【編者按】作為小學(xué)階段學(xué)生核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)之一，推理意識的培養(yǎng)受到廣大教師的重視，圍繞其進行的教學(xué)研究與嘗試取得了一些成果，也存在一些誤區(qū)或問題。例如，一線教師對推理意識具體內(nèi)涵的認識存在偏差，無法精確把握學(xué)生核心素養(yǎng)的形成路徑，未能體現(xiàn)核心素養(yǎng)發(fā)展的整體性、階段性等。本期話題重點圍繞培養(yǎng)學(xué)生的推理意識展開探討。

【摘 要】推理意識是學(xué)生在相關(guān)數(shù)學(xué)活動中逐漸形成的對推理活動的正確認知、基礎(chǔ)行為能力和積極情感態(tài)度，主要指對邏輯推理的過程及其意義的初步感悟。對小學(xué)生推理意識的培養(yǎng)可以從選擇推理對象、明確推理活動主體及優(yōu)化推理方法體驗三個方面著手，采取相應(yīng)的教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 推理意識 培養(yǎng)策略

一、推理意識的基本內(nèi)涵與主要表現(xiàn)形式

（一）基本內(nèi)涵

1.推理。

在日常生活、學(xué)習(xí)和工作中，人們經(jīng)常需要對各種各樣的事物進行判斷，判斷事物的對與錯、是與非、可能與不可能等。由一個或幾個已知判斷推出另一個或幾個未知判斷的思維形式，叫作推理。推理刻畫了從一個判斷到另一個（或幾個）判斷的思維過程。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中常用的思維方式。

推理的上一種層次叫思維，思維包括形象思維、邏輯思維和辯證思維三種形式，邏輯思維對應(yīng)的便是邏輯推理。邏輯推理的過程包括理解推理的出發(fā)點，理解推理的目標，明確推理的規(guī)則和依據(jù)，探究推理的策略與方法，設(shè)計推理的過程，得到推理的結(jié)果。邏輯推理通常分為演繹推理和合情推理兩種類型。

2.推理意識。

推理意識是指對邏輯推理的過程及其意義的初步感悟，而推理能力指從一些事實和命題出發(fā)、依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力。從推理意識到推理能力，是義務(wù)教育階段學(xué)生推理素養(yǎng)階段性發(fā)展的具體表現(xiàn)。

推理素養(yǎng)是一種理性認識，是學(xué)生能夠依據(jù)一定的數(shù)學(xué)規(guī)則從一些事實和命題推出其他命題或結(jié)論，最終導(dǎo)向會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，形成嚴謹求真、理性求實的品質(zhì)。理性認識必須建立在感性認識的基礎(chǔ)上，小學(xué)是推理素養(yǎng)形成的初級階段（具體表現(xiàn)為推理意識），需要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)推理活動中積累經(jīng)驗，通過感悟思考，提煉其中蘊含的規(guī)律性內(nèi)容，不僅包括數(shù)學(xué)概念與推理策略方法，還包括對推理活動的情感體驗，在認知因素和非認知因素的合力作用下逐步發(fā)展為理性認識。

（二）推理意識的主要表現(xiàn)形式

小學(xué)生的推理意識兼具內(nèi)隱和外顯特性，既是一種積極的心理傾向，又是在解決問題過程中表現(xiàn)出來的推理行為能力，是個體在積累一定的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，在現(xiàn)實問題與數(shù)學(xué)推理之間建立的一種敏感性反應(yīng)，在認識和實踐過程中，個體能夠結(jié)合相關(guān)事實提出數(shù)學(xué)猜想，并借助數(shù)學(xué)知識和方法驗證猜想是否合理。這是個體推理思維開拓的重要環(huán)節(jié)，是自身的認知結(jié)構(gòu)與大量成功或失敗的推理活動經(jīng)驗碰撞過程中發(fā)生的重組和改善，形成對推理的正確認知、基礎(chǔ)行為能力和積極情感態(tài)度。

基于對推理意識的基本內(nèi)涵分析，可以認為，小學(xué)生推理意識的主要表現(xiàn)集中體現(xiàn)在四個方面：一是認識推理基本形式和規(guī)則；二是猜想或發(fā)現(xiàn)問題、提出初步結(jié)論；三是探索和表述從一般到特殊的論證過程；四是基本符合邏輯的表達與交流。

上述四個方面集中表現(xiàn)為認知、行為能力和情感態(tài)度三個層次：首先，在認知層面，一是形式和規(guī)則，數(shù)學(xué)的形式和規(guī)則本質(zhì)上是指數(shù)學(xué)中的概念、原理、公式與法則等，它來源于推理，而學(xué)生對規(guī)則的把握程度又制約著推理素養(yǎng)的發(fā)展水平。二是知道用規(guī)則推理，僅具備相關(guān)知識是不夠的，學(xué)生必須通過觀察、思考、操作、感悟等一系列活動認識到數(shù)學(xué)規(guī)則之間、數(shù)學(xué)規(guī)則與現(xiàn)實世界之間具有的聯(lián)系。例如，學(xué)生只知道“等量的等量一定相等”這一數(shù)學(xué)基本事實是不夠的，還要知道在探究“曹沖稱象”活動中該規(guī)則的用法與意義。

其次，在行為能力層面，學(xué)生要能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論；通過法則運用，體驗數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過程；對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋。這些表現(xiàn)是在正確認知數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)則對現(xiàn)象或問題蘊含的邏輯關(guān)系進行的分析與操作，顯現(xiàn)出明顯的層次性。

在第一、二學(xué)段，學(xué)生受到自身抽象思維水平的局限，思維過程更多依賴于經(jīng)驗和直覺，推理意識更多表現(xiàn)在對具體事物相同或相似屬性的歸納類比過程中，也能借助一些具體實例對所獲得的猜想進行說明。在第三學(xué)段，隨著學(xué)生抽象思維水平進一步提升和推理經(jīng)驗的積累，他們不僅能夠?qū)唧w事物做出猜想，還能借助一些較抽象的概念和邏輯規(guī)則對猜想的合理性進行證明與解釋。

最后，在情感態(tài)度層面，學(xué)生要傾向于在各類情境中積極自覺地運用數(shù)學(xué)推理?！皶觥辈⒉坏扔凇皶杂X做”。這種對數(shù)學(xué)推理積極的心理傾向體現(xiàn)在生活學(xué)習(xí)的各個方面。推理自覺，既反映為對數(shù)學(xué)推理價值意義的認可，也建立在相應(yīng)的推理知識技能基礎(chǔ)上，是推理意識的高水平表現(xiàn)。

二、推理意識的發(fā)展邏輯

推理素養(yǎng)培養(yǎng)的目標統(tǒng)一性和層次遞進性意味著不能孤立地分析推理意識的內(nèi)涵，而應(yīng)將其作為推理素養(yǎng)發(fā)展過程中的一個階段進行分析。一方面，推理意識作為一種思維形態(tài)，其發(fā)展與學(xué)生心理成熟過程息息相關(guān)；另一方面，推理意識作為數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力之一，依托數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，在相關(guān)實踐與意識活動中得到發(fā)展。

小學(xué)生推理意識的發(fā)展與其抽象思維水平分不開，會經(jīng)歷由感性具體到感性一般，再進一步發(fā)展到理性具體水平，最后在11～12歲逐漸脫離具體與直覺的束縛，向形式思維轉(zhuǎn)變。學(xué)生推理思維的發(fā)展具有明顯的階段性，一旦錯過，難以修復(fù)，還會對之后的能力發(fā)展產(chǎn)生消極影響。

同樣，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識并非是孤立靜止的，其基本概念與法則的產(chǎn)生發(fā)展過程反映了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間、數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，而推理本身就是研究“關(guān)系”的思維過程，推理活動應(yīng)該貫穿數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程的始終。也就是說，學(xué)生推理意識的發(fā)展不能只依靠某一領(lǐng)域的知識學(xué)習(xí)，而應(yīng)該多領(lǐng)域整體性推進；學(xué)生所學(xué)的知識也不應(yīng)該是“信息”的堆積，而應(yīng)是動態(tài)關(guān)系的理解與應(yīng)用。

除推理意識的發(fā)展特征外，意識的發(fā)生邏輯也影響著學(xué)生的推理發(fā)展水平。維果茨基指出，意識是對體驗的體驗，而體驗是指對客體的體驗。也就是說，意識具有次生性，是比經(jīng)驗更高層次的思想，這與《課程標準》中推理意識“主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟”的表述相呼應(yīng)。

小學(xué)生的思維發(fā)展離不開具體與直覺，直接經(jīng)歷數(shù)學(xué)推理活動過程所產(chǎn)生的經(jīng)驗?zāi)軒砀訌娏业姆瓷洌欣诟形虻陌l(fā)生。感悟是推理思維實現(xiàn)逐級抽象的心理活動介質(zhì)，推理意識會在“經(jīng)歷推理活動—感悟規(guī)律、方法、意義等—再經(jīng)歷—再感悟”這樣的螺旋上升過程中得到發(fā)展。

推理意識有助于學(xué)生養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，增強交流能力，這是形成推理能力必不可少的經(jīng)驗基礎(chǔ)。不同于推理能力強調(diào)對數(shù)學(xué)推理方法的實踐應(yīng)用，推理意識更側(cè)重于刻畫學(xué)生對數(shù)學(xué)推理的初步感知和基本把握，更看重推理經(jīng)驗為學(xué)生帶來的變化與發(fā)展，在教學(xué)中需要明確這一點。

三、推理意識的培養(yǎng)策略

在小學(xué)階段，推理活動經(jīng)驗是學(xué)生推理意識的生長基點，幫助學(xué)生有效地積累和感悟相關(guān)活動經(jīng)驗是教學(xué)的主要任務(wù)。如何挑選推理對象、如何保證學(xué)生在推理活動中的主體性、如何優(yōu)化學(xué)生對推理方法的體驗與感悟是當前培養(yǎng)學(xué)生推理意識亟待解決的三個問題。對此，可以采取以下策略。

1.形成合力——推理載體多樣化。

推理作為數(shù)學(xué)基本思想之一，推理活動的對象橫跨數(shù)學(xué)課程四大領(lǐng)域，各領(lǐng)域的課程內(nèi)容均為發(fā)展學(xué)生的推理意識提供了豐富素材。

小學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的推理活動主要包括數(shù)的屬性、運算法則的發(fā)現(xiàn)與概括等，相對其他領(lǐng)域較為抽象，卻是學(xué)生推理意識發(fā)展的重要載體，教師應(yīng)深挖數(shù)與運算本質(zhì)，精心挑選素材設(shè)計相關(guān)教學(xué)活動。例如，基于算理探究的運算教學(xué)，各類運算規(guī)律、法則都是基于算理的推理，強調(diào)算理的運算教學(xué)能夠破解學(xué)生機械化計算的問題，推動學(xué)生思維發(fā)展。圖形與幾何領(lǐng)域不僅包含應(yīng)用圖形性質(zhì)及周長面積公式等進行的演繹推理，還有大量發(fā)展合情推理能力的素材。例如，在猜想與表達中掌握確定物體位置的方法；在觀察圖形時歸納圖形的特征；在操作圖形時推理平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的定義與性質(zhì)等。在統(tǒng)計與概率領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計數(shù)據(jù)或隨機現(xiàn)象中蘊含的規(guī)律，用以分析和預(yù)測相關(guān)結(jié)論，或結(jié)合各類統(tǒng)計圖表的特征在一定背景下合理選擇應(yīng)用，充分體現(xiàn)了合情推理與演繹推理的重要作用。綜合與實踐活動是聯(lián)結(jié)現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)知識的重要載體，巧妙設(shè)計實踐活動，讓學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)則思考現(xiàn)實問題，不僅能在應(yīng)用中提升推理思維水平，還能直觀感受到數(shù)學(xué)推理的價值與意義。

推理意識并非在某一節(jié)課或者某一領(lǐng)域的活動中生成，而是需要教師在各領(lǐng)域教學(xué)中創(chuàng)設(shè)相關(guān)活動，合力推進學(xué)生推理意識的發(fā)展。

2.創(chuàng)設(shè)情境——推理起點需求化。

推理產(chǎn)生的新知識是對假設(shè)，即對已有認知的修正、完善與升華，如何讓學(xué)生產(chǎn)生提升已有認知的需求，是培養(yǎng)學(xué)生推理意識的第一步。

一般來說，小學(xué)生對新知的渴求更多是源于解決現(xiàn)實問題的需要，同時，培養(yǎng)推理意識最終指向“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”。因此，在教學(xué)活動中，精心嵌入現(xiàn)實情境是建立學(xué)生推理意識生長點的必要途徑。例如，在“比例”單元教學(xué)中設(shè)計“果凍制作”的活動，學(xué)生產(chǎn)生做出最佳口感果凍的需要，通過觀察實物與收集數(shù)據(jù)，猜想水和果凍粉間量的關(guān)系如何影響果凍口感，不僅形成對比和比例意義的認識，還能感悟到觀察、比較、歸納與猜想等推理活動在探尋最佳策略時的作用。

數(shù)學(xué)推理并非天外來物，而是根植于現(xiàn)實生活中。通過精心設(shè)計課堂教學(xué)將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)推理還原成解決現(xiàn)實問題的推理思想、推理方法，能夠讓推理意識在學(xué)生的頭腦中自然生發(fā)。

3.拒絕暗示——推理活動自主化。

推理意識在學(xué)生自己進行推理思考的過程中才能得到發(fā)展，教師或教材提供的暗示會打斷學(xué)生的推理甚至讓其停止推理。

以平行四邊形的面積探究活動為例，在已知長方形面積公式[S=a·b]的情況下探究平行四邊形的面積，多數(shù)學(xué)生會類比長方形的面積公式猜想平行四邊形的面積是相鄰兩邊的乘積。然而，在教學(xué)中教師容易忽視學(xué)生猜想，只按照既定的“割補法”引導(dǎo)暗示，學(xué)生的推理思考被機械操作所代替。在推理活動中，一定要凸顯學(xué)生的主體地位，當學(xué)生提出猜想時，教師不妨追問：“如何驗證這個猜想是正確的呢？”學(xué)生基于已有經(jīng)驗會聯(lián)想到驗證各邊長相等的平行四邊形和長方形面積相等就能說明猜想的合理性，進而采用各種方法操作演示，如在方格紙上作圖數(shù)格子對比，剪紙重疊比較，或者借助活動的長方形框架來進行探究。學(xué)生會在操作過程中發(fā)現(xiàn)此猜想不成立，在動態(tài)演示中發(fā)現(xiàn)隨著平行四邊形高度的降低，面積在逐漸減少，引出平行四邊形面積與“高”有關(guān)的猜想，在“作高”的基礎(chǔ)上進一步發(fā)現(xiàn)可以將平行四邊形割補轉(zhuǎn)化為長方形，得出平行四邊形的面積公式。

這是一個完整的推理過程，提出猜想，結(jié)合已有知識找到證明猜想的論證思路，借助具體操作進行例證，在探究過程中形成新的猜想，進行新一輪的推理。雖然最初的猜想建立在直覺上，而且推理的過程也并非基于嚴密的邏輯，但這種依靠學(xué)生直觀操作的獨立思考活動，才是促進學(xué)生推理意識形成的有效載體。

4.顯性表達——推理思維可視化。

表達是學(xué)生推理思維的外顯形式，注重學(xué)生對推理過程的準確表達，有助于學(xué)生推理意識的提升。

一方面，對推理過程的表達訓(xùn)練能夠幫助學(xué)生從個性化的語言向規(guī)范化的表達發(fā)展。演繹推理是從一般性的前提出發(fā)，按照一定的法則得到必然結(jié)論的推理，規(guī)范化的推理過程是嚴格數(shù)學(xué)證明的重要條件。由于小學(xué)階段的演繹推理較為簡單，在教學(xué)中很容易只看重結(jié)果正確與否，忽視過程的邏輯表達，導(dǎo)致學(xué)生進入初中后難以應(yīng)對各類證明問題。因此，在解決基礎(chǔ)問題時，強調(diào)學(xué)生的推理表達過程是有必要的。例如，已知一個直角三角形的一個銳角是20°，另一個銳角是多少度？一般情況下，學(xué)生只需列出算式“180°-90°-20°”即可，但要體現(xiàn)推理思維過程，就要引導(dǎo)學(xué)生表述出算式的由來：因為三角形的內(nèi)角和是180°，而直角三角形有一個角是直角即90°，一個銳角是20°，所以，另一個銳角是180°-90°-20°=70°。

另一方面，推理思維過程的可視化能在一定程度上保護學(xué)生的創(chuàng)新想法。小學(xué)生的合情推理多是基于對典型事物相同或相似屬性的不完全歸納，是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的重要工具。同樣的情境下，不同的人觀察重點不同，表達歸納過程能避免“唯一”答案磨滅學(xué)生有依據(jù)的創(chuàng)新想法。例如，根據(jù)規(guī)律填空：1，2，1，1，2，1，1，1，2， ， ， ， ……其設(shè)置目的在于讓學(xué)生進行不完全歸納推理，而非得出“正確答案”。因此，在相關(guān)問題的教學(xué)中，教師不僅要演示歸納分析的方法，還要讓學(xué)生學(xué)會用畫圖、文字說明等方式將自己的思維過程展示出來。在這類拓展“參考答案”的過程中，學(xué)生會體會“言之有理”的意義所在，表達能力也會逐步上升，逐步養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣。

5.逐級抽象——推理發(fā)展層次化。

學(xué)生的邏輯思維發(fā)展具有一定的層次性，從基于直觀的具象推理發(fā)展為半抽象邏輯推理，然后向抽象邏輯推理趨近，這個進階過程需要在推理意識的培養(yǎng)中加以體現(xiàn)。

以探究3的倍數(shù)的特征課程內(nèi)容為例，該活動通常被安排在五年級。教學(xué)時教師多引導(dǎo)學(xué)生在百數(shù)表中圈出3的倍數(shù)，然后觀察并歸納這些數(shù)具有的共有特征，是不完全歸納法的應(yīng)用。這的確是符合小學(xué)生思維特征的推理過程，卻因其所處的學(xué)段顯現(xiàn)出淺表化特征。五、六年級的學(xué)生正處于由具體運算階段向形式運算階段轉(zhuǎn)化的過渡期，應(yīng)該抓住學(xué)生的思維發(fā)展特點設(shè)置活動促進其邏輯思維向抽象邏輯推理發(fā)展。因為在這一學(xué)段后，此問題再次出現(xiàn)可能是，試證明：設(shè)abcd是一個四位數(shù)，若a+b+c+d可以被3整除，則這個數(shù)可以被3整除。（樣題1）僅靠歸納得出的結(jié)論讓學(xué)生難以應(yīng)對這類問題。因此，針對該問題可以做如下處理。

二、三年級的學(xué)生借助具體事物之間的數(shù)量關(guān)系理解了倍的意義。因此，在探究數(shù)字的倍數(shù)特征時，教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生回顧倍的意義，基于原有認知，借助具象化的分析操作來對數(shù)進行分解。

以115為例（圖1）?？梢园l(fā)現(xiàn)，百位上的1代表1個100，十位上的1代表1個10，個位上的5代表5個1，學(xué)生在從百位、十位盡可能分解出3后發(fā)現(xiàn)，如果剩下的數(shù)量能夠分解為若干個3，則能說明此數(shù)為3的倍數(shù)，反之則不是3的倍數(shù)。將原本的問題轉(zhuǎn)化為“剩余數(shù)量是否為3的倍數(shù)”，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)剩下的量正好為各數(shù)位數(shù)字之和。這樣不僅能夠更嚴謹?shù)仳炞C歸納結(jié)果，還能實現(xiàn)對探究“倍數(shù)關(guān)系”的經(jīng)驗認知，即要證明某數(shù)m是另一數(shù)n的倍數(shù)，只需要將m的各個數(shù)位分開分析，盡可能分解出若干個n，然后判斷剩下數(shù)量是否能分解為整數(shù)個n即可。這樣的更高層次的抽象理解會讓學(xué)生在中學(xué)階段面對“樣題1”時，能很快做出abcd =1000a+100b+10c+d=（999a+99b+9c）+（a+b+c）這樣的分析。

總之，推理意識不是“教”出來的，而是小學(xué)生自己“悟”出來的，推理活動的設(shè)計要遵循學(xué)生的心理需要及邏輯思維發(fā)展水平，讓學(xué)生在觀察、實驗、猜測、交流、反思等數(shù)學(xué)活動過程中，切身體驗與感悟推理的過程及其意義，逐步實現(xiàn)從推理意識到推理能力的進階發(fā)展。

參考文獻

［1］Jean Piaget. Judgement and reasoning in the child［M］. London，New York：Routledge Press，2002：24-25.

［2］［蘇］列·謝·維果茨基.維果茨基全集（第3卷）：新心理學(xué)的基本理論（上）［M］. 陳會昌，等譯.合肥：安徽教育出版社，2016：94.

［3］孔凡哲，趙欣怡.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》百問百答［M］. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2023：64.

［4］孔凡哲.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計與案例：小學(xué)版［M］. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2023：72-79.

孔凡哲，教育學(xué)博士，中南民族大學(xué)教育學(xué)院二級教授、博士生導(dǎo)師，湖北民族教育研究中心主任。研究方向：課程與教學(xué)論、教師教育、中小學(xué)評價和數(shù)學(xué)教育。

劉惠梓，中南民族大學(xué)教育學(xué)院碩士研究生。研究方向：課程與教學(xué)論。

本文獲2024年度中南民族大學(xué)省部級科研平臺建設(shè)專項資助。