摘要：在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，我們往往忽視了教材中“典型問題”的探究，靠題海戰(zhàn)術(shù)進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練.本文中則針對教材中的典例，進(jìn)行回歸探究，在探究一題多解、一題多變、一題多思的過程中，探索數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的巧妙運(yùn)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法與思想的指導(dǎo)與融合，從而更好地提高學(xué)生解題能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正落實(shí)“雙減”.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；回歸教材；一題多解；一題多思；核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中已經(jīng)明確指出：確立核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以學(xué)生發(fā)展為本，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)“四基”，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)展“四能”，形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀，考查的問題必須以教材為基準(zhǔn)點(diǎn)，立足教材，根據(jù)學(xué)生能力發(fā)展適度拓展，以信度、效度和區(qū)分度為基礎(chǔ)，以教師有效教學(xué)指導(dǎo)為導(dǎo)向，讓教材問題成為評價(jià)學(xué)生核心素養(yǎng)達(dá)成的重要載體.

1 教材原型試題呈現(xiàn)

課本原型問題如圖1，畫Rt△ABC，并畫出斜邊AB上的中線CD，然后量一量，比較一下看看CD與AB的長度關(guān)系是怎么樣的.

通過測量，相信你會發(fā)現(xiàn)：CD恰好是AB的一半.下面讓我們用演繹推理證明這一猜想.

已知：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線.

求證：CD＝1／2AB.

2 回歸教材探究本質(zhì)

多解多題歸一是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維聚合性的好方法、好思路，這就需要我們教師在教學(xué)過程中要抓住任何機(jī)會讓學(xué)生體現(xiàn)創(chuàng)造過程，從而感受發(fā)散思維和聚合思維完美融合的成功感與成就感.多解多題歸一就是針對這方面的專題訓(xùn)練，雖然遇到的問題不會完全相同，但是卻能從“異”中探“同”，從“同”中尋“異”.面對我們所遇到的“型異質(zhì)同”或“型近質(zhì)同”等問題的探究分析，可從中提煉問題的本質(zhì)特征，從而探尋問題存在的內(nèi)在規(guī)律，做到解題舉一反三、觸類旁通、事半功倍.這既能體現(xiàn)“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”培養(yǎng)目的，更能深入落實(shí)“雙減”政策，真正擺脫“題?！钡睦圪槪龅捷p松學(xué)習(xí).

3 一題尋“多”提素養(yǎng)

3.1 一題多解提升素養(yǎng)

針對課本原型問題我們可以思考得到如下解法：

解法一：構(gòu)造法.

如圖2，延長CD到點(diǎn)E，使DE＝CD，連接AE，BE，這樣可以得到CD＝1／2CE.又CD是直角三角形斜邊AB上的中線，從而可得AD＝BD，因此可以得到四邊形ACBE是平行四邊形.再結(jié)合∠ACB＝90°，判斷得到平行四邊形ACBE是矩形.故CE＝AB，即CD＝1／2AB.

解法二：相似法.

如圖3，過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為E.因?yàn)椤螦CB=90°，所以DE∥BC，則△ADE∽△ABC.因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以AD∶AB=1／2，從而得到AE∶AC=1／2，即DE是AC的垂直平分線，則有AD=DC.故CD＝1／2AB.

解法三：作角法.

如圖4，在∠ACB的內(nèi)部作∠BCE＝∠B，CD與AB交于點(diǎn)E，則BE=CE.

又根據(jù)∠BCE+∠ACE＝90°，∠B+∠A＝90°，可得∠ACE＝∠A，則EA＝EC.故EA＝EB＝EC，即CE與CD重合，且CD=CE＝1／2AB.

從上面的解法中我們可以發(fā)現(xiàn)，不同的方法著眼點(diǎn)不同，解題思路不同，所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)基本知識也存在著差異.多種方法的體現(xiàn)也真正考查了學(xué)生對基本知識的掌握能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力，從而起到提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用.

3.2 一題多變促進(jìn)發(fā)展

例如，張老師指導(dǎo)學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下問題探究：

原型問題如圖5，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，P是斜邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰作等腰直角三角形APQ，且∠PAQ＝90°，連接CQ，判斷BP和CQ的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：根據(jù)題意可以由∠BAC=90°=∠PAQ，得到∠BAP＝∠CAQ，從而得到△ABP≌△ACQ，即可得出結(jié)論.

變式1如圖6，將原型問題中點(diǎn)P的位置由斜邊變化至某條直角邊上，連接CP，再以CP為底邊作等腰直角三角形CPQ，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：由題意得∠PCQ＝45°=∠BCA，則可判斷出∠BCP＝∠ACQ，再判斷出BC／AC＝CP／CQ＝2，得到△BCP∽△ACQ，即可得出結(jié)論.

變式2如圖7，如果將原型問題中的等腰直角三角形轉(zhuǎn)化為正方形ABCD，在邊BC上有一點(diǎn)P，再以DP為邊作正方形DPEF，其中心為點(diǎn)Q，連接CQ，判斷DP，CQ和CD之間的關(guān)系.

解題思路：根據(jù)圖形的特點(diǎn)，易得出BP＝2CQ，從而再根據(jù)兩個正方形邊長與其關(guān)系利用勾股定理建立方程求解，即可得到答案.

綜合上述變式可知，針對同一個問題，我們可以在位置和圖形形狀上進(jìn)行變化，解答過程中涉及的知識點(diǎn)也隨之變化，一題多變讓學(xué)生在解答過程中充分得到思維的發(fā)散，問題的求解讓知識點(diǎn)充分展示出來，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)從而得到提高.

3.3 一題多思深挖思想

問題展示如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，延長CA至點(diǎn)E，延長AB至點(diǎn)D，使得BC=CE=DE=AD，試求∠BAC的度數(shù).

解題思路：由題意發(fā)現(xiàn)，相等的四條邊形成一個凹形四邊形，根據(jù)我們所學(xué)知識點(diǎn)，很難將這些條件進(jìn)行巧妙運(yùn)用.這就需要進(jìn)行變化，故可思考將BC平移至DF處，如圖9，連接CF，自然構(gòu)成了平行四邊形，再根據(jù)平行四邊的性質(zhì)可得BD＝CF，DA∥FC，則∠EAD=∠ECF，利用“SAS”判定△ADE≌△CEF，所以ED＝EF，從而可推出△DEF為等邊三角形.設(shè)∠BAC＝x，則∠ADF＝∠ABC＝180°－x／2，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可分別表示出∠ADE，∠ADF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)不難求得∠BAC的度數(shù).

從上面的問題我們可以思考得到：其一，利用平移變換將相等的邊轉(zhuǎn)移在同一個三角形內(nèi)，構(gòu)造特殊三角形，便于利用相關(guān)條件進(jìn)行解答；其二，針對相等的邊所對應(yīng)的三角形構(gòu)造全等形，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行邊、角的轉(zhuǎn)化，形成問題突破點(diǎn)；其三，整個問題條件中沒有涉及到角度，但求的是角度，這就需要我們利用角度之間的關(guān)系，建立方程，進(jìn)行解答，特別是出現(xiàn)角度之間的倍數(shù)關(guān)系時也要注意利用方程思想來突破.

綜上所述，不管是一題多解、一題多變，還是一題多思，都是在教學(xué)中注意指導(dǎo)學(xué)生不斷領(lǐng)會數(shù)學(xué)問題中所體現(xiàn)的思想，訓(xùn)練思維品質(zhì)，更是借助“多”的思考培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)思維的靈活性，從而更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

4 多解歸一激活思維

多題歸一的訓(xùn)練，達(dá)到使學(xué)生鞏固與深化所學(xué)知識，提高解題技巧及分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)思維的靈活性的目的.通過訓(xùn)練，學(xué)生達(dá)到對知識認(rèn)識的全面性.同時，還要重視解題反思，形成系統(tǒng)化認(rèn)識.通過反思，引導(dǎo)學(xué)生回顧概括數(shù)學(xué)結(jié)論的整個思維過程，檢查得失，從而加深對數(shù)學(xué)原理、通性通法的認(rèn)識;通過系統(tǒng)化，建立新知識與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)知識的橫向聯(lián)系，井概括出帶有普遍性的規(guī)律，從而推動同化、順應(yīng)的深入.這樣的教學(xué)方法有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，增強(qiáng)應(yīng)變能力.

問題探究是解決數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，方法指導(dǎo)是數(shù)學(xué)突破的手段，思想利用是解決問題的靈魂所在.我們借助教材中的典型例題進(jìn)行“多元”突破，讓數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行巧妙融合，形成相互影響、相互聯(lián)系和統(tǒng)一發(fā)展的辯證統(tǒng)一體，讓問題解答過程中所體現(xiàn)的內(nèi)在關(guān)系得到充分的展示，靈活體現(xiàn)問題的“多元化”，讓學(xué)生能力得到提高、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到提升.