【摘 要】以“黃金分割”教學(xué)為例，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的三種模式：讓學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)，遷移新情境，體驗(yàn)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的過程；讓學(xué)生經(jīng)歷感受美、發(fā)現(xiàn)美、探索美的過程，通過動(dòng)手操作、探索等去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，體會(huì)畢達(dá)哥拉斯“萬物皆數(shù)”的意境；從三條線段成比例，特殊化為在同一直線上的三條線段成比例，發(fā)現(xiàn)黃金分割點(diǎn)，感悟“數(shù)學(xué)從內(nèi)部產(chǎn)生”的道理。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；黃金分割；價(jià)值追求；大單元教學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）35-0060-04

【作者簡(jiǎn)介】韓新正，江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中（江蘇泰州，225300）黨總支書記、校長(zhǎng)，正高級(jí)教師，泰州市特級(jí)校長(zhǎng)。

教育不僅僅是傳授知識(shí)，?更重要的是促進(jìn)人的全面發(fā)展和自我實(shí)現(xiàn)。華東師范大學(xué)葉瀾教授說，所謂教育，就是“教天地人事，育生命自覺”。教育的主陣地在課堂，因此，堅(jiān)持學(xué)科育人，打造有活力的課堂，促進(jìn)學(xué)生生命成長(zhǎng)應(yīng)成為課堂教學(xué)的追求。

一、數(shù)學(xué)學(xué)科育人的三個(gè)維度

在新課標(biāo)實(shí)施的背景下，從學(xué)科教學(xué)到學(xué)科育人，從“育分”到“育人”的轉(zhuǎn)變，體現(xiàn)了教育價(jià)值認(rèn)知的轉(zhuǎn)變。教育的本質(zhì)是發(fā)展人、成就人，是致力于生命的成長(zhǎng)。沒有人的成長(zhǎng)，教育就沒有存在的價(jià)值，更談不上生命力。因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)該認(rèn)真研讀課標(biāo)，深刻理解教材編寫的意圖。不同的課堂教學(xué)體現(xiàn)了不同的價(jià)值追求，但一定都是指向人的發(fā)展和教學(xué)生成的課堂。

1.有活力的數(shù)學(xué)課堂是注重遷移應(yīng)用的課堂

課堂不僅要傳授知識(shí)，更要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和內(nèi)驅(qū)力，而學(xué)生的積極性和內(nèi)驅(qū)力不是天生的，它需要教師創(chuàng)設(shè)合適情境，巧妙設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和實(shí)踐，在思考和實(shí)踐的過程中發(fā)現(xiàn)新知、“創(chuàng)造”新知，生成新知。新知在和舊知的融合下，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而能運(yùn)用所學(xué)解決新情境下的問題。這就是在培養(yǎng)學(xué)生“解決問題”的能力，是數(shù)學(xué)育人的本真追求。

2.有活力的數(shù)學(xué)課堂是“讓學(xué)生動(dòng)起來”的課堂

學(xué)科思想和哲學(xué)思辨，是教學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)教學(xué)就是要“教給學(xué)生有靈魂的數(shù)學(xué)”。在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中，教師要更多教給學(xué)生能力、思維、品格等終身受用的素養(yǎng)。有活力的課堂就是要“讓學(xué)生動(dòng)起來”，讓他們動(dòng)嘴、動(dòng)手和動(dòng)腦。“動(dòng)起來”一方面體現(xiàn)在引導(dǎo)學(xué)生調(diào)查研究，收集資料，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)等。尤其是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅有助于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，體會(huì)數(shù)學(xué)思想與方法，獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也是主動(dòng)建構(gòu)和發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)具有重要的理論意義和實(shí)踐價(jià)值。另一方面，“動(dòng)起來”體現(xiàn)在讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過程，并在此過程中，學(xué)會(huì)像“數(shù)學(xué)家一樣思考問題”。在“刷題”盛行的當(dāng)下，有些教學(xué)異化為直接告知學(xué)生結(jié)論，省掉了學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過程，而這恰恰是學(xué)生培養(yǎng)能力、形成素養(yǎng)的關(guān)鍵過程。所以，教學(xué)要立足學(xué)生能力培養(yǎng)和素養(yǎng)提升，讓學(xué)生真正動(dòng)起來。有活力的課堂必須促進(jìn)全體學(xué)生發(fā)展，讓不同的學(xué)生有不同的發(fā)展。

3.有活力的數(shù)學(xué)課堂是引導(dǎo)學(xué)生演繹歸納的課堂

數(shù)學(xué)既有從實(shí)驗(yàn)、操作中發(fā)現(xiàn)的定理、結(jié)論，如畢達(dá)哥拉斯定理；更多的還是“從數(shù)學(xué)內(nèi)部產(chǎn)生”，歐式幾何的建立就是在五大公設(shè)的基礎(chǔ)上，通過邏輯分析、推理而形成完整的幾何體系，所以演繹和歸納是數(shù)學(xué)最重要的思想方法。有活力的課堂應(yīng)該在現(xiàn)有的知識(shí)基礎(chǔ)上，通過弱化條件推出一般結(jié)論，或者通過強(qiáng)化條件，得出特殊結(jié)論，進(jìn)而形成完整知識(shí)結(jié)構(gòu)，這樣才有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理能力，這也是“數(shù)學(xué)是思維的體操”的應(yīng)有之義。

二、有活力的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）在圖形的相似部分，對(duì)黃金分割的要993a05eeee4dfabee36a562ab7d4192e求是：通過建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割?！包S金分割”這節(jié)課，人教版教材是安排在九年級(jí)上冊(cè)《一元二次方程》的“閱讀與思考”，是作為一元二次方程的應(yīng)用來處理，定位于“了解”。蘇科版教材是放在九年級(jí)下冊(cè)《圖形的相似》的第2課時(shí)，本章第1課時(shí)是圖上距離和實(shí)際距離，第3課時(shí)介紹相似圖形，后面分別介紹相似三角形的性質(zhì)和判定及其應(yīng)用。下面筆者結(jié)合“黃金分割”這節(jié)課的教學(xué)，呈現(xiàn)基于三種不同價(jià)值追求的設(shè)計(jì)，談?wù)勅绾未蛟煊谢盍Φ臄?shù)學(xué)課堂，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人。

1.綜合應(yīng)用一元二次方程和比例的知識(shí)，經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)過程

師：我們已經(jīng)學(xué)完了《一元二次方程》這一章，會(huì)解一元二次方程，并能運(yùn)用方程思想解決實(shí)際問題，這是我們學(xué)習(xí)新知識(shí)的意義所在。今天我們就一起來探索一元二次方程的一些運(yùn)用?，F(xiàn)在我們?cè)倩氐奖菊碌谝豁?yè)，先看看這個(gè)雕塑，有什么感想？

生：雕塑很有氣勢(shì)，形態(tài)很美……

師：生活中還有哪些形態(tài)很美的人、物、建筑？

生：芭蕾舞演員、模特、東方明珠塔、我們學(xué)校的體育館……

師：這些形態(tài)優(yōu)美、好看的人和建筑，用數(shù)學(xué)語言如何表述？

生：這些人和物可以抽象成線段，之所以形態(tài)優(yōu)美，就是各線段的比例恰當(dāng)、和諧。

師：在這一章的第一節(jié)課，我就布置大家收集這些形態(tài)優(yōu)美的建筑和人物以及圖形，并研究這些線段的關(guān)系。請(qǐng)大家展示研究成果（以課本雕塑為例）。

生：我們通過測(cè)量雕塑上半身（腰以上）、下半身（腰以下）和全身高度，發(fā)現(xiàn)上半身∶下半身=下半身∶全身。

各組通過測(cè)量收集到的圖片，也發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律。通過查詢資料知道，如果把一條線段分成兩部分，其中較短線段與較長(zhǎng)線段的比等于較長(zhǎng)線段與原線段的比，中間的點(diǎn)就是黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值就是黃金分割數(shù)。

師：我們能求出這個(gè)黃金分割數(shù)嗎？

學(xué)生小組合作，共同完成下面的抽象建模過程。

如圖1，設(shè)AB = 1，BC = x，其中BC是較長(zhǎng)線段，那么AC = 1 - x。根據(jù)條件得到（1 - x）∶x = x∶1，也即x2 + x - 1 = 0，解方程得x = [?1±52]，根據(jù)線段的實(shí)際意義，x = [?1+52] ≈ 0.618。

[A][C][B][x][1 - x]

（圖1）

師生一起探討黃金分割在生活中的運(yùn)用。

【設(shè)計(jì)意圖】上述教學(xué)是將“黃金分割”作為一元二次方程的應(yīng)用的課堂教學(xué)。設(shè)計(jì)者把本節(jié)課定位為，在系統(tǒng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的基礎(chǔ)上，把黃金分割作為一元二次方程遷移運(yùn)用的結(jié)果，體現(xiàn)的是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的成果。設(shè)計(jì)者通過跨章節(jié)的專題研究，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)黃金分割（盡管黃金分割早已被發(fā)現(xiàn)，但對(duì)學(xué)生來說，確是研究成果）。

2.從欣賞美圖開始，體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)魅力

一上課，教師就給學(xué)生展示如下兩組圖片。

師：圖2、圖3給我們的感覺首先是很美，為什么感覺美呢？那就要值得探討了。無論圖2還是圖3，都可以把鐵塔和人體抽象成線段，看來就是研究各線段之間的關(guān)系，課本上給我們做了提示，有線段AB，BC，AC。那我們?cè)鯓友芯克鼈兊年P(guān)系呢？

師：最常見的關(guān)系就是三條線段的和差倍分關(guān)系。在我們動(dòng)手測(cè)量前是否先思考一下，有哪些關(guān)系可以先排除掉？

生：和、差、積可以排除。因?yàn)橥瑯拥奈矬w，如果圖片尺寸不同，那么它們的和、差、積不相同，如果把線段相除，這和圖片大小無關(guān)，因?yàn)槭堑缺壤s放的。

師：很好！那大家先量出三條線段的長(zhǎng)短，再分別計(jì)算[BCAB和ABAC]的比值，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

教師課前準(zhǔn)備好尺寸不等的上述圖片以及課本上的圖片，并給足學(xué)生測(cè)量時(shí)間，通過小組合作得出各組的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)比值基本都在0.62附近，容易得出[BCAB=ABAC]。

師：再看看圖4，你最喜歡哪個(gè)矩形？

全班調(diào)查后，多數(shù)學(xué)生喜歡②，感覺②看起來更美觀，那么就來看看美觀的奧秘，量出該矩形的寬和長(zhǎng)，看看比值如何？全班動(dòng)手測(cè)量計(jì)算后，發(fā)現(xiàn)寬和長(zhǎng)的比值也在0.62附近。

師：如果一個(gè)建筑物這樣建設(shè)，應(yīng)該是比較美觀漂亮的吧！剛才我們通過感受圖形美，并在測(cè)量和計(jì)算中發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，那么怎樣從數(shù)學(xué)的角度來證明呢？也就是如果等式[BCAB=ABAC]成立，那么點(diǎn)B的位置在何處？

學(xué)生接下來進(jìn)行代數(shù)推理，很容易得出黃金分割數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】上述教學(xué)是體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)價(jià)值的課堂教學(xué)。教學(xué)從展示若干圖形開始，讓學(xué)生進(jìn)行比較：為什么有些圖看起來很美，而有些圖不美，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手測(cè)量，探索并發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律。設(shè)計(jì)者通過教學(xué)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生探究美的奧秘。這也是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的魅力所在，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

3.強(qiáng)化外部條件，從數(shù)學(xué)的內(nèi)部進(jìn)行推理，感悟數(shù)學(xué)美

師：上一節(jié)課，我們學(xué)過了四條線段a，b，c，d成比例，可表示為[ab] = [cd]。如果b = c，那么[b2=ad]，我們把b叫作a，d的比例中項(xiàng)。

師：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，有時(shí)需要弱化條件，推出一般性；有時(shí)需要強(qiáng)化條件，發(fā)現(xiàn)特殊性。今天，在上述基礎(chǔ)上，我們做進(jìn)一步設(shè)想，把三條線段的關(guān)系進(jìn)一步特殊化。如圖5，在線段AC（d）上取一點(diǎn)B，使得AB = a，BC = b，且滿足[ab] = [bd]呢？能否在線段d上找到B點(diǎn)？如果有，那么B點(diǎn)在線段d的什么位置？

師：若B點(diǎn)存在，如何求出b與d的關(guān)系？

生：直接解方程可得，其中把b看成未知數(shù)，d是已知數(shù)，可列出方程b2 = d（d - b）。

生眾：整理得b2 + db - d2 = 0。解得b =[?1±52d]，再根據(jù)題意，整理可得b = [5?12d]。

師：看來這一點(diǎn)是存在的，而且是一個(gè)特殊的點(diǎn)。再考慮一下，這條線段上像這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？

生：兩個(gè)。根據(jù)線段的對(duì)稱性。

師：通過上面的探索，我們發(fā)現(xiàn)：原來成比例的四條線段[ab] = [cd]，當(dāng)b = c時(shí)，三條線段成比例，即[ab] = [bd]，也就是[b2=ad]，出現(xiàn)了比例中項(xiàng)。再把這三條線段都同時(shí)落實(shí)到一條線段上時(shí)，又出現(xiàn)了特殊的點(diǎn)。這樣的做法給我們什么啟示呢？

生：不斷強(qiáng)化條件，讓條件不斷特殊化，能有很多科學(xué)發(fā)現(xiàn)。

隨著這一發(fā)現(xiàn)，大家把線段上的這一點(diǎn)叫作黃金分割點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖】上述教學(xué)是強(qiáng)化外部條件，從數(shù)學(xué)的內(nèi)部進(jìn)行推理的課堂教學(xué)。在學(xué)習(xí)了線段成比例，特別是三條線段成比例（比例中項(xiàng)）之后，進(jìn)一步特殊化條件，大膽設(shè)想，如果一點(diǎn)把一條線段分成兩段，且短線段∶中線段=中線段∶原線段，這個(gè)點(diǎn)有什么特殊性？為什么會(huì)有此想法？源于畢達(dá)哥拉斯的“萬物皆數(shù)”。學(xué)生不僅能感悟數(shù)學(xué)推理和知識(shí)遷移的價(jià)值，更知道從數(shù)學(xué)內(nèi)部產(chǎn)生新知識(shí)的方法。

通過有活力的課堂教學(xué)，學(xué)生不僅能習(xí)得知識(shí)和技能，更能收獲核心素養(yǎng)的發(fā)展。立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程育人價(jià)值，是新課標(biāo)賦予教師的時(shí)代使命。只有基于價(jià)值追求的課堂教學(xué)才能培養(yǎng)出“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的時(shí)代新人。