摘 要：微分幾何研究空間曲線與曲面，研究對(duì)象復(fù)雜，目前課程沒能提供幾何直觀分析，這導(dǎo)致實(shí)際課程教學(xué)比較抽象，學(xué)生難以把握一些基本概念、結(jié)論等；另外課程缺少研究性、探究性教與學(xué)。本文首先研究《微分幾何》課程教學(xué)的直觀性問題，針對(duì)課程中密切面、撓率和曲率線基本概念、空間曲線和曲面一點(diǎn)的鄰近結(jié)構(gòu)基本結(jié)論，給出具體實(shí)例，使用軟件MATLAB編寫程序，提供幾何直觀圖像。其次，給出探究性教學(xué)案例。文中提供的程序、圖像能增強(qiáng)教學(xué)的直觀性，探究性案例有利于開展研究性教學(xué)。

關(guān)鍵詞：微分幾何; 直觀教學(xué);研究性教學(xué)；MATLAB

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 中圖分類號(hào)： G642; O186.1

1 概述

微分幾何不僅是現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要的研究方向，它也有許多科學(xué)與實(shí)際應(yīng)用，如極小曲面被應(yīng)用在現(xiàn)代建筑外形設(shè)計(jì)上[1]，飛機(jī)等機(jī)器部件的設(shè)計(jì)研究離不開微分幾何[2-3]，測(cè)地線理論被應(yīng)用到大地測(cè)量等[4]；微分幾何在自動(dòng)控制、人工智能領(lǐng)域也應(yīng)用廣泛[5-10]；高斯-博內(nèi)公式更可以幫助人們認(rèn)識(shí)羅氏幾何等，促進(jìn)人們對(duì)非歐幾何、現(xiàn)代幾何學(xué)的理解[11]。

本科《微分幾何》課程是一門重要的基礎(chǔ)課，它承擔(dān)傳授微分幾何基本概念、思想和方法的任務(wù)，不僅如此，它還是解析幾何、高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析和常微分方程在其中廣泛應(yīng)用的學(xué)科，提高《微分幾何》課程教學(xué)質(zhì)量，可以促進(jìn)學(xué)生綜合知識(shí)與能力的提升。然而實(shí)際

教學(xué)使筆者感受到《微分幾何》課程急需增強(qiáng)直觀性、研究性教學(xué)，《微分幾何》研究空間曲線與曲面，研究對(duì)象復(fù)雜，如果缺乏曲線、曲面等的直觀圖形，一些基本概念難以被真正理解；例如學(xué)生很難理解撓率概念，教師也不易描述它；另外學(xué)生也許能求出某曲面的曲率線，但是它在曲面的什么位置問題不易被回答，實(shí)際教學(xué)處于過于抽象的狀態(tài)。如果能加強(qiáng)直觀性、研究性教學(xué)，能使當(dāng)前教學(xué)得到明顯改觀。目前關(guān)于《微分幾何》直觀教學(xué)、研究性教學(xué)成果很少見。文獻(xiàn)[12]運(yùn)用 Matlab 軟件繪制了圓柱螺線、環(huán)面等空間圖形，計(jì)算了橢圓和擺線的相對(duì)曲率，證明了雙曲螺線的曲率和撓率相等，另外計(jì)算拋物面的第一基本量、第二基本量及法曲率和主曲率；文獻(xiàn)[13]運(yùn)用 Matlab繪制了球面、正螺面和麥比烏斯帶等曲面，編程計(jì)算了向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極限，曲線弧長(zhǎng)，曲線的曲率與撓率等。上述文獻(xiàn)研究成果一定程度上加強(qiáng)了微分幾何教學(xué)的直觀性。本文首先深入探討微分幾何的直觀教學(xué)問題，通過合理設(shè)計(jì)圖形并用Matlab加以繪制，以揭示密切面、撓率、曲率線等概念本質(zhì)，講清空間曲線一點(diǎn)結(jié)構(gòu)以及曲面一點(diǎn)的結(jié)構(gòu)等重要內(nèi)容，本文將給出相應(yīng)的程序，為微分幾何的直觀教學(xué)提供幫助；另外給出研究性教學(xué)案例。

2 基本概念的直觀教學(xué)

2.1密切面

設(shè)類的空間曲線，其一點(diǎn)處的密切面是與其最貼近的切平面。密切面由曲線的一階及二級(jí)導(dǎo)數(shù)張成；也可以由曲線在該點(diǎn)的切向量和主法向量張成[ 14]。例1可以幫助我們理解密切面這一概念。

例1 設(shè)圓柱螺線，（1）繪制該曲線；（2）繪制點(diǎn)處的切線及密切面。

t=-1.5：0.2：2*pi;plot3（cos（t），sin（t），t，'r'）%畫圓柱螺線

hold on;x=ones（1，size（t，2））;

plot3（x，t，t）%繪制圓柱螺線在點(diǎn)（1，0，0）處的切線

plot3（1，0，0，'b*'）

[X，Y]=meshgrid（-0.5：0.25：1）;%繪制圓柱螺線在點(diǎn)（1，0，0）處的密切面

Z=Y;mesh（X，Y，Z）

程序的運(yùn)行結(jié)果如圖1，從圖1可以清楚地看到密切面與圓柱螺線的緊密貼合。

2.2 撓率

直觀地講，撓率就是曲線離開密切面的程度[14].圖1清楚地顯示了圓柱螺線在點(diǎn)離開密切面的程度，圖1可以幫助我們理解撓率概念。

對(duì)于撓率的認(rèn)識(shí)不能僅限于此，撓率還決定曲線一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)。對(duì)于圓柱螺線來說，當(dāng)撓率時(shí)是右旋的，螺距向上延伸；當(dāng)撓率時(shí)是左旋的，螺距向下延伸，分別如圖2_1、圖2_2.

撓率也可以準(zhǔn)確地計(jì)算。設(shè)類的空間曲線，撓率計(jì)算公式為[ 15]：

圓柱螺線的撓率是常數(shù)，例2程序用以說明這一結(jié)果。

例2 計(jì)算圓柱螺線在點(diǎn)處的撓率。

syms t;s=0;r=[cos（t），sin（t），t];r1=diff（r）;r1_1=subs（r1，'t'，s）;

r2=diff（r1）;r2_1=subs（r2，'t'，s）;r3=diff（r2）;r3_1=subs（r3，'t'，s）;

naolv=det（[r1_1;r2_1;r3_1]）/（norm（cross（r1_1，r2_1）））^2

運(yùn)行結(jié)果：0.5.

2.3 曲率線

曲率線是曲面上的一條曲線，如果該曲線每點(diǎn)的切方向都是主方向，則該曲線是曲率線。曲率線應(yīng)滿足[1 5]：

曲面是否都存在曲率線？如果存在的話，如何畫出曲率線？回答這些問題有助于理解曲率線概念。球面上每條曲線都是曲率線；對(duì)于圓柱面而言，經(jīng)計(jì)算知道其曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)，由水平圓和直母線組成，如圖3.曲率線網(wǎng)常被選為坐標(biāo)網(wǎng)，因?yàn)樗哂休^好的性質(zhì)。

3 基本結(jié)論直觀教學(xué)

3.1 空間曲線一點(diǎn)的鄰近結(jié)構(gòu)

本科的《微分幾何》是局部微分幾何，研究一點(diǎn)處曲線的基本性質(zhì)?？臻g曲線在一點(diǎn)鄰近的近似形狀由該點(diǎn)的曲率和撓率完全決定，文獻(xiàn)[14]還給出近似形狀示意圖。例3給出具體實(shí)例，說明這一結(jié)論。

例3 繪制圓柱螺線及其上點(diǎn)處的Frenet標(biāo)架，并觀察點(diǎn)處的曲線形狀。

t=-1.5：0.2：2*pi;hold on

plot3（cos（t），sin（t），-t，'r'） ;plot3（1，0，0，'b*'）

[X，Y]=meshgrid（-0.5：0.25：1）; Z=-Y;mesh（X，Y，Z）

x=ones（1，size（t，2））;y=zeros（1，size（t，2））;

plot3（x，t，-t）%繪制圓柱螺線在點(diǎn)（1，0，0）處的切線

plot3（x，t，t）%繪制圓柱螺線在點(diǎn)（1，0，0）處的副法線

plot3（-t，y，y）%繪制圓柱螺線在點(diǎn)（1，0，0）處的主法線

3.2 空間曲面一點(diǎn)的鄰近結(jié)構(gòu)

在曲面論中，研究曲面一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)是重要問題。文獻(xiàn)[14]指出曲面橢圓點(diǎn)的高斯曲率，曲面沿所有方向都朝同一側(cè)彎曲；曲面拋物點(diǎn)，除漸近方向外，一切法截線都朝的反向彎曲；當(dāng)時(shí)，曲面點(diǎn)為雙曲點(diǎn)，此點(diǎn)鄰近曲面近似于馬鞍面，此種情形復(fù)雜，下面給出例4予以說明。

例4設(shè)馬鞍面，繪制該曲面及點(diǎn)處法截線的方向。

程序略，運(yùn)行結(jié)果為如圖4，在區(qū)域1曲面向下彎曲，在區(qū)域2曲面向上彎曲。

4 研究性教學(xué)案例

梅向明，黃敬之著《微分幾何》第五版3.5節(jié)“曲面的主方向和曲率線”研究性教學(xué)案例如下。

（1）依據(jù)教材講解主方向定義、推導(dǎo)主方向滿足的方程；

（2）研究曲面任一點(diǎn)主方向的個(gè)數(shù)：非臍點(diǎn)處總有兩個(gè)主方向，臍點(diǎn)處每一方向都是主方向；

（3）講解主方向判定定理（羅德里格斯定理）及其證明；

（4）研究問題：給定一個(gè)主方向，如何尋找與之共軛的另一主方向？提示學(xué)生回想（3）中定理證明過程的第二部分；

（5）羅德里格斯定理應(yīng)用部分：課堂探究?jī)蓚€(gè)問題，題1是對(duì)教材第75頁14題條件做修改，如下：

題1：給出曲面上一條曲率線，設(shè)上每一點(diǎn)處的主法向量和曲面在該點(diǎn)處的法向量成定角，但不等于，則為平面曲線。

題2：探究教材第75頁14題的逆命題是否成立。特例情形；對(duì)球面、圓柱面而言，題2結(jié)論是否正確？

課堂學(xué)生研究上述問題，原題留為作業(yè)。通過這個(gè)活動(dòng)啟發(fā)學(xué)生多思考問題，學(xué)會(huì)探究，進(jìn)一步地深入理解所學(xué)的知識(shí)。

（6）學(xué)生課后思考：通過參數(shù)變換后選取曲率線網(wǎng)為曲紋坐標(biāo)網(wǎng)的意義。提示學(xué)生預(yù)習(xí)3.6節(jié)，從中可以找到答案。

5 結(jié)論

目前《微分幾何》課程的教學(xué)缺乏直觀性、研究性，這妨礙了學(xué)生對(duì)基本概念、基本思想方法的理解與運(yùn)用。本文解決《微分幾何》課程教學(xué)的直觀性、研究性問題，針對(duì)密切面、撓率及曲率線等基本概念、空間曲線和空間曲面在一點(diǎn)的鄰近結(jié)構(gòu)基本結(jié)論，利用MATLAB軟件編寫程序，提供幾何圖形；提供了研究性教學(xué)案例，較好地有重點(diǎn)地解決了實(shí)際教學(xué)中的迫切問題。

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基金項(xiàng)目：沈陽師范大學(xué)JG2021-YB094

作者簡(jiǎn)介： 景麗（1967年－），女，漢，遼寧沈陽人，沈陽師范大學(xué)副教授， 博士，研究方向：切換系統(tǒng)及多智能體系統(tǒng)的控制。