摘要：本文根據(jù)數(shù)學分析教學過程中的實際情況，提出三個主要問題，并據(jù)此提出基于主動型教學模式的教學改革方案。該方案可以讓學生快速了解數(shù)學分析的知識架構(gòu)，有效地培養(yǎng)學生學習積極性，提高學習主動性，以及增強知識點在實際問題上應用的廣泛性。教學改革方案還借助Python軟件解決教學過程中遇到的計算問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學分析；教學改革；Python；主動型教學模式

數(shù)學分析是數(shù)學專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課之一，是整個數(shù)學體系的根基之一，主要包括一元極限理論、微分理論、積分理論和級數(shù)理論，以及多元極限理論、微分理論和積分理論等。這些理論幾乎涵蓋了后續(xù)課程涉及到的所有基礎(chǔ)知識，如常微分方程中會涉及大量微分、積分和部分極限的知識，概率論會涉及無窮級數(shù)、一元積分和多元積分理論等。所以，學好數(shù)學分析是作為一名數(shù)學專業(yè)學生必備的基本功。但數(shù)學分析包含的概念、性質(zhì)、定理以及證明往往又是最為抽象和復雜的，且前后章節(jié)之間的邏輯性又非常嚴謹，這使得學生在學習的過程中容易失去學習興趣，進而可能無法順利完成學習任務。目前，不斷有教師嘗試用較為新穎的方式去處理這些困難，達到了一定的效果。為了更好地激發(fā)學生學習的主動性，提高教學效率，擴大應用范圍，本文針對課程特點和教學中存在的問題，提出基于主動型教學模式的教學改革方案（以下簡稱方案），結(jié)合Python軟件，讓學生更快速地建立知識架構(gòu)、更準確地掌握基本知識、更靈活地應用知識，達到學以致用的目標。

一、數(shù)學分析課程的特點

數(shù)學分析更側(cè)重介紹知識本身，目的是為后續(xù)課程提供理論支撐。這是數(shù)學分析的一個優(yōu)勢，它可以讓數(shù)學學習變得更加純粹。但同時也是該學科的一個劣勢，它加大了學生使用所學的知識解決實際問題的難度。具體特點包括：

（一）知識點分布密集

數(shù)學分析的知識點分布是非常密集的。整個教學過程，課上需要講授大量的知識點，占據(jù)了課上絕大多數(shù)的時間。因此，課上無法用較多的時間做大量的練習來鞏固知識點。

（二）抽象的符號和較強的理論性

為保證理論的嚴謹性，數(shù)學分析幾乎所有的理論都采用抽象的符號進行最一般性的描述。盡管在某些知識點的講解過程中可以引入實際例子，比如速度是位移對時間的一階導數(shù)等，但當涉及較大篇幅的性質(zhì)、定理、證明等內(nèi)容時，還是無法克服抽象符號和理論性強的困難。即使是一個簡單的概念，也會形成了一個較強的、相對完整的理論體系，使得學生望而生畏，從心理上產(chǎn)生拒絕學習數(shù)學分析的情緒，更無從談及學習的主動性了。

（三）模塊化的教學方式

在教學過程中，較難擺脫一種模塊化的教學方式，即某一部分理論的中后期是相對獨立的。這種模塊化的教學方式不僅體現(xiàn)在理論教學過程中，實際應用的理論也出現(xiàn)涉及知識點單一的局面。該方式可以很細致的講授每一部分理論，但極其容易出現(xiàn)學生對知識點的割裂，做不到對整個體系的通覽。

二、傳統(tǒng)教學過程中存在的問題

基于以上學科特點，作者認為在教學過程中主要存在三個問題：無法快速構(gòu)建知識體系、應用脫離實踐、學生學習的主動性不高。

（一）無法快速構(gòu)建知識體系

數(shù)學分析這門課程由于其自身的特點，使其并不適合大一學生自學。在傳統(tǒng)教學過程中，大部分高等院校會采用三學期的時間完成整個數(shù)學分析的教學。以第一學期96學時為例，該學期的主要任務是完成實數(shù)與函數(shù)、一元極限與連續(xù)性、微分學和積分學四個主要部分的學習。以我校教學大綱為例，實數(shù)與函數(shù)8學時，一元極限與連續(xù)22學時，一元微分學36學時，一元積分學30學時。該過程雖然強調(diào)知識的嚴謹性和邏輯性，但進度較慢。學生需要花費大量的時間專注于完整地學習某一部分知識，極其容易忽略對數(shù)學分析的整體框架的把握，導致學生無法快速構(gòu)建知識體系，不利于高效地激發(fā)學生的學習熱情。這幾年不斷有教師嘗試利用網(wǎng)絡資源、數(shù)學建模、特殊模式等方式激發(fā)學生的學習興趣，提高學習效率，取得了成效。但縱觀整個教學過程，一定程度上還是很難擺脫傳統(tǒng)教學模式產(chǎn)生無法快速構(gòu)建知識體系的問題。

（二）應用脫離實踐

雖然數(shù)學分析是一門重點闡述基礎(chǔ)的課程，但在實踐中的應用是非常廣泛的。由于無法快速構(gòu)建知識體系，學生對于知識點的應用逐漸形成了集中在比較經(jīng)典的幾個模型中的固定思維方式。比如提到導數(shù)，學生就會快速的聯(lián)想到速度、斜率，再比如提到定積分的幾何或物理含義，根據(jù)其維數(shù)不同，學生會聯(lián)想到二維平面上某平面圖形的面積、三維空間中某物體的體積、某物體的質(zhì)量等。除此之外，可以說再無其它。這些應用雖然非常經(jīng)典、簡單直接、有利于學生去理解知識點的內(nèi)涵，但缺乏綜合性，不利于理解和掌握各理論之間的深層聯(lián)系，更不利于學生主動發(fā)現(xiàn)一些較為復雜的、與理論交織較多的應用，進而逐漸形成知識應用脫離實踐的局面。這種局面反過來又會影響學生的學習積極性。

（三）學習主動性不高

由于知識應用脫離實踐的程度過高，雖然學生學到的知識越來越多，但其應用能力卻沒有得到相應的提升。學生對于知識的認知程度僅限于知識本身，以應付各種考試為目的，為了學而學，逐步形成紙上談兵的局面，循環(huán)往復，嚴重打擊學生學習的熱情和主動性。所以自然而然地形成了被動型學習狀態(tài)。這種狀態(tài)一旦形成，很難改變。被動型學習不僅對于數(shù)學分析課程本身的學習是毫無益處的，而且對整個四年的學習，也有深遠影響。

三、基于主動型教學模式的教學改革方案

針對以上特點和問題，本文提出主動型教學模式，即最大程度地充分發(fā)揮學生在學習過程中的主觀作用，提高學生對知識點的應用能力，擴展應用范圍，改善傳統(tǒng)教學中存在的問題，達到學后能用、學后會用的目的。

為達成以上目標，首要任務是讓學生快速建立數(shù)學分析的知識架構(gòu)。以此為基礎(chǔ)，建立主動型教學模式主要分為四個階段：基本知識的講解；實際應用例子的搜集、整理與優(yōu)化；形成主動型學習模式；深化主動型學習模式。并在每一階段采用不同的指標對學生進行綜合性過程評價。

我校用三學期時間完成數(shù)學分析的整個教學任務，每學期預計開設96學時，采用教材為華東師范大學數(shù)學科學學院編寫的《數(shù)學分析（第五版）》，其中第一、二學期重點完成該教材中全部計算問題和少量理論證明性問題，第三學期重點完成該教材的理論證明部分，尤其是一元函數(shù)的理論證明。本方案主要針對第一、二學期的教學任務。

（一）第一階段：基本知識的講解

這一階段在第一學期完成，主要解決的問題是讓學生在短時間內(nèi)快速地對數(shù)學分析課程涉及的內(nèi)容有初步了解，建立知識架構(gòu)，解決知識點密集和理論性強的問題，有效改善知識點的嚴謹性和應用的及時性之間的矛盾關(guān)系。

1.總體安排

將數(shù)學分析的主體內(nèi)容分為一元函數(shù)的極限、連續(xù)、微分和積分，多元函數(shù)的連續(xù)、微分、積分以及級數(shù)8各部分，每一部分預計用1-2學時（45分鐘/學時）講解基本概念和簡單應用。這樣在2-3周內(nèi)，既讓學生掌握了數(shù)學分析的基本知識架構(gòu)，但又沒有因為過多的理論學習打擊學生的學習熱情，為下一階段的任務做好鋪墊。

2.知識的深度和難度

總體上以了解知識點，掌握知識框架為目標。以數(shù)列極限部分為例，采用具體例子介紹數(shù)列的定義、數(shù)列極限的定義、以及語言，指明與誤差之間的關(guān)系，并用其他例子鞏固以上概念和關(guān)系即可，不介紹數(shù)列極限的性質(zhì)（如唯一性、有界性、保號性等）、定理（如單調(diào)有界原理等）、證明等延伸內(nèi)容。

評價指標：主要是學生的課堂表現(xiàn)。

（二）第二階段：實際應用例子的搜集、整理與優(yōu)化

這一階段在第一學期完成，主要解決應用單一的問題，改善應用的局限性和廣泛性之間的矛盾關(guān)系。

1.例子的搜集

在上一階段完成的基礎(chǔ)上，學生已對數(shù)學分析的知識架構(gòu)有了大致了解。此時再將學生分組，搜集實際應用的例子就會達到事半功倍、有的放矢的效果。將學生分成4組，分別搜集近10年來物理、機械、經(jīng)濟、醫(yī)療（但不限于此）等領(lǐng)域的實際應用例子，鼓勵學生搜集與我國國情和近年來前沿科學成果相關(guān)的例子。由于學生接觸數(shù)學分析時間較短，所以這一步的任務重心是讓學生在實際應用中發(fā)現(xiàn)涉及第一階段知識點的例子。搜集的例子可以包含其他學科的知識，并不要求完全用到數(shù)學分析的知識，為問題的整理和優(yōu)化做準備。學生可充分發(fā)揮互聯(lián)網(wǎng)的重要作用，通過查閱文獻、觀看科普短視頻等方式完成任務。每組以電子文件的方式提交大作業(yè)，其中包括word文檔1（每個例子的出處、涉及的知識點和對知識點在例子中的處理應用方式）和支撐文件（引用文獻、視頻等源文件或網(wǎng)址）。

評價指標：搜集問題的數(shù)量、年份、涉及知識點的數(shù)量、大作業(yè)的完成度。

2.例子的整理

將第一步的所有例子統(tǒng)一編號，分發(fā)給每個組。要求學生按照知識點對例子進行分類整理。具體要求為：將所有例子按照知識點進行分類，一個例子可出現(xiàn)在不同的知識點組中；在同一個知識點組中，按照年份進行排列；補充例子中缺失的知識點；將以上內(nèi)容形成word文檔2。這樣做的目的是讓學生進一步鞏固知識架構(gòu)，也可以讓學生了解知識點的應用發(fā)展過程。

評價指標：word文檔2中三部分內(nèi)容的完成度。

3.例子的優(yōu)化

每組針對word文檔2完成兩次優(yōu)化任務。在第一次優(yōu)化任務中完成例子的篩選和補充，包括去除知識點重復、年份較早、應用較直接的例子；對缺失的知識點進行二次搜集，若學生無法完成二次搜集任務，可由教師提供具體例子；將篩選和補充后的例子進行二次整理。在第二次優(yōu)化任務中，由學生和教師共同剔除掉每個例子中與數(shù)學分析關(guān)系較遠的知識點（例如最優(yōu)化解法等），提取關(guān)鍵知識點，并決定最終需要進一步講解的知識點。最后將二次優(yōu)化任務后的內(nèi)容形成word文檔3。

評價指標：例子的篩選和補充程度、覆蓋知識點的全面性、二次搜集和整理的完成度。

（三）第三階段：形成主動型學習模式

這一階段和下一階段將從第一學期開始一直持續(xù)到第二學期結(jié)束，主要改善學生學習的主動性和被動性的矛盾關(guān)系。

將剩余的學習時間分成8個周期，每個周期對應一部分知識，并設立具體的學習內(nèi)容大綱。周期的具體時長可隨著學習進度適當調(diào)整。在周期內(nèi)，根據(jù)word文檔3，每個小組分配一個例子（例子數(shù)量不足時，可分配同一個例子），并由教師根據(jù)例子提出新問題。由學生提出研究例子和解決問題時所需知識的學習需求，教師針對需求在課上進行對應知識的講解，學生利用新知識繼續(xù)研究和解決問題。循環(huán)往復，直到這一周期內(nèi)的所有問題得以解決。若此時已經(jīng)完成該部分學習大綱的要求，則進入第四階段，并開展下一周期；若未完成，則單獨開展理論教學直到完成該部分學習大綱要求為止。這個過程可以讓學生達到學后能用，學后會用的效果。

同時，在上述過程中引入首要問題機制和競爭機制。首要問題機制是針對每個組負責解決的首個問題，即被分配的問題。競爭機制的啟動契機是，組A解決完首要問題，且組B的首要問題尚未得到徹底解決，則組A可以與組B競爭解決組B的問題。兩種機制同時啟動，會更高效地促進學生形成主動學習習慣。

評價指標：首要問題的解決程度、所用時間、競爭問題的解決程度。

（四）第四階段：深化主動型學習模式

這一階段安排在每一周期完成理論學習大綱任務后進行，主要任務是借助數(shù)學軟件通過編程實現(xiàn)求解數(shù)學問題。

前三個階段順利完成之后，已初步形成主動型學習模式。但這不是終點。數(shù)學理論應用較難的另外一個因素在于書本上的理論知識并不能有效地解決所有實際問題。比如對于定積分，并不是所有的定積分都可以通過理論方法求解。此時可以借助一些軟件輔助完成解決實際問題。Python是一個目前較為流行的編程軟件，它可以解決數(shù)學分析中的計算問題，且我校已開設Python課程配套學習進度。

此階段主要用Python軟件實現(xiàn)兩部分內(nèi)容。第一部分是用Python軟件實現(xiàn)函數(shù)極限、導數(shù)和積分等運算問題，尤其是一些無法或較難從理論上完全求解的運算問題。第二部分是鼓勵學生嘗試用Python軟件實現(xiàn)第三階段問題的程序化。

評價指標：以命題的方式檢驗學生的程序熟練度、第三階段問題的程序化完成度。

四、課程思政的建設

本方案的四個階段分別涉及到四個不同層面的課程思政建設。第一階段，抓主要矛盾，讓學生逐步養(yǎng)成處理問題時首要任務是把握問題的主要矛盾的好習慣；第二階段，搜集例子的過程中，學生可逐步了解我國近年各領(lǐng)域的發(fā)展狀況，讓學生了解我國國情，增強學生的民族自豪感和愛國熱情；第三階段，培養(yǎng)學生相互協(xié)作和團隊配合精神，鼓勵學生勇于挑戰(zhàn)、敢于競爭；第四階段，除了鍛煉學生的動手能力之外，還可以鍛煉學生遇到問題多思考的習慣，教會學生遇到不能解決的問題時，可以從另外一個側(cè)面去思考并達到最優(yōu)的解決方案。

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項目名稱：2022年遼寧省教改優(yōu)質(zhì)資源建設與共享專項項目——基于互聯(lián)網(wǎng)+的《數(shù)學分析》課程自主學習的線上線下新混合教學模式的研究（編號：0601048）

項目名稱：大連大學2021年教學改革項目重點項目——數(shù)學類專業(yè)基礎(chǔ)課教學模式的改革與實踐

作者簡介：于冉（1981—），男，山東肥城人，漢族，博士研究生，講師，研究方向：數(shù)值計算；高旭彬（1986—），女，河北唐山人，漢族，博士研究生，教授，研究方向：生物數(shù)學。