陳進(jìn)發(fā)

摘要：二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題作為中考數(shù)學(xué)的壓軸題，在一定程度上能夠拉開學(xué)生中考數(shù)學(xué)成績的差距.從學(xué)生的做答情況和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)來看，學(xué)生對(duì)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題的掌握情況并不樂觀.本文中結(jié)合二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題中的面積最值問題和特殊點(diǎn)存在問題的典型例題，分析了對(duì)應(yīng)題型的解題思路與方法.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);二次函數(shù);動(dòng)點(diǎn)問題

二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題一直是初中學(xué)生的學(xué)習(xí)重點(diǎn).由于二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題能夠綜合幾何、方程、一次函數(shù)、不等式等多個(gè)內(nèi)容，考查模式多樣，因此二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題備受命題人的喜愛，二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題也通常會(huì)作為壓軸題出現(xiàn)在中考數(shù)學(xué)試卷上.一道綜合性的二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題往往需要教師花費(fèi)一節(jié)課的時(shí)間帶領(lǐng)學(xué)生探究，這大大降低了課堂的教學(xué)效率，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提高.筆者把自己對(duì)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題中兩個(gè)常見題型解題教學(xué)設(shè)計(jì)呈現(xiàn)給大家，供大家討論并批評(píng)指正.

1 教學(xué)分析

1.1 教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)技能：通過代數(shù)和幾何兩個(gè)板塊的知識(shí)進(jìn)行解決.

數(shù)學(xué)思考：建立數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，提高學(xué)生的思維邏輯能力和空間想象能力.

情感態(tài)度：建立二次函數(shù)常見動(dòng)點(diǎn)問題的整體框架，緩解學(xué)生的畏難情緒；提高邏輯思維能力和知識(shí)應(yīng)用能力.

1.2 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：掌握解決二次函數(shù)中面積最值問題的常見方法.

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)二次函數(shù)中的面積最值問題的分析和解讀；對(duì)數(shù)形結(jié)合、分類討論思想的滲透.

2 教學(xué)過程

2.1 復(fù)習(xí)鞏固

基于前幾節(jié)課的復(fù)習(xí)成果，筆者在本節(jié)課初始環(huán)節(jié)利用課件或多媒體等方式為學(xué)生呈現(xiàn)常見的二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)面積問題的解題方法和圖形模型（見圖1）.

圖1二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題常見解題模型

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，加深學(xué)生的學(xué)習(xí)印象.同時(shí)為接下來的“二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題中面積的最大值問題”解題教學(xué)奠定基礎(chǔ).

2.2 二次函數(shù)中面積最值問題的解題方法

例1如圖2所示，拋物線y=-12x2+mx+n與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)D，已知A（-1，0），C（0，2）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F.問當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BCF的面積最大？并求出△BCF的最大面積以及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

分析：第（1）問較簡(jiǎn)單，這里從略.

第（2）問是常見的動(dòng)點(diǎn)面積最值問題，筆者先提出幾個(gè)具體問題，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.具體問題如下：

問題1大家能否根據(jù)題中所給信息畫出△BCF的草圖？

問題2利用割補(bǔ)法如何表示出△BCF的面積？

問題3如何求得△BCF面積的最大值？

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究或合作探究，對(duì)學(xué)生的解題思路一對(duì)一講解和評(píng)價(jià)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.解題思路如下：

（Ⅰ）根據(jù)問題（2）中的描述，可以作出△BCF的草圖（見圖3）.

（Ⅱ）由圖3，將S△BCF切割為S△CEF+S△BFE，經(jīng)過化簡(jiǎn)可知本質(zhì)上是求12EF·OB的最大值.

（Ⅲ）求△BCF面積的最大值，即求EF·OB的最大值.而OB的長度已知，則本問重點(diǎn)在于求出線段EF的長度.具體解決方法如下.

根據(jù)點(diǎn)E和點(diǎn)F在拋物線上的位置，我們可以得知兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，因此可以設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為a，-12a+2，點(diǎn)F的坐標(biāo)為a，-12a2+32a+2，由此可以算出EF=-12a2+2a（0＜a＜4）.再根據(jù)三角形面積公式求出S△CBF=-（a－2）2+4.這樣就可以很明顯地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=2時(shí)，S△BCF有最大值，且最大值為4.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用三角形面積公式解得面積最值問題，通過列舉清晰明了的任務(wù)，促使學(xué)生獲得明確的解題思路和解題過程，推動(dòng)學(xué)生二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題解題能力的提升.

2.3 二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題中特殊點(diǎn)存在問題解題思路

例2如圖4所示，已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，且A（-1，0），B（3，0），連接BC.問對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△CPA是以AC為腰的等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析：該題是常見的動(dòng)點(diǎn)求特殊點(diǎn)問題，筆者先提出幾個(gè)具體問題，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.

問題1以AC為腰的等腰三角形APC共有幾種情況？

問題2利用等腰三角形的哪些知識(shí)判定△APC為等腰三角形？

問題3如何求點(diǎn)P的坐標(biāo)？

在列舉出三個(gè)問題后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)任務(wù)進(jìn)行逐一解答.解題思路如下.

（Ⅰ）根據(jù)已知條件，以AC為腰的情況共有兩種，即以A為頂點(diǎn)和以C為頂點(diǎn)的等腰三角形.

（Ⅱ）可以利用“兩條邊相等，則該三角形為等腰三角形”進(jìn)行分析，可以得出AC=AP或AC=PC.

（Ⅲ）先求出AC，AP，PC的長度.易知OC（0，3），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，a），則

AC=12+32=10，AP=22+a2，CP=12+（a－3）2.

下面分類討論：

①當(dāng)AC=AP時(shí)，解得a=±6，

則P（1，6）或（1，-6）.

②當(dāng)AC=PC時(shí)，解得a=0或6，

則P（1，0）或（1，6）.

綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，6）或（1，-6）或（1，0）或（1，6）.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三個(gè)小問題逐一解答.將原問題拆分成幾個(gè)小問題進(jìn)行分析，在此過程中滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論等思

維方法，以便疏通學(xué)生的解題思路.

3 總結(jié)

綜上所述，二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題教學(xué)具有復(fù)雜性、多樣性等特點(diǎn).教師要充分挖掘二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題的代表性題型，基于典型題目為學(xué)生提供具體的解題思路.只有這樣才能有效緩解學(xué)生的畏難情緒，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并逐步培養(yǎng)邏輯思維能力和知識(shí)應(yīng)用能力，進(jìn)而有助于綜合能力的提升和發(fā)展.

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