全等三角形是中考試卷中常見的考點(diǎn)，其題型新穎多變.現(xiàn)從近幾年中考試卷中采擷3題，幫助同學(xué)們熟悉新題型、掌握新方法.

一、利用旋轉(zhuǎn)不變性問題考查全等

例1 （2024·四川·自貢）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，D（4，2），將Rt△OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△OAB位置，則點(diǎn)B坐標(biāo)為（ ）.

A. （2，4） B. （4，2） C. （-4，-2） D. （-2，4）

解析：∵D（4，2），∴OC = 4，CD = 2.

∵將Rt△OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△OAB，

∴△OAB [≌] △OCD，

∴OA = OC = 4，AB = CD = 2，∠OAB = 90°，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，4），故選A．

點(diǎn)評(píng)：圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小.本題通過Rt△OCD的旋轉(zhuǎn)得到△OAB [≌] △OCD，從而確定點(diǎn)B的坐標(biāo).

二、利用尺規(guī)作圖問題考查全等

例2 （2024·山東·煙臺(tái)）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，各組展示作圖痕跡如圖2所示，其中射線OP為∠AOB的平分線的有（ ）.

圖2

A. 1個(gè) " " " B. 2個(gè) " " " C. 3個(gè) "D. 4個(gè)

解析：第一個(gè)圖為尺規(guī)作角平分線的基本方法，其原理是利用“邊邊邊”判斷三角形全等，所以O(shè)P為∠AOB的平分線.

第二個(gè)圖，由作圖可知OC = OD，OA = OB，∴AC = BD.

∵∠AOD = ∠BOC，OC = OD，OA = OB，∴△AOD [≌] △BOC，∴∠OAD = ∠OBC.

∵AC = BD，∠APC = ∠BPD，

∴△APC [≌] △BPD，∴AP = BP.

∵OA = OB，OP = OP，∴△AOP [≌] △BOP，

∴∠AOP = ∠BOP，即OP為∠AOB的平分線.

第三個(gè)圖，由作圖可知∠ACP = ∠AOB， OC = CP，

∴CP[?]BO，∠COP = ∠CPO，

∴∠CPO = ∠BOP，∴∠COP = ∠BOP，∴OP為∠AOB的平分線.

第四個(gè)圖，由作圖可知OC = OD，點(diǎn)P是邊CD的中點(diǎn)，

∴OP為∠AOB的平分線.

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題利用全等三角形考查用“直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究依據(jù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖痕跡，合理選擇相關(guān)條件推斷三角形全等，進(jìn)而對(duì)各種作法進(jìn)行判斷．

三、利用拓展綜合問題考查全等

例3 綜合與實(shí)踐.

問題探究. （1）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9為“平分一個(gè)已知角”，即作一個(gè)已知角的平分線. 如圖3是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點(diǎn)C和D，使得OC = OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線. 請(qǐng)寫出OE平分∠AOB的依據(jù)：_________.

類比遷移. （2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CED不必是等邊三角形，只需CE = DE即可，他查閱資料得知我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角，作法如下：如圖4，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM = ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線OC是∠AOB的平分線，請(qǐng)說明此作法的理由.

拓展實(shí)踐. （3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐：如圖5，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問：路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖6中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

解析：（1）∵△CDE是等邊三角形，∴CE = DE.

又∵OC = OD，OE = OE，

∴△OCE [≌] △ODE（SSS），

∴∠COE = ∠DOE，∴OE是∠AOB的平分線，故答案為SSS.

（2）∵OM = ON，CM = CN，OC = OC，

∴△OCM [≌] △OCN（SSS），

∴∠AOC = ∠BOC，∴射線OC是∠AOB的平分線.

（3）如圖7，點(diǎn)E即為所求的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：“綜合與實(shí)踐”試題注重多維度考查學(xué)科素養(yǎng)，因此是近幾年中考新寵.本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線定義以及尺規(guī)作圖等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：5分鐘

（2024·江蘇·蘇州）如圖8，△ABC中，AB = AC，分別以B，C為圓心，大于[12]BC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接BD，CD，AD，AD與BC交于點(diǎn)E．

（1）求證：△ABD ≌ △ACD；

（2）若BD = 2，∠BDC = 120°，求BC的長(zhǎng)．

（答案見第39頁）

（作者單位：江蘇省興化市文峰初級(jí)中學(xué)）