【摘要】全等三角形問(wèn)題是中考題中比較靈活多變的一類問(wèn)題，仔細(xì)分析，可發(fā)現(xiàn)其背后的解題本質(zhì)都是一樣的.新的題型中往往蘊(yùn)含著一些常見(jiàn)的全等三角形模型.因此，掌握一些基本的模型是極其重要的.本文依據(jù)幾道例題談構(gòu)造全等三角形的幾種技巧，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；全等三角形；解題技巧

1 倍長(zhǎng)中線法

倍長(zhǎng)中線法是構(gòu)造全等三角形的常用方法，可以得到對(duì)頂角相等和要證明全等的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相等，再結(jié)合題目的已知條件，就可以證明三角形全等，繼而利用全等三角形的性質(zhì)來(lái)解答問(wèn)題.

例1 如圖1所示，CE，CB分別是△ABC和△ADC的中線，且滿足∠ACB=∠ABC，試證明：CD=2CE.

證明 過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC，與CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

所以AE=EB.

因?yàn)锽F∥AC，

則∠CAE=∠FBE.

因?yàn)閷?duì)頂角相等，

所以∠AEC=∠BEF，

則可得△ACE≌△BFE，因?yàn)槿热切螌?duì)應(yīng)邊相等，

則CE=EF，AC=BF，

即CF=2CE.

因?yàn)椤螦CB=∠ABC，在三角形中等角對(duì)等邊，

則AC=AB.

結(jié)合點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)可得AC=AB=BD=BF，

利用三角形外角的性質(zhì)可得∠CBF=∠CBD，

則△CBF≌△CBD.

因?yàn)槿热切螌?duì)應(yīng)邊相等，

則CD=CF，CF=2CE，

則CD=2CE.

2 旋轉(zhuǎn)法

運(yùn)用一些中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，把圖形旋轉(zhuǎn)一定角度可以構(gòu)造出全等三角形.旋轉(zhuǎn)的作用是將題目中原本分散的條件集中起來(lái)，這樣就可以在題目條件和證明結(jié)論之間建立起聯(lián)系，便于利用全等三角形.

例2 平面中有一正方形ABCD，其中∠FAE=45°，試證明EF=DF+BE.

證明 如圖2所示，將△ADF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°到△ABG的位置，

則GB=FD，AF=AG.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

則∠ABG=∠D=90°，AB=AD.

因?yàn)椤鰽DF≌△ABG，

所以AG=AF，∠GAB=∠FAD.

又因?yàn)椤螧AD=90°，∠FAE=45°，

則∠BAE+∠DAF=45°.

所以∠GAB+∠BAE=45°，

即∠GAE=45°，

所以∠GAE=∠FAE.

又因?yàn)锳E=AE，

所以△AEG≌△AEF.

所以EF=EG=BE+GB=DF+BE.

3 對(duì)稱法

三角形問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)利用角平分線作為對(duì)稱軸，沿著角平分線翻折，即可得到全等三角形.在翻折的過(guò)程中，為了便于作出翻折之后的圖象，可以利用角度或者邊長(zhǎng)來(lái)作為翻折后圖象的基準(zhǔn)量.

例3 在平面中有一△BCG，其中BM為∠CBG的角平分線，點(diǎn)D，S分別是邊BC，BG上的一點(diǎn)，∠DMS+∠CBG=180°，試證明：MD=MS.

證明 在線段BC上截取BH=BS，連接HM.得到如圖3所示的圖象.

因?yàn)锽M為∠CBG的角平分線，

則∠HBM=∠SBM.

所以相當(dāng)于將△BSM沿著B(niǎo)M對(duì)稱得到了△BHM.

則△BMS≌△BMH，

所以MS=MH，∠BHM=∠BSM.

因?yàn)椤螪MS+∠CBG=180°，

所以在四邊形BDMS中，

∠BDM+∠BSM=180°.

因?yàn)椤螧HM+∠DHM=180°，

則可得MD=HM，從而證明MD=MS.

4 平移法

利用平行線來(lái)平移一些線段或者是角，可以和旋轉(zhuǎn)法一樣使條件相對(duì)集中，從而構(gòu)造出全等三角形.在構(gòu)造平行線時(shí)，要抓住題目中的關(guān)鍵幾何量，如果有中線、角平分線等重要的幾何線，可以嘗試作它們的平行線.

例4 如圖4所示，△ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使AE=BD，連接DE，CE，試證明：DE=CE.

證明 過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AE于點(diǎn)F，

則∠BFD=∠BAC.

因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，

所以AB=AC，∠BAC=∠B=60°.

則∠BFD=60°，△BFD為等邊三角形，

所以BF=BD=DF.

因?yàn)锳E=BD，

所以AE=DF，AE=BF.

則EF=AB，AC=EF.

因?yàn)椤螮FD=∠CAE，

所以△EAC≌△DFE，

則DE=CE.

5 結(jié)語(yǔ)

在解題時(shí)，構(gòu)造全等三角形并不是毫無(wú)方向的，而是要以題目所求結(jié)論為目標(biāo)，嘗試對(duì)三角形進(jìn)行操作，從而實(shí)現(xiàn)條件的位置轉(zhuǎn)移.掌握以上四種方法有助于更快地找到解題思路，提高解題效率.