求解平行四邊形的動點問題，需要同學們根據平行四邊形的判定定理及性質定理建立起各邊間的相等關系，結合時間與速度的變化規(guī)律，根據路程（總長度）列方程求解.

例1 如圖1，四邊形[OABC]是平行四邊形，[∠COA=60°]，[OC=8]，點[A]的坐標為[（14，0）]，動點[P]從點[O]出發(fā)，沿[OA]方向以每秒[1]個單位長度的速度向終點[A]勻速運動，動點[Q]從點[A]出發(fā)，沿[AB]方向以每秒[2]個單位長度的速度向終點[B]勻速運動，兩個點同時出發(fā)，當其中一個點到達終點時，另一個點就停止運動. 運動時間為[t]秒. 當點[P]運動的時間為[4]秒時，在平面直角坐標系中找到一點[M]，使以[M]，[P]，[Q]，[C]為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點[M]的坐標.

思路點撥：作[CD⊥x]軸于[D]，如圖2，易得[C（4，43）]." 由四邊形[OABC]是平行四邊形，[A（14，0）]，可得[BC=AO=14]，則點[B]的坐標為[（18，43）]." 當[t=4]秒時，[OP=4]，CP[⊥]OA，點[Q]與點[B]重合，如圖3所示，則[M]的坐標為（18，0）或（-10，0）或（[18，83]）.

變式：如圖1，在平面直角坐標系中，點[O]是坐標原點，四邊形[OABC]是平行四邊形，點[A]（14，0），點[B（18，43）.]

（1）動點[P]從點[O]出發(fā)，沿[OA]方向以每秒[1]個單位長度的速度向終點[A]勻速運動，動點[Q]從點[A]出發(fā)，沿[AB]方向以每秒[2]個單位長度的速度向終點[B]勻速運動，一點到達終點時另一點停止運動[.]設點[P]運動的時間為[t（tgt;0）]秒，當[t]為何值時，[△PQC]的面積是平行四邊形[OABC]的面積的一半？

（2）當[△PQC]的面積是平行四邊形[OABC]面積的一半時，在平面直角坐標系中找到一點[M]，使得以[M]，[P]，[Q]，[C]為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點[M]的坐標.

思路點撥：（1）由四邊形[OABC]是平行四邊形，可知[AO=BC=14]. 由點[A（14 ，" 0）]，點[B（18 ，" 43）]，可知點[C（4 ，" 43）]. 根據題意得[S△PQC=S?OABC-S△OPC-S△APQ-S△BCQ=12S?OABC]，則[12×14×43=12" ×" t" ×" 43+12（14-t）" ×3t+12×14 ×" （43-3t）]，化簡得[32t2-23t=0]，解得[t=4]或[0].

根據題意，[t=0]不符合題意，舍去，故[t=4]. 因此，當點[P]運動[4]秒時，[△PQC]的面積是平行四邊形[OABC]的面積的一半.

（2）點P運動的時間為4秒，如圖3，解法同例1，點M的坐標為（18，0）或（-10，0）或（[18，83]）.

例2 如圖4，在平行四邊形[ABCD]中，[AD=30]，[CD=10]，[點F]是[BC]的中點，[點P]以每秒[1]個單位長度的速度從點[A]向點[D]運動，到[點D]后停止運動；[點Q]沿著[A→B→C→D]路徑以每秒[3]個單位長度的速度運動，到點[D]后停止運動[.]已知動點[P]，Q同時出發(fā)，當其中一點停止后，另一點也停止運動[.]設運動時間為[t]秒，問： （1）經過幾秒，以[A]，[Q]，[F]，[P]為頂點的四邊形是平行四邊形？（2）經過幾秒，以[A]，[Q]，[F]，[P]為頂點的四邊形的面積是平行四邊形[ABCD]的面積的一半？

思路點撥：（1）當點[Q]在[AB]或[CD]上時，[AP]與[QF]不平行，不可能構成平行四邊形，所以點[Q]必在邊[BC]上.

當點[Q]在點[F]的左側時，[103≤t≤253]，若四邊形APFQ為平行四邊形，則[AP=QF]，即[t=25-3t]，[∴t=254]；當點[Q]在點[F]的右側時，[253≤t≤403]，若四邊形APQF為平行四邊形，則[AP=FQ]，即[t=3t-25]，[∴t=252].

綜上所述，經過[254秒或252]秒，以[A]，[Q]，[F]，[P]為頂點的四邊形是平行四邊形.

（2）當點[Q]在[AB]或[BF]上時，取[AD]的中點[G]，如圖5，四邊形[AQFP]的面積小于四邊形[ABFG]的面積，即小于平行四邊形ABCD面積的一半，所以點Q不在AB或BF上；

當點[Q]在[FC]上時，如圖6，若四邊形[AFQP]的面積等于平行四邊形ABCD的面積的一半（[△AFD]的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半），即[△FPQ]的面積等于[△FPD]的面積，則[PD=FQ]，[∴][30-t=3t-25]，[∴t=554gt;403]，不符合題意，顯然點Q不在FC上；

當點[Q]在[CD]上時，如圖7，若[FP?DQ]， 則四邊形PFCD為平行四邊形，可得[PD=FC=15]，即[30-t=15]，[∴][t=15]，由[403lt;15lt;503]，可知點Q在CD上符合題意.

綜上所述，點P，Q運動[15]秒時，以[A]，[Q]，[F]，[P]為頂點的四邊形的面積是平行四邊形[ABCD]的面積的一半.

[圖6] [A][P][D][C][F][B] [Q] [圖5] [A][P][D][C][F][B][Q] [G] [圖7] [A][P][D][C][F][B] [Q]

反思：解決此類問題的關鍵是動中求靜，要注意動點的起始位置和終止位置、運動方向，有時還要關注動點的運動速度，注意在運動過程中尋找等量關系．

分層作業(yè)

難度系數：★★★ 解題時間：8分鐘

如圖8，直線l1經過A（6，0），B（0，8）兩點，點C從B出發(fā)沿線段BO以每秒1個單位長度的速度向點O運動，點D從A出發(fā)沿線段AB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，設運動時間為t秒（t gt; 0）．（1）求直線l1的表達式. （2）當t = 時，BC = BD.（3）將直線l1沿x軸向右平移3個單位長度后，與x軸、y軸分別交于E，F兩點，求四邊形BAEF的面積.（4）在平面內，是否存在點P，使以O，A，B，P四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（答案見本頁）

（作者單位：錦州市第四中學）

答案速遞

第27頁：1. 5" "2. lt;

第30頁：1. （1）第二組 （2）175人 （3）該地區(qū)大部分學生家庭勞動時間沒有達到2個小時以上，主要原因是學生沒有時間. 建議：①家長要多進行指導，提升學生的家庭勞動技能；②各學校要嚴控課后作業(yè)量，留出學生家庭勞動時間……

2. （1）50人，46人 （2）分別從平均數、中位數、百分率看，B班成績好于A班成績 （3）從平均數、中位數、百分率看，試驗班提升更明顯，因此張老師新的教學方法效果較好．

第33頁：（1）[y=-43x+8] （2）[103] （3）30

（4）存在，點P的坐標為（6，8）或（-6，8）或（6，-8）.

第35頁：1.證明過程略. 提示：延長FE至點N，使得EN = EF，連接BN，AN.

2.證明過程略.提示：取AB的中點H，連接MH，NH.