［摘 要］ 隨著新課改的推進(jìn)，當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)不再只強(qiáng)調(diào)知識(shí)與智力的發(fā)展，更關(guān)注對(duì)知識(shí)本質(zhì)的揭露與核心素養(yǎng)的培育. 究竟該如何在有限的課堂時(shí)間內(nèi)，用問題啟發(fā)學(xué)生思考，揭露知識(shí)本質(zhì)，從真正意義上促使學(xué)力發(fā)展呢？研究者以“圓錐曲線的離心率”專題復(fù)習(xí)教學(xué)為例，分別從“問題啟發(fā)，構(gòu)建解題模型”“問題拓展，發(fā)展探究能力”“總結(jié)提煉，暴露知識(shí)本質(zhì)”三方面展開教學(xué)與思考，以期拋磚引玉.

［關(guān)鍵詞］ 問題；思維；本質(zhì)；學(xué)力

核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)，需將揭露知識(shí)本質(zhì)作為教學(xué)主要任務(wù). 問題作為數(shù)學(xué)的心臟，具有啟思、揭露知識(shí)本質(zhì)等重要價(jià)值與作用. 如何將“以問啟思”應(yīng)用在高三專題復(fù)習(xí)教學(xué)中呢？這是一個(gè)較難把握的問題. 專題復(fù)習(xí)是一種立足學(xué)情、教情與考情，具有高度針對(duì)性的課型，解決真問題與實(shí)問題是基本目標(biāo)，發(fā)展核心素養(yǎng)是關(guān)鍵目標(biāo). 本文以“圓錐曲線的離心率”專題復(fù)習(xí)教學(xué)為例，對(duì)問題揭露知識(shí)本質(zhì)展開探索與研究.

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 問題啟發(fā)，構(gòu)建解題模型

眾所周知，問題是思維的起點(diǎn)，是一切事物形成的根源. 復(fù)習(xí)課堂中的問題質(zhì)量至關(guān)重要，特別是在解題模型構(gòu)建背景下，每一個(gè)問題都需要精心設(shè)計(jì). 為了啟發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)，在課堂起始環(huán)節(jié)，教師結(jié)合學(xué)情提供以下兩個(gè)問題供學(xué)生自主解決.

問題1 若雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn). 過點(diǎn)F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，P為垂足. 當(dāng)PF=PO時(shí)，雙曲線C的離心率是（ ）

A. B. 2

C. D.

生1：如圖1所示，根據(jù)題設(shè)條件和雙曲線的性質(zhì)可知，PF=b，OF=c，PO=a，PF=a. 在Rt△OFP內(nèi)，cos∠PFO==；在△FFP內(nèi)，由余弦定理得cos∠PFO==. 所以，c2=3a2，e=. 故本題選A.

師：非常好！根據(jù)題設(shè)條件和雙曲線的性質(zhì)列出a，c之間的關(guān)系式，而后將它轉(zhuǎn)化成關(guān)于a，c的齊次式，成功獲得離心率e.

追問：當(dāng)我們順利求解這個(gè)問題后，有沒有初步形成一定的想法或感悟？

生2：遇到“求圓錐曲線的離心率”這一類問題時(shí)，先結(jié)合題設(shè)條件初步列出與a，c相關(guān)的方程，再將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于a，c的齊次式實(shí)施解題.

師：表達(dá)得很清晰，基于生2的分析，關(guān)于圓錐曲線離心率的解題思路基本形成，值得注意的是，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還要關(guān)注運(yùn)算的規(guī)范與正確性. 接下來，我們共同來看下面這個(gè)問題，探尋其帶給我們的啟示.

問題2 若F，F(xiàn)為橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，e，e分別為橢圓與雙曲線的離心率，點(diǎn)P是它們的公共點(diǎn)，并滿足·=0，則+的值是（ ）

A. B. C. 3 D. 2

生3：根據(jù)橢圓與雙曲線的定義先分別獲得PF與PF，然后借助各個(gè)條件列出與a，c相關(guān)的齊次式解題. 假設(shè)2c為橢圓與雙曲線的焦距，2a與2a分別為橢圓與雙曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，列方程組

PF

+PF

=2a，

PF

-PF

=2a，得

PF

=a

+a，

PF

=a

-a.

因?yàn)椤?0，所以PF⊥PF，PF+PF=（2c）2，即（a+a）2+（a-a）2=4c2，整理得a+a=2c2，所以+=2. 故本題選D.

設(shè)計(jì)意圖 基于兩個(gè)常規(guī)問題的啟發(fā)，學(xué)生自主回顧了“求圓錐曲線的離心率”的基本方法：先結(jié)合題設(shè)條件列出與a，c有關(guān)的方程，再將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于a，c的齊次式，最后獲得e值. 基本方法的探索，為接下來的深入研究夯實(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)還發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2. 問題拓展，發(fā)展探究能力

每一個(gè)學(xué)生的潛能都是無窮的，同時(shí)每一個(gè)學(xué)生都希望自己是一個(gè)探索者、研究者. 在課堂中，教師借助一些拓展性問題進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)，不僅能進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)與技能基礎(chǔ)，還能有效發(fā)展學(xué)生的思維，讓學(xué)生投身于問題的探索中來. 當(dāng)學(xué)生順利解決完上述兩個(gè)問題并歸納出基本方法后，教師又設(shè)計(jì)了以下三個(gè)延伸問題供學(xué)生思考和探索，促使學(xué)力發(fā)展.

問題3 點(diǎn)F（-c，0）與F（c，0）分別是橢圓G：+=1（a>b>0）的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上，且滿足·=0，則橢圓G的離心率e的取值范圍為______.

生4：設(shè)點(diǎn)M（x，y），根據(jù)·=0得x2+y2=c2①. 將式子y2=b2-x2代進(jìn)①式，可得x2=a2-. 因?yàn)?≤x2<a2，解得≤e<1.

師：優(yōu)秀！這位同學(xué)通過構(gòu)造不等式，快速解決了問題. 雖然本題有一定難度，但細(xì)致分析即可找到解法.

師：究竟是如何構(gòu)造出不等式0≤x2<a2的呢？

生4：由橢圓+=1（a>b>0）中的x<a構(gòu)造而來.

師：很好！這種構(gòu)造不等式的方法常用于求解圓錐曲線的參數(shù)取值范圍，因此務(wù)必引起高度重視.

問題4 已知雙曲線-=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）

A. （1，2） B. （2，+∞）

C. ［2，+∞） D. （1，2］

生5：滿足題設(shè)條件的直線的斜率應(yīng)小于等于，即≤，也就是b≥a，c2-a2≥3a2，所以c2≥4a2，e≥2. 故本題選C.

師：非常好. 解決此類問題一般有兩種思路：一是借助判別式構(gòu)造不等式；二是通過數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)造不等式. 這些思路的探索對(duì)發(fā)展我們的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)具有重要價(jià)值.

問題5 如果F，F(xiàn)為橢圓+=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，有一點(diǎn)P位于該橢圓上，能讓∠FPF=60°，那么該橢圓的離心率的取值范圍是什么？

生6：如圖2所示，對(duì)于△PFF，由余弦定理得cos∠FPF=≥=，當(dāng)且僅當(dāng)PF=PF時(shí)取等號(hào). 由此可判定當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓短軸的頂點(diǎn)B或B時(shí)，∠FPF的度數(shù)是最大的.

師：接著我們?cè)鯓荧@得離心率的取值范圍呢？

生7：因?yàn)椤螰PF=60°，所以≥. 又<1，所以≤e<1.

生8：基于角度大小來分析，當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓短軸的頂點(diǎn)B或B時(shí)，∠FPF的度數(shù)最大，則0<∠FPF≤∠FBF. 如果FBF<60°，那么就不存在點(diǎn)P能讓∠FPF=60°. 因此，∠FBF≥60°，則≥，所以≤e<1.

師：你們太棒了！從不同維度來分析與思考問題，獲得了不同的解題方法. 結(jié)合上述探究過程，請(qǐng)大家思考一下，可從哪幾個(gè)角度去求解圓錐曲線離心率的取值范圍？

生9：一般可從圓錐曲線的幾何性質(zhì)、數(shù)學(xué)思想、判別式、基本不等式等角度去思考與分析.

師：不錯(cuò)！通過本節(jié)課的復(fù)習(xí)，大家有什么感受？說說你們從中獲得的體會(huì).

生10：只要緊扣問題本質(zhì)，用合適的方法來構(gòu)造不等式，就能順利解決問題，因此這一類問題并沒有想象中那么難.

設(shè)計(jì)意圖 求圓錐曲線離心率的取值范圍是本節(jié)課復(fù)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，教師以幾個(gè)典型問題幫助學(xué)生提煉基本解題思路，積累解題經(jīng)驗(yàn). 隨著探索活動(dòng)的開展，學(xué)力不斷提升.

3. 總結(jié)提煉，暴露知識(shí)內(nèi)涵

師：本節(jié)課我們一起探索與研究了圓錐曲線離心率的取值范圍問題，現(xiàn)在請(qǐng)大家梳理與總結(jié)本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容和解題方法.

設(shè)計(jì)意圖 專題復(fù)習(xí)教學(xué)不可能將每一道題都拿出來跟學(xué)生一起探索，因?yàn)闀r(shí)間是有限的，而題目是無限的，尤其在以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的高考背景下，數(shù)學(xué)試題的靈活度越來越高. 學(xué)生想要從真正意義上掌握解題技巧，發(fā)展學(xué)力，最好的辦法就是通過剖析經(jīng)典例題，揭露問題本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)思想方法，達(dá)到融會(huì)貫通的目的.

幾點(diǎn)思考

1. 精心預(yù)設(shè)是課堂有效生成的基礎(chǔ)

專題復(fù)習(xí)教學(xué)與新課教學(xué)不同，學(xué)生在復(fù)習(xí)前已學(xué)過相關(guān)知識(shí)，但掌握情況需考察. 受教學(xué)環(huán)境、個(gè)體差異等因素的影響，各個(gè)班級(jí)的情況不一樣. 作為教育信息化背景下的教師，可借助大數(shù)據(jù)來分析學(xué)情，根據(jù)實(shí)際情況制定教學(xué)目標(biāo)、設(shè)計(jì)教學(xué)問題. 一旦教學(xué)定位準(zhǔn)確，離課堂生成則更進(jìn)一步. 本教學(xué)案例的前兩個(gè)環(huán)節(jié)，以問題啟發(fā)的形式引導(dǎo)學(xué)生探索求圓錐曲線離心率的取值范圍的主要思路，從而有效提升學(xué)生的思維能力.

2. “以生為本”是踐行新課標(biāo)的核心

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在課堂中的主體地位，以問題啟發(fā)思維，并將“以生為本”理念貫穿教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié). 本教學(xué)案例，雖然由教師設(shè)計(jì)問題，但對(duì)問題的探索都以學(xué)生為主. 學(xué)生在獨(dú)立思考、合作交流中充分暴露思維過程，并隨著思維的逐步深入揭露數(shù)學(xué)本質(zhì)，由此構(gòu)建完整的知識(shí)體系，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 問題啟發(fā)是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)是思維的體操，問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展具有重要價(jià)值與意義，而思維發(fā)展又是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵路徑. 因此，教師在課前應(yīng)客觀評(píng)價(jià)與判斷學(xué)情與教情，根據(jù)實(shí)際情況設(shè)計(jì)問題，以更好地激活學(xué)生的思維.

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，教師要引導(dǎo)學(xué)生在課堂中不斷思考與探索，才能掌握各個(gè)核心素養(yǎng)的特征與要求，從整體上把握好學(xué)習(xí)方向，全方位掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升學(xué)力.