摘要：平面直角坐標系是從一維空間“數(shù)軸”到二維空間的發(fā)展，是溝通代數(shù)和幾何的橋梁，是非常重要的數(shù)學工具.找準對應核心素養(yǎng)的孕育點、生長點，讓學生經歷概念的抽象過程、概念特征（性質）的探究過程及象限點的分類過程等，在具體的抽象、深究、分類過程中發(fā)展數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直現(xiàn)想象的核心素養(yǎng)，并通過數(shù)學史的學習提升學生對數(shù)學學習的興趣，在教師引導下形成數(shù)學的思維方式，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，發(fā)展自主學習能力.

關鍵詞：數(shù)學抽象；數(shù)學建模；直觀想象

1 內容解析

“平面直角坐標系”是冀教版八年級下冊第十九章第二節(jié)的內容，是本章的核心，是學生已經掌握的“數(shù)軸”知識的進一步發(fā)展，它的建立使代數(shù)的基本元素（數(shù)對）與幾何的基本元素（點）的位置之間產生一一對應，從而在認識上實現(xiàn)了從一維空間到二維空間的發(fā)展，構成更廣范圍內的數(shù)形結合、數(shù)形互相轉化的理論基礎.因此，平面直角坐標系是溝通代數(shù)和幾何的橋梁，是非常重要的數(shù)學工具.本節(jié)課的重點就是認識平面直角坐標系，了解點與坐標的對應關系；在給定的平面直角坐標系中，能根據(jù)點的坐標描出點的位置，能由點的位置寫出點的坐標.本節(jié)課對學生抽象能力、模型觀念、幾何直觀這三點素養(yǎng)的培養(yǎng)都有極高的價值.在后續(xù)的學習中，學生將在此基礎上進一步深入研究函數(shù)的圖象和性質，所以本節(jié)課在教材中起到承上啟下的重要作用.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：通過實際問題生成平面直角坐標系和平面直角坐標系的相關概念，以及由點求出坐標和根據(jù)坐標確定點的位置.

2 學情解析

八年級學生在七年級上學期已經學習過數(shù)軸，能夠將數(shù)軸與平面直角坐標系聯(lián)系起來解決問題.由于學生是第一次從一維空間的數(shù)軸過渡到二維空間的平面直角坐標系，因此在認知上理解如何建立平面直角坐標系比較困難，理解平面直角坐標系中點與坐標的一一對應關系要求學生有較強的抽象思維能力.

本節(jié)課的教學難點確定為：理解建立平面直角坐標系的必要性，以及在平面直角坐標系中點與有序實數(shù)對的一一對應關系.

3 教學目標

（1）經歷通過實際問題生成平面直角坐標系的過程，理解平面直角坐標系及其相關概念；

（2）能由點的位置寫出點的坐標，能根據(jù)坐標描出點的位置，并借助所畫平面直角坐標系探究點與有序實數(shù)對之間的一一對應關系.

（3）了解平面直角坐標系的建立過程與意義，體會平面直角坐標系的價值，感受笛卡兒的探索精神，增強對數(shù)學的求知欲.

4 教學過程

4.1 創(chuàng)設情境，引入概念

播放一段視頻.

設計意圖：與已有認知進行有效銜接.激發(fā)學生學習興趣，調動積極性，讓學生體會數(shù)學來源于生活，服務于生活，感受到確定點的位置是實際問題的需要，認識到學習平面直角坐標系的必要性，順勢引入平面直角坐標系.

4.2 絲絲入扣，認識概念

活動1通過觀看剛才的視頻，我們初步感受到了在平面內建立直角坐標系可以確定點的位置，那么如何建立平面直角坐標系呢？

（教師板書定義，帶學生一起畫坐標系）在平面內，畫兩條有公共原點且互相垂直的數(shù)軸，就構成了平面直角坐標系，簡稱直角坐標系.水平方向的數(shù)軸叫做x軸（或橫軸），用小寫字母x表示;豎直方向的數(shù)軸叫做y軸（或縱軸），用小寫字母y表示;通常x軸取向右為正方向，y軸取向上為正方向.x軸與y軸的公共原點叫做坐標原點，用大寫字母O表示.兩條數(shù)軸統(tǒng)稱為坐標軸.建立了直角坐標系的這個平面叫做坐標平面.

設計意圖：通過引領學生學習，促使學生進一步明確平面直角坐標系的相關概念.

追問：你會畫一個平面直角坐標系嗎？試一試.（教師先在黑板上畫出平面直角坐標系，然后巡視指導，把學生有問題的坐標圖形進行投影，讓其他學生找出錯誤，并糾正.）

設計意圖：讓學生在自畫、自糾中，加深對概念的理解，培養(yǎng)學生良好的畫圖習慣.

活動2由點寫出坐標.

問題1你能寫出圖中平面內點A的坐標嗎？怎么找到的？（用PPT呈現(xiàn)圖形.）

由點A分別向x軸和y軸作垂線，垂足在x軸上的坐標是x0，垂足在y軸上的坐標是y0，有序實數(shù)對（x0，y0）就是點A的坐標.

設計意圖：由點寫出坐標，讓學生理解平面內點的坐標意義，滲透由“形”到“數(shù)”的思路.

追問：在平面直角坐標系中，點B，C，D，E，O，F(xiàn)，G的坐標分別是什么？

師生活動：學生獨立寫出B（2，3），C（-4，1），D（-3，-3），E（5，-4），O（0，0），F(xiàn)（4，0），G（0，-2）.

設計意圖：學生在確定這些點的坐標時，初步建立用數(shù)表示點、由數(shù)找點的數(shù)形結合思想.

4.3 再析情境，明晰概念

師生活動：如果把每個城市看作一個點，在所給平面直角坐標系中，請試著說出你喜歡的城市的坐標.

由學生搶答完成，之后讓學生觀察x軸和y軸上點的坐標，并說出坐標的特點；最后提問從嘉峪關到西安的圖上距離，既考查了勾股定理，又為下一節(jié)學習點到x軸、y軸的距離打下基礎.

設計意圖：由點寫坐標，由學生搶答完成，這樣可以極大地激發(fā)學生的學習積極性；之后讓學生觀察x軸和y軸上點的坐標，并說出坐標的特點；最后提問從嘉峪關到西安的圖上距離，既考查了勾股定理，又為下一節(jié)學習點到x軸、y軸的距離打下基礎.

4.4 探究合作，理解概念

問題2前面我們解決了由點寫坐標，反過來，現(xiàn)在給出坐標你能找到點的位置嗎？請在平面直角坐標系中描出下列各點，再把它們依次連接成封閉圖形，看看你得到的圖形像什么？

（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，-1），（2，-1），（1，-3），（0，-1），（-1，-3），（-2，-1），（-1，-1），（-3，0），（-3，2），（-2，3），（-1，3）.

師生活動：

（1）自主完成.

（2）小組交流：組內成員互相檢查描點是否正確，并交流確定這些點的位置的方法.

（3）成果展示.

學生展示內容：以其中的一個點為例，說出確定點的位置的方法.在組內交流中，學生掌握怎樣去找一個點的位置.教師以點（1，3）為例先在x軸上找出表示1的點，再在y軸上找出表示3的點，過這兩個點分別作x軸和y軸的垂線，垂線的交點就是點（1，3）.完成練習后教師找到出錯的學生，用實物投影儀投影出問題后，由學生比較發(fā)現(xiàn)錯誤，并糾正.在確定畫圖正確后再引導學生體會縱坐標相同時描出的點一樣高，這些點依次連接形成的圖形很像一個蝴蝶（圖1）.

設計意圖：讓學生體會由坐標描點的方法，并從感性上體會由坐標到點的對應.在這個活動中，采用小組合作學習的方法，是為了讓數(shù)學學習活動告別單純的模仿與記憶，讓學生在動手實踐、自主探索與合作交流中，既掌握知識，又培養(yǎng)能力.

師生活動：在坐標平面內，任意一點都能用一對有序實數(shù)來表示嗎？任意一對有序實數(shù)都能在坐標平面內找到一個對應的點嗎？

師生活動：實數(shù)與數(shù)軸上的點具有一一對應關系.由此可知，坐標平面內的點與有序實數(shù)對具有一一對應關系，即坐標平面內任意一點都可以用唯一一對有序實數(shù)來表示，反過來，任意一對有序實數(shù)都可以表示坐標平面內唯一一個點.教師板書.

設計意圖：通過作圖加深對概念的理解和落實；通過借助在同一平面直角坐標系中由點來確定坐標并由坐標確定點，探究點與有序數(shù)對之間的對應關系.

4.5 拓展提高，應用概念

下面我們來做一個小游戲：“我”的位置是……

每位同學表示平面內的一個點，老師點一人為原點，并規(guī)定向右和向前的方向分別為x軸和y軸的正方向，相鄰兩位同學之間的距離為1個單位長度.

（1）請在坐標原點及x軸和y軸上的同學舉起你的右手.

（2）老師點一位同學名字讓該同學說出自己所表示的點的坐標，然后該生再叫其他同學的名字，依次進行接龍游戲.

（3）請坐標是（2，1），（-1，1），（-1，-2），（1，-3）的同學起立.

設計意圖：寓整節(jié)課概念及趣味游戲于一體，讓學生放松，在激發(fā)興趣的同時也高效合理地復習鞏固了整節(jié)課的重點，寓教于樂，互動性強，學生熱情高漲.

問題3象棋是我國傳統(tǒng)益智類游戲，其中馬走日，象走田.現(xiàn)在就讓我們在棋盤中比一比誰的棋藝更高吧.如圖2，大家試著找一下棋盤中馬下一步可能走到哪？并寫出它的坐標.

師生活動：在棋盤中“馬”走“日”，學生在坐標平面內畫出“馬”可能在的位置，并寫出坐標.讓學生感受中國象棋中馬頗有騎士風度，自古有“馬踏八方”之說.

設計意圖：通過下象棋這個活動，學生能夠感知數(shù)學的樂趣，經歷在平面直角坐標系中由點找坐標和由坐標找點的過程，體驗成功的喜悅.對個別學生進行表揚及肯定，更能發(fā)揮集體智慧，鼓勵學生挑戰(zhàn)自己.

4.6 感悟延伸，總結概念

本節(jié)課我們需要確定平面內點的位置，建立了平面直角坐標系.我們學習了平面直角坐標系及其有關概念，并且掌握了兩項技能：給點求坐標，給坐標描出點.我們得出坐標平面內點與有序數(shù)對一一對應.這種數(shù)形結合研究問題的方法非常重要，為我們將來學習函數(shù)打下了基礎.

設計意圖：引導學生梳理知識系統(tǒng)，提煉重點內容，同時，培養(yǎng)學生的語言表達能力.

4.7 研究型作業(yè)

研究型作業(yè)：如圖3是植物園的平面圖，請建立適當?shù)淖鴺讼?，寫出下列各景點的坐標.

設計意圖：讓學生在運用所學知識找坐標的同時進行拓展，感受坐標原點的位置不同其他點的坐標也隨之變化，為下一節(jié)根據(jù)實際問題建立平面直角坐標系打下基礎.

4.8 了解史實，拓展概念

笛卡兒是法國著名數(shù)學家，在生病臥床期間，他頭腦一直沒有休息，在反復思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？某一天，他看見屋頂角上有一只蜘蛛順著絲爬上爬下，來回拉絲.他想能不能把蜘蛛的每個位置用一組數(shù)確定下來呢？于是在蜘蛛的啟示下，笛卡兒創(chuàng)建了直角坐標系，發(fā)表了《幾何學》，實現(xiàn)了用代數(shù)方法解決幾何問題的目的，使“數(shù)”與“形”得到完美結合.

設計意圖：通過介紹笛卡兒的故事，挖掘教材中的人文教育因素，豐富學生的內心世界，激勵學生探索真理，讓學生樹立“做一個創(chuàng)造者和發(fā)明家”的雄心.同時讓學生經歷平面直角坐標系產生的過程，體會到新知識產生的必要性與合理性，從而激發(fā)他們的學習內驅力.

5 教學反思

5.1 關注學生的認知發(fā)展水平

美國教育心理學家奧蘇伯爾說過：“影響學生學習的最重要的原因是學生已經知道了什么，我們應當根據(jù)學生原有的知識狀況進行教學.”《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》也強調：數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經驗基礎之上［1］.本節(jié)課以學生已知的“數(shù)軸”的“一維空間”向“平面直角坐標系”的“二維空間”發(fā)展為線索，關注學生的認知發(fā)展水平.

5.2 關注數(shù)學核心素養(yǎng)的落實

本節(jié)課以平面直角坐標系的相關概念、坐標的意義為知識脈絡，培養(yǎng)學生動手操作能力和空間觀念，讓學生深入理解了數(shù)形結合、一一對應等數(shù)學思想，極大地關注到了學生抽象能力、模型觀念、幾何直觀這三點核心素養(yǎng)的培養(yǎng)［2］.

5.3 關注數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程

本節(jié)課通過平面直角坐標系的建立過程，幫助學生理解和認識數(shù)學知識的發(fā)生和發(fā)展過程；同時，把數(shù)學知識與現(xiàn)實生活緊密結合起來，進一步讓學生認識和體會數(shù)學知識的重要用途，立足于知識和情感的教育，在知識教學的同時，結合小視頻和數(shù)學家的故事激發(fā)學生的學習興趣［3］.

在這節(jié)課的設計過程中，筆者存在一些困惑.本節(jié)課注重了知識的產生發(fā)展過程，又有意識地滲透了一些數(shù)學文化，因此占用的時間較多，使得學生鞏固訓練的時間相對偏少.相信以后再上這節(jié)課的時候對這節(jié)課的不足之處應該會有所改進，努力提高自己的教學水平，使學生愿學樂學.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［3］曹才翰，章建躍.中學數(shù)學教學概論［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.