》 于曉雅

計算機應用專業(yè)博士，北京教育學院教授，碩士生導師，人工智能和創(chuàng)客教育研究中心主任，北京市高校教學名師，美國弗吉尼亞理工大學訪問學者，中國教育學會中小學信息技術教育專業(yè)委員會常務理事，中國教科院“中國STEM教育2029行動計劃”專家。主要研究方向為信息科技、人工智能和STEM教育、數(shù)字賦能教育研究等。主持教育部“國培計劃”項目、北京市信息綜合名師項目、信息科技和人工智能特級教師工作室等。主編華東師范大學出版社出版的普通高中信息技術教材《人工智能初步》及教學參考用書、地方初中信息技術和小學信息科技教材等6部，著有《STEM與計算思維》等著作，發(fā)表中英文論文40余篇。

》 魏 寧

北京市東城區(qū)教育科學研究院研修員，《中國信息技術教育》雜志特約撰稿人/專欄作者。

概念：從計算學科到智能計算

魏寧：于教授您好，《普通高中信息技術課程標準（2017年版2020年修訂）》以及《義務教育信息科技課程標準（2022年版）》，都將計算思維列為學科核心素養(yǎng)之一。這幾年，計算思維無疑成為中小學信息科技課程的重點和熱點問題，引起了廣泛的關注。

我注意到您去年出版的專著《STEM與計算思維》，對計算思維做了深入的思考，也有不少真知灼見。所以，很高興能有機會和您聊一聊有關計算思維的話題。

于曉雅：多謝《中國信息技術教育》雜志的邀請，這些年我對計算思維一直保持著持續(xù)的關注，作為學科核心素養(yǎng)之一，計算思維確實是一個重要的概念，不但需要老師們準確把握，更需要其在實踐中找到適切的培養(yǎng)內(nèi)容和途徑。

魏寧：對于計算思維，首先需要搞清楚它的概念、界定，在這方面您的視角與眾不同，因為您是從理解計算開始認識計算思維的，這背后您有怎樣的思考？

于曉雅：我認為，要想理解計算思維，我們有必要對計算思維形成的主要領域——計算作一番了解。在這里我向老師們推薦一本書——《偉大的計算原理》，這本書的作者之一Peter J.Denning認為“計算不是其他科學的子集，計算科學是與物質科學、生命科學和社會科學并列的科學研究第四大范疇”，所有計算背后的一個基本問題，就是“什么是可以計算的”，也就是“什么可以有效實現(xiàn)自動化”，在此基礎上，Denning開發(fā)了計算原理框架，把計算原理分成了七類：計算、通信、協(xié)調、記憶、自動化、評估和設計。

在計算領域，在各個國家、不同時期，其名稱不斷變遷，內(nèi)涵和外延都逐步發(fā)展，到了20世紀90年代，“計算”這一概念開始成為公認的標準術語，計算學科也開始成為一級學科。在這個大背景下，大家就開始思考，作為計算學科應該有怎樣獨特的思維方式？而這種思維方式就是計算思維。

計算思維是計算學科獨特的思維方式，若想確切理解其本質和內(nèi)涵，可以先把計算思維從計算機科學中暫時剝離出來，從計算學科的思維方式的角度來理解計算思維，從數(shù)學、工程、科學甚至藝術學科多個維度的起源和融合去理解計算思維，也就是說，我們可以把計算思維看作人們制訂問題解決方案，并將解決方案表示為可以由計算代理有效執(zhí)行的計算步驟這一算法思維過程。這樣，我們對計算思維的理解也會寬廣很多。

魏寧：我感覺從計算學科入手，計算思維的概念已經(jīng)呼之欲出了，這確實是理解計算思維的一條好路徑。

現(xiàn)在公認的計算思維概念，是由卡內(nèi)基·梅隆大學計算機科學系主任周以真教授在2006年提出的，此后十幾年得到了快速發(fā)展，您如何看待當前計算思維概念的發(fā)展？

于曉雅：今天廣為熟知的計算思維概念是周以真在2006年提出的，她認為，計算思維是運用計算機科學的基礎概念進行問題求解、系統(tǒng)設計、人類行為理解等涵蓋計算機科學之廣度的一系列思維活動。從這個概念可以看出，計算思維不僅僅局限在計算機科學領域，它是廣泛存在的，這是周以真的一個重要貢獻。今天，計算思維已經(jīng)和讀、寫一樣，成為一種普適性的思維，是21世紀公民必備的基本思維。

在計算思維概念提出以后，為了在實踐中更好地培養(yǎng)計算思維，一些國家相繼給出了計算思維的操作性定義。例如，MIT媒體實驗室于2012年提出計算思維包括計算概念、計算實踐和計算觀念，進而又對其進行了具體描述，建立起一個計算思維的三維框架。英國學校計算課程工作小組（CAS）在2015年提出了計算思維方法包括反思、編碼、設計、分析、應用。美國計算機教師協(xié)會（CSTA）在2016年推出《K-12計算機科學標準》，將計算思維分為九個方面：數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)呈現(xiàn)、問題分解、抽象、算法和步驟、自動化、模擬、并行化。

2023年12月，美國白宮網(wǎng)站發(fā)布由計算素養(yǎng)跨機構工作組（IWGCL）編寫的《通過STEM教育培養(yǎng)計算素養(yǎng)：聯(lián)邦機構和利益相關者指南》報告，把計算思維又向前推進了一步，提出了“計算素養(yǎng)”這一概念。我們都知道，思維屬于做事的一種過程和方式，但素養(yǎng)就不一樣了，它已經(jīng)提升為每個人必須具備的行動能力了。

報告總結了在STEM教育中培養(yǎng)計算素養(yǎng)的最佳做法，包括在在線學習、多樣性、公平、包容和可及性方面將計算素養(yǎng)成功融入STEM教育的案例，以及通過新興技術實現(xiàn)計算素養(yǎng)的案例。同時，報告還針對解決計算素養(yǎng)培養(yǎng)面臨的障礙提出了建議。

我認為，計算思維概念的變化與近年來人工智能，特別是大語言模型的快速發(fā)展密切相關。因為未來世界，人工智能就像人類的合伙人，人們的工作將無法脫離人工智能，更可能的方式是人和人工智能共存的一種雙主模式。當智能時代來臨的時候，每個人都需要具備與人工智能相處的能力，計算素養(yǎng)的重要性無疑就更加凸顯。

魏寧：您剛才提到了近年來計算思維概念的演進，我覺得老師們都需要對這一概念保持密切的關注，從某種意義上說，隨著技術的快速發(fā)展，計算思維將始終保持它的開放性。

說到這兩年人工智能，特別是大語言模型的快速發(fā)展，也促使人們重新思考計算思維這一概念。我注意到不久前中國工程院孫凝暉院士在全國人大所作的一個報告，題目是《人工智能與智能計算的發(fā)展》。他特別提到最近十幾年智能計算已經(jīng)發(fā)展到了深度學習計算系統(tǒng)和大模型計算系統(tǒng)，轉向了“大模型+生成式”的計算模式。這其實已經(jīng)與傳統(tǒng)意義上的計算思維過程不同了，站在智能計算角度，您如何理解計算思維的發(fā)展？

于曉雅：這是一個非常重要的問題，也是我們必須回應的。我的理解是，從廣義上講，智能計算的思維過程也是計算思維的一種，當然，它確實豐富和發(fā)展了傳統(tǒng)的計算思維。

通俗地說，計算思維就是人把自己想做的事交付給機器，讓機器幫我們來做。在這個過程中，我們可以看出來，計算思維既表現(xiàn)為人的思維，同時又離不開我們要交付給的那個工具，或者稱為代理。至于機器，無論是自動化的，還是智能的，都是幫我們解決問題的。

傳統(tǒng)的計算思維是讓機器學習人類的思維，人類通過分析與綜合，進而判斷、推理，理解世界、解決問題，人類制定規(guī)則、算法，并編寫程序代碼，而機器則嚴格執(zhí)行人編寫的程序指令并輸出“答案”。在這個過程中，我們主要發(fā)揮了計算機的三個優(yōu)勢，也是人類無法實現(xiàn)的功能：第一個是計算機的高速運算功能；第二個是計算機的可視化功能；第三個是計算機可以實現(xiàn)一些人類難以工程實現(xiàn)的算法，如遞歸、分治。

對于智能計算，我們可以理解為讓機器自我學習，讓機器擁有自己的“思維”，人類通過人工神經(jīng)網(wǎng)絡這樣的機器學習算法和大數(shù)據(jù)的“喂養(yǎng)”，讓機器能夠自己去判斷、推理。如果說傳統(tǒng)的計算思維本質上是人的大腦神經(jīng)系統(tǒng)在思維，那么智能計算則相當于我們賦予機器一個大腦神經(jīng)系統(tǒng)，讓它自己去思維。

我再舉一個機器人學習走路的例子，傳統(tǒng)的計算思維是讓機器人模擬人是怎么走路的，把人走路的各種姿態(tài)轉化為數(shù)據(jù)，如先邁哪條腿、后邁哪條腿、身體如何保持平衡等，讓機器模仿人走路的姿勢去學習走路，相當于我們手把手教機器人走路。大家能想象，這樣學走路太困難了，因為實際場景太復雜了，總有我們教不到的地方，沒教的地方機器人就不知道該如何處理了。

而智能計算不是讓機器人簡單地去模仿人走路的姿勢，而是我們先告訴它什么是平穩(wěn)的走路，人平穩(wěn)走路的姿態(tài)是什么樣的，然后給出各種走路的場景：平地、爬坡、躲避障礙物和水坑……這相當于我們給了機器不同場景下的“答案”，讓機器人去學習人是如何處理這些問題的，自己總結規(guī)律，提煉規(guī)則和模型，再通過不斷試錯，不斷生成數(shù)據(jù)，不斷學習，最終學會走路。只不過這樣一來，得出答案的算法是機器自己學習、總結出來的，我們反而無從知道了。

但是，我并不認為智能計算是一種全新的思維，就像我上面說的，它們本質上都是人把自己想做的事交付給機器，讓機器幫我們來做。只不過這個機器、這個代理進步了，它自己學會學習了。但人把自己想做的事情交付給機器來做這個過程沒有變，所以它依然屬于計算思維的范疇。

魏寧：我覺得您上面的解讀還是非常清晰的，有助于老師們理解傳統(tǒng)的計算思維和人工智能時代的智能計算之間的差異。

隨著這兩年大語言模型的火爆，還出現(xiàn)了一種觀點，認為人工智能可以自動編寫程序代碼了，編程是否變得不那么重要了呢？

于曉雅：確實，大語言模型的出現(xiàn)，可以代替我們進行一些編碼工作。但這個工作只是幫助我們跨越了編程語言自身的障礙，如程序語法結構的困難，真正的如何用計算思維去理解、構建真實世界的要求反而比以前更高了。至少我們要能理解、溝通真實世界和虛擬世界，如果不具備計算思維和素養(yǎng)，是沒有辦法做到的。

實踐：從思維培養(yǎng)到評價工具

魏寧：下面咱們來聊聊計算思維的實踐，也就是如何培養(yǎng)計算思維的問題。很多老師會拿一些生活中做事的過程比擬計算思維，也就是把計算思維看作生活問題的過程性描述，如一個炒菜的過程，也含有明顯的步驟、序列，也具有鮮明的計算思維特征。用這樣的生活化案例能否培養(yǎng)學生的計算思維呢？

于曉雅：是這樣的，很多老師喜歡用做菜等生活過程來比擬計算思維，這樣做可以把枯燥的計算借助情境直觀呈現(xiàn)給學生，在計算與思維之間架起一座橋梁。并且，它凸顯了計算思維中包含統(tǒng)籌思維、邏輯思維的一面，但是，在用自然語言描述時，不能忘記計算思維是生活問題的形式化描述，形式化描述本質上是一個抽象的能力，而不是簡單的步驟描述。

同時，用這種情境化的方式來學習計算思維，在特定的階段和特定的環(huán)境中是有著積極意義的。所謂特定的階段，指的是計算思維學習的早期，如幼兒園階段，這時學習計算思維，采用不插電或者無屏幕的方式就有很好的效果。我們可以把計算思維的一些要素提煉出來，融入幼兒活動中，像一些分支、循環(huán)的思維方式，都可以通過幼兒的身體活動、跳房子等游戲的過程讓學生去體驗，甚至復雜一些的“七橋問題”，很多孩子在幼兒園也玩過。雖然這個階段的幼兒可能不涉及編程讓機器去執(zhí)行，但有了這些基礎，今后學習編程就會順暢得多。

還有就是在特定的環(huán)境中，因為各個地區(qū)條件存在差異，不是所有地方的學生都具備一上來就學習編程的條件，這時候我們可以通過這種生活化的方式，通過不插電、無屏幕的方式讓學生理解計算思維。

總的來說，在培養(yǎng)學生計算思維的過程中，可以暫時不涉及如何交付給機器去實現(xiàn)這部分內(nèi)容，開展基于計算思維要素的培養(yǎng)。但是我們一定要清楚完整的計算思維的培養(yǎng)目標，就是所有的解決方案最終目標還是要讓學生學會把自己想做的事情交付給機器完成的能力。

魏寧：也就是說，完整的計算思維的體現(xiàn)，不只是在頭腦中的思維過程，還包含了在實踐中如何實現(xiàn)它。

于曉雅：是這樣的，首先，計算思維并不是獨立存在的，剛才我們提到，它包含了統(tǒng)籌思維、邏輯思維，但也包含了工程思維，是一種與應用場景和交付執(zhí)行的代理密切相關的思維過程，因此，計算思維是一種融合的思維。

并且，非常重要的一點是，計算思維既有抽象的成分，又有實踐的一面，且更多的時候體現(xiàn)出它的實踐性，我們也可以把它看作一種應用思維。我注意到，在國外的很多有關計算思維的報告中，會把它稱為“計算思維與技能”，在很多專家看來，計算思維通常是與技能聯(lián)系在一起的，思維與技能相輔相成、密不可分。如果這么去理解計算思維，那么，計算思維就不能只停留在頭腦中，不能只有生活化的部分，還必須有操作性的內(nèi)容。就是說，如果只有邏輯思維，沒有把它交付給代理的這種轉換能力，就不能說具備了完整的計算思維。

此外，我們通常把測試、調試、驗證、迭代、優(yōu)化等過程列為計算思維的要素，如果沒有實踐，沒有交付給代理的操作過程，這些要素又從何談起呢？

請注意，我這里一直強調的是“交付給代理的轉換能力”，也就是指交付給機器的使用過程。但我沒有用“編程”這個提法，因為正像我們前面提到的，隨著人工智能的發(fā)展，我們可以用類似自然語言的方式將自己解決問題的方案交付給機器去執(zhí)行，不一定是傳統(tǒng)意義上的程序代碼。

總的來說，未來我們編寫程序的難度可能降低了，但是計算思維的要求我覺得比以前更高了，因為人類要理解的世界，已經(jīng)向自然世界、人文世界、數(shù)字虛擬世界和硅基生命機器人四元世界轉型，而不是簡單地理解為用計算構建出來的數(shù)字虛擬世界，因此，它對人類用計算構建世界和理解用計算構建的世界要求都提高了，我想這也是美國為什么提出計算素養(yǎng)的未來和現(xiàn)實考量。

魏寧：您常年在中小學的信息科技課堂上聽課、觀察，您覺得中小學信息科技教師在計算思維教學中應該注意什么？

于曉雅：面對剛成為國家課程的信息科技課程，面對新課標全新的計算思維培養(yǎng)要求，客觀地說，我們的師資力量并不厚實，需要教師在教學中快速成長起來。

我對信息科技教師的一個具體建議是，對于計算思維的教學，一定要通過親歷計算思維的過程來學習和培養(yǎng)，而不是簡單地看課例。如果只是通過觀看優(yōu)秀課例，甚至依葫蘆畫瓢，把他人的課例拿來，那么這雖然在教法層面上也有可取之處，但對計算思維的理解還是比較困難的。打個比方，我們可以在課堂上不教編程，但教師如果從來沒有編過一個程序，很難說就能準確地理解程序。

魏寧：隨著人工智能時代的到來，像AIGC等大語言模型的應用，是不是也能成為老師們的學習助手？

于曉雅：是這樣的，現(xiàn)在的信息科技教師可以向AIGC學習。我自己最近就有過這樣的經(jīng)歷：我讓AIGC幫我用Python編寫了一個程序，但是不明白其中的一些設計語句。于是，我就通過和AIGC對話，讓它對語句做注解，還有不懂的地方，我干脆就讓AIGC講給我聽。我覺得很多時候，老師們不妨把自己當作一個“小白”，我們就虛心地跟著AIGC逐句地學代碼，這也是人工智能時代一種很好的專業(yè)成長方式。

魏寧：對于計算思維來說，評價始終是一個繞不開的問題，也是計算思維培養(yǎng)需要解決的問題，對于計算思維的評價，您有什么具體的建議？

于曉雅：評價是教學實施過程中的重要一環(huán)，和具體的知識的評價相比，思維的評價一直是難點，計算思維的評價同樣如此。

對于計算思維的評價，我認為標準是第一位的，評價方法和工具是第二位的，因為標準指向的是計算思維的培養(yǎng)目標，如果搞不清楚培養(yǎng)目標是什么，怎么可能做出準確的評價呢？其實，我們經(jīng)?？吹降脑u價標準里的一級指標、二級指標，本身就是培養(yǎng)目標、教學目標，教什么和評什么本來就是緊密相聯(lián)的，這樣才能體現(xiàn)出教、學、評的一致性。

魏寧：是這樣的，要想評價，就要明確評什么。這其實就是要有一個評價的框架、一個指標體系，您對計算思維的評價標準有什么考慮嗎？

于曉雅：對于計算思維的評價標準，我曾負責聯(lián)合國兒基會STEM素養(yǎng)測評中的計算思維測評標準和測評題庫研發(fā)工作，我對計算思維測評標準給出了三個大的維度，就是抽象化、自動化和智能化。更具體地說，抽象化包括了分解、抽象、建模、泛化等要素；自動化包括過程與控制、算法設計、算法效率、編碼與調試等要素；智能化則包括數(shù)據(jù)思維、虛擬仿真、人工智能三個要素。

魏寧：希望老師們在進行計算思維評價之前，都能認真思考一下該評什么，也就是評價標準的問題。在明晰了評價標準之后，就要涉及如何評的問題，我發(fā)現(xiàn)，在實際教學中，很多老師會通過學生作品或者問卷測評來評價計算思維，您怎么看這種方式？

于曉雅：基于作品的評價確實在實踐中很常見，因為它簡便易行。但是總的來說，我不太鼓勵教師單獨采用這種方式評價學生的計算思維。因為，如果我們把作品看作一個結果，那么這個作品的產(chǎn)生過程，可能不是我們期待的計算思維的過程，也可能學生是通過不斷試錯來實現(xiàn)的，如果不能測評計算思維的過程，此時的基于成果的測評就失去意義。另外，信息科技學科的課程性質決定了，我們的課程研究和表達的是信息及其應用中的科學原理、思維方法、處理過程和工程實現(xiàn)。我們不能僅僅拿最后的工程實現(xiàn)的這個作品，反過來證明學生的科學原理、思維方法和處理過程都是正確的。

對于基于問卷的測評，一般來說針對態(tài)度和意識會多一點，也難以測評過程。所以，我們在研發(fā)計算思維測評的時候，要特別注重真實情境下的問題解決和處理過程的測評。

魏寧：看來，如果想對學生的計算思維水平進行評價，還是需要了解和掌握一些評價工具。這方面您有什么向老師們推薦的嗎？

于曉雅：對于具體的評價工具，目前主要有以下幾類：

第一類是診斷性評價工具，如一些測試題目，用來評估學生利用計算思維解決復雜問題的能力，“迷宮”就是一種常見的形式。

第二類是總結性評價工具，用來評價學生在接受計算思維技能訓練后能否獲得足夠的知識或應用于實踐，如一些具有3D圖形效果的交互式動畫故事教育軟件。

第三類是形成性評價工具，這些工具可以為學生提供反饋，以便發(fā)展和提升學生的計算思維技能。例如Dr.Scratch，可以讓學生在線創(chuàng)建和修改Scratch項目，該軟件可以對抽象、問題解決、并行、邏輯思維等計算思維關鍵概念進行評分，進而對如何提升計算思維給出建議。

第四類是數(shù)據(jù)挖掘評價工具，通過實地檢索和記錄學生的學習行為，為學生提供有價值的數(shù)據(jù)和學習分析。

第五類是技能遷移評價工具，評價學生在多大程度上可以將計算思維技能遷移到不同類型的問題、背景和情境中，如Bebras國際信息學與計算素養(yǎng)競賽中的相關題目。

第六類是感知態(tài)度量表工具，通過李克特五點量表的方式，評價學生對計算思維的感知和態(tài)度，包括創(chuàng)造力、算法思維、合作、問題解決、批判性思維等方面。

魏寧：看上去這些評價工具還是比較專業(yè)的，老師們似乎了解得還不夠。

于曉雅：對于學生的計算思維評價，我還是希望更多的老師能夠去了解一些評價工具，在今天這樣一個智能時代，上面提到的評價工具很多都是不難尋找到的。并且我相信，隨著對計算思維評價的日漸重視，計算思維評價工具也會逐漸普及的。

案例：從素養(yǎng)培育到學科育人

魏寧：我們聊了很多關于計算思維的話題，能否呈現(xiàn)一個具體的案例，讓大家感受一下完整的計算思維的培養(yǎng)過程。

于曉雅：好，我想舉關于《π值求解：從手工計算到機器求解》的案例。人類最早用幾何法求圓周率，后來用代數(shù)形式（解析法）求解，最終發(fā)展到用計算機求解，也就是用計算思維創(chuàng)新性求解圓周率。注意我說的計算機創(chuàng)新求解，是指帕佩特所說的第三個階段，是計算機出現(xiàn)后的創(chuàng)新求解方法，如蒙特卡洛算法，而不是將前面人類集合求圓周率和解析法求圓周率的方法通過計算機高速運算功能和可視化功能的翻譯。通過了解這個歷史進程，我想有助于老師們更深刻地理解計算思維是如何解決問題的。

我們知道，圓周率π是一個重要的數(shù)學常數(shù)，也是科學計算的基礎，幾千年來，全世界的數(shù)學家都試圖研究并計算出圓周率的越來越精確的近似值。

對圓周率的計算，從古希臘的阿基米德開始，到中國古代數(shù)學家劉徽、祖沖之，他們采用的都是幾何法，即通過作圓的內(nèi)接正多邊形，用極限思想逼近圓面積，這種方法被稱為“割圓術”。在沒有阿拉伯數(shù)字也沒有算盤的時代，祖沖之僅憑借簡陋的算籌，將圓周率精確到小數(shù)點后第七位，這相當于要作圓的內(nèi)接正24576邊形。祖沖之的紀錄保持了1000多年，是一個非常了不起的成就。

從16世紀開始，法國數(shù)學家韋達開創(chuàng)了用解析式計算圓周率，包括無窮乘積式、無窮連分數(shù)、無窮級數(shù)等各種計算圓周率的表達式，使π的精度迅速增加。到了1948年，英國的弗格森和美國的倫奇共同把π值精確到小數(shù)點后808位，這也是手工計算圓周率的最高紀錄。

隨著計算機的問世，計算機算法立刻取代了各種手工計算方法，π值的精確度開始突飛猛進。2022年，谷歌公司通過谷歌云計算引擎，已經(jīng)把圓周率計算到了小數(shù)點后100萬億位。

下面我們就來看看，如何用計算機算法實現(xiàn)割圓術求解圓周率。

第一步是分解問題。計算思維的第一步就是化繁為簡，把復雜問題分解為若干易于處理的小問題。從最簡單的圓內(nèi)接正六邊形開始，接著計算圓內(nèi)接正12邊形、正24邊形的面積，進而得到圓周率近似值。

第二步是模式識別。計算思維需要我們尋找到事物變化的規(guī)律，當計算出圓內(nèi)接正六邊形面積后，其他正多邊形面積是在正六邊形面積基礎上，邊數(shù)不斷翻倍，重復計算正多邊形面積，重復次數(shù)越多，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，圓周率越精確。

第三步是抽象。找到圓內(nèi)接正多邊形面積的變化規(guī)律，抽象出割圓術的計算規(guī)律。

第四步是算法設計。圓內(nèi)接正多邊形面積的重復計算與程序的迭代思想類似，隨著邊數(shù)不斷翻倍，結果無限接近圓周率。

第五步是建立模型。在以上四個步驟基礎上，用計算思維將求解圓周率的過程轉化為簡單的迭代過程，借助計算機計算出圓周率的近似值。

第六步是程序編寫。先計算出正六邊形的面積，通過for循環(huán)語句，重復計算邊數(shù)不斷翻倍下的圓內(nèi)接正n邊形面積，迭代次數(shù)越多，圓周率越精確。

第七步是模擬測試。通過程序運算，分別進行10、12、16、20、100等次迭代計算，得出圓周率近似值。

隨著計算技術的發(fā)展，很多巧妙的算法被發(fā)明出來，計算機科學先驅馮·諾依曼就提出了蒙特卡洛方法，它的基本思想是：當所求解問題是某種隨機事件出現(xiàn)的概率或者某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率，估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。

有興趣的老師可以詳細了解蒙特卡洛方法及其Python程序編寫過程，蒙特卡洛方法雖然不能特別精確計算出問題的解，但開創(chuàng)了解決不確定問題的新路徑，這正是計算思維創(chuàng)造出全新的問題解決方法的體現(xiàn)。

魏寧：蒙特卡洛方法是一種典型的利用計算機求解近似問題的算法，特別值得老師們注意。

于曉雅：是啊，不僅如此，π的機器求解問題還能促使我們深入思考有關的工程問題和科學問題。

第一個問題是限度問題。如果僅僅將數(shù)學家的公式翻譯成代碼執(zhí)行，計算機能否無限計算下去？答案是不能，因為計算機求解問題的過程必須考慮硬件條件——運算、控制、存儲、算力分布等問題。

第二個問題是數(shù)據(jù)類型問題。因為我們不會滿足于十幾位小數(shù)的結果，所以需要設計一個表示任意有限小數(shù)的數(shù)據(jù)類型，進制的選擇也會成為一個問題，這些都需要不斷嘗試、解決。

第三個問題是存儲問題。當我們把圓周率計算到小數(shù)點后幾十萬億位的時候，需要的內(nèi)存將達到幾百TB，在當下沒有這類產(chǎn)品或價格昂貴的情況下，現(xiàn)實的替代方案是什么？這也是必須考慮的一個工程問題。

可見，從數(shù)學抽象到計算抽象再到代碼實現(xiàn)，π的求解過程，絕不只是把數(shù)學家的思想“翻譯”成代碼執(zhí)行這么簡單，而是一個涵蓋了當時最先進的算法和軟硬件設備的綜合解決方案。在這個過程中，我們也能清晰地看到，計算思維與數(shù)學思維、工程思維的融合設計與實施。

魏寧：是的，工程思維其實是一個非常重要但又往往被忽視的思維，在這個案例中，我們能深刻體會到工程思維的重要性。

于曉雅：不過，由此帶來的關于計算思維的思考還沒有結束。我常常想，中國古代擅長幾何法，隨著西方代數(shù)法的出現(xiàn)，一般認為東方數(shù)學漸漸落后了，但情況未必是這樣的。我們看到在圓周率的計算機算法中，幾何法再一次煥發(fā)出新的生命力，如我國南宋數(shù)學家秦九韶提出的一種多項式簡化算法，直到今天依然被認為是最優(yōu)算法。

π的機器求解這個案例也是一次比較東西方在問題解決上不同思維的絕佳案例，正如我國著名數(shù)學家吳文俊所說的：“中國傳統(tǒng)數(shù)學的機械化思想與現(xiàn)代計算機科學是相通的，計算機的飛速發(fā)展必將使中國傳統(tǒng)數(shù)學的機械化思想得以發(fā)揚光大。”今天的人工智能算法，按照西方的思路說白了就是利用超強的算力，進行“暴力計算”。那么，在未來有沒有一種可能，我們東方的古老智慧，為人工智能、為計算方法提供另一條路徑呢？

我堅信，暴力計算不應是人工智能的未來，我們古老的數(shù)學機械化思想不就為π的計算機算法提供了很好的中國方案嗎？我們同樣可以為人工智能算法的未來貢獻東方智慧。

魏寧：從您上面對這一案例的引申和升華，我已經(jīng)看到了課程思政、學科育人的影子，我想，這個話題非常值得學生們?nèi)ニ伎?、去探討?/p>

感謝您今天聊了這么多有關計算思維的話題，從計算思維的概念演進到實踐路徑，我相信這些對老師們會非常有啟發(fā)，會促使大家對計算思維進行更多、更深入的思考。

于曉雅：我也祝愿新生的信息科技課程茁壯成長，學生的計算思維培養(yǎng)上升到一個新的臺階。