冷國香

［摘 要］動點問題是初中數(shù)學一類十分重要的問題，在中考中經常出現(xiàn)。動點問題不僅需要學生具備較強的計算能力，還需要學生有著較強的動態(tài)思維、邏輯推理能力，這使得動點問題成為一類難題。文章結合實際問題，對常見的幾類“單動點”問題及其解答策略進行總結分析，以期提高學生的解題能力。

［關鍵詞］單動點；常見問題；解答策略

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）11-0037-03

動點問題一直是初中數(shù)學的一類難題，常以數(shù)軸、幾何圖形、函數(shù)圖象等為依托，考查學生對相關知識的掌握情況及其數(shù)學思維能力。對于這類問題，教師會在教學中講述相關解答策略，但很少會將常見的動點問題進行系統(tǒng)性的總結歸納，這也弱化了學生對動點問題策略的掌握。本文對常見的“單動點”問題及解答策略進行總結分析，以期提高學生的解題能力。

一、數(shù)軸問題

數(shù)軸上的動點問題是一類較為常見的問題，此類問題比較簡單，主要考查學生對數(shù)軸知識的理解及對數(shù)形結合思想和方程思想的運用能力。在解題中，要重點關注動點到定點距離、中點、三等分點等條件信息，進而根據(jù)數(shù)軸知識進行列式計算。

［例1］如圖1所示，數(shù)軸上有[A、B、C]三點，若[AB]表示[A、B]兩點間的距離，[AC]表示[A、C]兩點間的距離，且[AB=13AC]，若點[A、C]對應的數(shù)分別為[a、c]，且[a+40+c-20=0]。

（1）求[BC]的長；

（2）若點[P、Q]分別從[A、C]兩點同時出發(fā)，向左運動，速度分別為每秒[2]個單位長度和[5]個單位長度，則運動多久后[Q、B]間的距離與[P、B]間的距離相等。

解析：（1）由[a+40+c-20=0]，

可得[a=-40，c=20]，

即點[A、C]對應的數(shù)分別為[-40，20]，

所以[AC=20-（-40）=60]，

因為[AB=13AC]，所以[BC=23AC=40]。

（2）設[P、Q]兩點運動的時間為[t]秒，則點[P]對應的數(shù)為[-40-2t]，點[Q]對應的數(shù)為[20-5t]。由（1）可得，點C對應的數(shù)是20，[BC=40]，所以點B對應的數(shù)為[20-40=-20]，

所以[BQ=-20-（20-5t）=5t-40]，[BP=-20-（-40-2t）=2t+20]，

即[5t-40=±（2t+20）]，

可得[t=207]或[t=20]，

故運動了[207]秒或[20]秒時，[Q、B]間的距離與[P、B]間的距離相等。

評注：在解答本題時需要靈活借助[AB=13AC]這一關系，得到各點的位置信息。在此基礎上，根據(jù)題目所給出的運動情境，通過數(shù)形結合分析，易得到其中的關系，進而列式解答。

二、線段問題

線段上的動點問題是一類較為常見的動點問題，這類問題較多地出現(xiàn)在選擇題和填空題中。這類問題通常以幾何圖形為背景，圍繞幾何性質，考查最長、最短、和差最值等諸多知識點。在實際的解題中，需要學生靈活運用幾何相關性質。

［例2］如圖2所示，正方形[ABCD]的邊長為[8]，對角線[AC]與[BD]交于點[O]，[N]是[AO]的中點，點[M]在[BC]邊上，且[BM=6]，點[P]為對角線[BD]上一點，則[PM-PN]的最大值為多少？

解析：如圖3所示，作[N]關于[BD]的對稱點[N']，連接[PN']、[MN']，則[PN'=PN]，

所以[PM-PN=PM-PN'≤MN']，

當且僅當[P、N'、M]三點共線時，等號成立，[PM-PN]最大。

延長[MN']交[BD]于[P']，則[MP'-N'P'=MN']，

因為[N']為[OC]中點，

所以[CN'=14AC=14AB2+BC2=22]，

因為[CN'AC=CMBC=14]，

所以[MN'//AB]，則[∠N'MC=∠ABC=90°]，

易得[MN'=CN'·sin45°=22×22=2]，

即[PM-PN]最大值為[2]。

點在直線上運動，求解線段和最小值問題中，當兩定點在已知直線的異側時，可以直接連接兩點進行解題；當兩定點位于直線同側時，則需要通過對稱性將其轉化為異側進行求解。在求解線段差最大值時，兩定點在同側可直接連接并延長，若是異側則需要借助對稱點。本題屬于求解線段差的最大值問題，在解題中通過對稱、輔助線的方法，進而結合幾何性質進行解題。

三、周長問題

周長問題也是以幾何圖形為背景的常見動點問題之一，在這類問題中，通常會考查動點與已知兩個定點、三個定點等所圍成圖形的周長的最大、最小值。解答這類問題的關鍵點在于正確判斷出動點運動到何處時，圖形的周長達到最大，確定動點之后，便可以借助幾何圖形的相關性質進行解題。

［例3］如圖4所示，拋物線[y=ax2+bx+c]圖象與[x]軸交于[A、B]兩點，與[y]軸交于點[C]，且[B（2，0）]，[OA=OC=2OB]。

（1）求拋物線的表達式；

（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點[M]，使得與[B、C]兩點圍成的三角形周長最小？

解析：（1）拋物線的表達式為[y=-12x2-x+4]。（過程略）

（2）[y=-12x2-x+4]的對稱軸為直線[x=-1]，因為[A、B]關于直線[x=-1]對稱，所以連接[AC]交對稱軸于點[M]，此時[△BCM]的周長最小。

設直線[AC]的解析式為[y=kx+m]，代入[A（-4，0），C（0，4）]，得[k=1，m=4]，

則直線[AC]的解析式為[y=x+4]，

將[x=-1]代入，可得[y=3]，

所以點[M]的坐標為[（-1，3）]。

本題為幾何圖形與二次函數(shù)圖象結合考查的動點周長最小值問題。在解題中，由題意易得二次函數(shù)的解析式，同時可以得到[B、C]兩點的坐標，結合A、B關于直線[x=-1]對稱，連接[AC]交對稱軸于點[M]，可以判斷此時[△BCM]的周長最小，繼而根據(jù)相關定理便可求解點[M]的坐標。

四、存在性問題

在存在性問題中，根據(jù)所涉及的幾何圖形不同可將存在性問題分為三角形存在性問題和四邊形存在性問題兩類。在三角形存在性問題中，會涉及直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的存在性驗證等。在直角三角形存在性問題中，往往會因直角位置不定，而需要借助勾股定理、三角函數(shù)等進行解題，常見的題型為求經拋物線的兩點與一動點構成直角三角形時的坐標。在等腰三角形存在性問題中，因為腰和底的不確定性，通常需要進行分類討論。四邊形存在性問題常見的題型為已知兩個定點與拋物線對稱軸上一點，問拋物線上是否存在一點使四點構成一個特殊四邊形。同樣的，有時需要根據(jù)兩點構成的線段為特殊四邊形的邊或是對角線進行分類討論。

［例4］如圖5所示，二次函數(shù)[y=ax2+bx-4（a≠0）]圖象與[x]軸交于A（-2，0），[C（8，0）]，與[y]軸交于[B]，對稱軸與[x]軸交點為[D]。

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）連接[BC]，在線段[BC]上是否存在一點[E]，使[△CDE]為等腰三角形？

解析：（1）[y=14x2-32x-4]。（過程略）

（2）存在。由題意可得[C（8，0），B（0，-4）]，二次函數(shù)的對稱軸為[x=3]，則[D（3，0）]，所以[CD=5]，

設直線[BC]的方程為[yBC=kx+b]，將[C（8，0）]，[B（0，-4）]代入得

[8k+b=0，b=-4，]得[k=12，b=-4，]

即直線[BC]的方程為[yBC=12x-4]，

因此可設點[E]的坐標為[m，12m-4]，

則[DE=（m-3）2+12m-42]，

[EC=（m-8）2+12m-42]，

當[CD=DE]時，[（m-3）2+12m-42=25]，

解得[m1=0，m2=8]（舍去），

所以[E1（0，-4）]。

當[EC=DE]時，[（m-8）2+12m-42=（m-3）2+12m-42]，解得[m3=112]，所以[E2112，-54]。

當[CD=CE]時，[（m-8）2+12m-42=25]，

解得[m1=4+25，m2=4-25]（舍去），

所以[E3（4+25，5-2）]。

綜上，所有符合條件的點[E]的坐標有[E1（0，-4）]，[E2112，-54]，[E3（4+25，5-2）]。

在本題中，根據(jù)題意容易得到二次函數(shù)的解析式，但是題目中并未給出等腰三角形的腰和底，因此需要進行分類討論。根據(jù)等腰三角形的特點，可以按[CD=DE]，[EC=DE]，[CD=EC]分類，在不同情況下建立方程，進而求解。在解答這類問題時，一般需要將題目中的線段作為底或腰進行分類討論，根據(jù)兩腰相等進行列式計算。

五、與面積相關的問題

與面積相關的問題，同樣可以分為三角形問題與四邊形問題兩大類，而三角形面積又可以進一步分為三角形面積定值問題、三角形面積最值問題。對于三角形面積最值、定值問題，可以轉化為線段最值、定值問題，通過構造面積函數(shù)進行求解。常用的解題方法有“切割法”“割補法”等。在四邊形面積最值問題中，通?？梢詫⑵洳鸱譃橐粋€面積為定值的三角形與一個面積不定的三角形，將問題轉化為求不定三角形面積的最值問題。

［例5］如圖6所示，二次函數(shù)[y=-x2+bx+c]圖象與[x]軸交于[A（-1，0），B（2，0）]，與[y]軸交于[C]。

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）若點[E]為第一象限拋物線上一動點，當四邊形[ABEC]面積最大時，點[E]的坐標及四邊形[ABEC]面積的最大值。

解析：（1）[y=-x2+x+2]。（過程略）

（2）當[x=0]時，[y=2]，即點[C]的坐標為[C（0，2）]，

因為[S四邊形ABEC=S△ABC+S△BCE]，[S△ABC=12AB·OC=12×3×2=3]，

所以當[△BCE]面積最大時，四邊形[ABEC]面積最大，

設直線[BC]的方程為[y1=kx+m]，

則[2k+m=0，m=2，]得[k=-1，m=2，]

所以[y1=-x+2]。

設點[E]的坐標為[E（a，] [-a2+a+2）]，如圖7所示，過點[E]作[EG⊥x]軸，交[BC]于點[F]，交[x]軸于點[G]，則[F（a，-a+2）]，所以[EF=（-a2+a+2）-（-a+2）=-a2+2a ]，

所以[S△BCE=S△CEF+S△BEF=12EF·OG+12EF·GB=12EF·OB=-（a-1）2+1]，

所以，當[a=1]時，[△BCE]的面積最大為[1]，此時點[E]的坐標為[E（1，2）]，四邊形[ABEC]的面積最大值為[4]。

本題為“動點四邊形面積”問題，借助切割法很容易解答：在四邊形最大面積求解中，通過連接[BC]，將四邊形[ABEC]面積轉化為[△ABC]和[△BCE]的面積之和，其中[△ABC]面積為定值，故后續(xù)只需借助三角形面積最值的解題思路進行解題。

綜上所述，動點問題作為中考常見問題之一，受到了師生的共同關注。本文對常見的“單動點”問題進行分析，并針對不同問題提出常見解答策略，以期提高學生的解題能力。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 徐松齡.初中數(shù)學教學中“動點問題”的有關分析［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（23）：12-14.

［2］? 陳福德.初中數(shù)學動點問題的解題策略［J］.數(shù)理化解題研究，2023（14）：2-4.

［3］? 秦海燕.初中數(shù)學動點問題的分類和解題思路探究［J］.中學數(shù)學，2023（6）：81-83.

（責任編輯? ? 黃春香）