摘要： 在制動(dòng)噪聲現(xiàn)象中，汽車制動(dòng)器系統(tǒng)參數(shù)不可避免地存在著不確定性和相關(guān)性，使得系統(tǒng)響應(yīng)亦可能同時(shí)存在一定的不確定性和相關(guān)性，針對該問題開展了制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性響應(yīng)的不確定性和相關(guān)性分析研究。采用多橢球凸模型描述系統(tǒng)參數(shù)的不確定性和相關(guān)性，以不穩(wěn)定模態(tài)阻尼比表征系統(tǒng)穩(wěn)定性響應(yīng)。將多橢球凸模型分別與蒙特卡羅仿真、一階攝動(dòng)法和二階攝動(dòng)法相結(jié)合，提出了三種系統(tǒng)穩(wěn)定性響應(yīng)的不確定性分析方法；結(jié)合蒙特卡羅仿真和一階攝動(dòng)法，分別提出了兩種系統(tǒng)不確定響應(yīng)的相關(guān)性分析方法；基于不確定性和相關(guān)性分析方法，提出了建立系統(tǒng)響應(yīng)橢球域的組合方法。通過算例分析驗(yàn)證了方法的有效性。分析結(jié)果表明，所提出的方法可有效地求得系統(tǒng)穩(wěn)定性響應(yīng)的邊界區(qū)間、相關(guān)系數(shù)和橢球域，并且該方法具有較高的計(jì)算精度和效率。

關(guān)鍵詞： 汽車制動(dòng)器系統(tǒng)； 多橢球凸模型； 不確定性分析； 相關(guān)性分析； 制動(dòng)噪聲

中圖分類號： U463.51 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）09-1546-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.09.011

引 言

汽車制動(dòng)噪聲與制動(dòng)器的振動(dòng)穩(wěn)定性密切相關(guān)，眾多學(xué)者主要通過研究系統(tǒng)穩(wěn)定性來改善制動(dòng)噪聲問題。受工作條件變化、制造誤差、材料老化等因素的影響，制動(dòng)器系統(tǒng)的諸多參數(shù)往往存在不確定性［1］。因此，研究考慮不確定性的制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性具有重要的工程意義。

近年來，基于不確定性模型的制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性研究受到了越來越多的關(guān)注。張立軍等［2］通過考慮制動(dòng)盤參數(shù)的隨機(jī)不確定性，采用穩(wěn)健性設(shè)計(jì)方法研究了制動(dòng)尖叫問題。SARROUY等［3?4］基于混沌多項(xiàng)式展開提出了一種不確定性分析方法，用于研究線性制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。NOBARI等［5］引入代理模型研究制動(dòng)噪聲問題，大大減少了計(jì)算時(shí)間和成本。黃曉婷等［6］基于模糊模型對制動(dòng)器的參數(shù)不確定性進(jìn)行建模，提出了一種面向制動(dòng)噪聲控制的模糊不確定性分析方法。呂輝等［7?8］基于證據(jù)理論提出了非精確的概率不確定性分析方法，用于分析制動(dòng)尖叫問題。

可以看出，基于不確定性模型的制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性研究已經(jīng)取得較多研究成果。但現(xiàn)有研究還存在如下兩點(diǎn)不足：第一，上述對于制動(dòng)器穩(wěn)定性的研究均將系統(tǒng)參數(shù)視為相互獨(dú)立的不確定變量，沒有考慮不確定參數(shù)之間的相關(guān)性。然而，在工程實(shí)際中，系統(tǒng)不確定參數(shù)之間往往存在一定的相關(guān)性［9?10］。例如系統(tǒng)制動(dòng)壓力和摩擦系數(shù)之間往往存在相關(guān)性。第二，對于實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)，不僅輸入?yún)?shù)間存在相關(guān)性，輸出響應(yīng)之間也可能存在相關(guān)性。當(dāng)一個(gè)響應(yīng)發(fā)生變化，可能會(huì)影響其他響應(yīng)的變化，通過響應(yīng)相關(guān)性分析可以獲得此類影響規(guī)律，進(jìn)而更好地指導(dǎo)后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。然而，現(xiàn)有研究很少涉及系統(tǒng)響應(yīng)的相關(guān)性分析。

針對上述可能存在的問題，本文基于多橢球凸模型開展了制動(dòng)器穩(wěn)定性響應(yīng)的不確定性和相關(guān)性分析，有針對性地研究了系統(tǒng)不確定參數(shù)存在相關(guān)性的情形。首先，采用多橢球凸模型描述系統(tǒng)參數(shù)的不確定性和相關(guān)性；然后，結(jié)合蒙特卡羅法、一階攝動(dòng)法和二階攝動(dòng)法開展了系統(tǒng)穩(wěn)定性響應(yīng)的不確定性分析；接著，結(jié)合一階攝動(dòng)法求解了系統(tǒng)響應(yīng)的相關(guān)性；最后，通過算例驗(yàn)證了方法的有效性。

1 分析模型

1.1 盤式制動(dòng)器模型

圖1為一汽車浮動(dòng)鉗盤式制動(dòng)器模型［8］，其主要由制動(dòng)卡鉗、定位銷、支架、制動(dòng)塊、法蘭盤、制動(dòng)盤等部件組成。其中，制動(dòng)盤剛性地連接在輪轂上隨著車輪轉(zhuǎn)動(dòng)。制動(dòng)塊則由襯片底板和摩擦材料組成。系統(tǒng)主要通過制動(dòng)盤和制動(dòng)塊間產(chǎn)生的摩擦阻力矩使得汽車減速或停止運(yùn)動(dòng)。制動(dòng)過程中，如果系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，則有可能引發(fā)制動(dòng)噪聲［8］。

制動(dòng)器系統(tǒng)的振動(dòng)方程可表示為［1］：

（1）

式中 ，和分別為無摩擦制動(dòng)器系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；為摩擦接觸矩陣；為系統(tǒng)振動(dòng)的廣義位移量，由歐拉公式可得：

（2）

式中 為系統(tǒng)特征值；為振型矩陣。

結(jié)合式（1）和（2）可得：

（3）

系統(tǒng)第階的特征值可表示為，其中，和分別表示特征值的實(shí)部和虛部。

系統(tǒng)第i階特征值對應(yīng)的模態(tài)阻尼比定義為：

（4）

當(dāng)為負(fù)時(shí)，對應(yīng)的復(fù)特征值實(shí)部為正，此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有可能引發(fā)制動(dòng)噪聲。因此，模態(tài)阻尼比可以作為評判制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性的指標(biāo)。

1.2 多橢球凸模型

制動(dòng)器的諸多不確定參數(shù)之間可能存在著一定的相關(guān)性。針對該復(fù)雜情形，本文引入多橢球凸模型描述系統(tǒng)參數(shù)的不確定性和相關(guān)性，即將系統(tǒng)參數(shù)分為若干組，每組參數(shù)用一個(gè)單橢球模型描述，組與組之間相互獨(dú)立。

假定系統(tǒng)存在n個(gè)不確定參數(shù)x=（x1 … xi … xn）T，對于任一，記其上界為，下界為，則其中心和半徑定義為：

（5）

的不確定度表示為，方差表示為。

將n個(gè)不確定參數(shù)分成N組，即 ，。

則不確定參數(shù)的中心值也會(huì)被分成N組：。

對于，其單橢球凸模型描述為：

（6）

式中 為橢球凸模型的協(xié)方差矩陣。

任意兩個(gè)不確定變量和的協(xié)方差定義為：，其中，為橢圓的旋轉(zhuǎn)角度。

為剔除參數(shù)級大小不同的影響，引入相關(guān)系數(shù)描述和的相關(guān)性：

（7）

不確定參數(shù)的協(xié)方差矩陣可表示為：

（8）

不確定參數(shù)的相關(guān)系數(shù)矩陣可表示為：

（9）

令，單橢球凸模型也可描述為：

（10）

此時(shí)，N組單橢球模型構(gòu)成的多橢球凸模型為：

（11）

式中 即為描述制動(dòng)器系統(tǒng)參數(shù)的N組單橢球凸模型構(gòu)成的不確定模型。

2 響應(yīng)不確定性分析

開展制動(dòng)器系統(tǒng)模態(tài)阻尼比響應(yīng)的不確定性分析，能獲得響應(yīng)的上、下邊界。將響應(yīng)邊界控制在給定的設(shè)計(jì)范圍內(nèi)，能有效降低制動(dòng)噪聲的產(chǎn)生傾向［7］。以表示系統(tǒng)第j個(gè)待研究的模態(tài)阻尼比，表示系統(tǒng)參數(shù)并且采用多橢球凸模型描述。下面給出三種方法用于求解。

2.1 MCUA方法

首先，基于蒙特卡羅仿真［11］提出一種求解的蒙特卡羅不確定性分析（Monte Carlo Uncertainty Analysis，MCUA）方法。MCUA法的主要步驟如下：

（1）根據(jù)參數(shù)x的相關(guān)性，將不確定參數(shù)分為N組，，然后構(gòu)建多橢球凸模型。

（2）假設(shè)不確定參數(shù)x相互獨(dú)立，在范圍內(nèi)隨機(jī)抽取樣本。

（3）將上述樣本代入多橢球凸模型，如滿足模型方程，則將樣本保存；若不滿足，則舍去。

（4）重復(fù)步驟（2）和（3），直至獲得組滿足要求的樣本。

（5）計(jì)算每一組滿足要求的樣本對應(yīng)的值，得到個(gè)響應(yīng)值。

（6）選取個(gè)響應(yīng)值中的最大和最小值作為的上、下界，分別記為和，并得到的響應(yīng)區(qū)間。

MCUA的計(jì)算精度隨著樣本數(shù)量的增大而提高，當(dāng)抽取樣本數(shù)量足夠大時(shí)，能獲得相當(dāng)精確的結(jié)果。因此，MCUA可作為參考方法驗(yàn)證其他分析方法的有效性。

2.2 FPUA方法

MCUA的計(jì)算精度嚴(yán)重依賴于樣本數(shù)量，計(jì)算效率往往較低?；谝浑A攝動(dòng)法、拉格朗日乘子法和中心差分法提出一種求解的方法。

在處的一階泰勒展開為：

（12）

式中 為的一階偏導(dǎo)數(shù)，可表示為：。

采用中心差分法求解偏導(dǎo)數(shù)，有：

（13）

式中 為差分步長，且。

，也可被分成N組，，，i=1，2，…，N。

定義的拉格朗日方程為：

（14）

式中 為拉格朗日乘子；結(jié)合拉格朗日函數(shù)取得極值的必要條件=0以及約束條件，可求得的上、下界分別為：

（15）

（16）

為表述方便，上述方法稱為一階攝動(dòng)不確定性分析（First?order Perturbation Uncertainty Analysis，F(xiàn)PUA）方法。

2.3 SPUA方法

FPUA適用于不確定度較小或者非線性較弱的情況。為進(jìn)一步提高計(jì)算精度，基于二階攝動(dòng)法提出一種求解的方法。

基于二階泰勒展開，可表示為：

（17）

式中 為海森矩陣，可表示為：

（18）

忽略的非對角元素，可簡化為：

。

采用中心差分法求二階偏導(dǎo)有：

（19）

根據(jù)參數(shù)的相關(guān)性，也可以分為N組，，其中，，r表示第i組的第r個(gè)參數(shù)。

的表達(dá)式可改寫為：

（20）

以多橢球凸模型為約束，定義第i個(gè)拉格朗日函數(shù)為：

（21）

存在多個(gè)方程累加，考慮第i個(gè)橢球凸模型，為非線性方程，此時(shí)根據(jù)Kuhn?Tucker條件，需要討論以下兩種情況。

（1） 極值點(diǎn)出現(xiàn)在橢球內(nèi)部時(shí)有：

（22）

求解式（22）可得。

（2） 極值點(diǎn)出現(xiàn)在橢球邊界時(shí)有：

（23）

求解式（23）可得第二種情形的解。綜合以上兩種情形的解和，記為解集，則存在N組解集。對它們進(jìn)行排列組合，得最終的解集為。

將這些解代入式（17）得到一系列的值，則的上、下界分別為：

（24）

為表述方便，上述方法稱為二階攝動(dòng)不確定性分析（Second?order Perturbation Uncertainty Analysis，SPUA）方法。

3 響應(yīng)相關(guān)性及橢球域分析

引入相關(guān)系數(shù)描述系統(tǒng)任意兩個(gè)待研究的模態(tài)阻尼比響應(yīng)和間的相關(guān)性。下面將給出兩種方法用于開展系統(tǒng)響應(yīng)相關(guān)性分析，即求解。

3.1 MCCA方法

首先提出一種求解的蒙特卡羅相關(guān)性分析（Monte Carlo Correlation Analysis，MCCA）方法。MCCA法的主要步驟如下：

（1）執(zhí)行MCUA方法的前4個(gè)步驟。

（2）計(jì)算每一組滿足要求的樣本對應(yīng)的和值，得到各響應(yīng)的P個(gè)值。

（3）基于各響應(yīng)的個(gè)值，根據(jù)定義可以求得各響應(yīng)的方差和，以及兩個(gè)響應(yīng)間的協(xié)方差。進(jìn)而，可求得兩個(gè)響應(yīng)間的相關(guān)系數(shù)。

MCCA法計(jì)算過程主要基于蒙特卡羅抽樣，計(jì)算效率較低。

3.2 FPCA方法

為進(jìn)一步提高相關(guān)性分析效率，基于一階攝動(dòng)法提出一種求解的方法。

由式（6）可知第i個(gè)橢球方程為：

（25）

對橢球方程進(jìn)行處理，得到：

（26）

僅考慮橢球表面時(shí)：

（27）

式中 為單位矩陣。因此，有。即協(xié)方差矩陣可表示為：

（28）

得到任意兩個(gè)響應(yīng)的相關(guān)系數(shù)表達(dá)式為：

（29）

等式兩邊同時(shí)在不確定域內(nèi)積分，且N個(gè)橢球域都是關(guān)于中心對稱的，可得：

因此，兩個(gè)響應(yīng)間的協(xié)方差為：

（30）

最后可求得相關(guān)系數(shù)為：

（31）

為表述方便，上述方法稱為一階攝動(dòng)相關(guān)性分析（First?order Perturbation Correlation Analysis，F(xiàn)PCA）方法。

3.3 橢球域分析

得到任意兩個(gè)響應(yīng)的上、下邊界以及相關(guān)系數(shù)后，可建立一個(gè)橢球域用于量化和的不確定域，其數(shù)學(xué)表示為：

（32）

式中 為協(xié)方差矩陣：

，其中，，，。

根據(jù)MCUA和MCCA，可求得和邊界和相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而建立響應(yīng)的橢球域。將結(jié)合MCUA和MCCA求響應(yīng)橢球域的方法簡稱為MCUA?MCCA法。類似地，可得到FPUA?FPCA法和SPUA?FPCA法。

4 算例分析

4.1 研究模型

以圖1所示的制動(dòng)器系統(tǒng)為研究對象，由文獻(xiàn)［8］可知該系統(tǒng)在制動(dòng)過程中存在的制動(dòng)噪聲問題。結(jié)合文獻(xiàn)［8，12］，選取系統(tǒng)研究參數(shù)為：制動(dòng)盤與制動(dòng)塊之間的摩擦系數(shù)、制動(dòng)壓力、摩擦材料密度和摩擦材料的楊氏模量。這些參數(shù)與摩擦接觸特性緊密相關(guān)，在工程實(shí)際中表現(xiàn)出較強(qiáng)的不確定性。故將這些參數(shù)均視為不確定參數(shù)，其取值如表1所示。同時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)［13?14］可知摩擦系數(shù)和制動(dòng)壓力存在相關(guān)性，摩擦材料密度和楊氏模量亦存在一定相關(guān)性。

結(jié)合文獻(xiàn)［1］可知，在1～16 kHz的范圍內(nèi)，該模型在7.28和12.9 kHz左右的不穩(wěn)定模態(tài)的阻尼比絕對值較大。因此，選取這兩個(gè)模態(tài)阻尼比作為主要響應(yīng)來反映系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。基于有限元分析和響應(yīng)面法，可建立兩個(gè)不穩(wěn)定模態(tài)的阻尼比響應(yīng)函數(shù)，分別記為和：

（33）

（34）

式中 ，并采用多橢球凸模型描述其不確定性和相關(guān)性。

兩個(gè)響應(yīng)面模型的決定系數(shù)分別為0.9837和0.8932，模型值分別為64.83和17.73，兩模型與有限元模型逼近程度較高，能較好地滿足預(yù)測精度要求。

4.2 不確定性分析

考慮系統(tǒng)不確定參數(shù)間的相關(guān)性，設(shè)定相關(guān)系數(shù)。為分析系統(tǒng)參數(shù)不確定性對響應(yīng)不確定性的影響，以及分析FPUA和SPUA適用的不確定度范圍，給定一系列參數(shù)的不確定度，使用不同方法計(jì)算響應(yīng)的邊界，表2和3給出了不同情形下MCUA，F(xiàn)PUA和SPUA的計(jì)算結(jié)果。其中，MCUA的樣本數(shù)為105。

以表2和3為基礎(chǔ)，繪制出MCUA，F(xiàn)PUA和SPUA的計(jì)算結(jié)果如圖2所示。計(jì)算FPUA和SPUA相較于MCUA的相對誤差，如圖3所示。

由圖2可知，和也存在不確定性，且隨參數(shù)不確定度增大，和的不確定區(qū)間逐漸增大。此外，當(dāng)時(shí)，三種方法的曲線幾乎是重合的，說明此時(shí)FPUA和SPUA方法的計(jì)算精度均很高；而隨著參數(shù)不確定度增大，F(xiàn)PUA和SPUA方法求得的曲線逐漸偏離MCUA求得的參考值曲線，其中FPUA的曲線差異更明顯。在求解的響應(yīng)時(shí)，SPUA方法求得的曲線與參考曲線基本重合。這說明SPUA的計(jì)算精度整體上優(yōu)于FPUA。

由圖3可知，對于下界，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)PUA方法計(jì)算的相對誤差大于5%，但SPUA方法計(jì)算的相對誤差均在5%以內(nèi)；對于上界，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)PUA方法計(jì)算的相對誤差超過5%，而SPUA方法計(jì)算的相對誤差均在5%以內(nèi)；對于下界，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)PUA的相對誤差超過5%，但SPUA的相對誤差均在5%以內(nèi)；對于上界，由于其值接近0，兩種方法計(jì)算的相對誤差均較大，F(xiàn)PUA方法和SPUA方法均在后相對誤差超過5%?？偟膩碚f，SPUA方法的計(jì)算精度高于FPUA方法，且適用的不確定度范圍更大。

在計(jì)算效率方面，在求解上述響應(yīng)結(jié)果時(shí)，MCUA用時(shí)48 s，F(xiàn)PUA用時(shí)0.25 s，SPUA用時(shí)0.4 s?？梢奆PUA和SPUA在求解系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)均具有較高的計(jì)算效率。與FPUA相比，SPUA方法的計(jì)算效率略低，但大大提高了計(jì)算精度。

4.3 相關(guān)性分析

令參數(shù)不確定度，分5種情況考慮兩組參數(shù)的相關(guān)性，即0，0.3，0.5，0.7和0.9。然后分別采用MCCA方法和FPCA方法求解和之間的相關(guān)系數(shù)，其中，MCCA的樣本數(shù)為105，結(jié)果如表4所示。以MCCA方法為參考，給出FPCA方法計(jì)算的相對誤差，結(jié)果如圖4所示。

由表4和圖4可知，以MCCA為參考，F(xiàn)PCA求解響應(yīng)相關(guān)系數(shù)的相對誤差均在4.5%以下，兩種方法的計(jì)算結(jié)果較為接近。此外，還可看出，參數(shù)相關(guān)性越大時(shí)，響應(yīng)相關(guān)性的計(jì)算誤差越小。

繪制響應(yīng)的相關(guān)系數(shù)與參數(shù)的相關(guān)系數(shù)曲線圖，如圖5所示，由圖可見，兩種方法曲線的重合度較高，也體現(xiàn)了FPCA具有較高的計(jì)算精度。此外，隨著參數(shù)的相關(guān)系數(shù)逐漸增大，和的相關(guān)系數(shù)逐漸減小，即兩響應(yīng)的關(guān)聯(lián)程度逐漸減弱。

特別地，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)的相關(guān)系數(shù)為0，即不考慮參數(shù)的相關(guān)性時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)之間的相關(guān)系數(shù)并不為0。這表明響應(yīng)間的相關(guān)性不是完全來自系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)參數(shù)獨(dú)立時(shí)，響應(yīng)間也可能存在相關(guān)性。

在計(jì)算效率方面，MCCA用時(shí)5 s，F(xiàn)PCA用時(shí)0.3 s?？梢奆PCA在求解系統(tǒng)響應(yīng)相關(guān)性時(shí)具有很高的計(jì)算效率。

綜上，F(xiàn)PCA方法在求解系統(tǒng)響應(yīng)相關(guān)性時(shí)具有較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率。

4.4 橢球域分析

獲得響應(yīng)的不確定邊界和相關(guān)性后，可建立響應(yīng)的橢球域來直觀反映響應(yīng)的不確定性和相關(guān)性。分別采用MCUA?MCCA，F(xiàn)PUA?FPCA和SPUA? FPCA三種組合方法研究以下兩種情形的響應(yīng)橢球域：（1）保持參數(shù)不確定度不變，改變參數(shù)的相關(guān)系數(shù)取值為0.3，0.5，0.7和0.9，分析結(jié)果如圖6所示；（2）保持參數(shù)的相關(guān)系數(shù)不變，改變參數(shù)的不確定度為，，和，分析結(jié)果如圖7所示。

由圖6可知，以MCUA?MCCA求得的結(jié)果為參考，SPUA?FPCA求得的橢圓域比FPUA?FPCA求得的橢圓域更接近參考值，表明SPUA?FPCA的計(jì)算結(jié)果更為精確。同時(shí)，隨著參數(shù)相關(guān)系數(shù)增大，橢圓旋轉(zhuǎn)角度變小且保持正值，橢圓域逐漸變圓。即響應(yīng)和的相關(guān)系數(shù)在減小，正相關(guān)程度在降低，這與前文分析一致。

由圖7可知，隨著參數(shù)不確定度增大，三種方法求得的橢圓域均增大，橢圓旋轉(zhuǎn)角度基本不變。說明響應(yīng)和的不確定范圍在擴(kuò)大，但正相關(guān)性變化不大。此外，F(xiàn)PUA?FPCA和SPUA?FPCA求得的橢圓域隨著參數(shù)不確定度增大逐漸偏離參考值，但SPUA?FPCA求得的結(jié)果始終接近參考值。這也說明SPUA?FPCA的求解精度更高。

5 結(jié) 論

隨著參數(shù)不確定度增大，制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性響應(yīng)的不確定域變大；以MCUA方法作為參考，SPUA方法計(jì)算的響應(yīng)不確定邊界具有更高的精度，且適用于更大的參數(shù)不確定度范圍，F(xiàn)PUA方法僅適用于參數(shù)不確定度小的情形；FPUA和SPUA方法均具有較高的計(jì)算效率。

在求解制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性響應(yīng)的相關(guān)性方面，以MCCA方法為參考，所提出的FPCA方法求得的響應(yīng)相關(guān)系數(shù)是有效的，且計(jì)算效率更高。

隨著不確定參數(shù)相關(guān)性增大，所研究的制動(dòng)器系統(tǒng)兩個(gè)穩(wěn)定性指標(biāo)響應(yīng)之間的相關(guān)系數(shù)減小，正相關(guān)性減弱。本文方法亦適用于盤式制動(dòng)器外的其他類型制動(dòng)器系統(tǒng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］Lü H， YU D J. Brake squeal reduction of vehicle disc brake system with interval parameters by uncertain optimization［J］. Journal of Sound and Vibration， 2014， 333（26）： 7313-7325.

［2］張立軍，龐明，孟德建，等.面向制動(dòng)尖叫抑制的制動(dòng)塊穩(wěn)健性設(shè)計(jì)［J］.汽車工程，2016，38（1）：65-71.

ZHANG Lijun， PANG Ming， MENG Dejian， et al. Robust design of brake pad for brake squeal suppression［J］. Automobile Engineering， 2016， 38（1）： 65-71.

［3］SARROUY E， DESSOMBZ O， SINOU J J. Piecewise polynomial chaos expansion with an application to brake squeal of a linear brake system［J］. Journal of Sound and Vibration， 2013，332（3）： 577-594.

［4］SARROUY E， DESSOMBZ O， SINOU J J. Stochastic study of a non-linear self-excited system with friction［J］. European Journal of Mechanics-A/Solids， 2013， 40： 1-10.

［5］NOBARI A， OUYANG H， BANNISTER P. Uncertainty quantification of squeal instability via surrogate modelling［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2015， 60： 887-908.

［6］黃曉婷， 李沛航， 呂輝. 含模糊不確定性的汽車盤式制動(dòng)器穩(wěn)定性研究［J］. 重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)）， 2021， 35（8）： 48-55.

HUANG Xiaoting， LI Peihang， Lü Hui. Research on the stability of automotive disc brakes with fuzzy uncertainty［J］. Journal of Chongqing University of Technology（Natural Science）， 2021， 35（8）： 48-55.

［7］呂輝， 上官文斌， 于德介. 基于證據(jù)理論的汽車制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性分析［J］. 華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2019， 47（3）： 53-60.

Lü Hui， SHANGGUAN Wenbin， YU Dejie. Stability analysis of automotive brake systems based on evidence theory［J］. Journal of South China University of Technology（Natural Science Edition）， 2019， 47（3）： 53-60.

［8］Lü H， SHANGGUAN W B， YU D J. An imprecise probability approach for squeal instability analysis based on evidence theory［J］. Journal of Sound and Vibration， 2017， 387（20）： 96-113.

［9］賈愛芹，陳建軍，徐亞蘭.基于攝動(dòng)法的不確定性汽車懸架振動(dòng)控制特征值的凸模型分析［J］.中南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，43（4）： 121-125.

JIA Aiqin， CHEN Jianjun， XU Yalan. Convex model analysis of vibration control eigenvalues of vehicle suspension system based on perturbation method［J］. Journal of Central South University（Science and Technology）， 2012，43（4）： 121-125.

［10］王攀，臧朝平. 改進(jìn)的平行六面體凸模型識(shí)別動(dòng)力學(xué)不確定參數(shù)區(qū)間的方法［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2019，32（1）： 97-106.

WANG Pan， ZANG Chaoping. Method of identifying dynamic uncertain parameter intervals with improved parallelepiped convex model［J］. Journal of Vibration Engineering， 2019， 32（1）： 97-106.

［11］CAI B H， SHANGGUAN W B， Lü H， et al. Hybrid uncertainties-based analysis and optimization design of powertrain mounting systems［J］. Science China Technological Sciences， 2020， 63（5）： 838-850.

［12］RENAULT A， MASSA F， LALLEMAND B， et al. Experimental investigations for uncertainty quantification in brake squeal analysis［J］. Journal of Sound and Vibration， 2016， 367： 37-55.

［13］BIJWE J， KUMAR M. Optimization of steel wool contents in non-asbestos organic （NAO） friction composites for best combination of thermal conductivity and tribo-performance［J］. Wear， 2007， 263（7-12）： 1243-1248.

［14］ASHBY M F， CEBON D. Materials selection in mechanical design［J］. Le Journal de Physique Ⅳ， 1993， 3（C7）： C7-1-C7-9.

Uncertainty and correlation analysis for the stability responses of automotive brake systems

Lü Hui1，2， YANG Chao1， SHANGGUAN Wen-bin1， YU De-jie2， ZHAO Ke-gang1

（1.School of Mechanical and Automotive Engineering， South China University of Technology， Guangzhou 510641，China； 2.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle， Hunan University， Changsha 410082， China）

Abstract： In the phenomenon of brake noise， the parametric uncertainty and correlation inevitably exist in the automotive brake systems， leading to some uncertainty and correlation of the system response. To address this problem， the uncertainty and correlation analysis for the stability responses of brake systems was carried out. A multi-ellipsoidal convex model was used to depict the uncertainty and correlation of system parameters， and the stability responses of system were characterized by the unstable modal damping ratios. The Monte Carlo simulation， the first-order perturbation method and the second-order perturbation method were respectively combined with the multi-ellipsoidal convex model respectively， and three uncertainty analysis methods of system stability responses were proposed. Based on the Monte Carlo simulation and the first-order perturbation method， two correlation analysis methods of system uncertain responses were developed respectively. The combinatorial methods for establishing the ellipsoid domains of system responses were presented by combining the uncertainty analysis and correlation analysis methods. A numerical example was given to verify the effectiveness of the proposed methods. The analysis results demenstrate that the proposed methods can effectively obtain the boundary intervals， correlation coefficients and ellipsoid domains of system responses， and the methods have high computational accuracy and efficiency.

Key words： automotive brake system；multi-ellipsoid convex model；uncertainty analysis；correlation analysis；brake noise

作者簡介： 呂 輝（1986—），男，博士，副教授。E-mail： melvhui@scut.edu.cn。

通訊作者： 趙克剛（1977—），男，博士，副教授。E-mail： kgzhao@scut.edu.cn。