摘要：“圖形與幾何”課程中“圓”的教學(xué)，涉及了將曲線轉(zhuǎn)化為直線、極限概念以及等量變換等數(shù)學(xué)原理.這一知識點(diǎn)的教學(xué)能夠培養(yǎng)學(xué)生的空間感知力以及提升解決復(fù)雜問題和提煉抽象概念的能力，是構(gòu)建數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.在實際教學(xué)中，學(xué)生時常會在周長與面積的理解上產(chǎn)生混淆.范希爾理論作為幾何教學(xué)的基石，不僅具備評估學(xué)生幾何思維深度的功能，而且為教學(xué)策略的制定提供了實用框架.該理論明確指出了教學(xué)在引導(dǎo)學(xué)生逐步深化幾何思維過程中的關(guān)鍵角色.因此，將范希爾理論融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中，是一種極具成效的方法，能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并提升學(xué)生的幾何思維.

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；圓的周長；教學(xué)設(shè)計；幾何思維

教學(xué)實踐是一種精心策劃的教育進(jìn)程，教師依據(jù)明確的教學(xué)藍(lán)圖，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握數(shù)學(xué)知識，同時提升學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，塑造關(guān)鍵素養(yǎng).為了滿足每個學(xué)生的獨(dú)特需求，當(dāng)教學(xué)“圓的周長”這一課題時，教學(xué)策略應(yīng)聚焦于創(chuàng)設(shè)與學(xué)生日常生活緊密相連的場景，通過觀察、想象、動手操作、深度思考和互動交流等實踐活動，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的探索熱情.筆者借鑒荷蘭數(shù)學(xué)家范希爾（Van Hiele）的幾何認(rèn)知水平五階段理論，設(shè)計“圓的周長”的教學(xué)方案并在方案中融入五階段理論，這個方案的實施不僅有助于知識傳授，還將顯著提升學(xué)生的幾何思維能力，為學(xué)生的學(xué)術(shù)成長開啟新的篇章.

1學(xué)前咨詢階段：交流中直觀感知“圓的周長”

在范希爾的教育理論指導(dǎo)下，教師需充分考量學(xué)生的幾何思維發(fā)展程度，強(qiáng)調(diào)直觀教學(xué)，在教學(xué)中充分調(diào)動學(xué)生的視覺與聽覺，通過與學(xué)生溝通實現(xiàn)對于學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)成效的全面提升，使學(xué)生能夠通過形狀整體感知理解圓的周長.［1］為此，筆者設(shè)計了兩個教學(xué)環(huán)節(jié)：一是以問題引導(dǎo)學(xué)生深入“圓的周長”主題；二是利用動畫激發(fā)學(xué)生對這一概念的直觀感受.

1.1問題引導(dǎo)下的“圓的周長”探索

問題1大家已經(jīng)對圓有所了解，誰能分享一下你所掌握的圓的基本特性，如半徑、直徑以及它們之間的關(guān)系，還有由曲線圍成的圓的特點(diǎn)？

學(xué)生可能會提及圓心的概念，以及已知圖形如正方形和長方形周長的計算方法，對于三角形、平行四邊形和梯形，他們可能會提到邊長的總和.

這樣的教學(xué)方法致力于保證每個學(xué)生都能掌握數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力，這些能力對學(xué)生的未來生活和全面成長具有決定性影響.

問題2讓我們回顧一下，我們是如何計算平面圖形周長的？

學(xué)生可能立即討論正方形和矩形的周長計算方法，而面對三角形和多邊形，他們可能提及將所有邊長相加以找出周長的方法.

問題3關(guān)于圓，你們希望學(xué)習(xí)哪些額外的知識點(diǎn)？

學(xué)生可能會表達(dá)出對圓的周長和面積這兩個相關(guān)概念的好奇和求知欲望.

【設(shè)計意圖】范希爾理論強(qiáng)調(diào)教學(xué)與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的同步性.教師在開始新課前，通過有效的預(yù)備性訪談，洞察學(xué)生現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)，從而精確定位教學(xué)起點(diǎn)，確保教學(xué)的有效性和連貫性，進(jìn)而有效提升學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)興趣，實現(xiàn)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效率高效性.

1.2動畫中直觀感知“圓的周長”

問題1存在三種不同尺寸的自行車輪胎，假設(shè)它們均完成一次完整的旋轉(zhuǎn)，你推測哪個輪胎前進(jìn)的距離更長？

教師通過課件展示驗證步驟，顯示輪胎滾動一圈的長度即為輪胎的周長.

問題2對比這三個輪胎的直徑和周長，你能觀察到什么規(guī)律？

【設(shè)計意圖】教師通過生活場景引入學(xué)習(xí)主題，激發(fā)學(xué)生探索問題的興趣，生活化的實例彰顯了數(shù)學(xué)從生活中誕生的核心教育思想，同時動態(tài)的展示使學(xué)生能直觀理解圓的周長概念.利用多媒體教學(xué)的呈現(xiàn)方式，使學(xué)生初步體驗圓的周長與直徑之間的關(guān)聯(lián).［2］此外，此階段教學(xué)中教師運(yùn)用的詞匯和表述至關(guān)重要，能影響學(xué)生對這一主題的理解程度，從而激發(fā)學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)進(jìn)程中的思維活躍性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考課堂所學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

1.3挖掘圓周長的測定途徑

問題1我們已經(jīng)知道圓的周長大致在直徑的3到4倍之間.那么，怎樣才能確切得知這個倍數(shù)？

問題2有的同學(xué)提出可以通過測量圓的周長和直徑，然后求得它們的比值來確定.不過，直徑的測量相對容易，但在實際操作中，你們計劃如何準(zhǔn)確地測量圓的周長？

在這個環(huán)節(jié)，教師強(qiáng)調(diào)無論是滾動測量還是環(huán)繞法，核心都是運(yùn)用了“曲線轉(zhuǎn)直”的創(chuàng)新思維方式，將復(fù)雜形狀轉(zhuǎn)化為易于處理的直線距離，使得圓的周長這一計算方法的理解難度有效降低，實現(xiàn)學(xué)生課堂思維靈活性的有效提升.

下面請大家動手操作，完成以下任務(wù).

量一量：小組分工合作，用你喜歡的方法測出圓的周長和直徑，把數(shù)據(jù)記錄在表1里.

算一算：計算圓的周長，將周長除以直徑的商（保留兩位小數(shù)）填寫在表1里.

想一想：通過測量和計算，你發(fā)現(xiàn)圓的周長和直徑有什么關(guān)系？

【設(shè)計意圖】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，教學(xué)過程應(yīng)激發(fā)學(xué)生運(yùn)用觀察、探究、實驗、邏輯推演、數(shù)據(jù)解析以及空間直覺等多種手段，以深化其對數(shù)學(xué)概念的理解和提高問題解決能力.在這個關(guān)鍵的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教學(xué)的目標(biāo)是通過實踐操作，讓學(xué)生親身體驗知識獲取的過程.特別關(guān)注的是，教師通過實際測量圓的周長并探討其與直徑的比例，讓學(xué)生直觀領(lǐng)悟“曲線到直線”這一數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，提升學(xué)生獨(dú)立思考能力.

2引導(dǎo)定向階段：操作中親自探索“圓的周長”

在引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)階段，教師巧妙地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，讓學(xué)生通過一系列直觀且互動式的活動來體會圓的周長與直徑之間的規(guī)律，從而實現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂開展進(jìn)程中學(xué)生學(xué)習(xí)主動性的有效調(diào)動.這些活動包括直觀的手勢演示、猜測、計數(shù)、比較、思考和實際測量，讓學(xué)生親身體驗并逐步領(lǐng)悟圓的周長與直徑之間的關(guān)系.重要的是，教師設(shè)計的活動要強(qiáng)調(diào)實踐性，目標(biāo)明確且步驟清晰，從而培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和觀察力.

首先，活動聚焦于建立“圓的周長”概念.教師以實物圓作為示范，詢問：“我們了解了車輪的周長，那么圓的周長是什么呢.”學(xué)生可能會對術(shù)語有所混淆，教師適時給予簡明的解釋.其次，深化學(xué)生對關(guān)系的理解.教師提問：“同學(xué)們，大膽猜測圓的周長和直徑之間存在的關(guān)系.”鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考，教師適時引導(dǎo)他們排除非倍數(shù)關(guān)系的可能性.再次，通過實驗探究精確的倍數(shù)關(guān)系.教師提出挑戰(zhàn)：“如果它們之間存在倍數(shù)關(guān)系，你們認(rèn)為是多少倍.”最后，教師引入視覺輔助工具，如將圓置于正方形和正六邊形中（如圖1），引導(dǎo)學(xué)生動手繪制并觀察，進(jìn)行實驗.學(xué)生們在匯報實驗結(jié)果時，教師進(jìn)一步引導(dǎo)他們得出周長與直徑存在倍數(shù)關(guān)系的結(jié)論.

【設(shè)計意圖】教師嘗試讓學(xué)生直接領(lǐng)悟圓的周長與直徑的比例原理時，應(yīng)考慮到小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展階段.學(xué)生最初的猜測，如兩倍、三倍甚至四倍，往往缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)依據(jù)，更多源自于直觀感受而非深入的邏輯推演.教師通過將圓與其他形狀，如矩形和正六邊形進(jìn)行比較，通過實踐操作和直觀的圖形分析，學(xué)生們能夠逐步領(lǐng)會到一個事實，即圓的周長大致在直徑的三至四倍這個區(qū)間內(nèi)，這個發(fā)現(xiàn)并非抽象的理論，而是源于實際觀察和實驗的結(jié)果.這為后續(xù)精確計算出圓周率與直徑的固定比值奠定堅實的基礎(chǔ)，實現(xiàn)學(xué)生的綜合計算能力的進(jìn)一步有效提升.

3深化理解階段：回顧歷史，洞察“圓的周長”奧秘

本階段旨在深化學(xué)生的理論理解，區(qū)別于前階段的直接感知，教學(xué)轉(zhuǎn)向歷史的視角，對圓周率的本質(zhì)進(jìn)行探究.學(xué)生不再自行發(fā)現(xiàn)圓周率的起源，而是通過了解古代著作中有關(guān)“圓的周長”的記載，理解“周徑之比為三”的古老智慧.經(jīng)過教學(xué)，學(xué)生已建立起關(guān)于圓周長與直徑關(guān)系的清晰認(rèn)知，能用語言表達(dá)出來.因此，筆者將進(jìn)行兩部分的教學(xué)活動：一是解讀圓周率的內(nèi)涵；二是推導(dǎo)出圓周長的精確計算公式.

3.1解析圓周率的數(shù)學(xué)內(nèi)涵

引入討論階段.在初步的測量與計算中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的周長大約是直徑的三倍多，這已經(jīng)顯示了他們的洞察力.早在兩千多年前，我國的數(shù)學(xué)家就已經(jīng)對這一知識點(diǎn)有所研究.《周髀算經(jīng)》中的“周三徑一”雖表示周長是直徑的三倍，但為何略大于三，這就需要學(xué)生繼續(xù)深入探究中國古人的數(shù)學(xué)智慧.［3］

3.2推導(dǎo)圓的周長計算公式

問題1對于探討圓的周長計算，你們是否熟悉相關(guān)的公式？

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識點(diǎn).當(dāng)直徑（d）已知時，周長C可以用C=πd來計算；當(dāng)半徑（r）已知時，公式則變?yōu)镃=2πr.這里有個小細(xì)節(jié)，圓周率π是個特殊的無理數(shù)，通常在實際計算中取近似值3.14.

【設(shè)計意圖】教師通過數(shù)學(xué)歷史講述旨在增強(qiáng)學(xué)生對圓周率歷史背景的認(rèn)識，讓他們明白數(shù)學(xué)不僅存在于抽象概念中，還蘊(yùn)含著深厚的文化內(nèi)涵.在這個過程中，學(xué)生們逐步掌握了圓周長的計算方法，并構(gòu)建了完整的公式理解框架.

3.3深化學(xué)生對“圓的周長”的理解

依據(jù)范希爾教育理論，教師鼓勵學(xué)生自主探索，盡管他們對探索領(lǐng)域有所了解，但仍需自行確定探索路徑.教師的角色在于提供恰當(dāng)?shù)膯栴}情境或習(xí)題，激發(fā)他們思考和解決問題的能力.為此，教師可以安排三道幾何題目，讓學(xué)生在解決實際問題時，靈活運(yùn)用已掌握的圓周長知識，同時檢驗和提升他們的綜合運(yùn)用能力.

（1）分別計算圖2中兩個圓的周長（π的數(shù)值約等于3.14）.

（2）如何精確測定一個圓的周長與其直徑的比例范圍？

（3）如圖3所示，有A、B兩條路線，哪條路線的路程更短？

【設(shè)計意圖】自由探索階段，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題.第（1）題引導(dǎo)學(xué)生直接運(yùn)用定理求解圓形邊界長度；第（3）題深化學(xué)生對圓周率本質(zhì)的理解；第（3）題鼓勵學(xué)生自主創(chuàng)新，以多種途徑解答疑問.

4綜合階段：“圓的周長”知識提煉與鞏固

此階段為教學(xué)流程的收尾，學(xué)生對積累的知識進(jìn)行歸納，并融入自身的知識體系.此環(huán)節(jié)師生共同參與總結(jié)，通過復(fù)習(xí)，構(gòu)建起新的知識框架.

反思與梳理：在本次學(xué)習(xí)后，你有哪些領(lǐng)悟.讓我們共同梳理課程要點(diǎn).

【設(shè)計意圖】這一環(huán)節(jié)意在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生系統(tǒng)性地梳理學(xué)習(xí)過程，促進(jìn)學(xué)生將研究內(nèi)容與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)融合.

5結(jié)語

本文遵循范希爾理論和小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)原則，深入理解其內(nèi)涵后，選取“圓的周長”作為研究課題，提出了一套具體教學(xué)策略，結(jié)合教學(xué)實踐反饋，對教學(xué)效果進(jìn)行了分析并提出改善建議.范希爾理論在幾何教育中有深遠(yuǎn)影響，同樣適用于算術(shù)代數(shù)、概率統(tǒng)計等領(lǐng)域.

參考文獻(xiàn)

［1］黎媛君.探尋度量視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)周長認(rèn)識新路徑［J］.理科愛好者，2024（2）：230-232.

［2］周堅強(qiáng).立足“學(xué)”，建構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)“助學(xué)課堂”——以“圓的周長”的教學(xué)為例［J］.教育界，2024（6）：83-85.

［3］江曉原.《周髀算經(jīng)》新論·譯注［M］.上海：上海交通大學(xué)出版社，2015.