［摘 要］ 單元教學是落實學科核心素養(yǎng)、實現(xiàn)學科育人的基礎和重要路徑. 文章以數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，以“三角公式”為例，通過問題串引導教學，將碎片化學習轉變?yōu)榻Y構化學習，確保核心素養(yǎng)在課堂中得到實施.

［關鍵詞］ 核心素養(yǎng)；單元整體教學；三角公式

引言

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）強調高中數(shù)學課程以學生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)［1］10. 本文提出按主線設置課程體系，將知識整體化、結構化，促使課程教學設計從關注單個知識點轉向關注單元整體設計［2］. 在學生已有知識和發(fā)展水平上，將數(shù)學知識分成不同的單元，搭建起一個由單元大主題統(tǒng)領，各子主題相互關聯(lián)，邏輯清晰的教學單元，促進學生建構知識框架和認知框架［3］.

本文重新整合三角函數(shù)知識，以數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，從單元整體教學視角探討“三角公式”的教學.

“三角公式”單元整體教學設計

1. 單元主題生成

“三角函數(shù)”是人教A版（2019）高中數(shù)學必修第一冊教材第五章的內(nèi)容. 本章內(nèi)容包括“三角函數(shù)的圖象與性質”和“三角公式”兩大模塊，現(xiàn)抽取“三角公式”作為教學主題，引導學生基于三角函數(shù)定義推導三角公式，理解同角三角函數(shù)、誘導公式和三角恒等變換的關聯(lián). 根據(jù)教學內(nèi)容建立以“三角公式”為單元主題的教學結構，如圖1所示.

2. 單元教學內(nèi)容分析

三角公式是三角函數(shù)的重要部分，從三角函數(shù)這章的內(nèi)部結構來看，三角公式的產(chǎn)生和發(fā)展遵循一定的邏輯順序.

首先，基于學生對角的認識和理解，結合日常周期性現(xiàn)象構建模型，產(chǎn)生認知沖突，從而引入任意角的概念；為了統(tǒng)一單位，引入弧度制；結合數(shù)學模型，以單位圓為工具獲得三角函數(shù)的定義，發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)的基本關系.

其次，引導學生發(fā)現(xiàn)當兩個角的終邊相同或在特殊位置時，對應的三角函數(shù)值之間的關系，推導出誘導公式.

最后，探討任意兩角的和（或差）的函數(shù)值及二倍角、半角公式.深入剖析知識間的聯(lián)系，厘清知識間的脈絡，以問題串的形式層層遞進，激發(fā)學生的探究欲，促進數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

3. 單元整體教學過程

（1）情境創(chuàng)設

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實在發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的過程中，通過合理的設置引導學生學會用數(shù)學思維思考問題，是落實核心素養(yǎng)的保障［4］. 本單元的教學情境設置可做如下考慮.

情境1 如圖2所示，單擺從某時開始每秒來回擺動一次，如何刻畫單擺離開平衡位置O的位移s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系？

情境2 如圖3所示，設筒車上每一個水桶都做勻速圓周運動，每6分鐘轉一圈，如何刻畫水桶距離水面的相對高度h（單位：m）與時間t（單位：s）的關系？

思考 這兩個現(xiàn)象有什么共同特征？

設計意圖 上述兩個情境不能用熟知的函數(shù)模型刻畫，從而引發(fā)學生認知沖突，讓學生體會學習新函數(shù)的必要性.

（2）模型建構

如圖4所示，設筒車做勻速圓周運動，中心為O，轉輪半徑為10 m，每6分鐘轉一圈，水桶為點P，從初始位置A（OA與水面平行）開始逆時針轉動.

問題1 一段時間后，如何計算水桶轉動的圈數(shù)？此時點P距離水面的高度是多少？

為方便計算，把10 m記為1（單位：10 m），以O為原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸，建立平面直角坐標系，如圖5所示.

思考 ①如何刻畫水桶轉動的圈數(shù)？②點P的高度由幾個量刻畫？③h（單位：m），t（單位：s）與水桶轉動的圈數(shù)有何關系？

設計意圖 將實際情境抽象成數(shù)學問題，引發(fā)學生思考幾個變量間的關系，可知時間t（單位：s）與水桶轉動的圈數(shù)相互對應；時間可以確定高度，但高度不能確定時間.通過動態(tài)展示，引導學生發(fā)現(xiàn)∠AOP與時間和圈數(shù)也相互對應，以此引發(fā)學生認知沖突.

追問1：初中學習的角的范圍是多少？這個范圍能描述筒車旋轉嗎？

設計意圖 隨著時間變化，初中學習的角不足以描述筒車旋轉，因此需要擴展角的定義，引入任意角的概念.

追問2：筒車上一點從初始位置A逆時針轉動到點P（如圖5所示），點P的位置由哪些量確定？

引導學生建構平面直角坐標系，發(fā)現(xiàn)點P的位置與圓半徑、∠AOP或有關.

設計意圖 將筒車轉動問題抽象成數(shù)學問題，發(fā)現(xiàn)點P的位置可以用角度或弧度刻畫，但是進制不統(tǒng)一，導致研究不便，需學習新知識以理解引入弧度制的必要性.

追問3：我們能否用十進制的實數(shù)來度量角的大小呢？

引入弧度制：用弧度作為單位度量角，長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記為1 rad. 角度與弧度的換算：1°= rad，1 rad=

°.

設計意圖 引導學生探究圓中弧長與角度的關系，并通過動態(tài)演示揭示角度與弧度的轉換，從而介紹弧度制.

（3）知識探究

問題2 按照圖5建立平面直角坐標系，設轉輪半徑為1（單位：10 m），設∠AOP=α（單位：弧度），若α取，，，點P分別處于什么位置？若α為任意角，如何刻畫點P的位置？

引入幾個特殊的角，發(fā)現(xiàn)點P的位置由其坐標確定，由此得到三角函數(shù)的概念：把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數(shù)，即y=sinα；把點P的橫坐標x叫做α的余弦函數(shù)，即x=cosα；把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做α的正切，即=tanα（x≠0）.

設計意圖 先引入幾個特殊的角進行探究，讓學生發(fā)現(xiàn)用角α可以確定點P的位置；再以動態(tài)演示的方式呈現(xiàn)點P的運動過程，建立點P的橫、縱坐標與角α的函數(shù)關系.

問題3 當點P在單位圓上逆時針轉動角α時，點P到圓心O的距離能否用三角函數(shù)值表示呢？

基于三角函數(shù)的定義，計算點P的坐標，然后應用兩點間的距離公式求得OP的長度，由此得到同角三角函數(shù)的基本關系：sin2α+cos2α=1，tanα=

α≠kπ+，k∈Z

.

思考 若圓的半徑為r，上述式子還成立嗎？

設計意圖 先引導學生思考點P到圓心O的距離（圓的半徑）是否也與三角函數(shù)值有關，促使他們探究同角三角函數(shù)的基本關系；接著引導學生思考圓半徑任意時同角三角函數(shù)的基本關系式是否仍然成立，讓學生發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)的基本關系式與角α有關，與圓的半徑無關.

問題4 基于三角函數(shù)的概念可知，三角函數(shù)值與角的終邊有關，若兩個角的終邊相同或處于特殊位置時，對應角的三角函數(shù)值有什么關系？

根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到誘導公式一；角α的終邊關于原點、x軸、y軸和y=x對稱，可得角π+α，-α，π-α和-α的終邊，由此得到誘導公式二～公式五；角-α的終邊關于y軸對稱，可得角+α的終邊，由此得到誘導公式六.

設計意圖 由三角函數(shù)的定義可知，三角函數(shù)的概念是用角的終邊與單位圓的交點刻畫的，因此在探究過程中觀察終邊相同或對稱時，點坐標之間的關系，深化學生對三角函數(shù)的理解.

問題5 觀察誘導公式發(fā)現(xiàn)，角α與特殊角π，的和（差）的三角函數(shù)與角α的三角函數(shù)有一定關系，那么角α與任意角β的和（差）的三角函數(shù)與角α，β的三角函數(shù)是否也有一定關系？

追問：①若角α等于角β，它們之間的關系又是怎樣的呢？②和（差）角公式通過怎樣的運算能得到積化和差公式？

以三角函數(shù)概念和誘導公式為基礎，結合圓的對稱性，利用坐標法證明和（差）角公式，再將β特殊化，推導出二倍角公式. 觀察和（差）角公式的公共部分，通過相加減得到積化和差公式.

設計意圖 先觀察誘導公式中各特殊角與任意角α的和（差）角關系式，從而思考探究和（差）角公式；然后結合三角函數(shù)的概念，發(fā)現(xiàn)其本質是找到角的終邊與單位圓的相交點的坐標，利用坐標法推導出兩角和與差的余弦公式，進而推導出兩角和與差的正弦、正切公式；最后引導學生觀察和（差）角公式，推導出二倍角公式和積化和差公式.

教學感悟與反思

新課標提出：整體把握教學內(nèi)容，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展［1］82. 鑒于此，圍繞三角公式展開整體教學，有助于學生構建連貫、整合的知識結構，落實數(shù)學學科核心素養(yǎng).

1. 創(chuàng)設主題情境，指向問題解決

數(shù)學知識與實際生活密切相關，基于此，通過圍繞大主題的數(shù)學情境教學，學生能多角度分析問題，建立穩(wěn)定的知識結構和價值觀. 比如“三角公式”教學，通過觀察筒車轉動，將日常生活問題抽象為數(shù)學問題，從而引入任意角和弧度制的概念. 將實際問題數(shù)學化，再將數(shù)學問題生活化，相互貫通，潛移默化地發(fā)展學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，提高學生用數(shù)學知識解決問題的能力.

2. 關注知識聯(lián)系，創(chuàng)造解決條件

數(shù)學知識本身具有一定的邏輯性，因此，在單元整體教學視角下，要剖析大主題內(nèi)各子主題間的關系，引導學生建構更加全面和完整的知識體系.比如基于三角函數(shù)的定義提出問題：當兩個角的終邊相同或處于特殊位置時，對應的三角函數(shù)值有什么關系？通過三角函數(shù)的定義發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值與角的終邊有關，以此引發(fā)學生重點探究角的終邊處于特殊位置（如關于原點對稱等）時相應三角函數(shù)值之間的關系，進而為誘導公式的推導創(chuàng)造條件.因此，在大單元指引下，教師站在整體的高度俯瞰知識間的聯(lián)系，實現(xiàn)重點突出、安排合理、生成自然.

3. 踐行學生為本，推動素養(yǎng)發(fā)展

單元整體教學并非簡單地把幾節(jié)課內(nèi)容進行疊加，而是以知識間的邏輯關系為基礎進行串聯(lián)，以學生的認知發(fā)展為基礎，圍繞一大主題進行解析，將相互關聯(lián)的主題以合理的方式進行組合.比如先由初中學習的角、角度制過渡到任意角和弧度制，再以三角函數(shù)的定義為基礎推導誘導公式……在“三角公式”教學中，以學生為本，建構一系列問題串，引發(fā)學生思考、探究，幫助學生有層次、系統(tǒng)性地圍繞一個主題開展學習，為學生探索關鍵知識、發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)奠定基礎.

4. 規(guī)劃單元教學，體現(xiàn)育人價值

單元教學有利于整體規(guī)劃核心素養(yǎng)的發(fā)展，有利于借助大背景、大問題、大思路、大框架進行高觀點統(tǒng)領、思想性駕馭、結構化關聯(lián)，能有效規(guī)避傳統(tǒng)的課時教學整體感不強、知識分解過度、學習碎片化、教學效益低下的現(xiàn)象［5］. 教師可在單元教學中幫助學生掌握知識結構，聯(lián)系實際生活，促進認知發(fā)展，提升能力和素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 喻平. 學科核心素養(yǎng)導向的教學理論嬗變［J］. 教育發(fā)展研究，2022，40（Z2）：78-85.

［3］ 嚴艷. 單元整體教學中核心素養(yǎng)目標的落實：以“分式”單元起始課為例［J］. 中學數(shù)學教學參考，2020（20）：25-27.

［4］ 魏侹路. 單元教學設計助力發(fā)展學科核心素養(yǎng)：以“三角函數(shù)”為例［J］. 數(shù)學教學通訊，2021（33）：12-14+26.

［5］ 曾榮. 單元教學的整體設計與課時實施：以“圓錐曲線”單元教學為例［J］. 數(shù)學通報，2021，60（3）：33-37.