一、教材分析

本節(jié)課是探究“函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與性質(zhì)”的第一課時(shí)，其內(nèi)容主要是研究參數(shù)A，ω，φ的變化對(duì)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響。

教材先從簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的實(shí)例引入，然后通過傳感器和計(jì)算機(jī)描繪小球的運(yùn)動(dòng)圖象，再?gòu)恼液瘮?shù)y＝sinx與函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）之間的關(guān)系引出對(duì)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）圖象的探究。整節(jié)課通過三個(gè)例題從不同變量A、ω、φ分析對(duì)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響，在本課時(shí)僅討論的是當(dāng)φ=0的情況。

二、學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的有關(guān)內(nèi)容；已經(jīng)習(xí)得了“數(shù)形結(jié)合”思想，并積累了用“數(shù)形結(jié)合”思想研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，也了解了一般函數(shù)圖象的變換情況；已經(jīng)具備了通過觀察圖象得出結(jié)論的能力。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)生分別探究A、ω對(duì)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）圖象的影響情況。

2.學(xué)生能利用“數(shù)形結(jié)合”思想，據(jù)圖歸納總結(jié)A、ω變化引起函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）圖象的變化規(guī)律。

3.在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究能力，發(fā)展學(xué)生的理性思維。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：分別探究A、ω對(duì)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）圖象的影響情況。

教學(xué)難點(diǎn)：能利用“數(shù)形結(jié)合”思想，據(jù)圖歸納總結(jié)A、ω變化引起函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）圖象的變化規(guī)律。

五、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

師：在現(xiàn)實(shí)生活中，發(fā)生周期性變化的現(xiàn)象有很多。如圖1，在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，位移y與時(shí)間t之間的關(guān)系就是一種周期變化的實(shí)例，可以用函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（其中A、ω和φ都是常數(shù)）表示位移與時(shí)間的關(guān)系。其實(shí)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系圖象可以用傳感器和計(jì)算機(jī)描繪出（如圖2所示）。

師：同學(xué)們，通過觀察圖2可以發(fā)現(xiàn)，它與我們前面學(xué)過的正弦函數(shù)的曲線很相似。那么，函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）之間存在哪些關(guān)系呢？今天這節(jié)課，我們就來探究函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象，并分析A、ω和φ變化對(duì)y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響。

（設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)生活中簡(jiǎn)諧振動(dòng)的情境，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)入手，感悟自然界中周期性變化的現(xiàn)象可以用函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）模型進(jìn)行刻畫，建立數(shù)學(xué)模型。）

（二）引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：當(dāng)參數(shù)A，ω，φ取不同實(shí)數(shù)時(shí)，y＝Asin（ωx＋φ）就可以得到不同的表達(dá)形式，其函數(shù)圖象也會(huì)隨之發(fā)生變化。

1.探究參數(shù)A對(duì)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響

例1.在同一直角坐標(biāo)系中畫出y＝sinx，y＝2sinx，y＝sinx在［-π，π］上的圖象，觀察它們之間的關(guān)系，并說出這三個(gè)函數(shù)的周期、最大值、最小值、值域之間的關(guān)系。

師：那么，如何作簡(jiǎn)圖呢？

生：可以先畫出一個(gè)直角坐標(biāo)系，然后找出這三個(gè)函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)作簡(jiǎn)圖。

師：你的意思是利用“五點(diǎn)法”作函數(shù)圖象，那怎么找這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)呢？

生：橫坐標(biāo)x分別是-π，-π，0，π和π，代入各函數(shù)求出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，這樣五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就找出來了。

師：請(qǐng)同學(xué)們快速分別找出各函數(shù)的五點(diǎn)坐標(biāo)，并比較這五點(diǎn)坐標(biāo)的異同。

生1：函數(shù)y＝sinx的關(guān)鍵五點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-π，0），（-π，-1），（0，0），（π，1），（π，0）。

生2：函數(shù)y＝2sinx的關(guān)鍵五點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-π，0），（-π，-2），（0，0），（π，2），（π，0）。

生3：函數(shù)y＝sinx的關(guān)鍵五點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-π，0），（-π，-），（0，0），（π，），（π，0）。

師：這三個(gè)函數(shù)的關(guān)鍵五點(diǎn)坐標(biāo)都找出來了，它們有什么異同呢？

生：它們對(duì)應(yīng)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，但縱坐標(biāo)不同。

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)這三個(gè)函數(shù)的五點(diǎn)坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出這三個(gè)函數(shù)（如圖3）。

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)圖3，說出三個(gè)函數(shù)的周期分別是多少？

生：y＝sinx的周期是2π，y＝2sinx的周期是2π，y＝sinx的周期是2π。

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)俑鶕?jù)畫出的函數(shù)圖象，說出三個(gè)函數(shù)的最大值、最小值和值域分別是多少。

生：y＝sinx的最大值是1，最小值是-1，值域是［-1，

1］；y＝2sinx的最大值是2，最小值是-2，值域是［-2，

2］；y＝sinx的最大值是，最小值是-，值域是［-，］。

師：那么，這三個(gè)函數(shù)的周期、最大值、最小值和值域之間有什么關(guān)系呢？

生：y＝sinx圖象上每一點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，sinx），而y＝2sinx圖象上每一點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，2sinx）。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)函數(shù)圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，y＝2sinx圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)變成y＝sinx圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的2倍。因此，由y＝sinx變成y＝2sinx的過程中，函數(shù)周期沒有變，最大值和最小值變?yōu)樵瓉淼?倍，值域也由原來的［-1，1］變成了［-2，2］，這就說明，A決定振動(dòng)幅度的大小，也就是函數(shù)的最大值、最小值和值域。同理，由y＝sinx變成y＝sinx的過程中，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，改變的是最大值、最小值和值域，周期沒有變。

師：通過對(duì)例1的研究，你能得出哪些結(jié)論呢？

生：函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）中的參數(shù)A決定了振動(dòng)的幅度，也就是函數(shù)的最大值、最小值和值域。

2.探究參數(shù)ω對(duì)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象的影響

例2.在同一直角坐標(biāo)系中畫出y＝sinx，y＝sin2x，y＝sinx在［-2π，2π］上的圖象，觀察它們之間的關(guān)系，并說出這三個(gè)函數(shù)的周期、最大值、最小值、值域之間的關(guān)系。

師：我們還是結(jié)合圖象來研究，先根據(jù)三個(gè)函數(shù)的關(guān)鍵五點(diǎn)坐標(biāo)，畫出它們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中的函數(shù)圖象（如圖4）。

師：根據(jù)圖4，誰(shuí)來說一說這三個(gè)函數(shù)的周期、最大值、最小值、值域之間的關(guān)系？

生：據(jù)圖4可知，y＝sin2x的圖象可以由y＝sinx圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫?。因此，y＝sin2x的最大值、最小值和值域都與y＝sinx相同，但周期變?yōu)樵瓉淼?，也就?π。y＝sinx的圖象可以由y＝sinx圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到。y＝sinx的最大值、最小值和值域都與y＝sinx相同，但周期變?yōu)樵瓉淼?倍。

師：你的思路清晰，也完全正確。誰(shuí)能把他的話歸納一下呢？

生：函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）中的參數(shù)ω決定了振動(dòng)的周期，也就是函數(shù)的周期等于。不同的正弦函數(shù)可以通過變化得到。

3.進(jìn)一步鞏固不同函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象的相互變化

例3.做出函數(shù)y＝3sinx在長(zhǎng)度為一個(gè)周期上的閉區(qū)間的簡(jiǎn)圖，并說明y＝3sinx圖象是由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化而得到的。

學(xué)生根據(jù)列表找出函數(shù)y＝3sinx在圖像上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后進(jìn)行描點(diǎn)、連線，作出函數(shù)y＝3sinx在x∈［0，π］的大致圖象（如圖5）。

師：誰(shuí)能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述一下函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到函數(shù)y＝3sinx的圖象？

學(xué)生匯報(bào)。

教師小結(jié)：可以先考慮變化橫坐標(biāo)，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，然后橫坐標(biāo)保持不變，把縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍。

（三）鞏固練習(xí)

1.利用“五點(diǎn)法”作下列函數(shù)在一個(gè)周期閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖。

（1）y＝sinx （2）y＝sinx （3）y＝2sinx

2.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說一說上面每個(gè)函數(shù)的圖象由y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到的。

（四）課堂小結(jié)

師：通過本節(jié)課的探究學(xué)習(xí)，你有哪些新的收獲和感受？請(qǐng)與大家分享一下。

六、課例反思

本節(jié)課主要是引導(dǎo)學(xué)生借助函數(shù)圖象研究A、ω對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象、周期、最值和值域的影響等。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生據(jù)圖科學(xué)分析函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象與y＝sinx的圖象的關(guān)系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)之間的變化關(guān)系。我采取讓學(xué)生利用“五點(diǎn)法”作函數(shù)圖象，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想，研究A、ω對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象、周期、最值和值域的影響以及不同函數(shù)圖象的轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)探究，理性分析問題和結(jié)論。

（作者單位：鎮(zhèn)原縣孟壩中學(xué)）

編輯：溫雪蓮

作者簡(jiǎn)介：蘭正清（1969—），男，漢族，甘肅鎮(zhèn)原人，本科，高級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。