTZAU D.Optimal error estimates for the fully discrete interior penalty DG method for the wave equation[J].Journal of Scientific Computing，2009，40：257-272.

［19］GROTE M J，SCHNEEBELI A，SCHOTZAU D.Discontinuous Galerkin finite element method for the wave equation[J]，SIAM Journal on Numerical Analysis，2006，44（6）：2408-2431.

［20］ADAMS R，FOURNIER J.Sobolev Spaces[M].Amstrdam：Academic Press，2003.

［21］THOMEE V.Galerkin finite element methods for parabolic problems[M].Berlin Heidelberg：Springer-Verlag，2006.

［22］BRENNER S，SCOTT L.The mathematical theory of finite element methods[M].New York：Springer，2002.

［23］LIN Q，LIN J F.Finite element mthods：accuracy and improvement[M].Beijing：Science Press，2006.

［24］KESAVAN S.Topics in functional analysis and application[M].New Age International Publishers，2008.

［25］SHARMA N，KHEBCHAREON M，SHARMA K，et al.Finite element galerkin approximations to a class of nonlinear and nonlocal parabolic problems[J].Numerical Methods for Partial Differential Equations，2016，32（4）：1232-1264.

Superconvergence Analysis of an Energy-Stable Galerkin Method for

Two-Dimensional Semilinear Wave Equation

Abstract： In this paper， an implicit fully-discrete energy-stable Galerkin scheme is proposed and investigated for the semilinear wave equation. Firstly， the unique solvability and the stability of the numerical solution are studied. Then， in terms of the special property of the bilinear element on the rectangular mesh and the supercolose estimate between interpolation operator and Ritz operator in [H1]-norm， the global superconvergence result in [H1]-norm is obtained using a post-processing technique. Finally， numerical experiment is performed to support the theoretical findings

Key words： Semilinear wave equation； energy-stable fully-discrete scheme； superconvergence error estimate