［摘 要］ 高中數(shù)學(xué)知識(shí)量大且深?yuàn)W，想要在短時(shí)間內(nèi)掌握并應(yīng)用新知，最好的方法就是在原有認(rèn)知體系上，將類比源與靶對(duì)象有機(jī)地融合在一起進(jìn)行類比分析，提煉并建構(gòu)新知. 文章從類比程序出發(fā)，以“空間向量及其加減運(yùn)算”教學(xué)為例，具體從三個(gè)階段探討如何將類比思想融入教學(xué)中，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 類比思想；教學(xué)；空間向量

亞里士多德曾提出：學(xué)習(xí)應(yīng)從相似的內(nèi)容出發(fā)，雖然它們之間相距甚遠(yuǎn). 這句話詮釋了類比的核心就是將相似對(duì)象的信息相互轉(zhuǎn)移. 類比思想是誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生靈感的主要源泉，如萊布尼茨就是受中國(guó)八卦圖的啟發(fā)，圓滿解決了創(chuàng)建二進(jìn)制數(shù)所遇到的障礙.

類比程序

想要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)類比思想，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的類比思維. 一般而言，類比程序主要有如下三個(gè)階段：①緊扣數(shù)學(xué)事物的特征，聯(lián)想與它相關(guān)的內(nèi)容；②借助類比猜想，證明結(jié)論；③嘗試用所得結(jié)論解決實(shí)際問(wèn)題［1］.

教學(xué)分析

本節(jié)課比較特殊，既是學(xué)生初次應(yīng)用向量法解決立體幾何的一節(jié)課，又是應(yīng)用“歐幾里得公理化體系”之外的代數(shù)法實(shí)施運(yùn)算的起始課，還是學(xué)生從幾何直觀想象轉(zhuǎn)化到抽象的邏輯推理的轉(zhuǎn)折課. 體驗(yàn)類比思想在解決空間幾何問(wèn)題中的便利，對(duì)提升學(xué)生的空間想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等能力具有重要意義. 因此，本節(jié)課具有示范價(jià)值，是將向量從“三維”推廣到“n維”的基礎(chǔ).

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 問(wèn)題情境，揭露課題

師：現(xiàn)在回顧一下我們學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)類別及其間的聯(lián)系方法.

這是開(kāi)放性問(wèn)題情境，涉及面很廣，學(xué)生回答豐富，如代數(shù)、幾何、數(shù)列、函數(shù)、方程、向量等. 經(jīng)討論，學(xué)生一致認(rèn)為是數(shù)學(xué)思想將這些看似無(wú)關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，如常見(jiàn)的數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想等.

教師認(rèn)可學(xué)生的回答，并借助恩格斯提出的“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)”，指導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系（見(jiàn)圖1），尤其強(qiáng)調(diào)本節(jié)課將應(yīng)用類比思想、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想等.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)分析數(shù)學(xué)概念與圖示，引導(dǎo)學(xué)生理解幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，明確轉(zhuǎn)化可提高運(yùn)算能力，為解決難度較大的問(wèn)題服務(wù)，如二面角問(wèn)題. 由此，學(xué)生會(huì)自然而然地想到“是否可用數(shù)量關(guān)系或空間向量來(lái)探索立體幾何問(wèn)題呢？”顯然，此環(huán)節(jié)激發(fā)學(xué)生的探索欲，揭示教學(xué)主題.

2. 活動(dòng)探究，深化理解

活動(dòng)1 探尋生活中的空間向量.

師：請(qǐng)大家想一想生活中與空間向量相關(guān)的實(shí)例，嘗試自主制作一個(gè)空間向量來(lái)討論.

生1：準(zhǔn)備幾根繩子與一串鑰匙，分別以水平、豎直與特殊角的方向來(lái)拉動(dòng)鑰匙，鑰匙受力情況不同，可以此來(lái)探尋不同的空間向量.

師：這個(gè)想法不錯(cuò)，簡(jiǎn)便易行且容易理解. 現(xiàn)在請(qǐng)大家取出紙筆，畫出鑰匙在操作中的受力關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)與生活有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生基于生活制作空間向量，激發(fā)學(xué)生探究熱情的同時(shí)，加深他們對(duì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活聯(lián)系的認(rèn)知，為接下來(lái)的教學(xué)奠定基礎(chǔ).

活動(dòng)2 類比平面感知空間.

巡視發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫了多種鑰匙受力圖，要求學(xué)生分類這些受力圖，并思考分類方式.

生2：按照平面與空間可把這些圖分成兩大類.

師：這兩者之間存在什么樣的聯(lián)系呢？這是本節(jié)課著重討論的問(wèn)題.

學(xué)生通過(guò)合作學(xué)習(xí)，自主設(shè)計(jì)表格（如表1所示），比較平面向量與空間向量在概念與表示方法上的異同.

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)旨在培養(yǎng)學(xué)生類比思想，讓學(xué)生在自主分類的基礎(chǔ)上，自然而然地對(duì)比平面向量與空間向量，通過(guò)表格明確表達(dá)兩類向量的概念與表示方法，為進(jìn)一步探索空間向量奠定基礎(chǔ).

活動(dòng)3 探索空間向量加減運(yùn)算.

師：若a，b是兩個(gè)平面向量，結(jié)合我們所學(xué)的內(nèi)容，可怎樣計(jì)算它們的和與差？

生3：借助三角形與平行四邊形法則平移兩個(gè)向量，重合起點(diǎn)或首尾相接成三角形或平行四邊形，即可進(jìn)行運(yùn)算.

師：為什么可以這么操作？

生4：因?yàn)槠矫嫦蛄磕茏杂梢苿?dòng)，其加減基于平移，但要保持大小和方向不變.

師：很好！類比平面向量的加減法，空間向量是否適合平移？空間向量能否像平面向量一樣，重合起點(diǎn)或首尾相接成三角形或平行四邊形？

生5：結(jié)合空間向量所在直線的位置關(guān)系來(lái)看，存在平行、相交與異面三種情況，其中異面直線可平移到同一個(gè)平面內(nèi)，因此空間向量可以像平面向量一樣平移，重合起點(diǎn)或首尾相接成三角形或平行四邊形.

教師認(rèn)可這位學(xué)生的說(shuō)法，并著重強(qiáng)調(diào)任意兩個(gè)空間向量都可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)平面向量進(jìn)行分析，這是解決空間向量問(wèn)題的重要方法.

師：若a，b均為空間向量，我們?cè)撛鯓佣x它們的和與差？

學(xué)生認(rèn)為只要將a，b平移到同一個(gè)平面內(nèi)，即將空間向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面向量問(wèn)題就能解決和與差的問(wèn)題. 在此基礎(chǔ)上，教師展示圖2，與學(xué)生一起定義空間向量的和與差.

設(shè)計(jì)意圖 類比法為定義空間向量的和與差提供了基礎(chǔ). 這種設(shè)計(jì)有助于提高學(xué)生的自主探究能力和類比思維能力，幫助學(xué)生構(gòu)建新識(shí)，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展.

活動(dòng)4 空間向量加法是否滿足交換律與結(jié)合律.

師：結(jié)合我們的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)可知，在空間向量加法中，交換律是必然的. 由于任意的三個(gè)空間向量不一定能平移到同一個(gè)平面內(nèi)，這與平面向量有明顯差異，因此空間向量加法是否滿足結(jié)合律呢？我們可用作圖法進(jìn)行探究并驗(yàn)證.

如圖3所示，三角形或平行四邊形法則均表明空間向量加法滿足結(jié)合律，即（a+b）+c=a+（b+c）.

師：請(qǐng)簡(jiǎn)述你們的收獲或結(jié)論.

生6：前面的探究活動(dòng)告訴我們，首尾相接的向量的和等于由起始向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，如果若干向量能圍成一個(gè)封閉圖形，那么它們的和就是0.

生7：三個(gè)起始點(diǎn)相同但不共面的向量的和，等于以這些向量為棱的平行六面體中，從公共起始點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線向量.

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生用畫圖法探索交換律與結(jié)合律，既幫助學(xué)生掌握相應(yīng)知識(shí)，又培養(yǎng)類比思想，成功完成新知教學(xué)任務(wù).

3. 課堂小結(jié)，歸納提升

師：本節(jié)課推進(jìn)順利，得益于我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)用了什么數(shù)學(xué)思想方法？

生（眾）：類比思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法等.

師：確實(shí)，類比思想方法使我們從平面向量推導(dǎo)出空間向量的概念、性質(zhì)與運(yùn)算. 現(xiàn)在請(qǐng)大家回顧整節(jié)課的教學(xué)流程，說(shuō)說(shuō)你們的收獲與感悟.

設(shè)計(jì)意圖 課堂小結(jié)是梳理知識(shí)點(diǎn)、提煉數(shù)學(xué)思想方法的環(huán)節(jié)，在教師的點(diǎn)撥與引導(dǎo)下，學(xué)生整理知識(shí)結(jié)構(gòu)，并回顧本節(jié)課應(yīng)用的思想方法等，為后續(xù)研究更多問(wèn)題夯實(shí)了方法基礎(chǔ).

幾點(diǎn)思考

1. 類比需關(guān)注師生在課堂中的地位

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在課堂中的主體性地位. 既然要培養(yǎng)學(xué)生類比思想，首先就要將學(xué)生放在教學(xué)首位. 當(dāng)然，學(xué)生固然重要，但教師也不可忽視，教師具有無(wú)可替代的作用. 事實(shí)證明，并不是所有新知教學(xué)都具有類比性，類比源與靶對(duì)象之間具有一定的相似性是實(shí)施類比的前提. 教學(xué)時(shí)，教師首先要明確目標(biāo)，才能為學(xué)生指引方向.

縱觀本節(jié)課的教學(xué)，每一個(gè)環(huán)節(jié)都以教師點(diǎn)撥，學(xué)生主動(dòng)探索、合作交流為主. 這種模式不僅體現(xiàn)了學(xué)生在課堂中的主體性地位，還彰顯教師的課堂調(diào)控能力與引導(dǎo)作用. 正因?yàn)閹熒e極互動(dòng)，默契配合，才使課堂順利推進(jìn)，完成教學(xué)任務(wù)，達(dá)到預(yù)期目標(biāo). 因此，關(guān)注師生在課堂中的地位是培養(yǎng)學(xué)生類比思想的基礎(chǔ).

2. 類比思想需滲透在教學(xué)中

類比屬于一種“由此及彼”的遷移過(guò)程，是促使學(xué)生觸類旁通，獲得舉一反三能力的方法基礎(chǔ)，它對(duì)推進(jìn)學(xué)生個(gè)體發(fā)展具有重要意義［2］. 類比思想需浸潤(rùn)在課堂的每一個(gè)環(huán)節(jié)中，但要切忌為了類比而類比，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)中進(jìn)行類比. 此為授學(xué)生以“漁”而非“魚”的過(guò)程. 課堂在教師引導(dǎo)、學(xué)生自主探索中動(dòng)態(tài)生成，學(xué)生通過(guò)觀察、聯(lián)想、研究，獲得相應(yīng)結(jié)論.

本節(jié)課的“活動(dòng)探究，深化理解”環(huán)節(jié)，教師以鼓勵(lì)學(xué)生自主探尋生活中的向量為起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)分類平面向量與空間向量. 兩者從同一事物中分離出來(lái)，學(xué)生自然會(huì)將它們聯(lián)系到一起進(jìn)行思考，平面向量與空間向量的類比自然就發(fā)生了.

至于可從哪些方面類比平面向量與空間向量，這就依賴于學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn). 在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生將已知內(nèi)容羅列到表格中，如平面向量和空間向量的概念和幾何表達(dá)方法等. 通過(guò)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的一一梳理，類比思想就滲透到每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中.

3. 類比思想可促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展

康德認(rèn)為：當(dāng)我們的智力缺乏可靠的論證思路時(shí)，指引我們前進(jìn)的往往是類比. 確實(shí)，類比思想對(duì)學(xué)科的發(fā)展乃至社會(huì)的進(jìn)步都有重要作用. 數(shù)學(xué)教學(xué)旨在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，類比思想是實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)的關(guān)鍵動(dòng)力. 它能幫助學(xué)生更好地理解、建構(gòu)、內(nèi)化新知，讓學(xué)生在由此及彼中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，獲得良好的思維能力，這些能力是推進(jìn)核心素養(yǎng)形成的基礎(chǔ)［3］.

本節(jié)課教學(xué)就是基于類比思想設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過(guò)程. 教師根據(jù)學(xué)情和教情，將課程劃分為三大模塊和多個(gè)探究活動(dòng). 學(xué)生在多樣化的教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)列表、畫圖和類比等方式構(gòu)建新知. 這種設(shè)計(jì)不僅高效達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)，還展現(xiàn)了類比思想的價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

總之，滲透類比思想是發(fā)展學(xué)生歸納意識(shí)與創(chuàng)新能力不可小覷的一種方式. 合理應(yīng)用好類比思想，不僅有助于教師實(shí)施教學(xué)，更利于學(xué)生接納與內(nèi)化新知，這是提升教學(xué)效率，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要舉措.

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