馬康州 衛(wèi)佳 吳少培

摘 要：文章研究了一類單自由度雙頻激勵碰撞振動系統(tǒng)的動力學模型，建立了2個在不同頻率正弦激勵作用下的碰撞振動運動微分方程，給出了含間隙系統(tǒng)雙頻激勵下Poincaré映射的建立方法，推導出該映射的Jacobian矩陣，從而得到相應的特征值。同時，研究了單個頻率變化時對周期運動的影響，以及在一定的頻率比下不同間隙和頻率對周期分布的影響。進一步利用特征值研究了系統(tǒng)隨頻率變化出現(xiàn)的周期運動、分岔、擦邊以及混沌現(xiàn)象，通過Poincaré映射圖和相圖對分岔點處的特性進行了分析。

關鍵詞：雙頻激勵；碰撞振動；Poincaré映射；擦邊；混沌

中圖分類號：O322 文獻標志碼：A

含間隙碰撞振動是機械系統(tǒng)中常見的非線性振動問題，如機械系統(tǒng)中彈性元件失效、彈簧與緊固件之間松動，或者裝配間隙過大等因素引起的故障振動狀態(tài)就是工程實際中經(jīng)常發(fā)生的碰撞振動現(xiàn)象。

近年來，有大量文獻涉及單自由度、多自由度碰撞振動系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定性、分岔及混沌的研究[1-2]。樂源和謝建華[3]建立兩自由度雙側約束碰撞振動系統(tǒng)的力學模型，推導了Poincaré映射的對稱性并研究了該對稱性對于周期倍化分岔、Hopf-flip分岔和Pitchfork-flip分岔具有抑制性。馬召召等[4]在經(jīng)典的Lyapunov指數(shù)算法和攝動理論的基礎上，提出了一種可以應用于不連續(xù)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)算法，為碰撞振動系統(tǒng)及不連續(xù)系統(tǒng)的研究提供新思路。徐潔瓊等[5]分析了兩自由度對稱約束碰撞振動系統(tǒng)的退化環(huán)擦邊的余維二擦邊分岔，結合雙擦邊周期運動的存在條件和n-1-1碰撞周期運動的分岔條件，推導了此類余維二擦邊分岔存在條件的表達式。劉汝逾等[6]基于含分數(shù)階的雙側剛性約束碰撞振動模型研究系統(tǒng)的分岔特性，發(fā)現(xiàn)某參數(shù)條件下，分數(shù)階次數(shù)減小時系統(tǒng)會出現(xiàn)音岔分岔和擦邊分岔，當間隙減小時，對稱不動點的穩(wěn)定性發(fā)生變化并產(chǎn)生擬周期運動和混沌運動。Andreaus和De Angelis[7]建立雙側約束含間隙和保險杠的單自由度碰撞振動模型，分析系統(tǒng)的偽共振頻率，通過振動臺實驗和數(shù)值驗證方法研究諧波激勵強度、保險杠剛度和間隙對于系統(tǒng)動力學響應的影響。呂小紅等[8]基于兩參數(shù)分岔分析方法，研究彈性約束碰撞振動系統(tǒng)在兩參數(shù)平面內的擦邊分岔和滑動分岔，揭示了切換滑動、多滑動和余維二滑動分岔等非光滑分岔行為。Chong等[9]討論了單自由度碰撞振動系統(tǒng)各參數(shù)對系統(tǒng)動力學的影響，運用胞映射方法研究系統(tǒng)的內部激變和邊界激變這兩種分岔對系統(tǒng)動力學行為的影響。Shen等[10]通過最大李雅普諾夫指數(shù)、相位靈敏度指數(shù)和功率譜來表征奇異非混沌吸引子，在不同初始參數(shù)下，研究了擬周期的受迫系統(tǒng)中共存的奇異非混沌吸引子的共存特性。

工程領域中的諸多機械設備、裝置的設計或運行過程中也體現(xiàn)了碰撞振動的原理。伍新等[11]基于Neimark-Sacker分岔理論，使用顯式臨界準則設計振動落砂機的參數(shù)，使系統(tǒng)產(chǎn)生擬周期運動。李國芳等[12]以一類含干摩擦的無足自驅動系統(tǒng)為研究對象，分析摩擦比、間隙、剛度比和質量比對系統(tǒng)運動特性的影響，為復雜環(huán)境中無足自驅動系統(tǒng)的設計提供理論依據(jù)。王乙坤等[13]構建簡支輸流管與剛性間隙約束的碰撞振動模型，探討了約束間隙和恢復系數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)響應的影響，同時發(fā)現(xiàn)了輸流管剛性碰撞時的黏滑現(xiàn)象。張瑜等[14]考慮表面粗糙度、煤粉層的影響，建立刨頭-滑架體間三維接觸碰撞模型，分析系統(tǒng)碰撞動態(tài)特性，發(fā)現(xiàn)恢復系數(shù)與碰撞振動幅值、擺角振動持續(xù)時間、碰撞力和碰撞次數(shù)成正相關。蒲玉學等[15]建立機械臂與非合作碰撞物的碰撞過程動力學模型，提出了模糊策略與無模型自適應控制相結合的控制方法，為空間機械臂的碰撞問題提供理論依據(jù)。

在實際問題中，系統(tǒng)所受到的激勵多數(shù)不是單一穩(wěn)定的激勵，比如多轉子傳動系統(tǒng)，由于偏質心的存在，在不同的轉速下產(chǎn)生不同頻率的振動。采用瞬時沖擊法，在碰撞過程中考慮了能量的損失，利用恢復系數(shù)法計算碰撞前后速度之間的關系。建立了考慮雙頻激勵振動系統(tǒng)的Poincaré映射，推導出了映射的 Jacobian 矩陣，并得到相應的特征值。進一步研究了系統(tǒng)隨參數(shù)變化出現(xiàn)的周期運動的穩(wěn)定性、分岔及混沌，通過Poincaré映射圖、相圖對分岔點處的特性進行了分析，利用特征值的穿越過程對“擦邊”現(xiàn)象進行了研究。

1 動力學模型及其運動方程

圖1是一個在雙頻激勵下的單自由度非光滑系統(tǒng)的力學模型，在實際工程中許多含間隙的機械系統(tǒng)可以抽象為該類模型進行研究。該模型由振子M 、線性彈簧K和阻尼器C組成。振子M由剛度為K的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的線性阻尼器聯(lián)結于支承，并受到雙頻激勵 P 1 sin（Ω 1 T+τ 1 ） 和 P 2 sin（Ω 2 T+τ 2 ） 的作用。當振子M的位移等于間隙B時，振子M與剛性約束面發(fā)生碰撞，改變速度方向后，又以新的初值運動，然后再次與約束面碰撞，如此往復。設力學模型中的阻尼是Rayleigh 型比例阻尼，碰撞過程中的能量損失由碰撞恢復系數(shù)R確定，碰撞持續(xù)時間略去不計，水平面為光滑的平面。

相鄰兩次碰撞之間，系統(tǒng)的運動微分方程為：

質塊 M 的沖擊方程為：式中：X?- 和X?+ 分別表示質塊M與剛性約束A碰撞前后的瞬時速度。

對圖1所示系統(tǒng)進行無量綱處理，取無量綱

運動微分方程（1）和（2）的無量綱形式可以由公式（3）和（4）表示。

當質量塊M相鄰兩次碰撞之間運動時，利用微分求解推導微分方程的解可得：

式中 x 1 （t） 和 x 2 （t） 分別為：

式中： a 和 b 由運動的初始條件決定，令 x（0）=x 0 ，x?（0）=v 0 ，τ 1 =τ 10 ，τ 2 =τ 20 為初始條件，可得：

2 建立Poincaré映射

根據(jù)式（5）可知，隨著時間t增加，微分方程解的前一部分 e-ηt[]acos（ω d t）+bsin（ω d t） 趨向零。后一部分 x 1 （t）+x 2 （t） 是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值。現(xiàn)在討論 ω 1 和 ω 2滿足關系 ω 1 =iω 2 ，其中 i 為正整數(shù)，當 x 1 （t）+x 2 （t） 中的 x 1 （t） 為穩(wěn)定狀態(tài)，即相位 τ 1 為定值，此時 x 1 （t） 的周期由公式（13）表示為：

化簡可得公式（14）：

由此當 ω 1 =iω 2 時， T 1 也為 x 2 （t） 的周期，所以 τ 2 也為定值。只需討論 τ 1 在系統(tǒng)的時間歷程中的穩(wěn)定性。

選取 σ= { } （x?，θ）∈R2×S，x=b 作為Poincaré截面，其中θ=ω 1 t，建立Poincaré映射。取系統(tǒng)不動點為質量塊M與右側約束面第一次接觸后的瞬時，其坐標表達式為 （x?，θ） 。該表達式的物理意義是將Poincaré截面選剛性約束面，則周期運動的穩(wěn)定性問題轉化為Poincaré映射線性化矩陣在不動點處的特征值問題。根據(jù)接觸過程可以將Poincaré映射分為2個階段：P 1 表示質量塊M和右側碰撞面碰撞接觸階段；P 2表示質量塊M與右碰撞面脫離階段。

令 DP 1 ，DP 2 分別代表 P 1 ，P 2 的映射矩陣，并設：

則Poincaré映射可表示為：

再由式（17）得到圖1所示系統(tǒng)Poincaré映射的Jacobian矩陣DP. Jacobian 矩陣的特征值決定了相應周期運動的穩(wěn)定性。如果矩陣的所有特征值都位于單位圓內，那么相應的周期運動是穩(wěn)定的。當線性化矩陣特征值的最大模位于單位圓上時，根據(jù)這樣特征值的數(shù)量以及它們在單位圓上的位置，會發(fā)生各種不同的分岔現(xiàn)象。當僅有1個特征根為λ=1，將產(chǎn)生鞍結分岔；若僅有1個特征根為 λ=-1 ，則出現(xiàn)倍周期分岔。若有一對共軛特征值的模 | | λ =1 ，而其余的特征值都位于單位圓周內，系統(tǒng)的周期運動將發(fā)生Hopf分岔。

3 數(shù)值模擬

3.1 單個頻率變化

選取圖1所示系統(tǒng)的參數(shù)：b=0.1，R=0.8，f 1 =0.2，f 2 =0.8，x 0 =0.1，v 0 =0.001。圖2為 ω 2 取不同的值， ω 1在1.2～6.5變化時，質量塊M在Poincaré截面處的速度分岔圖。

由圖2看出沿著 ω 2 軸方向變化時，隨著 ω 2 增加，質量塊的速度波動中心逐漸增大，波動的幅度沒有太大的變化。沿著 ω 1 軸方向的變化，速度會沿著一個 v 值上下波動，呈現(xiàn)出衰減式的周期變化。下面具體討論 ω 2 =1.5 和 ω 2 =2 時系統(tǒng)周期運動情況。

圖3對應 ω 2 =1.5 時系統(tǒng)分岔圖，可以看出，質量塊的速度在 ω 1 軸上，以周期為1.5呈現(xiàn)周期衰減變化，在 ω 1 等于 ω 2 的2倍和3倍處為周期一運動，在2.5倍處為周期二運動。圖4中分別為 ω 1 =2ω 2 ，ω 1 =2.5ω 2 ， ω 1 =3ω 2 和 ω 1 =3.745 的相圖。

當 ω 2 =1.5 ，取不同的 ω 1 做系統(tǒng)的Poincaré圖，如圖5所示。圖中（a）為 ω 1 =（7/4）ω 2 ，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期四運動；（b）為 ω 1 =（15/8）ω 2 ，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期八運動；（c）為 ω 1 =（31/16）ω 2 ，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期十六運動；（d）為 ω 1 =（（2^10-1）/2^9）ω 2 ，系統(tǒng)為擬周期運動。

圖6為ω 2 =2時系統(tǒng)分岔圖，可以看出與ω 2 =1.5相比，由兩個小波峰變成了一個，同樣有周期衰減變化出現(xiàn)，此時系統(tǒng)周期為2。在ω 1 =3.983處出現(xiàn)小波峰。圖7分別為 ω 1 =2ω 2 ， ω 1 =2.5ω 2 ， ω 1 =3ω 2 和ω 1 =3.983 的相圖。

當 ω 2 =2.0 ，取不同的 ω 1 做系統(tǒng)的Poincaré圖，如圖8所示。圖中（a）為 ω 1 =（7/4）ω 2 ，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期四運動；（b）為 ω 1 =（15/8）ω 2 ，系統(tǒng)為周期八運動；（c）為 ω 1 =（31/16）ω 2 ，系統(tǒng)為周期十六運動；（d）為ω 1 =（（2^10-1）/2^9）ω 2 ，系統(tǒng)表現(xiàn)為擬周期運動。

由上面2個例子可以得出當 ω 2 為一個固定值時，隨著 ω 1 的變化，質量塊的速度會有周期衰減的規(guī)律，其中衰減周期為ω 2 ，同時當頻率 ω 1 是 ω 2 的m+（2^n-1）/2^（n-1） 倍時，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期 2^（n-1）運動，其中 （m=0，1，2，3，4….n=1，2，3，4…） 。

3.2 雙頻激勵成比例變化

圖9為系統(tǒng)頻率比i=2，各參數(shù)取：b=0.1，R=0.8，f 1 =0.2，f 2 =0.8，x 0 =0.1，v 0 =0.001， ω 1 在5.5到6.5變化時，系統(tǒng)局部分岔圖。隨著參數(shù) ω 1 減小會出現(xiàn)逆倍化分岔，當 ω 1 <6.174 0 時，從周期一運動退化成穩(wěn)定的周期二運動。隨著 ω 1 的進一步遞減，在 ω 1 <5.954 3時進入周期四運動。參數(shù) ω 1 繼續(xù)遞減，在 ω 1 =5.887 68時系統(tǒng)運動進入到混沌狀態(tài)。

當 ω 1 ∈[6.17，6.20]時，系統(tǒng)Jacobian矩陣特征值的變化如圖10所示，同時可以根據(jù)表1所表示的特征值的大小來判斷不動點的性質。當 ω 1 <6.173 9 時，特征值的絕對值小于1，系統(tǒng)具有穩(wěn)定的周期一運動。在 ω 1 =6.173 9 時特征值為-1.003 97，系統(tǒng)Poi?ncaré圖和相圖如圖11所示； ω 1 =6.174 0 時特征值為-0.998 91，系統(tǒng)Poincaré圖和相圖如圖12所示，故在此兩點間發(fā)生倍化分岔，系統(tǒng)由穩(wěn)定的周期二運動進入周期一運動。

當 ω 1 ∈[5.95，5.96]時，系統(tǒng)Jacobian矩陣特征值隨 ω 1 變化趨勢如圖13所示。在 ω 1 =5.954 3 時由穩(wěn)定的周期二運動進入周期四運動，此處發(fā)生倍化分岔，在系統(tǒng) ω 1 =5.940 處的Poincaré圖和相圖如圖14所示。

如圖15所示，當 ω 1 進一步減小，可以看出在ω 1 =5.887 68 與 ω 1 =5.887 69 之間系統(tǒng)從周期四運動突然進入到混沌狀態(tài)，相應系統(tǒng)的特征值從單位圓內跳出。由圖16（a）和圖16（b）看出有擦邊現(xiàn)象的出現(xiàn)，在“擦邊”前后當質塊的運動周期和穿越Poincaré截面的次數(shù)都發(fā)生變化，使得系統(tǒng)從周期運動突變到混沌運動。由圖16可以看出其演變過程。

3.3 頻率成比例的雙激勵和間隙對系統(tǒng)的影響

分岔圖是機械系統(tǒng)中參數(shù)選擇的重要依據(jù)。對實際參數(shù)的選擇往往是多元化，二維分岔圖只能表現(xiàn)出在單個參數(shù)下的工作性能。系統(tǒng)在滿足一定的頻率比的情況下，頻率和間隙如何選擇才能使振子達到理想的工作狀態(tài)。采用三維分岔圖兩維坐標分別為頻率和間隙，第三維以顏色的形式表現(xiàn)系統(tǒng)的性能。

圖17和圖18分別為頻率比i取2和3時系統(tǒng)周期運動的分布圖，間隙b取不同的值可以看出系統(tǒng)的周期分布，圖17、圖18中的標注 pi（i=1，2，3，4，5，6）代表周期i。

4 結論

文章以單自由度雙頻激勵碰撞振動系統(tǒng)為研究對象，給出了系統(tǒng)的Poincaré映射建立方法，推導出了其對應的Jacobian矩陣，從而得到相應的特征值。利用特征值的穿越單位圓過程，相圖和Poin?caré 截面圖以及分岔圖分析2個頻率之間不同關系時系統(tǒng)的特性。

（1）單個頻率變化時， ω 2 取不同值，隨著 ω 2 增加，質量塊的速度波動中心逐漸增大。 ω 2 取定值，ω 1 在一定范圍內變化時，質量塊的速度會有周期衰減的規(guī)律，其中衰減周期為 ω 2 ，同時當頻率 ω 1 為ω 2 的 m+（2^n-1）/2^（n-1） 倍時，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期2^（n-1） 運動，其中（m=0，1，2，3，….n=1，2，3，4…）。

（2）雙頻激勵成比例為2變化時，系統(tǒng)的演化過程中，有一個特征值在-1處穿越單位圓，其余位于單位圓內，此時產(chǎn)生倍化分岔。在“擦邊”處會有特征值從單位圓內跳出，出現(xiàn)非光滑分岔，由周期運動直接通向混沌。

（3）根據(jù)機械設計參數(shù)多元化的特點，采用三維分岔圖，兩維坐標分別為系統(tǒng)參數(shù)，第三維以顏色的形式表現(xiàn)系統(tǒng)的運動特性，為含間隙的碰撞振動機械系統(tǒng)的參數(shù)設計提供理論依據(jù)。

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Dynamics Analysis of Vibro-impact System with Double-frequency Excitation and Clearance

MA Kangzhou，WEI Jia，WU Shaopei

（Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou Gansu 730070，China）

Abstract： The paper mainly studies a kind of single-degree impacting dynamical model with double-frequency excitation，establishes the equation of vibro-impact with double-frequency.The Poincaré map of system is estab?lished to deduce the Jacobian matrix and the corresponding eigenvalues. It also studies the influence of the single-frequency change to periodic motion. And under a certain ratio of frequency， it studies the influence of frequency and clearance to the periodic distribution. The paper further uses the eigenvalues to study the phenomenon of peri?odic motion， bifurcation，rubbing edge and chaotic motion，and analyzes the characteristics of the bifurcation points through the Poincare map diagram and the phase diagram.

Key words： double-frequency excitation; vibro-impact; Poincaré map; grazing; chaos