摘要： 隨機(jī)地震動(dòng)模擬一般有頻域和時(shí)域兩大類方法。本文基于單重過濾白噪聲時(shí)域模型，建議了平穩(wěn)地震動(dòng)過程和全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程模擬的時(shí)域表達(dá)。本質(zhì)上，時(shí)域表達(dá)可視為一系列標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量所調(diào)制的確定性函數(shù)的線性疊加，而正交隨機(jī)變量集則可定義為隨機(jī)正交函數(shù)形式來實(shí)現(xiàn)高效降維。為此，通過引入三類隨機(jī)正交函數(shù)，即非高斯型的Legendre正交多項(xiàng)式、Hartley正交基和高斯型的Hartley正交基，均可實(shí)現(xiàn)僅用一個(gè)基本隨機(jī)變量在時(shí)域模型上精細(xì)表達(dá)地震動(dòng)加速度過程。平穩(wěn)地震動(dòng)過程的數(shù)值算例表明了本文方法的有效性，且優(yōu)于Monte Carlo方法；全非平穩(wěn)地震動(dòng)的算例分析則表明了本文方法的工程適用性。

關(guān)鍵詞： 地震動(dòng)過程； 時(shí)域表達(dá)； 過濾白噪聲； 降維模擬

中圖分類號(hào)： P315.9； TU311.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）09-1493-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.09.006

引 言

中國(guó)位于環(huán)太平洋地震帶與歐亞地震帶之間，是一個(gè)地震頻發(fā)的國(guó)家。強(qiáng)烈地震會(huì)造成工程結(jié)構(gòu)的破壞，危害人類生命安全，造成重大經(jīng)濟(jì)損失，因此，對(duì)工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的抗震分析具有重要意義［1］。目前，工程中常挑選若干實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析，這雖然便于工程應(yīng)用，但由于實(shí)測(cè)記錄數(shù)量有限以及具體場(chǎng)地條件的限制，無法滿足工程抗震精細(xì)化分析的需求。因此，地震動(dòng)過程的人工合成方法逐漸受到工程界和學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。一般而言，隨機(jī)地震動(dòng)的模擬方法可分為時(shí)域方法和頻域方法兩大類。頻域方法主要適用于平穩(wěn)過程的模擬，對(duì)于全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程，往往需要引入時(shí)頻調(diào)制函數(shù)，由于時(shí)頻調(diào)制函數(shù)和平穩(wěn)功率譜一般為慢變函數(shù)，因而難以很好地刻畫地震動(dòng)局部的時(shí)頻全非平穩(wěn)性，而且模擬時(shí)需要進(jìn)行時(shí)頻域轉(zhuǎn)換，不可避免地引入誤差［2］。時(shí)域方法的模擬直接在時(shí)域上進(jìn)行，且通過強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)和時(shí)變?yōu)V波器，可實(shí)現(xiàn)時(shí)頻全非平穩(wěn)，無需進(jìn)行時(shí)頻域的轉(zhuǎn)換。為此，本文主要研究地震動(dòng)模擬的時(shí)域方法。

地震動(dòng)模擬的時(shí)域方法大致可分為調(diào)幅過濾白噪聲模型，時(shí)變ARMA模型等。時(shí)變ARMA模型本質(zhì)上是一類機(jī)器學(xué)習(xí)模型，李英民等［3］對(duì)這類模型進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究。由于時(shí)變ARMA模型的參數(shù)較多，且模型需要進(jìn)行判階，因此本文僅研究調(diào)幅過濾白噪聲模型，該模型的發(fā)展有著悠久的歷史。Housner［4］率先提出采用隨機(jī)過程理論來模擬地震動(dòng)加速度過程的思想。Bycroft［5］正式提出了平穩(wěn)白噪聲地震動(dòng)模型。然而，平穩(wěn)白噪聲模型無法體現(xiàn)真實(shí)地震動(dòng)的非平穩(wěn)性，因此Shinozuka等［6］、Amin等［7］、Iyengar等［8］分別建議了強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)來構(gòu)造非平穩(wěn)地震動(dòng)模型。Yeh等［9］基于平穩(wěn)濾波器構(gòu)造高斯過濾白噪聲的地震動(dòng)模型，并通過識(shí)別目標(biāo)地震動(dòng)的累積能量和向上穿零次數(shù)來確定其模型參數(shù)。隨后，Beck等［10］、Rezaeian等［11］、Vetter等［12］提出和發(fā)展了基于調(diào)幅過濾白噪聲的時(shí)域模型。該模型是一種半物理、半數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型，它以白噪聲過程作為原始隨機(jī)信號(hào)，經(jīng)時(shí)變的濾波器過濾，最后通過調(diào)制函數(shù)來獲得全非平穩(wěn)地震動(dòng)。基于調(diào)幅過濾白噪聲的時(shí)域模型標(biāo)志著地震動(dòng)模擬的時(shí)域方法已趨于成熟，具有廣泛的應(yīng)用前景。

在隨機(jī)地震動(dòng)模擬的頻域方法中，無論是地震動(dòng)過程的源譜表達(dá)［13］，還是地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的離散表達(dá)［14?15］（譜表示與POD）以及連續(xù)表達(dá)［16］（波數(shù)譜），均可看作是一系列正交隨機(jī)變量與確定性函數(shù)之積的線性組合形式，這為引入隨機(jī)正交函數(shù)的約束來實(shí)現(xiàn)正交隨機(jī)變量集的高效降維提供了便利［17］。在本質(zhì)上，隨機(jī)地震動(dòng)模擬的時(shí)域方法也可看作類似形式，即一系列標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量所調(diào)制的確定性函數(shù)的線性疊加。因此，時(shí)域方法同樣也可以引入隨機(jī)正交函數(shù)來實(shí)現(xiàn)高效降維。而且，由于降維方法所生成的代表性樣本具有賦得概率，且構(gòu)成一個(gè)完備的概率集，可與第三代結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論相結(jié)合［18?20］，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的精細(xì)化動(dòng)力響應(yīng)分析與整體可靠度計(jì)算。

1 平穩(wěn)地震動(dòng)過程的單重過濾白噪聲模型

在地震工程中，平穩(wěn)單重過濾白噪聲模型是指將地表土層視為單自由度的線性濾波器，而地震引起基巖運(yùn)動(dòng)的加速度過程假定為一個(gè)零均值的白噪聲過程，其雙邊功率譜密度為。于是，地表土層的運(yùn)動(dòng)方程［21］為：

（1）

式中 分別為地震地面相對(duì)于基巖的加速度、速度和位移響應(yīng)；分別為地表土層的卓越圓頻率和阻尼比。

考慮到初始條件為零，根據(jù)Duhamel積分［21］，地震地面的相對(duì)位移響應(yīng)為：

（2）

式中 “*”表示卷積符號(hào)；為相對(duì)位移的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，即：

（3）

式中 。

根據(jù)卷積運(yùn)算的微分性質(zhì)，地震地面的相對(duì)速度響應(yīng)為：

（4）

式中 為相對(duì)速度的脈沖響應(yīng)函數(shù)，其表達(dá)式為：

（5）

于是，地震地面的絕對(duì)加速度可以表示為：

（6）

最后，將式（2）及式（4）代入到式（6）中，并利用式（3）和式（5），即可得到地震地面絕對(duì)加速度的單重過濾白噪聲表達(dá)式：

（7）

式中 表示絕對(duì)加速度的脈沖響應(yīng)函數(shù)，即：

（8）

在式（2），（4）及式（7）中，平穩(wěn)白噪聲過程應(yīng)當(dāng)滿足如下條件：

（9）

式中 E［］表示數(shù)學(xué)期望；為Dirac函數(shù)。

式（7）即為單重過濾白噪聲的時(shí)域模型，而對(duì)應(yīng)的頻域模型就是地震工程中著名的Kanai?Tajimi譜［22］：

（10）

2 基于時(shí)域模型的平穩(wěn)地震動(dòng)過程模擬

為了便于模擬，對(duì)于平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程，需要將式（7）寫成分段積分的形式：

（11）

式中 經(jīng)過k個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)后的時(shí)刻，為時(shí)間離散步長(zhǎng)；表示地震動(dòng)模擬持時(shí)T的時(shí)間離散項(xiàng)數(shù)；表示模擬時(shí)間t的時(shí)間離散項(xiàng)數(shù)。

在微小時(shí)間段內(nèi)，假定為一常數(shù)，且略去式（11）中的最后一項(xiàng)。于是，式（11）可以近似寫成：

（12）

若令：

（13）

可以證明，（）是一組零均值的正交隨機(jī)變量。事實(shí)上有：

（14）

（15）

式中 為Kronecker符號(hào)。

進(jìn)一步，將隨機(jī)變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即。于是，式（12）還可以簡(jiǎn)寫成：

（16）

式中 為一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量集，即滿足如下的基本條件：

， （17）

3 基于時(shí)域模型的全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程模擬

對(duì)于全非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程，本文采用強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)和時(shí)變的場(chǎng)地參數(shù)來描述時(shí)?頻全非平穩(wěn)性。為此，根據(jù)式（7），全非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的時(shí)域模型為：

（18）

其中

（19）

在式（18）中，由于大括號(hào)內(nèi)的部分是一個(gè)具有時(shí)變頻率成分的標(biāo)準(zhǔn)化過程（單位方差過程）。因此，強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)就完全控制了過程的時(shí)間非平穩(wěn)性，而脈沖響應(yīng)函數(shù)（濾波器）及其時(shí)變參數(shù)則控制了過程的頻譜非平穩(wěn)性。

一般地，強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)可選用三段式模型［7］：

（20）

式中 參數(shù)，為地震動(dòng)過程的標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)的最大值，變量c控制強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)下降段的衰減速度。

對(duì)于脈沖響應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式（8），其參數(shù)采用如下的線性時(shí)變形式［23］：

（21）

式中 與分別為場(chǎng)地土卓越圓頻率和阻尼比的均值；a，b為場(chǎng)地土參數(shù)隨時(shí)間變化的速率。

同樣地，為了便于模擬，首先將式（18）中大括號(hào)內(nèi)的部分寫成如式（11）所示的分段積分形式；然后，在微小時(shí)間段內(nèi)，假定為一常數(shù)，且略去大括號(hào)內(nèi)的最后一項(xiàng)，得到：

（22）

PIEMfolXGCQsqZhPkk5pd07v6ct3Zrn64KEN1kjh6bM=其中

（23）

最后，定義隨機(jī)變量，并進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即可得到式（22）的簡(jiǎn)寫形式：

（24）

其中

（25）

值得指出的是，幾乎在以往所有的文獻(xiàn)里，都直接將隨機(jī)變量集當(dāng)作是一組相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量。這從Monte Carlo模擬的角度是十分方便的。但是，在本質(zhì)上，隨機(jī)變量集應(yīng)當(dāng)是一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量，而且它們的概率分布也沒有給定，這恰為正交隨機(jī)變量集的降維提供了必要條件。此外，從式（16）及式（24）還可知，隨機(jī)過程的時(shí)域表達(dá)與Karhunen?Loève分解具有相同形式，他們都是將隨機(jī)過程表達(dá)為一系列確定性函數(shù)與正交隨機(jī)變量之積的線性組合形式。從這一意義來看，Karhunen?Loève分解可以視為是隨機(jī)過程時(shí)域表達(dá)的一種形式。

4 正交隨機(jī)變量集的降維表達(dá)

為了實(shí)現(xiàn)地震動(dòng)過程時(shí)域表達(dá)的降維模擬，根據(jù)隨機(jī)正交函數(shù)的降維思想［13?17］，可以方便地構(gòu)造以下三類正交隨機(jī)變量集的隨機(jī)正交函數(shù)形式［17］。

對(duì)于Legendre正交多項(xiàng)式，構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量集的隨機(jī)正交函數(shù)表達(dá)式為：

（26）

式中 基本隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布；為L(zhǎng)egendre正交多項(xiàng)式函數(shù)，其遞推公式為：

（27）

對(duì)于三角函數(shù)形式（Hartley正交基），可構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量集的隨機(jī)正交函數(shù)為：

（28）

式中 基本隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布；常數(shù)通常取為。

上述兩類隨機(jī)正交函數(shù)形式所構(gòu)造的（）一般都是非高斯型的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量。為了構(gòu)造高斯型的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量集，根據(jù)式（28），并利用反變換法［17］，可得：

（29）

式中 為標(biāo)準(zhǔn)高斯分布函數(shù)的反函數(shù)；基本隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布；常數(shù)通常取為。式（29）是基于Hartley正交基的高斯標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量集，簡(jiǎn)稱為高斯型的Hartley正交基。

在式（26），（28）及式（29）中，i是j （）的重新排序，即i與存在著某種確定性的一一映射關(guān)系。這種一一映射關(guān)系通?？刹捎肕ATLAB工具箱中的rand（‘state’，0）和temp=randperm（N）函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，即它們之間的一一映射關(guān)系為。這一映射關(guān)系恰為降維模擬方法的一個(gè)充分條件。

5 數(shù)值算例

5.1 平穩(wěn)地震動(dòng)過程的降維模擬分析

在應(yīng)用式（16）和式（26），（28），（29）來模擬平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程時(shí)，需要首先確定時(shí)域模型的參數(shù)取值和基本隨機(jī)變量的代表性點(diǎn)集。

對(duì)于地震動(dòng)單重過濾白噪聲模型，譜強(qiáng)度可按如下的公式計(jì)算［13，24］：

（30）

式中 為譜強(qiáng)度因子為1時(shí)的功率譜面積；為地震動(dòng)峰值加速度的均值；為峰值因子。

在本算例中，以場(chǎng)地類別Ⅱ?yàn)槔?，地震?dòng)峰值加速度均值，峰值因子，場(chǎng)地土參數(shù)，；地震動(dòng)模擬持時(shí)，時(shí)間步長(zhǎng)?；倦S機(jī)變量的離散代表點(diǎn)公式如表1所示，其中代表點(diǎn)的數(shù)量，422，626三種情況。

圖1為三類隨機(jī)正交函數(shù)降維方法生成的平穩(wěn)地震動(dòng)加速度代表性樣本，圖1中（a），（b），（c）分別采用了Legendre正交多項(xiàng)式、Hartley正交基以及高斯型的Hartley正交基?？梢?，代表性樣本均具有良好的平穩(wěn)特性。

為了進(jìn)一步說明降維方法的有效性，現(xiàn)將本文方法與Monte Carlo方法進(jìn)行對(duì)比分析。圖2為平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的模擬值與目標(biāo)值比較，其中圖2（a）采用了Hartley正交基（非高斯型）的降維方法，圖2（b）采用了相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量的Monte Carlo方法。直觀地看，本文降維方法模擬平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的均值明顯優(yōu)于Monte Carlo方法；對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差而言，兩種方法的差異性不大。表2和表3分別給出了均值和標(biāo)準(zhǔn)差的平均相對(duì)誤差，由表可見，對(duì)于三類隨機(jī)正交函數(shù)的降維方法，所生成平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的代表性樣本集合的誤差均比較接近，說明降維方法具有普適性。同時(shí)，高斯型的Hartley正交基模擬精度最高，Hartley正交基次之，Legendre正交多項(xiàng)式相對(duì)較差。因此，若對(duì)模擬精度要求較高時(shí)，可選用高斯型的Hartley正交基。此外，對(duì)于每一類隨機(jī)正交函數(shù)，隨著代表性樣本數(shù)量的增加，均值和標(biāo)準(zhǔn)差的平均相對(duì)誤差都是逐漸減小的，這表明降維方法具有良好的魯棒性。

利用三類隨機(jī)正交函數(shù)的降維方法，生成平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的代表性樣本集，圖3為422條代表性樣本集的單邊功率譜與單邊目標(biāo)譜的比較?？梢姡硇詷颖炯墓β首V與目標(biāo)譜擬合良好。

表4給出了代表性樣本集的功率譜平均相對(duì)誤差。在總體上，三類隨機(jī)正交函數(shù)的降維方法要比Monte Carlo方法的平均相對(duì)誤差略小。而且隨著代表性樣本數(shù)量的增加，功率譜平均相對(duì)誤差逐漸減小。這進(jìn)一步說明了隨機(jī)正交函數(shù)降維方法的有效性和優(yōu)越性。

5.2 全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的降維模擬分析

在全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的降維模擬中，以場(chǎng)地類別Ⅱ和設(shè)計(jì)地震分組第二組為例。其中，地震動(dòng)峰值加速度均值，峰值因子；場(chǎng)地土參數(shù)，，，；地震動(dòng)模擬持時(shí)，時(shí)間步長(zhǎng)；強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)參數(shù)，，，。基本隨機(jī)變量的離散代表點(diǎn)公式如表1所示，其中代表點(diǎn)的數(shù)量。圖4為三類隨機(jī)正交函數(shù)降維方法所生成的全非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度代表性樣本，圖4中（a），（b），（c）分別采用了Legendre正交多項(xiàng)式、Hartley正交基以及高斯型的Hartley正交基。顯然，代表性樣本均具有良好的強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)特性。

圖5為非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的模擬值與目標(biāo)值比較，其中圖5（a）采用了Hartley正交基（非高斯型）的降維方法，圖5（b）采用了相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量的Monte Carlo方法。可見，本文建議的降維方法模擬非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都優(yōu)于Monte Carlo方法。

為進(jìn)一步從地震反應(yīng)譜來闡明本文降維方法的工程適用性，圖6給出了三類隨機(jī)正交函數(shù)降維方法所生成的非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜的比較，其中規(guī)范反應(yīng)譜對(duì)應(yīng)于《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》［25］中場(chǎng)地類別Ⅱ和設(shè)計(jì)地震分組第二組。從圖6可知，三類隨機(jī)正交函數(shù)降維方法所生成的非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度反應(yīng)譜幾乎重合，且它們與規(guī)范反應(yīng)譜擬合良好。

6 結(jié)論與展望

基于時(shí)域的單重過濾白噪聲模型，給出了平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程模擬的時(shí)域表達(dá)，進(jìn)一步通過引入強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)以及場(chǎng)地土的時(shí)變參數(shù)模型，建立了全非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程模擬的時(shí)域表達(dá)。在此基礎(chǔ)上，通過引入標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量集的三類隨機(jī)正交函數(shù)形式，實(shí)現(xiàn)了地震動(dòng)加速度過程的降維模擬。其結(jié)論與展望如下：

（1） 在平穩(wěn)地震動(dòng)過程和非平穩(wěn)地震動(dòng)過程模擬的時(shí)域表達(dá)中，都是通過一系列標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量來實(shí)現(xiàn)的。而傳統(tǒng)的Monte Carlo方法則是利用一系列相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量。然而，標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量集可以通過基本隨機(jī)變量的正交函數(shù)（即隨機(jī)正交函數(shù)）來實(shí)現(xiàn)降維。事實(shí)上，隨機(jī)過程模擬的時(shí)域表達(dá)與頻域表達(dá)均可通過隨機(jī)正交函數(shù)來實(shí)現(xiàn)其降維模擬。

（2） 對(duì)于平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程，其時(shí)域表達(dá)中包含了時(shí)間步長(zhǎng)，因此需要足夠小的時(shí)間步長(zhǎng)才能獲得理想的模擬效果。為此，可以像全非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程模擬的時(shí)域表達(dá)，采用標(biāo)準(zhǔn)化過程來消除時(shí)間步長(zhǎng)的影響，從而提高模擬效率。

（3） 隨機(jī)正交函數(shù)降維方法的最大優(yōu)點(diǎn)在于實(shí)現(xiàn)了僅用一個(gè)基本隨機(jī)變量即可精細(xì)地表達(dá)地震動(dòng)加速度過程，從而僅需數(shù)百條代表性樣本就能在全概率上反映地震動(dòng)過程的概率信息。這為結(jié)合概率密度演化理論進(jìn)行復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的精細(xì)化抗震分析提供了重要基礎(chǔ)。

（4） 本文僅給出了單重過濾白噪聲模型，事實(shí)上，還可以推導(dǎo)出二重過濾白噪聲等模型。而且，對(duì)于非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的時(shí)域表達(dá)，也可以給出不同的強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)和場(chǎng)地土的時(shí)變參數(shù)模型。這將在后續(xù)研究中進(jìn)一步完善。

參考文獻(xiàn)：

［1］楊慶山， 田玉基. 地震地面運(yùn)動(dòng)及其人工合成［M］. 北京： 科學(xué)出版社， 2014.

Yang Qingshan， Tian Yuji. Earthquake Ground Motions & Artificial Generation［M］. Beijing： Science Press， 2014.

［2］歐進(jìn)萍， 王光遠(yuǎn). 結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)［M］. 北京： 高等教育出版社， 1998.

Ou Jinping， Wang Guangyuan. Random Vibration of Structure［M］. Beijing： Higher Education Press， 1998.

［3］李英民， 劉立平. 工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)地震動(dòng)［M］. 北京： 科學(xué)出版社， 2011.

［4］Housner G W. Characteristics of strong-motion of earthquakes［J］. Bulletin of the Seismological Society of America， 1947， 37（1）： 19-31.

［5］Bycroft G N. White noise representation of earthquakes ［J］. Journal of the Engineering Mechanics Division， 1960， 86（2）： 1-16.

［6］Shinozuka M， Deodatis G. Stochastic process models for earthquake ground motion［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 1988， 3（3）： 114-123.

［7］Amin M， Ang A. Non-stationary stochastic model of earthquake motion［J］. Journal of the Engineering Mechanics Division， 1968， 94（2）： 559-584.

［8］Iyengar R N， Iyengar K T S R. A nonstationary random process model for earthquake accelerograms［J］. Bulletin of the Seismological Society of America， 1969， 59（3）： 1163-1188.

［9］Yeh C H， Wen Y K. Modeling of nonstationary ground motion and analysis of inelastic structural response［J］. Structural Safety， 1990， 8（1-4）： 281-298.

［10］Beck J L， Papadimitriou C. Moving resonance in nonlinear response to fully nonstationary stochastic ground motion［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 1993， 8（3-4）： 157-167.

［11］Rezaeian S， Der Kiureghian A. A stochastic ground motion model with separable temporal and spectral nonstationarities［J］. Earthquake Engineering and Structural Dynamics， 2008， 37（13）： 1565-1584.

［12］Vetter C R， Taflanidis A A， Mavroeidis G P. Tuning of stochastic ground motion models for compatibility with ground motion prediction equations［J］. Earthquake Engineering and Structural Dynamics， 2016， 45（6）： 893-912.

［13］Liu Z J， Liu W， Peng Y B. Random function based spectral representation of stationary and non-stationary stochastic processes［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 2016， 45： 115-126.

［14］Liu Z X， Liu Z J， Ruan X X， et al. Spectral representation-based dimension reduction for simulating multivariate non-stationary ground motions［J］. Soil Dynamics and Earthquake Engineering， 2018， 114： 313-325.

［15］劉章軍， 劉子心， 阮鑫鑫， 等. 地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的POD降維表達(dá)［J］. 中國(guó)科學(xué)： 技術(shù)科學(xué)， 2019， 49（5）： 589-601.

Liu Zhangjun， Liu Zixin， Ruan Xinxin， et al. POD-based dimension reduction representation of stochastic ground motion fields［J］. Scientia Sinica （Technologica）， 2019， 49（5）： 589-601.

［16］Ruan X X， Liu Z J， Liu Z X， et al. Dimension-reduction representation of stochastic ground motion fields based on wavenumber-frequency spectrum for engineering purposes［J］. Soil Dynamics and Earthquake Engineering， 2021， 143： 106604.

［17］Liu Z J， Liu Z X， Peng Y B. Dimension reduction of Karhunen-Loeve expansion for simulation of stochastic processes［J］. Journal of Sound and Vibration， 2017， 408： 168-189.

［18］Li J， Chen J B. Stochastic Dynamics of Structures ［M］. Singapore： John Wiley & Sons， 2009.

［19］Li J， Chen J B. The principle of preservation of probability and the generalized density evolution equation［J］. Structural Safety， 2008， 30（1）： 65-77.

［20］李杰. 工程結(jié)構(gòu)可靠性分析原理［M］. 北京： 科學(xué)出版社， 2021.

Li Jie. Fundamental of Structural Reliability Analysis ［M］. Beijing： Science Press， 2021.

［21］劉章軍，陳建兵，彭勇波. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)［M］. 北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社， 2022.

［22］Kanai K. An empirical formula for the spectrum of strong earthquake motions［J］. Bulletin of Earthquake Research Institute， 1961， 39（1）： 85-95.

［23］劉章軍， 劉子心. 基于規(guī)范反應(yīng)譜的全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程模擬［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2017， 30（3）： 457-465.

Liu Zhangjun， Liu Zixin. Simulation of fully non-stationary ground motion based on seismic design response spectrum［J］. Journal of Vibration Engineering， 2017， 30（3）： 457-465.

［24］Seya H， Talbott M E， Hwang H H M. Probabilistic seismic analysis of a steel frame structure［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 1993， 8（2）： 127-136.

［25］中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部，中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局. 建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范：GB 50011—2010 ［S］. 北京： 中國(guó)建筑工業(yè)出版社， 2010.

Ministry of Housing and Urban-Rural Development of the People’s Republic of China， General Administration of Quality Supervision， Inspection and Quarantine of the People’s Republic of China. Code for seismic design of buildings： GB 50011—2010［S］. Beijing： China Architecture & Building Press， 2010.

Dimension-reduction representation of seismic ground motion using filtered white noise model in time domain

LIU Zhang-jun1， FAN Ying-fei1， Jiang Yun-mu1， Ruan Xin-xin1， Liu Zi-xin2

（1.School of Civil Engineering and Architecture， Wuhan Institute of Technology， Wuhan 430074， China；2.Key Laboratory of Building Collapse Mechanism and Disaster Prevention，Institute of Disaster Prevention，China Earthquake Administration， Sanhe 065201， China）

Abstract： There are two kinds of stochastic seismic ground motion simulation methods： frequency-domain methods and time-domain methods. Based on the time-domain model of single filtered white noise， this paper proposes the time-domain representation for simulating stationary and non-stationary seismic ground motion processes. In essence， the time-domain representation can be regarded as linear superposition of deterministic functions modulated by a series of standard orthogonal random variables， and the set of orthogonal random variables is defined as the form of random orthogonal functions to achieve efficient dimension-reduction. Therefore， by introducing three kinds of random orthogonal functions， i.e.， Legendre orthogonal polynomial of non-Gaussian type， Hartley orthogonal basis and Hartley orthogonal elementary of Gaussian type， the acceleration process of seismic ground motion can be accurately represented in the time-domain model with only one elementary random variable. Numerical examples of seismic stationary ground motion process show the effectiveness of the proposed method， which is superior to the Monte Carlo method. The analysis of fully nonstationary seismic ground motion shows the engineering applicability of the proposed method.

Key words： ground motion process；time domain representation；filtered white noise model；dimension-reduction simulation

作者簡(jiǎn)介： 劉章軍（1973―），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail： liuzhangjun73@aliyun.com。

通訊作者： 劉子心（1988—），女，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師。E-mail： liuzixin@cidp.edu.cn。