摘要：本文將蕩秋千過程看作是變長度擺，利用合成運動的方法分析了擺的加速度并建立了相應的動力學方程，針對有無阻尼情況分別用攝動法和平均法求出了解析解，進而利用數(shù)值模擬的方法對方程進行了仿真并與兩種解析解進行了對比，分析了不同方法的優(yōu)劣及分析了其利用阻尼實現(xiàn)振動控制的條件。

關鍵詞：蕩秋千；自激振動；攝動法；平均法

中圖分類號：O323文獻標識碼：A

蕩秋千運動在我國已經有兩千多年的歷史，相傳是春秋時期由少數(shù)民族傳入中原。人們將蕩秋千的方法總結為“高蹲低站”，即當秋千擺到最高點時迅速蹲下，而擺到最高點時快速站起。關于蕩秋千問題的力學原理，武際可教授做了生動的描述［1］。而對于蕩秋千現(xiàn)在普遍認為應該將其歸入自激振動，劉延柱教授對其模型進行了分析［2］。此外，國內的一些學者對于蕩秋千問題也進行了相關的研究［36］。

1基本模型分析

設擺線下端懸掛質量為m的小球，初始t=0時，θ=θ0、θt·=θt·0，擺線長度隨位置變化，變化規(guī)律如圖1所示，可表示為如下方程（擺長是擺角θ的函數(shù)）：

l（θ）=l0（1-ε·θ·sgn（θt·））（1）

其中：θ為擺動角度，l0為θ=0時擺長，ε為無量綱參量（控制擺長的小參數(shù)），θ·t表示對時間的導數(shù)，sgn（θt·）表示取θ·t的符號。

圖1變長度擺圖2加速度矢量圖圖3單擺受力圖

在任意位置時，以小球為動點，建立隨擺線一塊擺動的坐標系（坐標系只隨擺線相同規(guī)律轉動，不沿擺長方向移動），則擺球加速度及受力如圖2、圖3所示，建立垂直于擺線的動力學方程：

m·{l0·θ¨t1-ε·θ·sgn（θt·）-2θ·2t·l0·ε·sgn（θt·）}=-m·g·sinθ（2）

整理后，并令p2=g/l0可得：

θ¨t+p2·sinθ-2θ·2t·ε·sgn（θt·）1-ε·θ·sgn（θt·）=0（3）

符號函數(shù)可表示為sgn（θt·）=θt·/θt·，當擺角比較小時sinθ≈θ，因為ε、θ均為小量，則上式化簡為：

θ¨t+p2·θ=ε·f（θ，θt·）（4）

其中，f（θ，θt·）=2θt··θt·-p2·θ2·θt·/θt·，為非線性函數(shù)。

接下來考慮可能存在的阻尼的影響，假設阻尼的影響為小量和ε同階，那么不妨假設阻尼cm=ε·c1，將其加入式（4）中，則非線性函數(shù)變?yōu)閒（θ，θt·）=2θt··θt·-p2·θ2·θt·/θt·-c1·θt·。

2攝動法分析

首先將θ按ε的冪次展開：

θ=θ（0）+εθ（1）+ε2θ（2）+…（5）

初始條件為t=0時，θ（0）0=θ0，θ·（0）t0=θt·0；θ（n）0=0，θ·（n）t0=0，n1。

將式（5）代入式（4）并讓同冪次ε合并，按有無阻尼可分別求解。

2.1無阻尼情

θ=a·cosφ（t）·［1±ε·a·cosφ（t）］（6）

θ·t=-a·p·sinφ（t）［1±2ε·a·cosφ（t）］（7）

φ（t）∈（kπ，（k+1）π），當k=0，2，4…時取負號，k=1，3，5…時取正號。

從式（6）可得振幅依調制函數(shù)隨時間做小幅振蕩，沒有自激振動現(xiàn)象。

2.2有阻尼情況

θ=a·cosφ（t）·1-ε·c12·t±ε·a·cosφ（t）（8）

θ·t=-a·p·sinφ（t）1-ε·c12·t±2ε·a·cosφ（t）

-ε·c12·cosφ（t）（9）

φ（t）∈（kπ，（k+1）π），當k=0，2，4…時取負號，k=1，3，5…時取正號。

對比攝動法分析結果有阻尼情況相對于無阻尼情況只是在調制函數(shù)中增加了隨時間減小的衰減項（跟阻尼大小有關），隨著時間增加振幅逐漸減小，當t=t1=2ε·c1時，振幅最??；當t＞t1后，振幅開始增大。

3平均法分析

應用平均法方程對式（4）進行近似分析。當ε=0時，可得線性保守系統(tǒng)：

θ¨t+p2·θ=0（10）

其自由振動解為

θ=a·cos（p·t-φ），θt·=-a·p·sin（p·t-φ）（11）

其中a為振幅、φ為相位，當ε≠0且ε為小參數(shù)時，式（4）的解仍具有式（11）的形式，但是振幅和相位是緩慢變化的，則a、φ是時間t的函數(shù)。

3.1無阻尼情況

θ=πB1·π-2ε·pt·cos［p·t-B2］（12）

θt·=-πB1·π-2ε·pt·p·sin［p·t-B2］

+2πε·p（B1·π-2ε·pt）2·cos［p·t-B2］（13）

由初始條件并考慮到ε為小參數(shù)，可得B1、B2近似解：

B1=pθ·2t0+p2·θ20tanB2=θ·t0p·θ0（14）

3.2有阻尼情況

θ=πc1·4p-D1·eε·c1·t2-1·cos［p·t-D2］（15）

θt·=-πc14p-D1·eε·c1·t2-1·p·sin［p·t-D2］

+πc1ε·c12D1·eε·c1·t24p-D1·eε·c1·t2-2

·cos［p·t-D2］（16）

由初始條件并考慮到ε為小參數(shù)，則可以得到D1、D2的近似解：

tanD2=θt·0p·θ0D1=4p-πpc1p2·θ20+θ·2t0（17）

由以上分析可知當c1＞4πp2·θ20+θ·2t0時，阻尼起主要作用，振幅小幅衰減；當c1＜4πp2·θ20+θ·2t0時，自激起主要作用，振幅隨時間小幅增大；當c1=4πp2·θ20+θ·2t0時進行等幅擺動，阻尼和自激效果抵消，稱作臨界阻尼ccr=4πp2·θ20+θ·2t0。

4仿真分析

取小參數(shù)ε=0.2，重力加速度g=9.8m/s2，擺長l0=098m；初始條件：θ0=0.1、θt0·=0；阻尼選三種情況：c1=［0.5ccr，ccr，2ccr］，ccr=4pθ0π。

仿真時間：

（1）平均法：無阻尼情況極限時間為t=B1·π2εpθ0=π0.04×10≈24.836s，大阻尼及臨界阻尼情況不存在極限時間（大阻尼振幅衰減最后趨近于零，臨界阻尼等幅振動），小阻尼情況極限時間為t=2ln4pD1c1ε=2ln20.5×0.2×410×0.1π=34.431s。

（2）攝動法：無阻尼情況下不存在極限時間，有阻尼情況為t＞t1=2ε·c1=［49.673，24.836，12.418］時，振幅開始增大，因為攝動法振幅均是先減小再增大，變化趨勢相同。

因此仿真時間取t=24s，仿真步長tstep=0.01s。仿真結果如圖4—圖7所示，數(shù)值解采用虛線，攝動解采用點畫線，平均法采用實線。從圖上可以看出攝動法的解只有在開始的一段（一個周期內）誤差較小，隨著時間的增加誤差越來越大。而平均法在整個過程都符合得比較好，并且平均法具有解析解的形式，便于分析問題的特征本質，比如前邊的臨界阻尼的獲得，極限時間的獲得等。

圖4為無阻尼情況下微分方程的數(shù)值解、攝動解、平均法解的比較，從圖中可以看出，由于擺長的變化導致自激振動的發(fā)生，并且振動幅度越來越大，直到問題發(fā)散。

圖5為小阻尼情況下微分方程的數(shù)值解、攝動法解、平均法解的結果，從圖中可以看出，當阻尼小于臨界阻尼時，隨著運動的進行，擺動的幅度逐步增大，但是增大的幅度比無阻尼時明顯減小。說明阻尼消耗掉了一部分自激振動能量，但是由于阻尼比較小仍有一部分自激振動能量保留，導致擺動幅度持續(xù)增大。

圖6為臨界阻尼情況下微分方程的數(shù)值解、攝動法解、平均法解的對比。從圖中可以看出，當阻尼取臨界阻尼時，擺動的幅度不變，說明此時自激振動的能量正好被阻尼消耗掉，振動保持不變的幅度穩(wěn)定擺動。

圖7為大阻尼情況下微分方程的數(shù)值解、攝動法解、平均法解的結果。從圖中可以看出，當阻尼大于臨界阻尼時，擺動的幅度隨時間持續(xù)減小，說明此時不只是自激振動的能量被阻尼消耗掉，還有一部分原有的振動能量被消耗掉，因此導致擺動幅度越來越小。

結語

由以上的分析可知，在較短的時間尺度上，對于變長度擺的自激振動問題，攝動法、平均法均能滿足工程上的計算要求，但是攝動法分析過程相對簡單，平均法分析過程稍顯復雜；在長時間尺度上，攝動法隨著時間的持續(xù)誤差逐漸增大，而平均法一直符合很好。對于變長度擺自激振動問題的控制，可采用控制阻尼的方式實現(xiàn)。如果要消除自激振動的影響，保持穩(wěn)定的振動，阻尼應選取在臨界阻尼上；如果要控制自激振動使其衰減，則阻尼應大于臨界阻尼，阻尼越大衰減越快；如果要控制自激振動的振動增加幅度，阻尼應小于臨界阻尼，阻尼越小振動幅度增加越快。

此外，由于本文采用的是簡化模型，沒有考慮擺線的質量及各處的摩擦等與實際模型仍有差距。

參考文獻：

［1］武際可.從蕩秋千說開去——漫話共振［J］.力學與實踐，2003，25（2）：7578.

［2］劉延柱.再談蕩秋千——兼談自激振動［J］.力學與實踐，2007（3）：9293.

［3］劉世清.秋千非線性參變共振的分析［J］.大學物理，2001，20（10）：1517.

［4］尤明慶.關于蕩秋千力學原理的一個注記［J］.力學與實踐，2010，32（03）：136.

［5］于鳳軍.用功能原理分析秋千的擺動與旋轉［J］.大學物理，2016，35（02）：1416.

［6］楊百愚，王翠香，王斌科，等.秋千參數(shù)自激振動的數(shù)學模型與數(shù)值模擬［J］.大學物理，2020，39（01）：5356.

作者簡介：赫萬恒（1981—），男，漢族，河北正定人，碩士研究生，講師，研究方向：振動控制方向。