摘要：以試題講評(píng)課為例，給出教學(xué)設(shè)計(jì)的基本結(jié)構(gòu)，通過(guò)經(jīng)歷基本活動(dòng)體驗(yàn)，參悟宏觀解題智慧，從解題的“術(shù)”中感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“道”，培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)問(wèn)題時(shí)的良好心態(tài).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);宏觀解題智慧;重“術(shù)”;悟“道”

考試，是教學(xué)評(píng)價(jià)的主體形式，它是教學(xué)過(guò)程的一個(gè)重要組成部分.考試評(píng)價(jià)的目的是全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程和現(xiàn)狀，及時(shí)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)節(jié)奏，更好地改進(jìn)以后的教學(xué)，從而促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.但怎樣講、講什么才能取得良好的教學(xué)效果，常常眾說(shuō)紛紜.縱觀目前的試題講評(píng)課，依然大量存在缺乏二次加工處理，就題講題、不加選擇的現(xiàn)象，使很多良好的教學(xué)資源白白浪費(fèi).

我們知道，試題講評(píng)具有診斷、糾錯(cuò)、示范、引領(lǐng)、鼓勵(lì)、提升的作用.每次檢測(cè)都是學(xué)習(xí)過(guò)程中的加油站，能起到提示和喚醒的作用.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“評(píng)價(jià)結(jié)果要關(guān)注學(xué)生已有的學(xué)業(yè)水平與提升空間，為后續(xù)的教學(xué)提供參考.教師要分析、反思教學(xué)過(guò)程中影響學(xué)生能力發(fā)展和素質(zhì)提高的原因，尋求改善教學(xué)的對(duì)策.”［1］

試題講評(píng)要重視解題方法的分析，即“重術(shù)”，這是體驗(yàn)，是學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題、獲得方法的直接經(jīng)歷；同時(shí)，更要引導(dǎo)學(xué)生跳出繁雜的題海，而看到習(xí)題之間的聯(lián)系和規(guī)律性，即“悟道”.這樣才能更好地發(fā)揮試題的指向性功能，幫助教師在課堂中落實(shí)解題教學(xué)的內(nèi)涵，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

最近，筆者在全市范圍內(nèi)執(zhí)教了一節(jié)市級(jí)公開(kāi)課“杜集區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)試題講評(píng)”.以下是筆者的課堂流程和教學(xué)思考，現(xiàn)與讀者分享解題教學(xué)中的“術(shù)”與“道”.

1 教學(xué)過(guò)程

1.1 統(tǒng)計(jì)歸納，以學(xué)定教

設(shè)計(jì)意圖：試題統(tǒng)計(jì)歸納是為了更好地關(guān)注學(xué)生已有的學(xué)業(yè)水平與提升空間，了解存在的問(wèn)題，以使課堂教學(xué)有的放矢，為內(nèi)容的選擇提供有效的參考.

如何能讓學(xué)生在面對(duì)難題時(shí)不產(chǎn)生畏懼情緒，我們要從學(xué)生的考試心理入手，為他們創(chuàng)造一個(gè)熟悉的情境，喚醒他們潛在的知識(shí)儲(chǔ)備，從而有效地解決問(wèn)題.這就需要教師對(duì)試題進(jìn)行進(jìn)一步的改造與加工，直逼知識(shí)內(nèi)核，營(yíng)造解題的最近發(fā)展區(qū).

常言道：選擇比努力更重要.因此，把本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)就定為掌握計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)的一般方法，形成解題策略.

1.2 兩重境界，依術(shù)啟智

1.2.1 勾股定理的雙重境界

（1）直接應(yīng)用：利用勾股定理列方程求各邊長(zhǎng).

例1已知直角三角形的斜邊是6，兩條直角邊的比是1∶2，求兩條直角邊的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)說(shuō)明：從學(xué)生熟知的直角三角形入手，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形的形成過(guò)程，發(fā)現(xiàn)幾何模型，體會(huì)方程結(jié)構(gòu)在幾何計(jì)算中的重要作用.“低起點(diǎn)”就是在接近學(xué)生認(rèn)知最近發(fā)展區(qū)的地方開(kāi)始探索之旅，增強(qiáng)他們解題的自信心.

（2）創(chuàng)造性應(yīng)用：題中沒(méi)有直角三角形，需要我們添加輔助線(xiàn)后構(gòu)造直角三角形，然后再利用勾股定理.

例2如圖1，在△BEF中，BE=BF=5，EF=2，求tan∠EBF.

分析1：如圖2所示，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BF，垂足為Q.在Rt△EBQ和Rt△EFQ中，設(shè)BQ=x，分別利用勾股定理把EQ2表示出來(lái)，從而列出方程，求出x，進(jìn)而可以求出EQ，即可求出tan∠EBF.

分析2：在求出BQ之后，也可以先求cos∠EBF，再求出tan∠EBF.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：為了喚醒學(xué)生原有的認(rèn)知模型，筆者結(jié)合試題在例1的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了例2，它沒(méi)有現(xiàn)成的直角三角形，需要利用化歸思想通過(guò)添加輔助線(xiàn)，從而轉(zhuǎn)化為直角三角形的模型.它們都是從學(xué)生反饋的試題中的問(wèn)題提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)模型.幾何模型的建立以及方程結(jié)構(gòu)的喚醒，將有利于把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.“小步子”就是在學(xué)生學(xué)有所獲的基礎(chǔ)上，及時(shí)前行，形成解題的節(jié)奏感，感受解題帶來(lái)的心靈愉悅.

1.2.2 相似三角形的雙重境界

（1）直接應(yīng)用：利用相似三角形的性質(zhì)，得到比例線(xiàn)段，然后列方程求線(xiàn)段長(zhǎng).

例3如圖3，在△BDE中，∠BED=90°，點(diǎn)A是線(xiàn)段BE上的一點(diǎn)，AO⊥BD，垂足是O，AB=AD=5，OA=3，求DE的長(zhǎng).

分析1：由△BAO∽△BDE可以求出DE.

分析2：在Rt△AOB中，可以求出sin B，同理，在Rt△DEB中，可以得到sin B的另一種表達(dá)形式，它們顯然是相等的，從而求出DE.

分析3：根據(jù)條件，可以利用BD，AO的長(zhǎng)求出△ABD的面積，也可以利用AB，DE的長(zhǎng)表示出△ABD的面積，顯然這兩種計(jì)算的結(jié)果是相同的.

分析4：設(shè)AE=x，在Rt△ADE中，可以利用勾股定理把DE2表示出來(lái)；同理，在Rt△BDE中，可以利用勾股定理把DE2表示出來(lái).顯然這兩種表示的結(jié)果是相同的.求出AE后，就可以利用勾股定理求出DE.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：本題意在現(xiàn)有圖形的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)、合作交流，發(fā)現(xiàn)相似三角形模型，體會(huì)比例線(xiàn)段這種結(jié)構(gòu)在幾何計(jì)算中的重要作用.同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生借助于直角三角形的特殊性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段計(jì)算中利用勾股定理和三角函數(shù)所反映出的邊角關(guān)系，來(lái)完成線(xiàn)段計(jì)算的任務(wù).

（2）創(chuàng)造性應(yīng)用：題中沒(méi)有我們需要的相似三角形，這時(shí)就要先添加輔助線(xiàn)再構(gòu)造相似三角形，然后利用比例線(xiàn)段列方程求解.

例4如圖4，已知線(xiàn)段AC與OB相交于點(diǎn)P，AB=BP=6，OP=4，OC=8.∠COP=90°，求AP的長(zhǎng).

分析：顯然，圖中沒(méi)有相似三角形，無(wú)法建立起線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，這時(shí)我們就需要添加輔助線(xiàn)來(lái)構(gòu)造相似三角形.

方法1：如圖5，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AP，垂足為Q，則Q是AP的中點(diǎn)，△BPQ∽△CPO，從而求出PQ（也可以用三角函數(shù)代換）.

方法2：如圖6所示，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BP，垂足為Q.

易知△APQ∽△CPO，所以PQ／AQ=OP／OC=4／8=1／2.

設(shè)PQ=x，則AQ=2x，BQ=6-x，AP=5x.

在Rt△ABQ中，利用勾股定理就可列出方程求出x.

（也可以用三角函數(shù)代換.）

方法3：如圖7，延長(zhǎng)PO至點(diǎn)Q，使OQ=OP，連接CQ，則

△APB∽△CPQ，

從而得到AP／CP=BP／PQ.

而CP的長(zhǎng)先由勾股定理求得，即可求AP的長(zhǎng).

方法4：如圖8，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥AC，交OB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q.

易證BQ=BA.

由△PAQ∽△POC，可以求出AP.

（也可以用三角函數(shù)代換.）

設(shè)計(jì)說(shuō)明：這里的例3、例4也都是從試題中提煉出數(shù)學(xué)模型.借助于這些模型，不僅為破解難題做準(zhǔn)備，同時(shí)通過(guò)這些模型所隱含的解題方法，熟悉解決這類(lèi)問(wèn)題的一般策略，即歸納出解題中的“術(shù)”.上課時(shí)，教師不要“一言堂”式地“單向輸出”，要通過(guò)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，由學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)這些方法.

1.3 學(xué)以致用，真題顯現(xiàn)

通過(guò)知識(shí)回顧，熟悉求線(xiàn)段長(zhǎng)常見(jiàn)的基本模型及其基本方法，這時(shí)再讓學(xué)生重新審視試題中出現(xiàn)的原題，以獲得成功的體驗(yàn).

設(shè)計(jì)說(shuō)明：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上，學(xué)生的興趣來(lái)自于學(xué)習(xí)帶來(lái)的成功感.上海市閘北八中劉京海校長(zhǎng)曾提出“成功是成功之母”的“成功教育”理念.如果學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，品嘗到的盡是失敗的苦澀，那么他還有什么動(dòng)力堅(jiān)持不懈？本課所選的四道例題都不是試題中的原題，但卻是解決試題的“必經(jīng)之路”，是教師依據(jù)試題中出現(xiàn)的模型以及思維方法精心設(shè)計(jì)的“原創(chuàng)習(xí)題”.在學(xué)習(xí)這四道題之后，破解試題中難題的絆腳石都已攻克，這時(shí)再看曾經(jīng)的攔路虎，就會(huì)產(chǎn)生一種柳暗花明、一覽眾山小的感覺(jué)，提升解題的自信心，品嘗解題成功的喜悅.

縱觀上述四個(gè)例題的各種解法，都是利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)，通過(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造解題需要的圖形，然后在不斷求線(xiàn)段長(zhǎng)度的道路上，求出我們所需要的線(xiàn)段長(zhǎng)度.

因此，計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)的常用解決方法可分為以下兩種類(lèi)型：

第一類(lèi)：以構(gòu)造相似三角形為載體，利用比例線(xiàn)段求解.

第二類(lèi)：以構(gòu)造直角三角形為載體，利用勾股定理或三角函數(shù)求解.

1.4 盤(pán)點(diǎn)收獲，自我成長(zhǎng)

（1）通過(guò)本課學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)整理試卷的一般方法了嗎？

①按知識(shí)點(diǎn)（如勾股定理、相似三角形、二次函數(shù)等）分類(lèi)，整理出與重要概念相關(guān)的一般方法.

②按問(wèn)題（如計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)、證明線(xiàn)段相等、求最值等）分類(lèi)，整理出解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法.

③按題型（如選擇題、填空題、作圖題等）分類(lèi)，整理出解決各種題型的一般方法.

（2）通過(guò)學(xué)習(xí)，你能總結(jié)出求線(xiàn)段長(zhǎng)的一般路徑嗎？

1.5 學(xué)以致用，反思提高

（1）以做過(guò)的一套模擬試卷為例，把錯(cuò)題按知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)整理.

（2）結(jié)合今天所學(xué)，總結(jié)出計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)的一般規(guī)律.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：試題講評(píng)課的作業(yè)不能僅僅滿(mǎn)足于訂正試題，更要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，歸納提升學(xué)習(xí)收獲，注重知識(shí)的整體性和系統(tǒng)性，注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生的反思意識(shí)，這樣才能使學(xué)生既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林.

2 教學(xué)反思

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”羅增儒教授說(shuō)：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都毫無(wú)例外地充滿(mǎn)著數(shù)學(xué)解題活動(dòng).”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終歸宿就是利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題.由于問(wèn)題的多樣性和不確定性，使我們很容易跌入題海的泥潭難以自拔.如何才能讓學(xué)生跳出題海，以“出世”的心態(tài)“入世”呢？

高效的試題講評(píng)有利于更好地實(shí)現(xiàn)“教學(xué)評(píng)一體化”，以評(píng)定教，以評(píng)促學(xué)，真正做到目標(biāo)明確，有的放矢.這就是說(shuō)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能只滿(mǎn)足于問(wèn)題解決的“術(shù)”，更要從問(wèn)題解決中提煉出高于具體方法的“道”.

2.1 “有”中生成

前一個(gè)“有”是指“看得見(jiàn)”，即解決問(wèn)題時(shí)要發(fā)現(xiàn)題目中顯性的文字信息和圖形信息，包括條件和結(jié)論.而“生成”是指“生長(zhǎng)、拓展”，即把顯性信息通過(guò)推理轉(zhuǎn)換得到進(jìn)一步有價(jià)值的隱性信息，要用運(yùn)動(dòng)、發(fā)展、變化的觀點(diǎn)看問(wèn)題，不能“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林”，要充分挖掘，做到舉一反三.

2.2 “無(wú)”中生有

這里的“無(wú)”是指“看不見(jiàn)”，即題中沒(méi)有直接給出有價(jià)值的文字信息和圖形信息，但這時(shí)的“看不見(jiàn)”并不是簡(jiǎn)單的沒(méi)有和不存在，而是需要我們辯證地看待“無(wú)”，提煉出隱藏在背后的有價(jià)值的文字或圖形信息.這里的“有”是指“做得出”，即在隱性信息的基礎(chǔ)上，通過(guò)聯(lián)系、加工、提煉和創(chuàng)造，發(fā)現(xiàn)已知和未知之間的潛在關(guān)系，構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，找出解決問(wèn)題的方案.當(dāng)然，還需步步謹(jǐn)慎，最后達(dá)到“算的對(duì)”的結(jié)果.

由此可得，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般流程（如圖9）：

看得（不）見(jiàn)想得到做得出算得對(duì)

在“看得（不）見(jiàn)”“想得到”“做得出”“算的對(duì)”這四個(gè)思維層次中，“看得（不）見(jiàn)”是認(rèn)知起點(diǎn)，“想得到”是思維關(guān)鍵，“做得出”是統(tǒng)籌能力，“算的對(duì)”是最終歸宿.

2.3 數(shù)學(xué)之道

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)不是學(xué)生的分?jǐn)?shù)，而是學(xué)生身心的發(fā)展.中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)的《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》明確指出，落實(shí)“雙減”學(xué)校責(zé)無(wú)旁貸.古人說(shuō)：上人用道，中人用術(shù)，下人用力.在茫茫題海中，要切實(shí)減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，教師必須為學(xué)生點(diǎn)燃學(xué)習(xí)征途中的指路明燈.顯然，“有”“無(wú)”的解題觀是一種在具體解題之上的“高觀點(diǎn)”，是一種哲學(xué)視野下的解題觀，它不僅適合某一類(lèi)題，更適合解決所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題.它是在學(xué)生踏遍千山萬(wàn)水之后，內(nèi)心抽象形成的一種素養(yǎng)、一種境界、一種自信，這種心態(tài)是自然的、平和的、通透的.

大道至簡(jiǎn)，明數(shù)學(xué)之道，就是要“教會(huì)學(xué)生思考”，“關(guān)注學(xué)生的感受”，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思維過(guò)程，從具體方法中概括出一般原理［2］.在學(xué)生經(jīng)歷的一次次頭腦風(fēng)暴后，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生，使試題講評(píng)課給學(xué)生帶來(lái)身心的“豁然開(kāi)朗”，從“術(shù)”的認(rèn)知上升為“道”的格局.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄：下卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017.