【摘 要】“MPCK”關(guān)注教師如何將數(shù)學知識的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)?，F(xiàn)實中，MK、PK、CK在數(shù)學教育中已經(jīng)引起了廣大教師的關(guān)注，但TK的推廣和普及卻遠遠沒有達到預期。在高中數(shù)學教學中，教師可以借助GeoGebra軟件，通過掌握TK，為技術(shù)應用提供保障；深化MK，為技術(shù)使用保駕護航；優(yōu)化PK，為技術(shù)呈現(xiàn)把控深淺；理解CK，為技術(shù)賦能精準實施等措施，實現(xiàn)信息技術(shù)與教學的融合。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；MPCK；信息技術(shù)；GeoGebra；問題探究

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2024）23-0061-06

【作者簡介】楊磊，江蘇省溧陽市教師發(fā)展中心（江蘇溧陽，213300）高中數(shù)學研訓員，高級教師。

MPCK是由數(shù)學學科知識（Mathematics Knowledge，簡稱MK）、一般教學法知識（Pedagogical Knowledge，簡稱PK）、關(guān)于學生的知識（Content Knowledge，簡稱 CK）和關(guān)于教育技術(shù)的知識（Technical Knowledge，簡稱TK）融合而成，其本質(zhì)是教師如何將數(shù)學知識的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，以促進學生的數(shù)學理解、提高學生的數(shù)學能力和提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。［1］最初提出的MPCK并不包括TK，但隨著社會信息化的高速發(fā)展，信息技術(shù)對教育教學的影響越來越凸顯，TK及其與MK、PK、CK的有效融合受到越來越多的重視?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）提出，要注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的深度融合，實現(xiàn)教學的實效性。［2］ 章建躍博士提出的四個理解：理解數(shù)學、理解教學、理解學生、理解技術(shù)［3］，也與MPCK不謀而合。

MK、PK、CK在數(shù)學教育中已經(jīng)引起了廣泛共鳴和重視，但TK的推廣和普及卻遠遠沒有達到預期。有些數(shù)學教師只會使用現(xiàn)成的PPT，并未掌握能夠匹配當前教學的現(xiàn)代教育技術(shù)知識。本文以2021年全國高考甲卷（理科）第19題為例，用GeoGebra數(shù)學軟件（以下簡稱“GGB”）開展數(shù)學探究教學。在此過程中，除了呈現(xiàn)GGB技術(shù)知識，更重要的是展示TK在試題探究中的作用，給出基于MK、PK、CK的TK應用思考。

一、問題初探

1.試題呈現(xiàn)

如圖1，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB = BC = 2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1中點，D為棱A1B1上的點，BF ⊥ A1B1。

（1）證明：BF ⊥ DE；

（2）當B1D為何值時，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最??？

2.試題分析

這道立體幾何高考題，看似常規(guī)，卻有著豐富的內(nèi)涵，對不同學習層次的學生，都可以從中設(shè)計出有針對性的討論話題，具有較好的探究價值。其中，問（1）已有文章作了詳細的分析探討［4］，本文主要針對問（2）展開。解決問（2）的常規(guī)方法有向量坐標法和綜合幾何法。向量坐標法通過建立空間直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為坐標運算，對邏輯思維要求較低，但需要一定的代數(shù)運算能力。綜合幾何法聚焦直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng)，需要學生具備空間想象和轉(zhuǎn)化化歸的能力。為了體現(xiàn)探究價值，提升學生的思維品質(zhì)，在此選擇用綜合幾何法分析解決，思路如下：

取BC中點G，連接B1G。設(shè)平面BCC1B [∩]平面DEF = l，過E作EH ⊥ l（H為垂足），連接GH，易證∠EHG即為二面角E-l-B的平面角，且sin∠EHG = [EGEH]，又由EG = 1知當EH最大時，sin∠EHG最小。由EH ⊥ l知，EH≤EF（當且僅當F，H重合時取等號）。之后，在EF ⊥ l條件下求B1D的值。

二、融合方向

乍看題目，可能覺得沒有太大的必要運用TK進行探究。事實上，站在學生的角度，立體幾何題的難易程度很難一概而論。以空間想象能力為例，學生之間的差異很明顯，有些學生能夠輕易進行數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，想象出相關(guān)圖形。而對有些學生來說，怎樣看圖都“不順眼”，總覺得數(shù)與形是分離的、“對不上號”。教師借助GGB的3D繪圖功能，將圖形繪制出來，進行全方位的觀察感知，有利于培養(yǎng)學生的直觀想象能力，為分析和解決問題作基礎(chǔ)性的鋪墊。 用GGB軟件協(xié)助尋找解題方向、進行深入探究，主要圍繞以下幾點進行：

（1）用GGB作出基本圖形，通過直觀感知和動手操作確認幾何體中各元素間的位置關(guān)系；

（2）用GGB求出面BCC1B1與面DEF的二面角，讓學生觀察并歸納其正弦值與線段B1D長度之間的函數(shù)關(guān)系，感受其動態(tài)關(guān)聯(lián)性；

（3）用GGB作出面BCC1B1與面DEF的二面角，尋找變化規(guī)律，梳理邏輯證明方案；

（4）尋找“圖根”和“題源”，并用GGB協(xié)助分析論證。

三、教學過程

1.作圖直觀感知

解決立體幾何問題，首先要建立空間直觀，數(shù)形結(jié)合進行分析。利用GGB軟件的3D繪圖功能，可以快速得到題目中的立體圖形：

S1：打開3D繪圖區(qū)，依次輸入指令“A = （-sqrt（2），0，0）”“B = （0，sqrt（2），0）”“C = （sqrt（2），0，0）”“A_1 = A + （0，0，2）”“B_1 = B + （0，0，2）”“C_1 = C + （0，0，2）”，得到直三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點。

S2：輸入指令“棱柱（A，B，C，A_1）”，得到直三棱柱ABC-A1B1C1（名稱為a）。

S3：用“描點”工具在線段A1B1上描出點D，用“中點”工具分別得到線段AC，CC1的中點E，F(xiàn)，再用“線段”工具連接EF，F(xiàn)B，DF，DE。還可以根據(jù)需要調(diào)整各個幾何對象的顏色、線徑等，得到與題目中相同的立體圖形。（見圖2）

課堂上，教師將光標放在3D繪圖區(qū)內(nèi)，按住左鍵（或右鍵）移動光標，即可讓學生從各個方向觀察，進一步直觀感知構(gòu)成幾何體的各要素之間的關(guān)系。

2.用軟件探最值

線段B1D長度的變化引起了面BCC1B1與面DEF所成二面角α的變化，由此可以建立相關(guān)函數(shù)關(guān)系，用GGB軟件演示并感知其關(guān)聯(lián)性。下面，筆者利用GGB軟件的繪圖區(qū)，呈現(xiàn)二面角α關(guān)于線段B1D長度的函數(shù)圖象，操作過程 如下：

S1：接圖2過程，輸入指令“線段（B_1，D）”，得到線段n。

S2：輸入指令“角度（平面（E，F(xiàn)，D），平面（C_1，B，C））”，得到二面角α。

S3：輸入指令“sin（α）”，得到α的正弦值b。

S4：輸入指令“P：（n，b）”，得到以線段B1D的長度為橫坐標、以二面角α的大小為縱坐標的動點P。

S5：打開繪圖區(qū)，設(shè)置除點P外的其他對象在繪圖區(qū)中不可見。選中P點，單擊右鍵，選擇“開啟跟蹤”，然后用鼠標左鍵拖動點D，即可在繪圖區(qū)中觀察到點P的變化。（見圖3）

如果時間充裕，上述過程完全可以當堂操作完成，以便讓學生“看見”兩個變量的函數(shù)關(guān)系，明確邏輯論證的計劃：將兩個平面所成角的正弦值表示為線段B1D長度的函數(shù)關(guān)系，再用代數(shù)知識分析求得函數(shù)最值。

3.看見“無棱”

平面BCC1B1與平面DEF所成二面角在哪里？直觀呈現(xiàn)這個二面角的平面角，有助于學生展開邏輯思維，學會運用綜合法分析問題，怎樣呈現(xiàn)相關(guān)的二面角呢？具體操作如下：

S1：接圖2過程，用“三點共面”工具依次選中點D，E，F(xiàn)，得到平面p，再選中點B，C，C1，得到平面q。用“相交曲線”指令得到平面p和q的交線j。用“垂線”工具，依次選中E，j，得到過點E且與直線j垂直的直線k，再用“交點”工具得到j與k的交點G。

S2：選中平面q，右鍵單擊，選中“創(chuàng)建q的平面視圖”，并在此視圖中用“垂線”工具得到過G點與j垂直的直線l，用“交點”工具得到l與線段BC的交點H。由此，相關(guān)平面角構(gòu)造完成（即為直線EG和GH所成角）。（見下頁圖4）

S3：輸入指令“角度（E，G，H）”，即可在代數(shù)區(qū)顯示∠EGH的值。鼠標拖動點D，觀察相關(guān)幾何對象及∠EGH的度數(shù)變化，可以發(fā)現(xiàn)點H始終在線段BC的中點位置，且當G點與F點重合時，∠EGH最小。

教師可以借由上述操作感知的結(jié)論發(fā)問，將學生思維引向深入。經(jīng)由充分的思考和討論，不難得知：之所以點H始終在線段BC的中點位置，是因為EH⊥平面BCC1B1。此時，根據(jù)學生情況，教師可考慮適當引入或回顧“三垂線定理”以便加深學生對問題的理解。又在RtΔEGH中，sin[∠EGH] = [EHEG] = [1EG]，又EG≤EF（點G與點F重合時取等號），由此可知點G與點F重合時∠EGH最小。

當點G與點F重合時，BF與二面角的棱垂直，在平面BCC1B1中，利用平面幾何知識不難得出棱線過線段B1C1的中點M。假設(shè)EF [∩] A1C1 = N，則A1C1 = 2C1N，且D，M，N共線。在平面A1B1C1中，過C1作A1B1的平行線（交直線MN于點T），利用ΔDB1M～ΔTC1M及ΔA1ND～ΔC1NT，可得B1D = 1。（見圖5）

4.尋找“圖根”

題目所給的直三棱柱是一個“塹堵”模型（底面為直角三角形的直棱柱），可以補成正方體ABCR-A1B1C1R1。這種補形成常規(guī)幾何的想法和視角，有利于學生以聯(lián)系的眼光看待已有知識和問題。GGB軟件操作如下：

接圖2過程，輸入指令“R：A + C - B”和“R_1：A_1 + C_1 - B_1”，得到點R，R1，再輸入指令“棱柱（A，C，R，A_1）”，即可補成所需正方體。（見圖6）

由題知AC1∥EF，過直線AC1作平面DEF的平行平面α，即可將平面DEF與平面BCC1B1所成角轉(zhuǎn)化為平面α與平面BCC1B1所成角。

轉(zhuǎn)化成最為常見的正方體模型，能夠增強學生的信心，幫助他們找到解題思路。這樣的分析探討有助于學生“居高臨下”看問題，與此同時，學生也在進行角色轉(zhuǎn)換，由做題者變成出題者。

5.“溯源”問題

由條件知平面DEF始終圍繞EF旋轉(zhuǎn)，緊抓這個特征，剔除次要或無關(guān)因素，就可以思考下面更一般性的問題：若直線AB為平面α的一條斜線，求過AB的平面β與α所成角的最小值。下面，借助GGB軟件進行操作探究：

S1：打開3D繪圖區(qū)，在樣式欄中調(diào)整出“xOy平面”，用“直線”工具作直線AB（A在xOy平面內(nèi)），用“垂線”工具過點B作xOy平面的垂線g，再用“交點”工具得到垂線g與xOy平面的交點C。

S2：打開繪圖區(qū)，用“滑動條”工具創(chuàng)建角度滑動條α。

S3：輸入指令“旋轉(zhuǎn)（平面（A，B，C），α，f）”（f為直線AB），得到平面ABC圍繞直線AB旋轉(zhuǎn)α角度所得的平面p。

S4：用“相交曲線”工具得平面ABC與平面p的交線h，用“垂線”工具過點B作h的垂線i，用“交點”工具得h與i的交點D，再用“直線”工具連接C，D。

S5：輸入指令“角度（B，D，C）”，即可得到xOy平面與平面p的夾角β。（見圖7）

用鼠標拖動滑動條α，觀察角度β的變化，會發(fā)現(xiàn)當α = 90°時，角度β最小，此時點D與點A重合，由此可知感知一般性問題的結(jié)論是：平面β與α所成角的最小值即為直線AB與平面α所成角。

四、教學反思

MPCK是MK，PK，CK和TK的融合，隨著教師教齡增加和經(jīng)驗積累，每一種知識也會相應增加，交集部分增多，融合之后，教師的“MPCK”也會相應發(fā)展。［5］教師的MK，PK，CK和TK并不是孤立存在的，它們之間有著緊密的聯(lián)系，相互影響、相輔相成。下面，筆者著眼于教師的TK，站在技術(shù)融合的視角，作進一步說明。

1.掌握TK，為技術(shù)應用提供保障

掌握TK，是應用技術(shù)的前提。以GGB為例，教師若僅僅會簡單的操作，拿別人的成品課件進行展示，教學效果則非常有限。教師倘若能夠較好地掌握GGB的基本操作，就可以當堂演示，或者引導學生動手操作。當堂演示往往能夠提供較好的學習代入感，展示動態(tài)生成的過程，提升學生的投入度；教學生自己動手操作，積極調(diào)動學生所有感官參與學習，能夠增加學生的活動經(jīng)驗，更好地使學生集中思維、激發(fā)靈感、快速突破。

在上述的試題探究中，如果條件允許，教師可以讓學生操作GGB軟件，親自動手繪制二面角的平面角，拖動動點D，觀察二面角大小的變化……將探索工具交到學生手中，讓學生在做中學、學中悟，有利于提升學生的學習興趣，激發(fā)其可持續(xù)性發(fā)展的潛能。

另外，TK的掌握不是一蹴而就的，需要長時間的學習和實踐。以GGB為例，從入門到精通，可能需要幾個月甚至幾年的時間。為了實現(xiàn)較好的教學效果、提升教學的實效性，教師需要投入一定的時間與精力進行相關(guān)技術(shù)的學習。

2.深化MK，為技術(shù)使用保駕護航

數(shù)學軟件的設(shè)計和操作本身就是以MK為根基。以GGB軟件為例，它的開發(fā)除了必要的計算機知識和硬件條件，最重要且基礎(chǔ)的是相關(guān)數(shù)學知識。它的工具和指令的設(shè)計均包含相應的數(shù)學原理，如“直線”工具源自“兩點確定一條直線”，“平行直線”工具源自“過一點有且只有一條直線與已知直線平行”，“三點平面”工具源自“不在同一直線的三點確定一個平面”，“橢圓”工具源自“兩焦點和一定點可確定一個橢圓”，“對稱”指令源自相關(guān)的對稱原理……如果用GGB作圓柱圓錐的展開圖，需要掌握參數(shù)方程的相關(guān)知識；想要靈活運用“曲線”“曲面”等指令，簡化作圖過程，需要掌握“點運算”，理解向量、直角坐標點、極坐標點、復數(shù)之間的聯(lián)系。

另外，MK中蘊含的數(shù)學觀念、數(shù)學思想方法、數(shù)學史等，也為教師應用TK提供了重要的參考依據(jù)和標準。

3.優(yōu)化PK，為技術(shù)呈現(xiàn)把控深淺

教師PK蘊含的教育理念、教育理論知識、課程知識、教學知識等，對教師TK“是否要使用”“如何使用”“何時使用”“使用到什么程度”等影響較大。

教師要不斷更新教育理念，不能故步自封，要勇于嘗試。如果教師本身缺乏探索精神和對教學的深度理解，認為是否使用TK、何時使用TK無關(guān)緊要，就不會有較理想且恰當?shù)募夹g(shù)呈現(xiàn)?！敖淌菫榱瞬唤獭保虒W是為了培養(yǎng)可持續(xù)發(fā)展的自立自強的人，教師不能局限于暫時的顯性成績，更要注重促進可持續(xù)發(fā)展的隱性能力和品質(zhì)的培養(yǎng)。

如上述采用GGB軟件實施教學，協(xié)助學生分析探討問題，就要基于PK設(shè)計，以增強學生的直觀感知和空間想象，激發(fā)學生的興趣和思維，提升學生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學生提出和發(fā)現(xiàn)問題的意識，讓學習變得更加主動和高效。

教師應優(yōu)化自己的PK，明確適合使用信息技術(shù)的環(huán)境（驗證、探索、實驗、觀察等），才能助力學生有所發(fā)現(xiàn)和感悟，促進學生高階思維的生成，實現(xiàn)學科育人。

4.理解CK，為技術(shù)賦能精準實施

不理解學生，就是不理解教vJ9hTjmAVMYWM3H5tvcfug==學。理解CK，是實施有效教學的前提。不同于教師獨立的數(shù)學研究，引導學生進行問題探究必須關(guān)注學生的知識水平、認知發(fā)展水平、學習環(huán)境等。上述案例中，倘若學生連最基本的空間向量法都沒有較好掌握，或者用綜合法解題的基礎(chǔ)非常薄弱，我們就要考慮是否真的有必要利用信息技術(shù)進行深度探究。認準了CK，才能實現(xiàn)精準的技術(shù)賦能。

理解CK，要求教師充分了解學情，明晰教學目標，對問題探究的深度做到心中有數(shù)。比如在上述探究中，向量投影法、三垂線定理、“塹堵”模型、三余弦定理等都可以與問題相關(guān)聯(lián)，并且用GGB協(xié)助探究。需不需要這樣做要根據(jù)具體的學情而定，不能一概而論。 教師更不能為了“炫耀自己的技術(shù)”就帶領(lǐng)學生一直往深處探究。靠近最近發(fā)展區(qū)，“跳一跳能夠得著”，這些基本的教學原則教師要把握住。

【參考文獻】

［1］李渺，寧連華.數(shù)學教學內(nèi)容知識（MPCK）的構(gòu)成成分表現(xiàn)形式及其意義［J］.數(shù)學教育學報，2011，20（2）：10-14.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：3.

［3］章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021：5.

［4］劉熙，劉冰楠.聚焦數(shù)學核心素養(yǎng) 引導立體幾何教學：以2021年高考數(shù)學全國甲卷文科第19題為例［J］.數(shù)學通報，2022，61（10）：51-57.

［5］陸明明.MPCK視角下“三角函數(shù)的周期性”的教學設(shè)計對比分析與建議［J］.數(shù)學通報，2015，54（2）：25-29.