數(shù)學(xué)公式遍布于初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等各領(lǐng)域，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有一定的比例。本文以深度學(xué)習(xí)為指導(dǎo)，立足公式的教與學(xué)，以“平方差公式”為例，從如何引課，怎樣抓住公式中學(xué)生認(rèn)知的生長點，怎樣突出重點、突破難點等方面，對如何實現(xiàn)對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行了探索。

平方差公式是整式乘法中第一個公式，本節(jié)課的教學(xué)對學(xué)生該如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式有方法論意義，對“數(shù)學(xué)公式課”該如何上有一定的示范引領(lǐng)作用。本文結(jié)合平時下校調(diào)研中所發(fā)現(xiàn)的公式教學(xué)中存在重結(jié)果輕生成、重模仿輕算理、重記憶輕思維等現(xiàn)象，梳理出初中數(shù)學(xué)公式教學(xué)的關(guān)鍵問題，并提出相應(yīng)的改進(jìn)建議。

一、理解公式本質(zhì)的結(jié)構(gòu)性——建構(gòu)知識

美國教育心理學(xué)家布魯納提出：“每門學(xué)科都有它的基本結(jié)構(gòu)，掌握結(jié)構(gòu)是教師的第一要務(wù)?！睌?shù)學(xué)的本質(zhì)是結(jié)構(gòu)，數(shù)結(jié)構(gòu)、式結(jié)構(gòu)、形結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)化是認(rèn)識數(shù)學(xué)對象、研究數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。

理解平方差公式的關(guān)鍵是理解公式的結(jié)構(gòu)特征。平方差公式的實質(zhì)就是整式乘法中具有特殊結(jié)構(gòu)特征的兩個多項式相乘，其結(jié)果具有一般規(guī)律性。掌握和運用這一規(guī)律，能夠簡化運算，提高運算的準(zhǔn)確性。

很多教師把如何理解公式中字母符號的代表性定位為教學(xué)的重點與難點，先是在公式探究中所列舉的多項式相乘的例子中進(jìn)行有層次、有代表的滲透，再加上教師適時的點撥引領(lǐng)，學(xué)生認(rèn)知公式中字母a、b的代表性、一般性、整體性，實際難度不大。學(xué)生真正的認(rèn)知難點是判斷下列式子（-a+b）（a+b）、（a-b）（b+a）、（a-b）（-a-b）、（-a-b）（-a+b）是否符合“平方差”公式運用條件。學(xué)生既要理解公式中字母的可變性，又要認(rèn)識公式結(jié)構(gòu)的不變性。這里也體現(xiàn)了學(xué)生思維的進(jìn)階，從具體實例歸納出文字表述（兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩個數(shù)的平方差），到抽象出公式符號表征（a+b）（a-b）=a2-b2，再到提煉出“相同項”與“相反項”揭示公式本質(zhì)，其中如何啟發(fā)學(xué)生想到從項的視角概括公式結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征是教學(xué)的難點。認(rèn)識對象的性質(zhì)就是對組成元素、相關(guān)元素及其關(guān)系的理解，代數(shù)思維是對數(shù)、式的結(jié)構(gòu)特征的理解，平方差公式中（a+b）（a-b）=a2-b2等號左邊是兩個多項式的積，等號右邊是多項式，多項式的組成要素剛好是“項”，把（a+b）（a-b）轉(zhuǎn)化為［a+（+b）］［a+（-b）］，進(jìn)而從“相同項”與“相反項”的角度來揭示公式的結(jié)構(gòu)特征也就自然水到渠成。

深度學(xué)習(xí)是理解性學(xué)習(xí)。學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的易錯點是理解兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于這兩個數(shù)的平方差中“兩數(shù)”差是誰與誰之差。學(xué)生透過公式的表象，以結(jié)構(gòu)的視角開展從具體到抽象的思維認(rèn)知，把握公式的本質(zhì)特征，真正實現(xiàn)從公式的淺層表征走向深度理解。

二、掌握公式應(yīng)用的靈活性——學(xué)以致用

對公式的靈活運用既是教學(xué)重點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。教學(xué)的關(guān)鍵是要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的符號語言與幾何特征所表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

乘法公式教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)是引導(dǎo)學(xué)生識別公式結(jié)構(gòu)特征，悟透公式的適用條件。學(xué)生只有準(zhǔn)確辨識公式結(jié)構(gòu)特征，才能正確靈活運用公式解決問題，才能體會公式的優(yōu)越性，感悟數(shù)學(xué)的簡潔美。首先，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生梳理運用平方差公式進(jìn)行運算的步驟，強(qiáng)調(diào)程序性知識的操作過程，養(yǎng)成言必有據(jù)、算必有理的理性精神。其次，教師要讓學(xué)生掌握代數(shù)式變式策略，通過“系數(shù)變、符號變、位置變、指數(shù)變、因式變、項數(shù)變”的現(xiàn)象，讓學(xué)生從變化中認(rèn)清變化的規(guī)律，抓住不變的本質(zhì)，感悟字母的可變性和結(jié)構(gòu)的不變性。教師還要讓學(xué)生關(guān)注對公式的運用，從直接運用到構(gòu)造應(yīng)用，如利用平方差公式求下列各式的值：99×101、（2+1）（22+1）（24+1）；再到拓展應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)開放題目，如在括號內(nèi)填上一個多項式（2x-3y），能用平方差公式計算，或直接由學(xué)生自主編題，檢測學(xué)生對公式本質(zhì)、結(jié)構(gòu)的理解和掌握情況。這一系列由淺入深的數(shù)學(xué)活動，其目的是優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，破解公式靈活運用之難。

深度學(xué)習(xí)讓學(xué)生在運用中實現(xiàn)知識的內(nèi)化、思想的升華、能力的提升、素養(yǎng)的落實。這里彰顯了初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個典型特征——學(xué)以致用這是最有效的學(xué)習(xí)方式。

三、體驗公式學(xué)習(xí)的遷移性——觸類旁通

舉一反三、觸類旁通是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的表現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的追求，它考驗學(xué)生面對新問題、新情境能否運用已有知識、提煉一般觀念實現(xiàn)有效遷移。

如何上好公式法則課？感悟公式引入的必要性—提出探究問題—梳理歸納公式—證明驗證公式—感悟公式思想—把握公式結(jié)構(gòu)特征—靈活運用，這是公式課教學(xué)的基本結(jié)構(gòu)與流程。學(xué)生經(jīng)歷平方差公式學(xué)習(xí)的過程，積累公式學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，可類比遷移學(xué)習(xí)完全平方公式。教師對完全平方公式的教學(xué)設(shè)計，也不是簡單的重復(fù)，而是在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上的再建構(gòu)。研究對象在變，但研究問題的思路方法不變，教師用相似的方法解決不同的問題。這既是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也應(yīng)是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。這或許就是數(shù)學(xué)給予我們的最本質(zhì)的思維觀點，學(xué)生不但可以類比平方差公式學(xué)習(xí)完全平方公式，也可以類比公式課學(xué)習(xí)定理、概念課。教師真正弄懂一節(jié)課，進(jìn)而上好一類課，就能上好一門課。

深度學(xué)習(xí)過程著眼于學(xué)生在經(jīng)歷探究過程中自主建構(gòu)知識和遷移方法，這就是人們常說的舉一反三、觸類旁通，這既是數(shù)學(xué)的魅力，又彰顯數(shù)學(xué)的學(xué)科價值。

四、品悟公式蘊含的思想性——發(fā)展思維

數(shù)學(xué)教育的價值不僅僅在于讓學(xué)生獲得一些數(shù)學(xué)知識與技能，更是要教會學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維、幾何思維，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在平方差公式的教學(xué)中，真正的教學(xué)難點是如何引導(dǎo)學(xué)生自然地想到以拼圖方法證明公式及具體的拼圖方法，這既是教師教的難點，又是學(xué)生學(xué)的思維斷點，更是教師在教學(xué)設(shè)計中的一個困惑點。這里的由“數(shù)”想“形”是一個思維難點，應(yīng)該是由“數(shù)”到“數(shù)”再到“形”，中間的這個“數(shù)”是對前一個“數(shù)”的代數(shù)特征的分析，是得到“形”這個幾何結(jié)論的思維連接點。這里教師可引導(dǎo)學(xué)生思考看到a2、b2聯(lián)想到什么幾何圖形的面積，看到（a+b）（a-b）聯(lián)想到什么幾何圖形的面積，并嘗試畫圖進(jìn)行驗證。學(xué)生在這一過程經(jīng)歷由數(shù)構(gòu)形，突出數(shù)形轉(zhuǎn)化思想，提升構(gòu)圖能力，為今后勾股定理證明奠定認(rèn)知的基礎(chǔ)，真正實現(xiàn)思維的進(jìn)階。

五、梳理公式學(xué)習(xí)的豐富性——落實素養(yǎng)

在梳理平方差公式的學(xué)習(xí)過程中我們發(fā)現(xiàn)，從特殊、具體的引例中多項式相乘抽象出平方差公式，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到了顯著性提升。

教師讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，具備數(shù)學(xué)眼光、養(yǎng)成數(shù)學(xué)意識，開展數(shù)學(xué)思維、提煉數(shù)學(xué)方法，進(jìn)行數(shù)學(xué)交流、形成數(shù)學(xué)文化。深度學(xué)習(xí)是發(fā)展素養(yǎng)的學(xué)習(xí)，其實這里彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓他們學(xué)會用數(shù)學(xué)的觀點認(rèn)識世界，理解生活，真正發(fā)展關(guān)鍵能力、必備品格，提升核心素養(yǎng)。

教師要引導(dǎo)學(xué)生親歷公式的生成過程，滲透從具體到抽象、從特殊到一般再到特殊的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)歷公式的驗證、辨析與應(yīng)用，實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積累、方法的遷移、思維的進(jìn)階、能力的提升和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的落實。深度學(xué)習(xí)過程著眼于學(xué)生從整體的視角理解所學(xué)內(nèi)容，在經(jīng)歷探究過程中自主建構(gòu)知識和遷移方法，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維向高階思維的發(fā)展，讓學(xué)生在學(xué)以致用的過程中學(xué)會思考數(shù)學(xué)，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考，真正化知識為能力、化能力為素養(yǎng)。

（李 輝）