摘 要：隨著普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的不斷深入，大單元教學(xué)受到教育者越來越多的關(guān)注。文章探討了在新課標(biāo)背景下，結(jié)合HPM（History and Pedagogy of Mathematics）進(jìn)行大單元教學(xué)的有效策略，并以“立體幾何初步”為例進(jìn)行了深入分析。通過引入數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容，文章旨在豐富教學(xué)內(nèi)容，在增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)文化的理解，使新課標(biāo)的培養(yǎng)理念與核心素養(yǎng)目標(biāo)融入高中數(shù)學(xué)課堂。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；HPM；大單元教學(xué)；核心素養(yǎng)；立體幾何初步

新課標(biāo)表明，高中教育應(yīng)著重提升學(xué)生的綜合素質(zhì)和學(xué)科核心素養(yǎng)。這就要求教育者跳出單一知識(shí)點(diǎn)的限制，把握整個(gè)單元的教學(xué)。大單元設(shè)計(jì)旨在整合知識(shí)體系，避免知識(shí)碎片化，確保教學(xué)設(shè)計(jì)與核心素養(yǎng)目標(biāo)相契合。那么，在大單元教學(xué)設(shè)計(jì)中，如何能讓這一單元的課時(shí)內(nèi)容聯(lián)系更加緊密、更具有整體性？教師需從某一核心點(diǎn)出發(fā)，用線串聯(lián)各課時(shí)，構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)及綜合素質(zhì)的培養(yǎng)亦不可忽視。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師可以借助HPM這一途徑，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿始終。

一、HPM在大單元教學(xué)中的價(jià)值

新課標(biāo)指出，如何將數(shù)學(xué)史融入中小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的一個(gè)重要課題。數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系作為一個(gè)重要的研究領(lǐng)域，對(duì)發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能、落實(shí)立德樹人根本任務(wù)具有重要意義。近年來，HPM在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要價(jià)值在國(guó)內(nèi)外均獲得了廣泛認(rèn)可。2021年7月召開的第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME-14）給教育者一個(gè)重要啟示：數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有獨(dú)特的作用，對(duì)教育教學(xué)和學(xué)生發(fā)展意義深遠(yuǎn)。

一是拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和視野。數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化中有許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題和定理，通過介紹這些內(nèi)容，可以讓學(xué)生了解到更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，并擴(kuò)展他們的數(shù)學(xué)視野。二是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化中的數(shù)學(xué)問題和定理往往需要一定的思維和創(chuàng)新能力來解決，通過學(xué)習(xí)和討論這些內(nèi)容，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。三是培養(yǎng)學(xué)生的歷史文化意識(shí)和素養(yǎng)。數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要組成部分，通過介紹這些內(nèi)容，可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)歷史文化的理解和欣賞能力，提高他們的歷史文化素養(yǎng)。四是增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和好奇心。通過講述數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化中的趣聞趣事，可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。五是培養(yǎng)學(xué)生的合作和交流能力。數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化往往需要通過團(tuán)隊(duì)合作和交流才能全面理解，通過學(xué)習(xí)和探討這些內(nèi)容，可以培養(yǎng)學(xué)生的合作和交流能力。

然而，反觀教學(xué)實(shí)際，高中數(shù)學(xué)教師對(duì)HPM的接受情況并不樂觀，雖然他們已認(rèn)識(shí)到其重要性，實(shí)際使用卻少之又少。教材中很多關(guān)于數(shù)學(xué)史的案例并沒有在授課中被充分利用，也就無法發(fā)揮其價(jià)值。另外，關(guān)于HPM的具體應(yīng)用方法和策略，教師缺乏明確指導(dǎo)。因此，在新課標(biāo)背景下，研究以HPM串聯(lián)整個(gè)單元，是合理的且有必要的。教師可以通過認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)HPM的相關(guān)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、基于HPM的高中數(shù)學(xué)“立體幾何初步”大單元教學(xué)實(shí)踐

立體幾何是數(shù)學(xué)中的一個(gè)分支，主要研究物體的形狀、大小、幾何特性等。在傳統(tǒng)教學(xué)方法中，教師一般通過講述定義、公式和例題的方式進(jìn)行授課。然而，由于立體幾何對(duì)學(xué)習(xí)者的空間想象能力要求較高，且具有抽象性的特點(diǎn)，這種教學(xué)方法就會(huì)存在某些局限性，學(xué)生往往容易產(chǎn)生厭倦情緒，并且難以將所學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活中的問題聯(lián)系起來。

從HPM的視角研究“立體幾何初步”的大單元教學(xué)可以發(fā)現(xiàn)，在人教A版（2019）必修第二冊(cè)“立體幾何初步”這一單元中，共有6節(jié)內(nèi)容，具體細(xì)分為16個(gè)課時(shí)。教材中編寫有3份HPM相關(guān)資料，分別是“畫法幾何與蒙日”“祖暅原理與柱體、椎體的體積”“歐幾里得《原本》與公理化方法”。另有“文獻(xiàn)閱讀與寫作”部分涉及HPM內(nèi)容：幾何學(xué)的發(fā)展。

教師在設(shè)計(jì)大單元教學(xué)時(shí)，可以充分利用這些材料，對(duì)本章內(nèi)容進(jìn)行整合構(gòu)思：學(xué)習(xí)本單元前，教師先讓學(xué)生通過查閱資料，自主學(xué)習(xí)幾何學(xué)相關(guān)內(nèi)容，了解幾何學(xué)的發(fā)展史，知道發(fā)展歷程中的關(guān)鍵點(diǎn)、具有劃時(shí)代意義的結(jié)論及思想方法。這一過程可以讓學(xué)生主動(dòng)了解本單元的主要內(nèi)容，了解學(xué)習(xí)背景，明確學(xué)習(xí)重點(diǎn)。這樣，對(duì)立體幾何的引入就不顯得生硬。同時(shí)，通過前期的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備和書中第一節(jié)呈現(xiàn)的大量實(shí)物模型，很容易就能激發(fā)學(xué)生對(duì)這一單元的學(xué)習(xí)興趣。

在興趣的驅(qū)動(dòng)下，教師進(jìn)一步講解蒙日與畫法幾何的關(guān)系，使學(xué)生在數(shù)學(xué)歷史文化背景的熏陶下，產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，進(jìn)而自然過渡到直觀圖的學(xué)習(xí)。進(jìn)入“簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積”章節(jié)時(shí)，為避免知識(shí)跨度過大，教師可借鑒《九章算術(shù)》中體積、容積的經(jīng)典模型作為引入（見圖1），這一方法不僅貼近學(xué)生已有的知識(shí)體系，還能有效銜接新舊知識(shí)，使學(xué)習(xí)過程更加順暢。

圖中“長(zhǎng)方”“塹堵”“陽馬”“鱉臑”之間蘊(yùn)含的體積關(guān)系是我國(guó)古代人民的智慧結(jié)晶。而探求這一體積比的過程，正是學(xué)生學(xué)習(xí)第三節(jié)內(nèi)容的過程。此時(shí)，教師用“祖暅原理”解釋柱體、錐體之間的關(guān)系，學(xué)生很容易就能理解V柱=Sh與V錐=?Sh之間?的體積關(guān)系。在求解中可以得到V長(zhǎng)方∶V塹堵∶V陽馬∶V鱉臑=6∶3∶2∶1。教師啟發(fā)學(xué)生觀察這一組模型中柱體與椎體的體積比，還能發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的兩個(gè)3∶1的關(guān)系，又進(jìn)一步加深了本節(jié)課的基本知識(shí)。通過對(duì)HPM的學(xué)習(xí)，不僅幫助學(xué)生透徹理解了體積問題的內(nèi)在聯(lián)系，更在提升他們的直觀想象和邏輯推理能力的同時(shí)，引發(fā)對(duì)中華文化的深切贊同。通過教師的正確引導(dǎo)，這一過程更升華至立德樹人的高度，為學(xué)生的全面發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

進(jìn)入對(duì)“空間點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系”的探索后，教師可以講述歐幾里得的《原本》與公理化方法，使學(xué)生感受理性思維對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的意義，再通過具體學(xué)習(xí)立體幾何中的邏輯論證，體會(huì)公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)研究的重要性，有助于進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在本單元結(jié)束時(shí)，教師可以從HPM角度給學(xué)生設(shè)置一個(gè)開放性的探究話題：“幾何學(xué)演變至今，有哪些分支？你感興趣的是哪一方面？”教師可以結(jié)合教學(xué)實(shí)際，組織學(xué)生進(jìn)行探究結(jié)果匯報(bào)展示，可以是小課題的形式，也可以是整理成文，以PPT的形式進(jìn)行展示。相比于數(shù)學(xué)的專業(yè)知識(shí)，對(duì)HPM的研究較為簡(jiǎn)單，內(nèi)容也更豐富，能讓更多的學(xué)生參與進(jìn)來，也能在交流展示中提升其綜合素質(zhì)。這也是HPM教學(xué)法為教師提供的一個(gè)培育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要切入點(diǎn)。

至此，基于HPM的“立體幾何初步”大單元設(shè)計(jì)就完成了，具體過程如表1所示。

在教學(xué)實(shí)踐中，本研究針對(duì)以上大單元設(shè)計(jì)，在A類班級(jí)（學(xué)習(xí)基礎(chǔ)扎實(shí)、學(xué)習(xí)能力強(qiáng)）和B類班級(jí)（學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱、學(xué)習(xí)能力弱）分別設(shè)置實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組，觀察基于HPM的大單元教學(xué)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的助益性大小。在單元教學(xué)結(jié)束后，編寫了一份“立體幾何初步單元檢測(cè)卷”，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相關(guān)考察點(diǎn)也融入試卷，滿分150分。檢測(cè)結(jié)果如下表所示：

由皮爾遜相關(guān)系數(shù)可知，教學(xué)類別與學(xué)生的檢測(cè)成績(jī)呈現(xiàn)出很明顯的相關(guān)性。通過表2和表3可以發(fā)現(xiàn)，基于HPM的大單元教學(xué)無論是對(duì)A類班級(jí)學(xué)生還是對(duì)B類班級(jí)學(xué)生，影響都是顯著的。同時(shí)，運(yùn)用HPM進(jìn)行大單元教學(xué)對(duì)B類班級(jí)學(xué)生的影響更大，這與B類班級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)——接受新知的速度較慢、學(xué)習(xí)熱情難以持久等是相符合的。教師用HPM將各個(gè)課時(shí)的內(nèi)容聯(lián)系在一起，可以使B類班級(jí)學(xué)生保持更持久的學(xué)習(xí)熱情和更積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。

此外，通過考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以發(fā)現(xiàn)，參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象思維、直觀想象能力以及邏輯推理等方面均實(shí)現(xiàn)了顯著的提升。具體表現(xiàn)為在立體幾何證明問題以及判斷空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的典型題目中，平均分比沒有參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生高5至10分。任課教師對(duì)參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生反饋信息也很好。

通過本次實(shí)踐，教師的收獲也很多。一方面，教師對(duì)教材的理解更為全面，備課時(shí)會(huì)從單元角度出發(fā)，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行整體規(guī)劃和統(tǒng)籌安排，并適時(shí)補(bǔ)充相關(guān)內(nèi)容，使課堂教學(xué)更具吸引力。另一方面，教師對(duì)HPM的研究也更為深入，能夠從中發(fā)現(xiàn)更多培養(yǎng)核心素養(yǎng)的契機(jī)，進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量。

三、基于HPM的大單元教學(xué)思考

第一，大單元教學(xué)可以通過HPM路徑真正發(fā)揮統(tǒng)籌全局的作用。在教學(xué)實(shí)踐中，教育者應(yīng)當(dāng)重視HPM的價(jià)值，在教材提供的HPM材料的基礎(chǔ)上，可適當(dāng)結(jié)合課外內(nèi)容，使HPM像單元新知識(shí)一樣，形成完整的知識(shí)鏈，連接起單元中的各個(gè)課時(shí)。

第二，HPM的教學(xué)方式，對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)大有裨益。同時(shí)，它在提升學(xué)生綜合素質(zhì)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面更是成效顯著。在教學(xué)中，教師可以利用HPM教學(xué)激發(fā)學(xué)生興趣，推動(dòng)課堂從“教師主導(dǎo)”向“學(xué)生主體”轉(zhuǎn)變，并充分發(fā)揮HPM教學(xué)在立德樹人根本任務(wù)中的優(yōu)勢(shì)。

第三，基于HPM的大單元教學(xué)，也有助于提升教師的專業(yè)水平和綜合素質(zhì)。在對(duì)HPM的探究及應(yīng)用中，已有一些研究者關(guān)注到HPM對(duì)促進(jìn)教師MKT（Mathematical Knowledge for Teaching）發(fā)展的影響，教師在推廣使用基于HPM的大單元教學(xué)時(shí)也應(yīng)注意到這一點(diǎn)，確保師生雙方均能從中受益。

第四，在設(shè)計(jì)大單元教學(xué)時(shí)，教師需要考慮HPM的使用場(chǎng)景。盡管書中HPM材料多出現(xiàn)在課時(shí)后，但教師應(yīng)根據(jù)內(nèi)容特性，靈活選擇其作為引入案例、定義、背景或課后延伸材料，以充分發(fā)揮其作用。

第五，在大單元教學(xué)理念逐步推廣的當(dāng)下，教師應(yīng)積極尋求其高效實(shí)施策略，確保教學(xué)流程清晰，整體性強(qiáng)，便于學(xué)生接受與實(shí)施。

在具體教學(xué)中，如何讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落到實(shí)處，是教師和教育學(xué)者一直探索的重點(diǎn)。先讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史，再做數(shù)學(xué)的研究，能夠激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和內(nèi)在動(dòng)力，促使他們更加主動(dòng)地投入學(xué)習(xí)。在教學(xué)中，教師要深入挖掘教材中數(shù)學(xué)史料蘊(yùn)含的教育意義，在教授文化知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，真正實(shí)現(xiàn)教書育人。

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（責(zé)任編輯：廖 藝）